PENDUGAAN PARAMETER

PENDUGAAN

PARAMETER

Pendugaan

 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga/ menaksir

hubungan parameter populasi yg tidak diketahui

 Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu parameter

 Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) dari data sampel yang diketahui

Ciri-ciri Penduga Yg Baik

1. Tidak Bias (Unbiased) : apabila nilai penduga sama dengan nilai yg diduganya

2. Efisien : apabila penduga memiliki varians yg kecil

3. Konsisten :

a. Jk ukuran sampel semakin bertambah mk penduga akan mendekati parameternya

b. Jk ukuran sampel bertambah tak berhingga mk distribusi sampling penduga akan mengecil mjd tegak lurus di atas parameter yg

sebenarnya dgn probabilitas sama dgn satu

Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya

1. Pendugaan tunggal

Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai penduga dengan nilai sebenarnya (parameter)

2. Pendugaan interval

Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/ daerah pembatasan

Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai sebenarnya/ parameternya akan berada.

Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan Selang kepercayaan : (1-α) x 100%

2 2 ˆ

( ) ; ( ) ; ( )

E µ = x E σ = S E p = p

Jenis-jenis pendugaan berdasarkan parameternya



Pendugaan rata-rata



Pendugaan proporsi



Pendugaan varians

Pendugaan interval untuk rata-rata

1. Untuk sampel besar (n > 30)

a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg pengambilan sampelnya dgn pengembalian dan σ diketahui

Z n n X

Z

X σ µ σ

α

α _/2. < < + _{/ 2}.

−

Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakai distribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata- rata ditentukan.

 Didapat dua batas kepercayaan

1 / 2 2 / 2

ˆ x z dan ˆ x z

n n

α α

σ σ

θ = − θ = +

z z_α/2 -z_α/2 0

α/2 α/2 1‒α/

2

 Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2.6. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0.3.

 Solusi:

Diketahui x-bar = 2.6; σ = 0.3; z_0.025 = 1.96; z_0.005 = 2.575

• Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I:

• Interpretasi: Dapat dipercaya sebesar 95% bahwa rata- rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.50 hingga 2.70

( ) ^0.3 ( ) ^0.3

2.6 1.96 2.6 1.96

36 36

2.50 2.70

µ µ

   

−   < < +  

   

< <

 Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I:

 Interpretasi: Dengan tingkat kesalahan 1%, dapat dinyatakan bahwa rata-rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.47 hingga 2.73.

--00--

 Perhatikan:

( ) ^0.3 ( ) ^0.3

2.6 2.575 2.6 2.575

36 36

2.47 2.73

µ µ

   

−  < < +  

   

< <

x z / 2 α n

− σ x z _{/ 2}

α n + σ

x µ

galat

b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian dan σ

diketahui atau n/N > 5%

. 1 1 .

.

.

_/2

2

/

−

+ −

<

− <

− −

N

n N

Z n N X

n N

Z n

X σ µ σ

α α

2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

n t s

n X t s

X − _{α / 2} . < µ < + _{α / 2} .

) 1 (

) (

1

2 2

− −

=

∑

−

∑

n n

X n

s X

SOAL

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang diperlukan oleh sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksi satu jenis kain. Diambil

secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jika diasumsikan

standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasi interval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95% ?

JAWABAN

X (Rata-rata) = 15 menit n = 36

Simpangan Baku = 3

Nilai standar Deviasi = = 3 : √36 = 0.5 Tingkat Kepercayaan 95%, dari tabel distribusi normal diperoleh Ztabel = 1.96

14.02 < µ < 15.98

n

σ

Contoh

2. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn

tingkat keyakinan 99%

Pendugaan Interval Untuk Proporsi

1. Untuk sampel besar (n > 30)

a. Untuk populasi tidak terbatas

b. Untuk populasi terbatas dan

pengambilan sampel tanpa pengembalian

n p Z p

p n P

p Z p

p − _{α / 2}. (1− ) < < + _{α / 2}. (1− )

1 )

. 1(

1 )

. 1( _/2

2

/ −

− + −

<

− <

−

− −

N n N n

p Z p

p N P

n N n

p Z p

p _{α α}

Konsep Dasar Estimasi Interval Mean Populasi

1. Distribusi Sampling

2. Pertimbangan Lebar Interval

3. Tingkat Kepercayaan^x

x x x z

z

x − σ < µ < + σ

Tingkat

Kepercayaan Skor Z Bentuk umum estimate interval

90 % 1,645

95 % 1,960

99 % 2,575

x x

x x

x− ,1645σ < µ < + ,1645σ

x x

x x

x− ,1960σ < µ < + ,1960σ

x x

x x

x−2,575σ < µ < +2,575σ

: error standar dari mean

σ x

μx : Mean populasi

Z : nilai skor z yg ditentukan dg probabilitas estimate interval

Contoh

Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase barang rusak.

Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah

persentase barang yang rusak.

Digunakan interval keyakinan 99 persen

n = 60 X = 9

p = 9:60 = 0.15 1- α = 99%

α = 1% = 0.01

Zα/2 = Z^{0.005 =} 2.575

2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

n p t p

p n P

p t p

p _/2. (1 ) _/2. (1− ) +

<

− <

− _{α α}

Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8

diantaranya apel kualitas rusak. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang

rusak ?

Contoh kasus

1. Sebuah perusahaan memproduksi baut, menggunakan mesin otomatis dengan

diameter menyebar mengikuti distribusi normal yang standar deviasinya

(populasi) 0,02 milimeter. Diambil sampel acak empat buah baut untuk

suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternya sebesar 24,98mm. Buatlah selang kepercayaan dengan tingkat

kepercayaan 98 persen bagi rata-rata baut.

2. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn

tingkat keyakinan 99%

3. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMAT selama

beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukai makanan tradisional.

Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan

tradisional utk makan siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn

menggunakan interval keyakinan 98%

Pendugaan interval beda dua rata-rata

Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata- rata μ₁ dan μ_2, varians σ₁² dan σ₂², maka estimasi dari selisih μ₁ dan μ₂ adalah

1 2. x x−

Sehingga,

(

_{1 2}

) (

_{1 2}

)

2 2

1 2

1 2

Z x x

n n

µ µ

σ σ

− − −

=     + 

Pendugaan interval beda dua rata-rata

1. Utk sampel besar dan

σ

^{1 dan}

σ

²

diketahui

2 1 2

1

( ) ( ) .

. )

( X

₁

− X

₂

− Z

_{α 2/}

σ

_{X −X}

< µ

₁

− µ

₂

< X

₁

− X

₂

+ Z

_{α 2/}

σ

_{X −X}

2 22

1 12

2

1 ^x n n

x

σ σ ₋ = σ +

Contoh Soal

Diketahui nilai ujian kimia yang

diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswa putra mempunyai rata-rata

secara berurutan adalah 76 dan 86.

Cari selang kepercayaan 96% untuk selisih μ₁‒μ2. ! Anggap standar deviasi populasi untuk masing-masing putra dan putri adalah 8 dan 6.

 Misal:

x-bar1 = 86 adl rata-rata nilai siswa putra, n₁ = 75 dan σ₁ = 8.

x-bar2 = 76 adl rata-rata nilai siswa putri, n₂ = 50 dan σ₂ = 6.

α = 0.04 → z_0.02 = 2.05

Selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 2

2 2

1 2

8 6

86 76 2.05

75 50

8 6

86 76 2.05

75 50

3.43 8.57

µ µ

µ µ

   

− −   +  < − <

   

   

− +   + 

   

< − <

 Interpretasi:

1. Dapat dipercaya 96% bahwa selisih rata- rata nilai ujian kimia semua siswa putra dengan siswa putri berkisar antara 3.43 hingga 8.57.

2. Dengan tingkat signifikansi 4%, rata-rata nilai ujian kimia semua siswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimia semua siswa putri.

3. Dll.

2.

Utk sampel kecil dan tidak

diketahui; Selang kepercayaan (1-α)100%

untuk μ₁‒μ2 ; dimana σ₁² = σ₂^{2 ,} σ₁² dan σ₂² tidak diketahui:

22

12 σ

σ _dan

2 1 2

1

( ) ( ) .

. )

( X

₁

− X

₂

− t

_{α /2}

s

_{X −X}

< µ

₁

− µ

₂

< X

₁

− X

₂

+ t

_{α /2}

s

_{X −X}



 

 + 



 





− +

− +

= −

− 1 2 1 2

22 2 2

1

1 1 1

2 ) 1 (

) 1 (

2

1 n n n n

s n

s s_{X X} n

1 1 1 1

1

1 2 1

12

12 ( 1)

) (

1 n

X X n dan

n

X n

S

∑

X

∑

₌

∑

− −

= −

2 2 2

2 2

2 2 2

22

22 ( 1)

) (

1 n

X X n dan

n

X n

S ∑ X ∑ ₌ ∑

− −

= −

Contoh

Suatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk yang dihasilkan oleh suatu

perusahaan mempunyai berat rata-rata 3.11 gr dengan standar deviasi 0.771 gr. Sedangkan sampel yang lain dari jenis produk yang

dihasilkan perusahaan lainnya berjumlah 15 buah dengan berat rata-rata 2.04 grdan standar

deviasi 0.448. Distribusi berat produk

diasumsikan berdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut dengan tingkat kepercayaan 90 persen.

 Misal:

 x-bar1 = 3.11 adl rata-rata 1, n₁ = 12, S₁ = 0.771.

 x-bar2 = 2.04 adl rata-rata 2, n₂ = 10, S₂ = 0.448.

 Diasumsikan varians sama, maka

 α = 0.1 → t^0.05_db=12+10-2 = t^0.05_db=20 = 1.725

 Jadi, selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata antara dua produk adalah

(12 1 0.771)( ) (² 10 1 0.448)( )²

0.646 12 10 2

Sp − + −

= =

+ −

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 2

1 2

1 1

3.11 2.04 1.725 0.646

12 10

1 1

3.11 2.04 1.725 0.646

12 10

0.593 1.547

µ µ

µ µ

 

− −  +  < − <

 

− +  + 

< − <

 Selang kepercayaan (1-α)100%

untuk μ₁‒μ₂ ; dimana σ₁² ≠ σ₂^{2 ,} σ₁² dan σ₂² tidak diketahui:

 dengan,

(

1 2

)

^{/ 2 12 22} 1 2

(

1 2

)

^{/ 2 12 22}

1 2 1 2

db v S S db v S S

x x t x x t

n n n n

α ₌ µ µ α ₌

− − + < − < − + +

( ) ( )

2 2 2

1 2

1 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1 1 2 1

S S n n

v S S

n n

n n

 

 + 

 

=    

   

  +  

− −

Dalam sebuah penelitian kadar kimia-Ortofosfor, a5 sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12

sampel diukur dari stasion 2. ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi 3.07 mg/l,

sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa

pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda!

SOAL

 Misal:

 x-bar1 = 3.84 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 1, n₁ = 15, S₁ = 3.07.

 x-bar2 = 1.49 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 2, n₂ = 12, S₂ = 0.80.

 Diasumsikan varians berbeda, maka

 α = 0.05 → t^0.025_{db= v} = t^0.025_db=16 = 2.120

 Jadi, selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor di stasion1 dengan stasion2 adalah

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

3.07 0.80

15 12 16.3 16

3.07 0.80

15 12

15 1 12 1

v

 

 

 

   

   

   

+

= = ≈

− + −

( ) ( ) ^{2 2} _{1 2} ( ) ( ) ^{2 2}

1 2

3.07 0.80 3.07 0.80

3.84 1.49 2.120 3.84 1.49 2.120

15 12 15 12

0.60 4.10 µ µ

µ µ

− − + < − < − + +

< − <

Pendugaan interval beda dua proporsi

) (

2 / 2

1 2

1 )

( 2 / 2

1

) .

_{1 2}

( ) ( ) .

_{1 2}

( p − p − Z

_α

s

_{p −p}

< p − p < p − p + Z

_α

s

_{p −p}

2 2 2

1 1 2 1

1

) 1

( )

1 (

n p p

n p

S_{P P} p −

− +

− =

Contoh: Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang

direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan

perbaiikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat.

Dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat. Carilah selang

kepercayaan 90% untuk selisih

sesungguhnya proporsi yang baik dalam kedua cara tersebut!

Estimasi Varians Populasi

 Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilai parameter sehingga dapat dijadikan untuk

mengambil langkah-langkah dalam mengendalikannya.

 Misalnya: yang berkaitan dg suatu

tingkat kualitas produk, diinginkan agar bukan hanya rata-rata nilai

parameternya yg memenuhi suatu

persyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisa terjamin.

Estimasi Varians Populasi

Estimasi interval varians populasi beebentuk:

Dimana:

= nilai kritis yg tergantung tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan

α = 1 – tingkat kepercayaan (sering disebut chance of error)

v = derajat kebebasan (df) = n – 1

NB : untuk menghitung diperlukan tabel distribusi

2 /2, 1

2 2 2/2,

2

x v v

vs vs

α

α χ

χ

σ

−

<

<

χ2 2/ v2,

χα

χ 2

contoh

Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang untuk bekerja

mengisi gandum ke dalam kotak rata-

rata sebanyak 25 kg. Suatu pemeriksaan terhadap 15 kotak menunjukkan bahwa deviasi standard pengisian gandum itu adalah 0,0894 kg.

Estimasikan deviasi standard populasi dg tingkat kepercayaan 95% !

jawab

2.975,14 0

2 2.025,14

0

) 008 ,

0 ( 14 )

008 ,

0 ( 14

χ χ ^<

σ

^{x <}

χ2

63 , 5

) 008 ,

0 ( 14 1,

26

) 008 ,

0 (

14 <

σ

^2x <

0199 ,

0 0043

,

0 <

σ

^2x <

141 ,

0 066

,

0 <

σ

^x <

Contoh kasus

1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50 potong

tambang dr setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis A memiliki kekuatan rata- rata 87,2 kg dgn simpangan baku 6,3 kg, sedangkan jenis B memiliki kekuatan

rata-rata 78,3 kg dgn simpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan interval beda dua rata-rata dgn interval keyakinan

94%

2. Suatu sampel random sebanyak 300 org dewasa dan 400 remaja yg pernah

menyaksikan sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 org dewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd acara

tsb. Berapa beda proporsi dr seluruh org dewasa dan remaja yg menyukai acara

tsb bl digunakan tingkat keyakinan 90%

3. Data berikut berupa masa putar film yg diproduksi dua perusahaan film

Masa Putar (menit) Perusahaan I 103 94 110 87 98

Perusahaan II 97 82 123 92 175 88 118

Buatlah pendugaan interval bagi beda dua rata-rata masa putar film-film yg

diproduksi oleh dua perusahaan tsb dgn menggunakan interval keyakinan 98%