MODUL-14-VEKTOR-POYNTING.doc

(1)

MODUL 14 MODUL 14 Vektor Poynting Vektor Poynting

Vektor poynting, dengan simbol besaran S atau P, didefinisikan sebagai produk vektor Vektor poynting, dengan simbol besaran S atau P, didefinisikan sebagai produk vektor dari vekto

dari vektor intensir intensitas medan listrtas medan listrik E ik E dendengan vektogan vektor r medamedan magnetn magnetik H ik H padpada suatua suatu gelombang elektromagnetik, yaitu

gelombang elektromagnetik, yaitu S

S== EExxHH ((1144!!11"" #pabila

#pabila untuk untuk ve$tor ve$tor E E dan dan ve$tor ve$tor H H kita kita gunakan gunakan %arga&arga %arga&arga sesaat sesaat maka maka ve$tor ve$tor poynting 'uga merupakan %arga sesaat dan apabila vektor E dan vektor H merupakan poynting 'uga merupakan %arga sesaat dan apabila vektor E dan vektor H merupakan %arga rata&ratanya maka akan diperole% %arga rata&rata dari vektor poynting Pengertian %arga rata&ratanya maka akan diperole% %arga rata&rata dari vektor poynting Pengertian fisik dari vektor

fisik dari vektor poynting yaitu menggampoynting yaitu menggambarkan la'u energi per satuan aktu per barkan la'u energi per satuan aktu per satuansatuan luas penampang medium yang dilalui gelombang, baik %arga sesaat maupun %arga rata& luas penampang medium yang dilalui gelombang, baik %arga sesaat maupun %arga rata& rata )ilai vektor poynting yang besar, berarti menggambarkan intensitas gelombang rata )ilai vektor poynting yang besar, berarti menggambarkan intensitas gelombang dan

dan vektvektor or poypoyntinnting g adaadala% la% inteintensitnsitas as gelogelombanmbang g merumerupakpakan an suatsuatu u besabesaran ran skalskalar,ar, sed

sedanangkgkan an vekvektor tor popoynyntinting g adadalaala% % bebesasaran ran vekvektotor r yayang ng menmenggggamambabarkarkan n araara%% perambatan gelombang dan besarnya kerapatan energi gelombang per satuan aktu, perambatan gelombang dan besarnya kerapatan energi gelombang per satuan aktu, atau la'u energi gelombang dalam satuan *oule per sekon per meter persegi (+S" atau atau la'u energi gelombang dalam satuan *oule per sekon per meter persegi (+S" atau Erg

Erg peper r seksekon on peper r $e$entintimemeter ter pepersersegi gi (-.(-.S" S" //eeororema ema tetentantang ng vekvektotor r poypoyntintingng dikembangkan ole% seorang ilmuan 0nggris yang bernama *o%n H Poynting pada dikembangkan ole% seorang ilmuan 0nggris yang bernama *o%n H Poynting pada aalnya adala% postulat pada ta%un 14 karena vektor intensitas medan magnetik dan aalnya adala% postulat pada ta%un 14 karena vektor intensitas medan magnetik dan vektor intensitas medan listrik itu saling tegak lurus satu sam lainnya maka %asil kali vektor intensitas medan listrik itu saling tegak lurus satu sam lainnya maka %asil kali vektor dari E dan H men'adi

vektor dari E dan H men'adi S =

S = E E H H _a_aS S 2imana a

2imana aSS menyatakan vektor satuan dari vektor S dan menyatakan vektor satuan dari vektor S dan ara%nya selalu tegak lurus ara%ara%nya selalu tegak lurus ara% vektor E dan tegak lurus ara% vektor H 3ntuk gelombang yang terpolarisasi linier ara% vektor E dan tegak lurus ara% vektor H 3ntuk gelombang yang terpolarisasi linier ara% sumbu x, merambat diudara pada ara% sumbu 5 positif maka

sumbu x, merambat diudara pada ara% sumbu 5 positif maka E

Exx = E = Ex6x6 $os $os ((ω ω t t

−

β β z z ))_a_ax_{x V7m dan}_{V7m dan} H Hyy= H= Hy6y6 ((ω ω t t

−

β β z z ))aayy = = 377 377 0 0ayay E E _x_x $os $os ((ω ω t t

−

β β z z ))_(V7m"_(V7m" +aka %arga sesaat dari ve$tor poynting adala% +aka %arga sesaat dari ve$tor poynting adala% S(t" = S(t" = 377 377 0 0 2 2 x x E E $os $os88 ₍₍_ω_ω_t_t

−

_β_β_z_z₎₎ a a55 *7s m *7s m88

(2)

#tau S(t" =













+

−

2 ) ( cos 1 377 0 2 2 z t x E ω β a5 97m8

Harga efektif ve$tor poynting Seff =











75 0 2 x E

9att7m8_{, 'uga memenu%i %arga rata&rata} ve$tor pointing Srata&rata yang dapat dibuktikan dari

Srata&rata = dt z t T x E dt t S T T T 2 )) cos( 1 ( 377 ! 0 2 ) ( 2 2 0 2 2 0 β ω

−

+

=

_∫

∫

= 2 " 0 2 2  ) ( sin 2 377 ! 0 2 2 t t z T T x E T

_











₋

−

ω β ω Srata&rata =













75 0 2 x E 97m8

*ika la'u energi diartikan daya (poer", maka daya yang keluar dari suatu permukaan tertutup S :

P =

∫

S !ds_9att

2idalam bentuk bilangan kompleks, vektor poynting kompleks adala% setenga% dari produk E kompleks dan H kompleks

S = 2 1

E x H

Vektor poynting kompleks %anya bisa ter'adi di medium konduktor karena medium konduktor ini memiliki impedansi intrinsik kompleks sebagai akibat dari konduktivitas listriknya yang $ukup besar Hal yang perlu diper%atikan 'uga sudut fase antara medan E dan H berbeda

-onto% Soal 14;

.elombang bidang dengan frekuensi f = 1 .%5 merambat diudara bebas dan 'atu% apada permukaan datar tembaga se$ara normal *ika diketa%ui konduktivitas tembaga

σ

= !, x 16<

+%o7m, permeabilitas

µ

6 = 14,!< x 16&< H7m dan permitivitas 12 0 #,#5 10 −

×

=

ε ε 7m /entukan :

a impedansi intrinsik tembaga, b kedalaman kulit

(3)

$ konstanta atenuasi d konstanta fase

e 'ika amplitudo intensitas medan E yang 'atu% dipermukaan tembaga E6x= m

V

2

, berapa amplitudo intensitas medan H yang 'atu% dipermukaan tembaga, dan f daya rata&rata yang diserap per meter persegi tembaga

Solusi

a 0mpedansi 0ntrinsik

7 7 $ 2 " 1 10 # , 5 10 57 , 12 10 2# , % − −

×

=













+

σ ωµ ωε σ ωµ j j (6,<6< > 6,<6<' " ?%m = (,8 > ,8'" m ?%m

b edalaman kulit pada f = 16; H5: m f

µ

σ

µ

π

δ

2,0$ ) ( 1 2 " 1 0

=

$ onstanta atenuasi α

=

(π f µσ )1"2= 4<,4@ x 164 rad7m

d onstanta fase adala% konstanta atenuasi = 4<,4@ x 164_rad7m

e #mplitudo medan H = E A m

ud x _" 377 2 0

=

η

f 2aya rata&rata yang diserap tembaga

= 2

2 1

H (riil impedansi intrinsik" =

2 377 2 2 1













(,8 x 16&A " = 11@ n9

(4)

PERSAMAAN-PERSAMAAN MA'(ELL

Persamaan&persamaan +axell untuk medan listrik adala% persamaan& persamaan yang sesuai dengan %ukum .auss, %ukum #mpere, teorema divergensi .auss, dan %ukum ir$%off 3ntuk medan yang beruba%&uba% dengan aktu medium dielektrik, udara atau ruang vektor dapat diperole% persamaan Helm%olt5, yaitu persamaan gelombang medan listrik dan persamaan gelombang medan listrik

Solusi persamaan gelombang medan listrik dari gelombang medan magnetik ini yaitu kuat medan listrik yang periodik fungsi aktu dan 'arak dan kuat medan magnetik yangg 'uga periodik ungsi aktu dan 'arak dari suatu gelombang bidang 2ari suatu persamaan gelombang medan E dan medan H ini, yang umumnya untuk gelombang terpolarisasi linier dapat diperole% %arga vektor poynting gelombang dan kerapatan energi gelombang

2ari %arga medan E dan medan H dapat diperole% impedansi intrinsik gelombang 2ari persamaan gelombang dapat diperole% 'uga ke$epatan merambat atau ke$epatan fase gelombang

14$1 Me)n Li*trik Sttik )n Me)n Mgnetik Sttioner

3ntuk +edan Bistrik statik dan magnetik stationer (tunak", persamaan&persamaan +axell bentuk diferensial adala% :

∇

_{ 2} ₌

ρ

_v

∇

_{x E} _{= 6}

∇

_{x H} _{= *}

∇

_{ C= 6}

Centuk 0ntegral dari persamaan +axell diatas adala%

(5)

∫

D dS

=

_vdv

=

Q S ρ ! 0 ! =

∫

E dl 1 ! ! =

∫

=

∫

H dl J dS 0 ! =

∫

BdS S

Persamaan (14!" adala% %ukum .auss untuk medan listrik statik dan persamaan (14" adala% %ukum .auss untuk medan magnetik tunak Hukum .auss untuk medan listrik

statik : Q DdS

S

!

∫

=

_{pada persamaan (14!" mengikuti teorema divergensi men'adi}

DdV dS D Q S ! !

∫

=

∇

=

Sedangkan dari definisi tentang di muatan total D disuatu ruang dengan kerapatan

muatan ruang

ρ

v adala%

dV Q =

∫

ρ v

2ari persamaan (14;" dan persamaan (1416" diperole% persamaan +axell bentuk diferensial, persamaan (141" +enurut %ukum tegangan ir$%%off 'umla% tegangan pada suatu rangkaian tertutup adala% nol, maka

0

! =

∑

=

∫

E dl V

Sesuai dengan teorema Stokes, dimana

∫

E

!

dl = ∇× E

!

dS

2ari persamaan (1411" dan persamaan (1418" diperole% persamaan +axell bentuk diferensial, persamaan (1488" Persamaan (14A" adala% %ukum #mpere bentuk

(6)

diferensial dan persamaan (14<" adala% %ukum #mpere bentuk 0ntegral Persamaan +axell bentuk diferensial yang ke&4 yaitu

∇

C = 6 diperole% dari %ukmum .auss untuk medan magnetik tunak, yaitu

∫

B!dS = 0dan menurut teorema divergensi

∫

B!dS = ∇!BdV

se%ingga diperole%

∫

∇

!

BdV = 6 atau

∇

 C = 6 sesuai dengan persamaan (144" 'adi dapat disimpulkan ba%a keempat persamaan +axell untuk medan listrik dan medan magnetik tunak dapat diturunkan dari %ukum .auss, %ukum tegangan ir$%%off, dan %ukum #mpere

1Per*+n-"er*+n M,e.. !nt!k Me)n Li*trik )n Me)n Mgnetik yng Ber!/0-U/0 )engn (kt!

Persamaan&persamaan +axell bentuk diferensial untuk medan listrik dan medan magnetik yang beruba%&uba% dengan aktu adala%

∇

_{x E} ₌ t B

∂

−

∇

_{x H} _{= *} t B

∂

+

∇

_{ 2} ₌

ρ

_v

∇

_{ C= 6}

Centuk integral dari keempat persamaan +axell diatas untuk medan listrik dan medan magnetik yang beruba%&uba% dengan aktu adala%

∫

=

−

∂

_∂

dS t B dL E ! ! dS t D dl H S

⋅

∂

+

=

_∫

∫

! 1 dV dS D _v Volume V ρ

∫

= = ! 0 ! =

∫

BdS S

(7)

2iruang Hampa atau diudara bebas, dimana terdapat perambatan gelombang datar atau gelombang bidang, persamaan +axell bentuk diferensialnya tanpa arus konduksi *, tanpa muatan bebas ( ρ v= 6 " dengan permeabilitas

µ

=

µ

6

∇

_{x E} ₌ t H t B

∂

−

=

∂

−

µ 0

∇

_{x H} ₌ t E t D

∂

=

∂

0 ε

∇

_{ 2} ₌ ε 0

∇

⋅

E

=

0

∇

_{ C=} µ 0

∇

⋅

H

=

0

Sisi kiri dari persamaan (1481" menyatakan medan listrik yang diturunkan ter%adap 'arak mempunyai produk yang tegak lurus ter%adap medan magnetik yang turunkan

ter%adap aktu Sebaliknya pada persamaan (1488", medan magnetik yang diturunkan ter%adap 'arak mempunyai produk yang tegak lurus ter%adap medan listrik yang diturunkan ter%adap aktu

#nalisis tiga dimensi dalam sistem koordinat kartesian adala% :













∂

−

∂

=

⋅

∇

z E y E E z y ax >













∂

−

∂

x E z E _x _z ay >













∂

−

∂

y E x E _y _x a5 = t H _x

∂

−

µ 0 ax t H _y

∂

−

µ 0 ay t H _z

∂

−

µ 0 a5

3ntuk gelombang datar terpolarisasi linier atau terpolarisasi bidang dengan ara% polarisasi sumbu 5 (medan listrik E selalu bergerak keara% sumbu 5 " dan ara% perambatan gelombang datar ditentukan seara% dengan sumbu y positif, maka untuk penerapan satu dimensi dari persamaan (148!" adala%

t H y E _z _x

∂

−

=

∂

0 µ

(8)

3ntuk medan E dan medan H yang beruba%&uba% se$ara sinusoida ter%adap aktu, persamaan (148@" men'adi x z _j _H y E 0 ωµ

−

=

∂

#tau

∇

×

E =

−

jωµ 0 H x

Persamaan (148" 'ika di rotasi men'adi

x z z z E E j H E

=

∇

−

∇

=

∇

×

∇

×

∇

0 2 ) ! ( ωµ

/etapi dari persamaan (148A"

∇

×

E5 = 6 dari persamaan (1488" diperole%

×

∇

Hx = z t z E j E 0 0 ωε ε

=

∂

+aka persamaan (148;" men'adi

∇

8 E5 = 0 0 E z 2 ε µ ω

−

d #tau 2 2 x E _z

∂

> ₂ 2 y E _z

∂

> 2 2 z E _z

∂

= 0 0 E z 2 ε µ ω

−

3ntuk gelombang terpolarisasi linier ara% 5, persamaan (14A1" yang dikenal sebagai persamaan Helm%olt5 men'adi

2 2 dy E d z = 0 0 E z 2 ε µ ω

−

Solusi persamaan (14A8" dengan memasukkan faktor e 't_{dan gelombang bergerak di}

sepan'ang sumbu y positif E5 = E65 $os











 −

c y t ω 2imana : $ = 1"2 0 0 ) ( 1 ε µ

= ke$epatan perambatan gelombang di ruang vakum atau di udara bebas

-onto% soal 141

(9)

Suatu medium yang serba sama dengan permitivitas listrik

ε

= 6,8 n7m dan permeabilitas magnetik

µ

= 14,! x 16&@ _{H7m onduktivitas}

σ

_{= 6, memiliki vektor} intensitas medan listrik E = 66 $os (16;

t&k5"ax V7m .unakan persamaan +axell untuk mendapatkan (a" C, (b" H, ($" 2, (d" k

Solusi a

_













∂

−

∂

=

⋅

∇

z E y E E z y ax >













∂

−

∂

x E z E _x _z ay >













∂

−

∂

y E x E _y _x a5 3ntuk satu dimensi :

∇

_{x E =} #00k sin

dz dE _x

=

(16;

t  k5"ay 2ari persamaan kita perole%

s rad T 10 " 2

₌

$

=

π ω 2an k = λ π 2 = c ω #tau k = ω ( µε )1"2 = 16; (14,! x 16&@ x 6,8 x16&; "178 = !6 m&1 b C =

∫

(

∇

×

E )dt

=

∫

_{(66"(!6" sin (16};

t  !65" dt ay / = &4 x 16&! $os (16;t&!65"ay/ $ H =

µ

B

= &A,8 $os (16;

t &!65"ax V7m, 2 =

ε

E -7m8 = 1@6 $os (16; t &!65" n-7m8 d konstanta fase k = c ω λ π

=

2 = !6 m&1 -onto% Soal 148

0ntensitas medan magnetik diudara suatu gelombang datar adala% !6 #7m didalam ara% ax (sumbu x positif" .elombang merambat disepan'ang sumbu 5 positif dengan frekuensi sudut ω = 8 x 16;_{rad7s /entukan :}

a berapa meter pan'ang gelombang b periode /

$ frekuensi f

d amplitudo intensitas medan listrik Solusi

(10)

a

T π

ω

=

2 = 8 x 16;

rad7s, / = A,14 x 16&;

s = A,1 nS Pan'ang gelombang λ = /- = A,14 x 16&;

(A x16 " m = 6,;48 m b Periode / = ω π 2

= A,14 x 16&;_{s = A,14 nS}

$ rekuensi f =

T

1

= A1,4< x 16@

H5 = A1,4< +%5

d 0mpedansi intrinsi$ udara :

2 " 1 0 0













ε µ = A<< ?%m H E = A<< ?%m, *adi E = A<< H = 1!6 V7+

-onto% Soal 14A

*ika diketa%ui vektor intensitas medan listrik E = 1500e− j0 z ay > (866&@66'"a5 x e&'6,4x

berada di udara bebas /entukan : (a" frekuensi sudut ω dan (b" E di titik (8,A,1" m pada t = 6

Solusi

a β

=

k _{= konstanta fase =} 2

=

0,,

=

0, c ω λ π 'adi ω =6,4 (A x 16 " = 146 + rad7s b E =

{

1500e− j0z ay > (866&@66'"a5 '146x16 % t > 6,4x

Erill =

{

1500cos0 ay > 866 a5" $os (146 x 16@t > 6,4x" 3ntuk t = 6  x = 8

+aka

{

(1500cos0 )2

+

2002

}

1"2 cos(0,# )

=

1230cos5,%

=

$27,73

=

 

rad

E _Rill V

Ey = E $os β  E5 = E $os

γ



3ntuk titik (8,A,1" : -os 1"2 ) 1 ( 3

=

β _{dan $os} ₁_"₂ ) 1 ( 1

=

γ _{ *adi E = E}_y_a_y_{> E}₅_a₅_{= <44,1@ a}_y_{> 84,6@ a}₅_V7m