Modul 2 Elektromagnetika Telekomunikasi Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

(1)

Modul 2

EE 2053 Elektromagnetika Telekomunikasi

Medan Berubah Terhadap

Waktu dan Persamaan Maxwell

Oleh :

Nachwan Mufti Adriansyah, ST

(2)

Organisasi

Modul 2

Medan Berubah Terhadap Waktu dan

Persamaan Maxwell

• A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral page 3 • B. Persamaan I : Hukum Faraday page 7 • C. Persamaan II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell page 12 • D. Persamaan III : Hukum Gauss Untuk Medan Listrik page 20 • E. Persamaan IV : Hukum Gauss Untuk Medan Magnet page 22

• F. Retarded Potentials page 23

(3)

Hukum Faraday









B



d

S

dt

d

L

d

E



Hukum Ampere dan Arus

Pergeseran Maxwell















D



d

S

dt

d

L

d

H



J

d

S



Hukum Gauss

_dV

_Q

V











D



d

S



Hukum Gauss



_B



_

_d

_S



_

₀

• Konsep yang mendasari semua fenomena dalam elektromagnetika • Persamaan bentuk integral di bawah menjelaskan arti fisis dari

perilaku listrik dan magnit

Bacalah dan pahami rumus-rumus di atas, ulangi mempelajari tool matematika yang diperlukan (diferensial integral), vektor, dsb !!

A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral

Review : Pendahuluan ...

(4)

Persamaan Maxwell Bentuk Integral

Review : Persamaan-Persamaan Penghubung...

E

D









H

B









dimana, 0 r







= permitivitas bahan / medium

r



= permitivitas relatif bahan





9 10 36 1 12 10 . 854 , 8 0   







meter Farad dimana, 0 r







= permeabilitas bahan / medium

r



= permeabilitas relatif bahan



Henry _meter



7 10 . 4 0  





!!

(5)

Review : Parameter dan Satuan….

Simbol Keterangan Satuan

E Medan listrik _      meter Volt H Medan magnet _      meter Ampere

B Rapat fluks magnetik

      persegi meter Weber

D Rapat fluks listrik

      persegi meter Coulomb V

 Rapat muatan volume _

     kubik meter Coulomb

Q Muatan listrik Coulomb

J  Rapat arus       persegi meter Ampere

Persamaan Maxwell Bentuk Integral

(6)

Persamaan Maxwell Bentuk Integral

Medan Statis vs Medan Dinamis...









B



d

S

dt

d

L

d

E





E



d

L



0 













D



d

S

dt

d

L

d

H



J

d

S











J



d

S



L

d

H

Q

dV

V











D



d

S





D





d

S









_V

dV



Q

0 





B



d

S





B





d

S





0

Medan Dinamis Medan Statis

Medan berubah terhadap waktu Medan tidak berubah terhadap waktu

!!

(7)









B



d

S

dt

d

L

d

E



dS

dt

B

d



E



E



E



E



dL

Jika ada rapat fluks magnet (B) yang berubah terhadap waktu dan menembus suatu bidang yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan menghasilkan medan listrik (E) yang arahnya sesuai dengan arah lintasan tertutup tersebut (

mengelilingi bidang dS ).

Arah rapat fluks magnetik (B) dan arah medan listrik (E), sesuai

dengan aturan tangan kanan.

Dari persamaan tersebut juga dapat menjelaskan bahwa,

Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan medan listrik.

Definisi

(8)

Persamaan I Hukum Faraday

Mari kita ulangi,

Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan medan listrik.

Atau,

Fluks magnetik yang berubah terhadap waktu akan menyebabkan medan listrik

• Didefinisikan,

Electromotance Force (emf) / Gaya Gerak Listrik (ggl)

dt

d







electromotance force

dimana,

 = fluks magnetik

S

B











BS

cos

S

B









S adalah luas bidang yang ditembus oleh medan magnetik

(9)

BS

cos

S

B









Persamaan I Hukum Faraday

Lihat persamaan berikut...

Dari persamaan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa fluks magnetik yang berubah terhadap waktu bisa disebabkan oleh :

• Medan yang berubah terhadap waktu

• Luas bidang (yang ditembus medan magnet) berubah

terhadap waktu  Jarang !!

• Sudut berubah terhadap waktu

 Paling banyak dilakukan

karena tinggal memutar loop saja

Lihat gambar berikut...

R

emf / ggl I / E arah 

B



(10)

Persamaan I Hukum Faraday

dt

d







electromotance force









B

d

S



Persamaan Faraday !! dimana, Sehingga,











B

d

S

dt

d

L

d

E

emf



dan

emf





E



d

L



• Tanda minus (-) pada persamaan Faraday berarti : “ emf yang dihasilkan sedemikian hingga jika arus dihasilkan olehnya, maka fluks yang disebabkan arus ini akan cenderung melawan perubahan fluks asal “

• emf juga berbanding lurus terhadap jumlah lilitan N, sehingga dapat dinyatakan :

dt

d

N

emf







!!

(11)

Persamaan I Hukum Faraday

Penurunan Bentuk Diferensial (Bentuk Titik) ...

• Ingat Teorema Stokes !!

, yang menjelaskan perubahan bentuk integrasi..



















L S

S

d

H

L

d

H











 







L S

S

d

E

L

d

E



• Maka,









B



d

S

dt

d

L

d

E



 

_













B



d

S

dt

d



S

d

E

 

_

















d

S

t

B



S

d

E

t

B

E













Bentuk titik persamaan

!!

(12)

C. Persamaan II Hukum Ampere &

Arus Pergeseran Maxwell











D



d

S

dt

d

L

d

H



J

d

S





_H





_d

_L









_J



_d

_S





_I

Hukum Ampere (th 1820 ..) Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell (th 1864..)

dS

dt

D

d

J





H



dL

H



H



H



Jika ada rapat arus J dan rapat fluks listrik D yang berubah terhadap waktu yang menembus suatu bidang dS yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan dihasilkan medan magnet (H) yang

arahnya sesuai dengan lintasan

teertutup tersebut ( mengelilingi bidang dS ).

Sama dengan Hukum Faraday, arah medan magnet (H) , rapat arus (J) dan rapat fluks listrik (D) , adalah sesuai dengan aturan tangan kanan. _Continued...

(13)

Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

Maxwell menemukan fenomena arus pergeseran tanpa melakukan eksperimen, tetapi dengan melakukan analisis matematis bentuk diferensial / bentuk titik Hukum

Ampere.

Bagaimana analisis matematis yang telah dilakukan Maxwell ?

I

S

d

J









H



d

L



• Bentuk integral hukum Ampere



















L S

S

d

H

L

d

H



Teorema Stokes

J

H









Bentuk diferensial Hukum Ampere

Masing-masing ruas persamaan

(14)

• Persamaan di atas tidak berlaku untuk medan dinamis, karena pada medan dinamis berlaku

Hukum Kontinuitas

dimana,

 



H



J

















Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

Lihat identitas vektor ! … divergensi dari suatu pusaran/curl pasti adalah NOL

0 J









t

J

v

















tidak berlaku untuk

J

H









Artinya,

0 t

v









(15)

• Maxwell memberikan suku tambahan bada bentuk titik dari Hukum Ampere,

Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

kemudian...

G

J

H











 



H



 

J



G



















Masing-masing ruas persamaan didivergensikan ...

 



H



J



G























Lihat identitas vektor ! … divergensi dari

suatu pusaran/curl pasti adalah NOL

= 0



(16)

Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

J

G















t

J

v

















Hukum Kontinuitas,

t

G

v v





































Ingat pengertian kita dahulu, bahwa…

Divergensi dari rapat fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup adalah sama dengan rapat muatan yang dilingkupi permukaan tertutup tersebut

v

D











 

t

D

t

D

G

























t

D

G







Suku telah ditemukan !!

G



(17)

G

J

H











Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

• Kembali pada pemisalan sebelumnya, ,

t

D

G







Dimana,

t

D

J

H













Bentuk diferensial / bentuk titik dari Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere

dan Arus Pergeseran Maxwell

 

d

S

t

D

S

d

J

S

d

H





















Integrasi terhadap luas

(18)

 

d

S

t

D

S

d

J

S

d

H

S S S





















Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

Jika kita terapkan Teorema Stokes…



















L S

S

d

H

L

d

H



S

d

t

D

S

d

J

L

d

H

S S

















!!

Bentuk integral Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere dan

(19)

Persamaan II Hukum Ampere & Arus

Pergeseran Maxwell

t

D

J

H













Jenis-Jenis Rapat Arus...

• Lihat kembali persamaan Maxwell II bentuk titik berikut...

Rapat arus pergeseran /

displacement current

Terdiri atas 2 macam rapat arus,

1. Rapat arus konduksi

2. Rapat arus konveksi

E

J







Merupakan gerakan

muatan (elektron bebas)

 = konduktivitas

v

J





Merupakan gerakan rapat muatan

I

_k

I

_d



(20)

D. Persamaan III Hukum Gauss

Untuk Medan Listrik

Q

dV

V











D



d

S



D D D D D D D D D D D D D D D S d dS 

Q

Jumlah total rapat fluks yang meninggalkan

suatu permukaan

tertutup sama dengan total muatan yang

dilingkupi oleh

permukaan tertutup itu sendiri

Persamaan diatas juga

menjelaskan fenomena bahwa suatu muatan listrik ( Q ) akan menjadi sumber timbulnya

(21)

Persamaan III Hukum Gauss

v

D



































S v V v

Q

dV

dv

D

S

d

D



Q

dV

V











D



d

S



Teorema Divergensi

(22)

E. Persamaan IV Hukum Gauss

Untuk Medan Magnet

Persamaan IV Hukum Gauss Untuk Medan Magnet

0 





B



d

S



• Persamaan keempat Maxwell di atas menjelaskan bahwa

tidak ada yang dinamakan muatan magnetik sebagai

sumber medan magnetik. Adapun muatan listrik hanyalah akan menghasilkan medan listrik.

• Medan magnetik hanya dihasilkan oleh medan listrik yang berubah terhadap waktu atau dihasilkan oleh muatan listrik yang berubah terhadap waktu seperti yang dijelaskan dari Hukum Ampere.

Dengan teorema divergensi, didapat bentuk titik Hukum Gauss untuk

medan magnet sbb :





B



0 



(23)

F. Retarded Potential

Potensial sebagai fungsi waktu atau berubah terhadap waktu disebut sebagai

Potensial Terlambat. Pokok bahasan ini sering digunakan dalam analisis masalah radiasi antena.

Pada analisis radiasi, potensial dievaluasi didaerah yang terpengaruh sumber, baik dekat maupun jauh dari sumber tersebut. Semakin jauh dari sumber, maka potensial semakin dirasakan terlambat terhadap potensial di sumber., karena memerlukan waktu untuk sampai di titik pengamatan.

Sekarang mari kita amati untuk

Keadaan statis / steady :





_



V V

R

4 dV

V





_



V

4 R

dV

J

A



Potensial Listrik Skalar Potensial Magnetik Vektor











2 V

V



J

A

2











Dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial Poisson, sbb

(24)

Retarded Potential

Untuk kondisi medan statis di atas, jika potensial listrik skalar (V) dan potensial magnetik

vektor (A) dapat dihitung, maka kita bisa menghitung pula medan listrik dan magnet dari hubungan :

V

E











B

A









dan

(1)

(2)

Untuk Medan Dinamis...

Kita perhatikan lagi persamaan di atas, Pers. (2)

A

B















B

















A







0

Hasil divergensi kedua ruas menunjukkan

persamaan di atas memenuhi persamaan Maxwell, shg pers. (2) dapat dipakai untuk medan statis

maupun dinamis

Pers. (1)

V

E

















E









 





V



0

Padahal, menurut pers. Maxwell I, untuk medan berubah terhadap waktu,

_



_

_E



_

₀

(25)

Retarded Potential

Misalkan

ditambahkan suku vektor koreksi (N) :

N

V

E















Dengan mengambil cross product untuk kedua ruas, didapatkan



V

 

N



E

0































Dengan mengingat Hk. Faraday ( Hk. Maxwell I)

t

B

N

E



















Karena dinyatakan bahwa,

A

B













Maka,





t

A

t

N



























Jadi, dapat dinyatakan bahwa :

t

A

N









Jika kita kembalikan lagi pada pemisalan pertama di atas, didapatkan :

t

A

V

E













(26)

Retarded Potential

Medan statis

Medan dinamis













2

_V

V

J

A

2











V

E











A

B













0 A









2 2 V 2

t

V



















2 2 2

t

A

J

A

















t

A

V

E













A

B













t

V

A















Persamaan-persamaan untuk menghitung E dan H melalui penghitungan potensial dapat

disubstitusikan kembali pada persamaan Maxwell, menghasilkan persamaan-persamaan potensial yang umum untuk medan