PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
FUZZY KOMPLEKS
KARYA ILMIAH
OLEH
SYIL VIYA RIVIKA
NIM. 1603123059
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2020
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
FUZZY KOMPLEKS Syil Viya Rivika
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
sylviarivia09@gmail.com
ABSTRACT
This article discusses the solution of a systems of linear equations in complex fuzzy numbers. Solving problems use arithmetic on fuzzy numbers and also use arithmetic on complex fuzzy numbers. This system of equations is converted into 2n×2n matrix form. Then the solution of the equations is obtained using Gauss-Jordan elimination.
Keywords: Fuzzy numbers, complex fuzzy numbers, complex fuzzy linear system ABSTRAK
Artikel ini membahas penyelesaian sistem persamaan linear pada bilangan fuzzy kompleks. Dalam penyelesaian masalah menggunakan aritmatika pada bilangan
fuzzy dan juga menggunakan aritmatika pada bilangan fuzzy kompleks. Sistem persamaan ini diubah ke dalam bentuk matriks 2n×2n. Kemudian solusi persamaan tersebut diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan.
Kata kunci: Bilangan fuzzy, bilangan fuzzy kompleks, sistem persamaan linear
fuzzy kompleks
1. PENDAHULUAN
Sistem persamaan linear adalah salah satu bagian dari ilmu aljabar linear yang dipelajari dalam matematika yang berguna untuk memodelkan serta memecahkan permasalahan berbagai bidang seperti ilmu ekonomi, optimisasi, analisis dan teknik. Dalam [1] dijelaskan secara umum persamaan linear dengan n variabel dapat dinyatakan dalam bentuk
a1x1+ a2x2+· · · + anxn = b.
Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari koefisien dan variabel. Telah banyak dibahas sebelumnya sistem persamaan
linear dengan koefisien dan variabel bilangan real, seiring dengan berkembangnya ilmu matematika, koefisien dan variabel pada sistem persamaan linear tidak hanya berupa bilangan real, tetapi koefisien dan variabel dapat berupa bilangan fuzzy dan bilangan kompleks yang kemudian disebut sistem persamaan linear fuzzy yang dibahas dalam [4], [6] dan [8]. Sistem persamaan linear fuzzy kompleks dibahas dalam [5], [6] dan [12].
Penyelesaian sistem persamaan linear adalah menentukan nilai dari variabel-variabel yang diberikan dengan cara mengubah persamaan ke dalam bentuk matriks dengan melakukan operasi yang sesuai terhadap matriks tersebut. Selain itu penyelesaian masalah sistem persamaan linear dapat dilakukan dengan metode langsung dan metode tak langsung. Metode langsung yaitu dengan cara Operasi Baris Elementer (OBE), eliminasi berupa eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan, substitusi, dan dekomposisi-LU serta metode lainnya. Metode tak langsung berupa iterasi seperti metode iterasi Jacobi dan metode Gauss Seidel.
Artikel ini menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear pada bilangan fuzzy kompleks dengan menggunakan metode Gauss-Jordan dengan mengubah sistem ke dalam bentuk matriks 2n× 2n. Bagian 2 membahas mengenai bilangan kompleks, bilangan fuzzy, dan bilangan fuzzy kompleks beserta dengan aritmatikanya. Bagian 3 membahas teori mengenai persamaan linear fuzzy kompleks. Kemudian Bagian 4 membahas mengenai metode dan langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy kompleks. Bagian terakhir adalah kesimpulan dari pembahasan yang telah dilakukan.
2. BILANGAN KOMPLEKS DAN BILANGAN FUZZY
Pada bagian ini diberikan definisi bilangan kompleks, aritmatika bilangan kompleks, definisi bilangan fuzzy dan aritmatika bilangan fuzzy.
Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z dapat didefinisikan sebagai pasangan berurut (x, y) dari bilangan real yang dinyatakan sebagai titik dalam bidang kompleks, dengan koordinat persegi panjang x dan y yang dijelaskan dalam [9]. Secara umum notasi bilangan kompleks adalah z = x + iy dengan x bagian real dari z dan y bagian imajiner dari z. Berikut ini adalah operasi dasar aritmatika bilangan kompleks yang dijelaskan dalam [9] dengan memisalkan untuk sebarang bilang kompleks
z1 = x1+ iy1, z2 = x2+ iy2 diberikan aritmatika sebagai berikut:
(i) Penjumlahan
z1+ z2 = (x1+ iy1) + (x2+ iy2). (1)
(ii) Pengurangan
(iii) Perkalian z1× z2 = (x1+ iy1)× (x2+ iy2) = (x1x2− y1y2) + i(x1y2+ x2y1). (3) (iv) Pembagian z1 z2 = x1+ iy1 x2+ iy2 = x1x2+ y1y2 x2 2+ y22 + ix2y1+ x1y2 x2 2+ y22 . (4) Bilangan Fuzzy
Bilangan Fuzzy secara bahasa diartikan sebagai kabur atau samar yang pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh [11] seorang ilmuwan Amerika Serikat. Fuzzy umumnya diterapkan pada masalah yang mengandung unsur ketidakpastian dengan derajat keanggotaan yang memiliki rentang [0,1]. Definisi himpunan bilangan fuzzy yang telah dikemukakan dalam [4] dan [11].
Definisi 1 Misalkan R sebarang himpunan tak kosong, sehingga suatu himpunan
fuzzy ˜u dalam x ditandai oleh fungsi keanggotaan
˜
u ={(x, µ˜u (x))|x ∈ R, 0 ≤ µ˜u (x)≤ 1}.
Selanjutnya, dengan perkembangan ilmu matematika terdapat dua bilangan
fuzzy yang sering digunakan yaitu bilangan fuzzy segitiga dan bilangan fuzzy
trapesium. Definisi bilangan fuzzy segitiga telah dijelaskan dalam [13] dan [10] seperti pada Definisi 2.
Definisi 2 Bilangan fuzzy ˜u adalah bilangan fuzzy segitiga jika ˜u = (u, α, β) dengan u adalah titik pusat, α jarak kiri ke titik pusat u, dan β jarak kanan ke titik pusat u. Fungsi keanggotaan bilangan fuzzy segitiga dapat ditulis dalam bentuk
µu(x)˜ = 1−u− x α , u− α ≤ x ≤ u, 1−x− u β , u≤ x ≤ u + β, 0 , lainnya.
Definisi 3 Berdasarkan fungsi keanggotaan fuzzy segitiga pada Definisi 2 diperoleh
persamaan bilangan fuzzy segitiga dalam bentuk parameter dengan memisalkan
x = u(r) dan µ˜ u˜(x) = r sehingga diperoleh pasangan berurut ˜u = [u(r), u(r)],
dengan
u(r) = u− (1 − r)α dan u(r) = u + (1 − r)β, r ∈ [0, 1]. (5) Bilangan fuzzy memiliki bentuk parametrik yang dijelaskan dalam [4], [7], [8], [12] dan [13] seperti pada Definisi 4.
Definisi 4 Untuk sebarang bilangan fuzzy dalam bentuk parameter didefinisikan
sebagai pasangan berurut [u, u] dari fungsi [u(r), u(r)], 0 ≤ r ≤ 1 yang memenuhi syarat berikut:
(i) u(r) monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0,1]. (ii) u(r) monoton turun, terbatas, dan kontinu kanan pada [0,1]. (iii) u(r) ≤ u(r) dengan 0 ≤ r ≤ 1.
Aritmatika Bilangan Fuzzy
Aritmatika bilangan fuzzy telah banyak dikemukakan oleh beberapa penulis dengan cara yang berbeda-beda. Berikut ini beberapa aritmatika bilangan fuzzy yang telah digunakan yaitu aritmatika bilangan fuzzy yang dikemukakan dalam [13] sebagai berikut:
Definisi 5 Untuk aritmatika bilangan fuzzy misalkan
˜
x = [x(r), x(r)] dan ˜y = [y(r), y(r)],
sehingga berlaku operasi sebagai berikut: (i) Penjumlahan ˜ x + ˜y = [x(r), x(r)] + [y(r), y(r)] = [x(r) + y(r), x(r) + y(r)]. (6) (ii) Pengurangan ˜
x− ˜y = [x(r), x(r)] − [y(r), y(r)]
= [x(r)− y(r), x(r) − y(r)]. (7) (iii) Perkalian skalar
k ˜x =
{
k[x(r), kx(r)], k ≤ 0,
k[x(r), kx(r)], 1≤ k < 0. (8)
(iv) Perkalian
Misalkan diketahui dua buah bilangan fuzzy positif sebarang ˜x = [x(r), x(r)]
dan ˜y = [y(r), y(r)], sehngga z = ˜˜ x × ˜y = [z(r), z(r)]. Berikut diberikan
beberapa kasus untuk perkalian bilangan fuzzy. (a) Untuk ˜x > 0 dan ˜y > 0,
{
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1),
(b) Untuk ˜x > 0 dan ˜y < 0,
{
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1),
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1). (10)
(c) Untuk ˜x < 0 dan ˜y > 0,
{
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1),
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1). (11)
(d) Untuk ˜x < 0 dan ˜y < 0,
{
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1),
z(r) = x(r)y(1) + x(1)y(r)− x(1)y(1). (12)
Selanjutnya aritmatika bilangan fuzzy yang dikemukakan dalam [6] untuk operasi penjumlahan, pengurangan, serta perkalian skalar masing-masing mengikuti persamaan (6), persamaan (7) dan persamaan (8). Namun untuk pembagian dan perkalian digunakan Definisi 6.
Definisi 6 Misalkan bilangan fuzzy sebarang ˜x = [x(r), x(r)] dan ˜y = [y(r), y(r)],
dengan 0 ≤ r ≤ 1 dan k ∈ R. (i) Pembagian ˜ x ˜ y = [ x(r) y(r), x(r) y(r) ] , dengan ( x(r) y(r) ) = min { x(r) y(r), x(r) y(r), x(r) y(r), x(r) y(r) } , ( x(r) y(r) ) = max { x(r) y(r), x(r) y(r), x(r) y(r), x(r) y(r) } , r ∈ [0, 1]. (13) (ii) Perkalian ˜
x× ˜y = [xy, xy], dengan
(
x(r)y(r))= min {x(r)y(r), x(r)y(r), x(r)y(r), x(r)y(r)},
(x(r)y(r)) = max {x(r)y(r), x(r)y(r), x(r)y(r), x(r)y(r)}. (14)
Bilangan Fuzzy Kompleks
kompleks telah dibahas dalam [3], kemudian didefinisikan dalam [12] selanjutnya dalam [5] seperti pada Definisi 7.
Definisi 7 Untuk sebarang bilangan fuzzy kompleks yang dinyatakan dengan
˜
z = ˜x + i˜y, dengan ˜x = [x(r), x(r)] dan ˜y = [y(r), y(r)], 0 ≤ r ≤ 1, dapat ditulis
menjadi ˜z = [x(r), x(r)] + i([y(r), y(r)]) = [(x(r) + iy(r)), (x(r) + iy(r))].
Selanjutnya dibahas aritmatika bilangan fuzzy kompleks yang dijelaskan dalam [5] dan [12] seperti pada Definisi 8.
Definisi 8 Untuk sebarang bilangan fuzzy kompleks ˜z1 = ˜x1 + i ˜y1, ˜z2 = ˜x2 + i ˜y2
dengan ˜x, ˜y adalah bilangan fuzzy, aritmatika nya kompleks dapat ditulis sebagai
berikut: (i) Penjumlahan ˜ z1+ ˜z2 = ( ˜x1+ i ˜y1) + ( ˜x2+ i ˜y2) = ([x1(r) + x2(r), x1(r) + x2(r)]) + i([y1(r) + y2(r), y1(r) + y2(r)]). (15)
(ii) Perkalian skalar
k ˜z = k(˜x + i˜y)
= k ˜x + ik ˜y, k ∈ R. (16) (iii) Perkalian
˜
z1× ˜z2 = ( ˜x1+ i ˜y1)× ( ˜x2+ i ˜y2)
= ([x1(r), x1(r)]× [x2(r), x2(r)])− ([y1(r)y1(r)]× [y2(r), y2(r)])
+ i([x1(r), x1(r)]× [y2(r), y2(r)]
+ [y1(r), y1(r)]× [y2(r), y2(r)]). (17)
3. PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS
Pada bagian ini dijelaskan teori-teori pendukung tentang sistem persamaan linear, sistem persamaan linear fuzzy, dan sistem persamaan linear fuzzy kompleks.
Sistem Persamaan Linear Fuzzy
Sistem persamaan linear fuzzy dengan sebarang n, persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui, dengan koefisien dan variabel berupa bilangan fuzzy, bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy dapat ditulis sebagai berikut:
˜
dengan ˜ A =[ ˜a1, ˜a2, . . . , ˜an], ˜ x =[ ˜x1, ˜x2, . . . , ˜xn]T, ˜ b =[ ˜b1, ˜b2, . . . , ˜bn]T. (19)
dengan ˜A adalah koefisien matriks, ˜x adalah vektor bilangan fuzzy, sedangkan ˜b
adalah vektor bilangan fuzzy yang tidak diketahui.
Vektor bilangan fuzzy disebut solusi persamaan linear fuzzy yang dijelaskan dalam [2] dan [8].
Untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linear fuzzy perlu diubah bentuk sistem persamaan linear yang berukuran n×n menjadi 2n×2n sehingga dapat ditulis sebagai berikut: s11x1+· · · + s1nxn+ s1,n+1(−x1) +· · · + s1,2n(−xn) = b1, .. . sn1x1+· · · + snnxn+ sn,n+1(−x1) +· · · + sn,2n(−xn) = bn, sn+1,1x1+· · · + sn+1,nxn+ sn+1,n+1(−x1) +· · · + sn+1,2n(−xn) = b1, .. . s2n,1x1+· · · + s2n,nxn+ s2n,n+1(−x1) +· · · + s2n,2n(−xn) = bn. (20)
dengan sij dinyatakan sebagai berikut:
sij = si+n,j+n = ˜aij, jika aij ≤ 0,
si,j+n = si+n,j = ˜aij, jika aij < 0.
Sistem Persamaan Linear Fuzzy Kompleks
Sistem persamaan linear fuzzy kompleks adalah sistem persamaan linear dengan variabel bilangan fuzzy kompleks yang didefinisikan dalam [12]. Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy kompleks dapat ditulis sebagai berikut:
C˜z = ˜w. (21) dengan C = [c1, c2, . . . , cn], ˜ z = [ ˜z1, ˜z2, . . . , ˜zn]T, ˜ w = [ ˜w1, ˜w2, . . . , ˜wn]T.
dengan C adalah koefisien matriks, ˜w adalah vektor bilangan fuzzy kompleks, ˜z
adalah vektor bilangan fuzzy kompleks yang tidak diketahui. Vektor bilangan fuzzy kompleks disebut solusi persamaan linear fuzzy kompleks yang dijelaskan dalam [6]
seperti pada Definisi 9.
Definisi 9 Vektor bilangan fuzzy kompleks z˜k = z˜1, ˜z2, . . . , ˜zn dengan
˜
zk = ˜xk+ i ˜yk, 1 ≤ k ≤ n disebut solusi persamaan linear fuzzy kompleks dengan
˜
xk = [xk(r), xk(r)] ˜yk= [yk(r), yk(r)].
4. Metode Gauss-Jordan untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Bilangan Fuzzy Kompleks
Langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy kompleks dengan metode Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:
(i) Diketahui sistem persamaan linear fuzzy kompleks seperti pada persamaan (21).
(ii) Selanjutnya persamaan (21) diubah ke dalam bentuk persamaan linear fuzzy 2n× 2n. x1(r)− (−x2(r)) = u1, x1(r) + x2(r) = u2, −x1(r)− x2(r) =−u1, −x1(r) + (−x2(r)) =−u2, y1(r)− (−y2(r)) = v1, y1(r) + y2(r) = v2, −y1(r)− y2(r) =−v1, −y1(r) + (−y2(r)) =−v2. (22)
(iii) Hasil dari langkah (ii) diubah dalam matriks seperti pada persamaan (23) sebagai berikut: c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 c41 c42 c43 c44 x1(r) + iy1(r) x2(r) + iy2(r) −x1(r) + (−iy1(r)) −x2(r) + (−iy2(r)) = u1(r) + iv1(r) u2(r) + iv2(r) −u1(r) + (−iv1(r)) −u2(r) + (−iv2(r)) . (23) (iv) Selanjutnya persamaan (23) diuraikan untuk memisahkan bagian real dan
bagian imajiner sehingga diperoleh matriks sebagai berikut: a. Matriks untuk bilangan real
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 c41 c42 c43 c44 . x1(r) x2(r) −x1(r) −x2(r) = u1(r) u2(r) (−u1(r)) (−u2(r)) . (24)
b. Matriks untuk bilangan imajiner c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 c41 c42 c43 c44 . y1(r) y2(r) −y1(r) −y2(r) = v1(r) v2(r) (−v1(r)) (−v2(r)) . (25) (v) Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan persamaan (24) dan persamaan (25) untuk menentukan nilai (xj(r), −xj(r)), yj(r), (−yj(r)),
j = 1, 2, . . . n, 0≤ r ≤ 1.
(vi) Nilai xj(r), −xj(r) dan yj(r), −yj(r) dari langkah (v) akan menjadi solusi
dari persamaan, yang kemudian dapat ditulis dalam bentuk ˜ z1 = [z1, z1] dan ˜z2 = [z2, z2], dengan z1 = x1(r) + iy1(r), z1 = x1(r) + iy1(r), dan z2 = x2(r) + iy2(r), z2 = x2(r) + iy2(r).
Berikut contoh perhitungan untuk penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy kompleks interval.
Contoh 1 Diktahui sistem persamaan linear fuzzy kompleks sebagai berikut:
{ ˜ z1− 2 ˜z2 = (r + i(−2 + 2r), (2 − r) + i(2 − 2r)), ˜ z1+ 3 ˜z2 = (r + i(r− 4), (2.5 − 1.5r) + i(−1 − 2r)). (26) Persoalan diselesaikan dalam bentuk matriks kemudian dengan menggunakan metode Gauss-Jordan diperoleh sebagai berikut:
a. Bagian real 2 5r + 3 5 −1 5 + 1 5r −8 5 + 3 5r −3 10 + 3 10r . (27) b. Bagian imajiner −4 + 14 5 r −3 5r −2 + 16 5 r 1− 25r . (28)
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear fuzzy kompleks adalah x1 = 25r + 35, x2 =−15 +15r, −x1 =−(−85 + 35r), −x2 =−(−103 +103r), y1 =−4 + 145r, y2 = (−35r), −y1 =−(−2 + 16 5r), −y2 =−(1 − 2 5r).
kemudian dapat ditulis dalam bentuk
z1 = 25r + 35 + i(−4 + 145r, 2), z2 =−15 +15r + i(−35r), z1 = 85 − 35r + i(2− 165r), z2 = 103 − 103r + i(−1 + 25r), . sehingga diperoleh ˜ z1 = [25r + 35,85 −35r] + i([−4 + 145 r, 2− 165r]), dan ˜ z2 = [−15 +15r, 103 − 103r] + i([−35r,−1 + 25r]). .
Kemudian jika solusi yang dihasilkan disubstitusikan kembali ke dalam persamaan awal menghasilkan solusi yang kompatibel.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan linear fuzzy kompleks C˜z = ˜w yang diubah ke dalam bentuk matriks
dapat diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Untuk aritmatika bilangan fuzzy kompleks untuk operasi perkalian menggunakan aritmatika yang dijelaskan dalam [13] menghasilkan solusi yang kompatibel.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dr. Mashadi, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] H. Anton dan C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version.
11th Edition, John Wiley, New Jersey, 2013.
[2] T. Allahviranloo, Numerical method for fuzzy system of linear equations, Ap-plied Mathematics and Computation, 155 (2004), 493-502.
[3] J. J. Buckley, Fuzzy complex numbers, Fuzzy Set and System, 33 (1989), 333-345.
[4] S. Das dan S. Chakraverty, Numerical solution of interval and fuzzy system of
linear equations, Application and Applied Mathematics, 7 (2012), 334-356.
[5] D. Bahera dan S. Chakraverty, A new method for solving real and complex
fuzzy system of linear equation, Computational Mathematics and Modeling, 23
(2012), 507-518.
[6] M. A. Jahantigh, S. Khezerloo, dan M. Khezerloo, Complex fuzzy linear systems, International Journal of Industrial Mathematics, 2 (2010), 21-28.
[7] Y. Han dan X. Gou, Complex fuzzy linear systems, International Journal of Engineering and Applied Sciences, 3 (2016), 30-34.
[8] M. Friedman, M. Ming, dan A. Kandel, Fuzzy linear system, Fuzzy Sets and Systems, 96 (1998), 201-209.
[9] J. D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur, Terj. dari Com-plex Variables for Scientists and Engineers, oleh W. Gunawan, Penerbit Er-langga, Jakarta, 1987.
[10] D. R. A. Sari dan Mashadi, New arithmetic triangular fuzzy number for solving
fully fuzzy linear system using inverse matrix, International Journal of Sciences
Basic and Applied Research, (2010), 169-180.
[11] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 8 (1965), 338-353.
[12] K. Zhang dan X. Guo, Solving complex fuzzy linear system of equation by using
QR-decomposition method, International Journal of Engineering Research and
Science, 2 (2016), 54-63.
[13] Z. Desmita dan Mashadi, Alternative multiplying triangular fuzzy number and
applied in fully fuzzy linear system, American Scientific Research Journal for
