BAB 1 KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

(1)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 1 BAB 1

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN A. KESEBANGUNAN

1. Pengertian kesebangunan

Dua bangun dinamakan sebangun apabila memunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran berbeda. Kesebangunan disimbolkan dengan tanda “ ∼ “

Bangun ABCD sebangun dengan bangun EFGH dtuliskan ABCD ∼ EFGH. 2. Sifat-sifat kesebangunan

Trapesium ABCD dan trapesium PQRS adalah dua trapesium yang sebangun. Perhatikan bentuk dan ukuran dari kedua trapesim tersebut.

Dua bangun yang sebangun akan memunyai sifat, yaitu :

 Sudut-sudut yang bersesuaian memunyai besar yang sama. Maka: ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, dan ∠D = ∠S

 Sisi-sisi yang bersesuai memunyai perbandingan yang sama. Maka : AB_PQ= CD_RS= AD_PS = BC_QR. EVALUASI 1.1. BANGUN-BANGUN SEBANGUN

1. Dari pasangan bangun berikut, tentukan manakah yang sebangun dan tidak sebangun? Serta berikan alasannya !

a. Dua persegi

b. Dua persegi panjang c. Dua segitiga sama sisi d. Dua segitiga sama kaki

e. Dua jajargenjang f. Dua layang-layang g. Dua belahketupat h. Dua trapesium Jawab:

2. Ukuran persegi panjang manakah yang sebangun dengan persegi panjang yang memunyai ukuran 12 cm x 18 cm? a. 4 cm x 6 cm b. 9 cm x 6 cm c. 14 cm x 20 cm d. 8 cm x 12 cm e. 20 cm x 26 cm f. 27 cm x 18 cm g. 30 cm x 20 cm h. 24 cm x 36 cm Jawab:

3. Perhatikan gambar jajargenjang berikut !

Jajargenjang ABCD ~ EFGH dan panjang EF = (2a – 2) cm serta AD = (a + 2) cm.

Hitunglah : a. nilai a,

b. panjang EF dan AD. Jawab:

4. Diketahui persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS. Jika panjang CD = 8 cm, AD = 6 cm, dan RS = 12 cm serta PS = (2p + 5) cm. Jika diketahui PQ > PS, maka tentukan nilai p dan panjang PS!

Jawab:

5. Sebuah tiang bendera dengan tinggi 3 m mempunyai panjang bayangan 1,8 m. Jika sebuah pohon mempunyai bayangan sepanjang 2,1 m, hitunglah tinggi pohon tersebut.

Jawab:

6. Sebuah truk mempunyai panjang 15 m, lebar 5 m, dan tinggi 3,5 m. Jika panjang truk pada model 3 cm, maka hitunglah lebar dan tinggi truk pada model.

Jawab: A B D C S R Q P   ○ ○ 6 cm 4 cm A B C D E F G H

(2)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 2

D

A B

C

E F 9 cm 4 cm F A B C D E

7. Perhatikan gambar trapesium di bawah ini.

Diketahui dua trapesium di atas adalah sebangun. Tentukan nilai a dan b!

Jawab:

8. Perhatikan gambar!

Diketahui CD // EF // AB dan ∠ EAB = 900_.

Tentukan panjang EF.

Jawab:

Persegi panjang ABCD dan AEFD adalah sebangun. Panjang AB = 20 cm dan panjang AD = 4 cm. Hitunglah panjang AE dan keliling AEFD!

Jawab:

10. Perhatikan gambar !

Sebuah bingkai berukuran 30 cm x 20 cm didalamnya dipasang sebuah foto. Sisa kertas sebelah kiri, kanan, dan atas mesih sisa 3 cm. Jika foto dan bingkai sebangun, hitunglah berapa panjang sisa kertas di bawah bingkai.

Jawab:

11. Tersedia dua botol saling sebangun. Botol I mempunyai volume 8 liter dan tinggi 20 cm, sedangkan botol II memiliki tinggi 12 cm. Hitunglah volume botol II.

Jawab:

12. Sebuah foto diletakkan pada sehelai karton berukuran 36 cm x 48 cm. Di sebelah atas, kiri, dan kanan foto masih tersisa karton selebar 3 cm. Jika foto dan karton sebangun maka hitunglah lebar di sebelah bawah foto yang tidak tertutup (ada 2 jawaban).

Jawab:

Segiempat ABCD ~ CDEF dan panjang AE = 6 cm. Hitunglah panjang DE.

Jawab:

STUV adalah persegi panjang dengan panjang ST = 8 cm dan SV = 6 cm. Hitunglah panjang SX.

Jawab:

a

12 cm

18 cm

6 cm

b

5 cm

A C D E _F B 48 cm 36 cm 27 cm X U T S V W

(3)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 3 N K L O M D C A _{9 cm} B 6 cm 10 cm E S Q P R T

3. Segitiga – segitiga sebangun

Syarat dua segitiga sebangun, yaitu :

 Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, dan ∠C = ∠R

 Perbandingan sisi-sisi yang bersesuai adalah sama AB PQ= AC PR= BC RQ ∆ ABC sebangun ∆ PQR ditulis ∆ ABC ~ ∆ PQR

EVALUASI 5.2. SEGITIGA-SEGITIGA SEBANGUN 1. Perhatikan gambar !

Garis KL // NO. Buktikan ∆ KLM ~ ∆ MNO.

Jawab:

Diketahui panjang AB = 6 cm, AE = 9 cm, dan CD = 10 cm. Hitunglah panjang DE.

Jawab:

3. Pada ∆ ABC dan ∆ PQR diketahui m∠A = 1050_{, m∠B = 45}0_{, m∠P = 45}0_{, dan m∠Q = 105}0_.

a. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun?

b. Tuliskan pasangan sisi yang memunyai perbandingan yang sama. Jawab:

Buktikan bahwa ∆ CDE dan ∆ FDG sebangun !

Pembuktian:

5. Perhatikan gambar di bawah ini !

Diketahui PQ // TS dan PQ : TS = 4 : 5.

Jika panjang PR = 8 cm, hitunglah panjang RS!

Jawab:

Diketahui trapesium sama kaki ABCD, dengan panjang CD = 4 cm, AB = 12 cm, dan BD = 20 cm. Hitunglah DO! Jawab: A R Q B C P  x  x A B C D 4 cm 12 cm C D E F G ∟

(4)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 4 A B C D _E

┐

A

D

E

14 cm

B

C

6 cm

8 cm q cm 9 cm 4 cm 6 cm 7,5 cm P cm 7. Perhatikan gambar !

Diketahui panjang DG = 4 cm, hitunglah panjang GH dan FH !

Jawab:

8. Perhatikan gambar berikut !

Segitiga ABC siku-siku di C. Panjang AD = 6 cm, DE = 8 cm, dan BC = 14 cm, tentukan panjang EC dan BD ! Jawab:

9. Diketahui ∆ ABC ~ CDE dan ∠ BAC + ∠ BED = 1800_.

Jika panjang AB = 12 cm, BC = 15 cm, CD = 9 cm, dan CE = 6 cm, hitunglah panjang DE dan AD ! Jawab:

10. Perhatikan gambar berikut.

Bangun ABCD adalah persegi dengan panjang AB = 40 cm. Jika panjang DE = EF = CF, hitunglah luas segitiga AGH. Jawab:

4. Garis-garis sejajar pada dua segitiga sebangun

Diketahui ∆ ABC ~ ∆ CDE dan AB // DE, maka berlaku ketentuan :  _DACD=CE_EB

 CD_CA =CE_CB =DE_AB

EVALUASI 1.3. GARIS SEJAJAR PADA DUA SEGITIGA SEBANGUN 1. Perhatikan gambar !

Diketahui ∆ KLM ~ ∆ NOM dan KL // NO. Buktikan : a. MN_NK =MO_OL b. MN MK = MO ML = NO KL Pembuktian: 2. Perhatikan gambar !

Hitunglah panjang p dan q !

Jawab: E B A C D O L K M N A B C D H F E G D E F G H ○ ○ 12 cm 8 cm 14 cm

(5)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 5 c 12 cm 4 cm 20 cm a b ┐ ┐ A E D C B 15 cm (2x+2) (x+1) (3x-4) x n m 3. Perhatikan gambar !

Diketahui KNOP merupakan jajargenjang dan MO : OL = 2 : 3. Hitunglah panjang KP dan KN!

Jawab:

Ruas garis CE // FG dan ∠ EGF = 900_{. Hitunglah panjang GF, CE,}

dan CF! Jawab:

Tentukan nilai x dan perbandingan m dengan n ! Jawab:

Hitunglah panjang a, b, dan c! Jawab:

Pada segitiga ABC dengan ∠BEC = 900_{, panjang BC = 15 cm}

dan DE = 9,6 cm, maka hitunglah panjang (BE + AE). Jawab:

Hitunglah panjang FE. Jawab:

Jika panjang CF = BF, maka hitunglah panjang EF! Jawab:

10. Sebuah tangga disandarkan pada sebuah dinding tembok. Ujung atas tangga terletak 8 m dari lantai, sedangkan ujung bawah tangga berjarak 2 m dari lemari. Di titik D tangga menyinggung tepi almari DEFG. Jika lebar lemari 4 m, hitunglah tinggi almari !

Jawab: A B C D E F 10 cm 15 cm L K P M N O 6 cm 9 cm 8 cm 10 cm 4 cm C D E F G ∟ A B C D E F

8

cm

20

cm G

(6)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 6 D B A C E F P R S Q T _U 11. Perhatikan gambar !

Antonia (A) berdiri di pinggir sebuah jalan raya. Tepat tegak lurus di seberang jalan, Basuki (B) berdiri. Jarak Antonia ke tepi jalan sama dengan jarak Basuki ke tepi jalan raya. Sejauh 50 meter dari sebelah kanan Basuki, berdiri Dominikus (D) dan tegak lurus di belakang Dominikus, berdiri Cornelius (C). Jika jarak Cornelius ke Dominikus sama dengan jarak Dominikus ke tepi jalan raya, tentukan lebar jalan raya, jika jarak Dominikus dan Cornelius adalah 15 meter serta jarak Dominikus dan Elisabeth (E) sama dengan 10 m.

Jawab:

Diketahui ABCD merupakan trapesium sembarang dan AB // EF // CD. Buktikan EF = CD x AE +AB x DE_AD ! Pembuktian: 13. Perhatikan gambar ! Hitunglah panjang p! Jawab: 14. Perhatikan gambar !

Diketahui ST : SP = 3 : 10, panjang SR = 15 cm, dan PQ = 25 cm, hitunglah panjang sisi TU !

Jawab: 15. Perhatikan gambar !

Trapesium ABCD dengan titik E dan F adalah titik tengah AC dan BD. Jika panjang AB = 20 cm dan EF = 7 cm, maka hitunglah panjang CD !

Jawab:

5. Segitiga siku-siku pada dua segitiga sebangun

Mari cermati gambar berikut !

Diketahui ∆ PQR ~ ∆ PSR ~ ∆ SQR, maka berlaku :

 RS2 = PS x SQ

 RP2 = PS x PQ  RQ2_{= QS x QP}

Buktikan!

EVALUASI 1.4. SEGITIGA SIKU-SIKU PADA SEGITIGA SEBANGUN 1. Perhatikan gambar !

a. Diketahui ∆ PSR ~ ∆ SQR. Buktikan RS2_{= PS x SQ !}

b. Diketahui ∆ PSR ~ ∆ PQR. Buktikan PR2_{= PS X PQ !}

c. Diketahui ∆ SQR ~ ∆ PSR. Buktikan RQ2_{= QS x QP !}

Pembuktian:

2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dan titik D terletak pada sisi AB sehingga CD merupakan garis tinggi segitiga ABC. Jika panjang AD = 4 cm dan AB = 9 cm, hitunglah panjang AC !

Jawab: ∟ Q R S P • D A • B • • C Jalan raya E A B C D E F 18 3 2 8 p Q ∟ R S P

(7)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 7 A B C P O T 3. Perhatikan gambar !

Diketahui panjang AD = 9 cm dan BD = 16 cm. Hitunglah panjang CD, AC, dan BC.

Jawab :

4. Diketahui ∆PQR siku-siku di P dan S terletak pada RQ, sehingga PS merupakan garis tinggi. Jika panjang RS = 5 cm dan QS = 20 cm, hitunglah luas ∆PQR.

Jawab:

Segitiga HIJ siku-siku di H dan KH merupakan garis tinggi dari segitiga tersebut. Tentukan panjang JI, HK, dan KI. Jawab:

Garis CD adalah garis tinggi dan ∠ACB = 900_{. Hitunglah}

panjang (AC + BC)! Jawab:

7. Perhatikan gambar berikut!

Diketahui ∆ ABC siku-siku di A dan ∠ BEF = ∠ AGB = ACB = 900_{. Panjang BC = 16 cm dan CG = BF = 4 cm.}

Hitunglah panjang AE, BE dan EF! Jawab:

B. KEKONGRUENAN

1. Pengertian kekongruenan

Dua bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Kongruen disimbolkan dengan tanda “ ≅ “

Segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR dituliskan ∆ ABC ≅ ∆ PQR. 2. Sifat-sifat kekonguenan

Perhatikan gambar !

Sifat-sifat dua segitiga kongruen, yaitu :  Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

m∠A = m∠P, m∠B = m∠O, dan m∠C = m∠T.  Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

AC = PT, AB = PO, dan BC = TO. 3. Syarat-syarat kekongruenan

Syarat Gambar Pembuktian

Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi,

sisi, sisi)

Sisi, sisi, sisi

Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut

yang diapitnya sama besar (sisi, sudut, sisi) Sisi, sudut, sisi

A

B

C D 8 cm 4,5 cm 20 cm H I J K 15 cm

•

A _B C F E G D ∟ _B C A

(8)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 8

E F

D G

Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan salah satu sudut yang didepan sisi sama besar (sisi, sisi,

sudut)

Sisi, sisi, sudut

Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan salah satu sisi didepan sudut sama panjang (sudut, sudut,

sisi)

Sudut, sudut, sisi

Dua sudut sama besar dan satu sisi yang terletak diantara sudut-sudutnya sama panjang (sudut, sisi,

sudut)

Sudut, sisi, sudut

EVALUASI 1.5. KEKONGRUENAN

1. Diberikan segitiga KLM dan PQR. Panjang KL = 5 cm, LM = 13 cm, KM = 12 cm, PQ = 13 cm, QR = 12 cm, dan PR = 5 cm. Apakah kedua segitiga itu kongruen ? Sebutkan pula pasangan sudut sama besar !

Jawab:

2. Diketahui ∆ABC≅ ∆PQR dengan 𝑚∠A = (3x - 15)0_{dan 𝑚∠P = (x + 43)}0_{serta 𝑚∠B =}5

6 ∠A. Tentukan

m∠R . Jawab:

3. Pada ∆ ABC diketahui ∠ A = 300_{, ∠B = 80}0_{, sedangkan pada ∆ PQR diketahui ∠P = 80}0_{dan ∠R = 70}0_.

Jika ∆ ABC dan ∆ PQR kongruen, maka pasangan sisi yang sama panjang. Jawab:

Persegi panjang ABCD dengan BD sebagai diagonalnya. Buktikan ∆ ABD ≅ ∆ CDB !

Pembuktian: 5. Perhatikan gambar!

Garis AE merupakan garis tinggi pada ∆ ABD dan CE merupakan garis tinggi pada ∆ BCD.

Buktikan ∆ ADE ≅ ∆ BCE!

Jawab:

Buktikan ∆ DEF ≅ ∆ EFG !

Jawab:

•

• α

α

ε

α

ε

A B C D A B C D E E

(9)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 9 H I J K L ┐ Q P R S ┐ • • A B C P O T C B

D

A

E

7. Perhatikan gambar di bawah ini !

Tuliskan pasangan sudut-sudut yang sama besar! Jawab:

8. Diketahui ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF, ∠A = ∠E dan ∠C = ∠D. Tentukan pasangan sisi yang sama panjang!

Jawab:

Diketahui panjang PQ = PR = 10 cm, hitunglah panjang SR. (Buatlah garis bantu dari S tegak lurus ke garis RQ) Jawab:

Pada gambar diketahui HL tegak lurus KJ. panjang KJ = 35 cm dan HL = 28 cm. Jika ∆ KIJ ≅ ∆ HLJ, hitunglah panjang HI ! Jawab:

Keliling ∆CDE pada gambar adalah 60 cm dan AB ⊥ CE, CE ⊥ ED dan ∆DEC ≅ ∆CBA. Hitunglah panjang BE .

Jawab:

Segitiga-segitiga dalam ∆ABC adalah kongruen. Jika luas ∆ABC = 60 cm2_{, maka hitunglah luas ∆CAD .}

Jawab:

Jika panjang AB = 12 cm, BD = 6 cm, BD = DE, dan ∠ADB = 900_{, hitunglah panjang AC.}

Jawab:

A

B

C

D

E

∟

8 cm

A

B

C

D

E

•

• 12 cm

(10)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 10 14. Perhatikan gambar !

Segitiga-segitiga di dalam ∆ ABC adalah kongruen. Jika panjang AB =12 cm, maka hitunglah panjang AD.

Jawab:

Diketahui panjang AB = 8 cm dan CD = 12 cm. Hitunglah panjang BC dan AD!

Jawab:

Bangun disamping adalah trapesium sama kaki. Hitunglah pasangan segitiga yang kongruen yang ada dalam trapesium tersebut.

Jawab: 17. Perhatikan gambar !

Persegi panjang PQRS dibentuk dari 5 persegi panjang yang sama. Jika keliling setiap persegi panjang kecil 50 cm, hitunglah keliling persegi panjang PQRS!

Jawab: 18. Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar disamping, panjang AC = BG dan AH = BH. Diketahui ∠ CAD = 300_{, ∠ AHB = 80}0_{, dan ∠ AEB = 120}0_.

Tentukan : a. ∠ BAE, b. ∠GAH, c. ∠ACB. Jawab:

CONTOH SOAL UJIAN NASIONAL

1. Diketahui ∆ABC dan ∆XYZ sebangun. Jika AB = 16 cm, BC = 10 cm, dan AC = 8 cm, sedangkan XY = 8 cm, YZ = 5 cm, dan XZ = 4 cm. Perbandingan sisi ∆ ABC dengan ∆ XYZ adalah .. ...

A. 1 : 2 B. 2 : 3 C. 2 : 1 D. 3 : 2 (UN 2012/2013) 2. Perhatikan gambar. Panjang FC adalah .. ... A. 10 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 17 cm (UN 2012/2013) A B E D C 12 cm ┐

S

P

Q

R

800 A B C D E F G H 1200 300 C A B D 6 cm o o x x A B D E F C 19 cm 9 cm

(11)

Matematika 9 – Kesebangunan dan Kekongruenan - yap 11 A B C P O T 3. Perhatikan gambar.

Jika CY : YB = 2 : 3, maka panjang XY adalah ... A. 9 cm

B. 11,5 cm C. 13,0 cm D. 14,5 cm (UN 2011/2012)

4. Tinggi Malik 150 cm dan panjang bayangannya 2 m. Pada saat yang sama, panjang bayangan pohon 12 m. Tinggi pohon tersebut adalah ... ...

A. 16 cm B. 9 cm C. 8 cm D. 6 cm

(UN 2011/2012)

5. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR, besar ∠BAC = ∠PQR = 650_{dan ∠ABC = ∠QPR = 80}0_.

Sisi-sisi yang sama panjang adalah ... A. AB = PR B. AC = PQ C. AB = PQ D. BC = QR (UN 2012/2013) 6. Perhatikan gambar.

Segitiga ABC kongruen dengan segitiga POT. Pasangan sudut yang sama besar adalah ...

A. ∠BAC = ∠POT B. ∠BAC = ∠PTO C. ∠ABC = ∠POT D. ∠ABC = PTO (UN 2011/2012) 7. Perhatikan gambar.

Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika AB = 10 cm dan CD garis bagi sudut C, panjang BD adalah ... ...

A. 5 cm B. (10 2 - 10) cm C. (10 - 5 2) cm D. (5 2 - 5) cm (UN 2010/2011) 8. Perhatikan gambar.

Jika 3AC = 2AE, perbandingan luas ∆ABC dengan luas ∆DEC adalah .. ... A. 4 : 1 B. 4 : 2 C. 6 : 3 D. 9 : 1 (UN 2009/2010)

9. Sebuah foto berukuran tinggi 30 cm dan lebar 20 cm ditempel pada sebuah karton. Sisa karton di sebelah kiri, kanan, dan atas foto 2 cm. Jika foto dan karton sebangun, sisa karton di bawah foto ... cm. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 (UN 2009/2010) A B C D X Y 22 cm 7 cm A B E D C ┐ D A C B E