SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL (SPtKDV) TOPIK DARI MODUL INI Konsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Daerah Himpunan Penyelesaia

(1)

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABELVARIABEL (SPtKDV)

(SPtKDV)

TOPIK DARI MODUL INI TOPIK DARI MODUL INI



 Konsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua VariabelKonsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel



 Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat DuaDaerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Variabel



 Model Matematika Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua VariabelModel Matematika Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel A.

A. Konsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Konsep Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua VariabelVariabel

Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari sistem persamaan Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari sistem persamaan kuadrat dua variabel. Apakah kalian masih ingat tentang materi tersebut?

kuadrat dua variabel. Apakah kalian masih ingat tentang materi tersebut?

Mari kita ulang sebentar materi tersebut dengan menyelesaikan masalah Mari kita ulang sebentar materi tersebut dengan menyelesaikan masalah berikut:

berikut:

Seorang polisi bertugas memonitor kecepatan kendaraan yang melalui suatu Seorang polisi bertugas memonitor kecepatan kendaraan yang melalui suatu jalan.

jalan. Tiba-tiba Tiba-tiba seorang seorang pengendapengendara ra sepeda sepeda motor motor melaju melaju dengan dengan kecepatankecepatan tetap melewati mobil patroli. Polisi yang bertugas, melihat ke arah alat tetap melewati mobil patroli. Polisi yang bertugas, melihat ke arah alat monitor kecepatan dan memperoleh informasi bahwa kecepatan motor monitor kecepatan dan memperoleh informasi bahwa kecepatan motor tersebut adalah 30 m/s. Polisi yang semula dalam keadaan diam kemudian tersebut adalah 30 m/s. Polisi yang semula dalam keadaan diam kemudian mengejar pengendara motor dengan percepatan tetap sebesar 5 m/s

mengejar pengendara motor dengan percepatan tetap sebesar 5 m/s²². Kapan. Kapan mobil polisi dapat

mobil polisi dapat menyalip motor tersebut?menyalip motor tersebut?

Penyelesaian : Penyelesaian :

Mobil patroli akan dapat menyalip motor apabila jarak yang ditempuh oleh Mobil patroli akan dapat menyalip motor apabila jarak yang ditempuh oleh kedua kendaraan sama. Dengan kata lain,

kedua kendaraan sama. Dengan kata lain,

Jadi, setela

Jadi, setelah 12 detik mobil h 12 detik mobil patroli baru dappatroli baru dapat menyalat menyalip motor.ip motor.

Jarak

Jarak yang yang diperlukan untuk diperlukan untuk menyalip motor menyalip motor dari dari posisi posisi semula adalah semula adalah 360360 meter.

meter.

Sekarang mari kita ingat kembali tentang bentuk umum persamaan kuadrat Sekarang mari kita ingat kembali tentang bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel yang pernah kalian pelajari. Masih ingatkah kalian tentang hal dua variabel yang pernah kalian pelajari. Masih ingatkah kalian tentang hal tersebut?

tersebut?

Persamaan kuadrat dua variabel mempunyai bentuk umum : Persamaan kuadrat dua variabel mempunyai bentuk umum :

(2)

Apabila kalian ingin mengetahui grafiknya, pelajarilah informasi berikut.

1)

1) Jika K = 0 Jika K = 0 dan A = B dan A = B ≠ 0, kurva berbe≠ 0, kurva berbentukntuk lingkaran lingkaran 2)

2) Jika K Jika K²² – – 4AB = 0, 4AB = 0, kurva berbentuk parabolakurva berbentuk parabola 3)

3) Jika K Jika K²² – – 4AB < 0, 4AB < 0, kurva berbentuk elipskurva berbentuk elips 4)

4) Jika K Jika K²² – – 4AB > 0, 4AB > 0, kurva berbentuk hiperbolakurva berbentuk hiperbola Selanjutnya, jika nilai K = 0, maka bentuk Ax

Selanjutnya, jika nilai K = 0, maka bentuk Ax²² + Kxy +By + Kxy +By ²² + Cx + Dy + E = 0 + Cx + Dy + E = 0 menjadi :

menjadi :

Mari kita cermati persamaan (2).

1)

1) Jika Jika A A = = 0 0 atau atau B B = = 0 0 tetapi tetapi tidak tidak bersamaabersamaan n sama sama dengan dengan nol, nol, kurvakurva berbentuk parabola

berbentuk parabola 2)

2) Jika A = B ≠ Jika A = B ≠ 0, kurva berbe0, kurva berbentukntuk lingkaran lingkaran 3)

3) Jika A ≠ B dan Jika A ≠ B dan bertanda bertanda sama, kurva sama, kurva berbentukberbentuk elips elips 4)

4) Jik Jika A ≠ B dan berlawanan tanda, kurva berbentuka A ≠ B dan berlawanan tanda, kurva berbentuk hiperbola hiperbola Berikut ini adalah contoh grafik persamaan kuadrat dua variabel.

Berikut ini adalah contoh grafik persamaan kuadrat dua variabel.

Ket Ket 1.

1. Gambar a adalah parabola dengan persamaan y = xGambar a adalah parabola dengan persamaan y = x²² – – 5x + 6 5x + 6 2.

2. Gambar b adalah lingkaran dengan persamaan xGambar b adalah lingkaran dengan persamaan x²² + y + y ²² = 9 = 9 3.

3. Gambar c adalah elips dengan persamaan 9xGambar c adalah elips dengan persamaan 9x²² + 16y + 16y ²² = 144 = 144 4.

4. Gambar d adalah hiperbola dengan persamaan 9xGambar d adalah hiperbola dengan persamaan 9x²² – – 16y 16y ²² = 144 = 144

(3)

Apabila kalian ingin mengetahui grafiknya, pelajarilah informasi berikut.

1)

1) Jika K = 0 Jika K = 0 dan A = B dan A = B ≠ 0, kurva berbe≠ 0, kurva berbentukntuk lingkaran lingkaran 2)

2) Jika K Jika K²² – – 4AB = 0, 4AB = 0, kurva berbentuk parabolakurva berbentuk parabola 3)

3) Jika K Jika K²² – – 4AB < 0, 4AB < 0, kurva berbentuk elipskurva berbentuk elips 4)

4) Jika K Jika K²² – – 4AB > 0, 4AB > 0, kurva berbentuk hiperbolakurva berbentuk hiperbola Selanjutnya, jika nilai K = 0, maka bentuk Ax

Selanjutnya, jika nilai K = 0, maka bentuk Ax²² + Kxy +By + Kxy +By ²² + Cx + Dy + E = 0 + Cx + Dy + E = 0 menjadi :

menjadi :

Mari kita cermati persamaan (2).

1)

1) Jika Jika A A = = 0 0 atau atau B B = = 0 0 tetapi tetapi tidak tidak bersamaabersamaan n sama sama dengan dengan nol, nol, kurvakurva berbentuk parabola

berbentuk parabola 2)

2) Jika A = B ≠ Jika A = B ≠ 0, kurva berbe0, kurva berbentukntuk lingkaran lingkaran 3)

3) Jika A ≠ B dan Jika A ≠ B dan bertanda bertanda sama, kurva sama, kurva berbentukberbentuk elips elips 4)

4) Jik Jika A ≠ B dan berlawanan tanda, kurva berbentuka A ≠ B dan berlawanan tanda, kurva berbentuk hiperbola hiperbola Berikut ini adalah contoh grafik persamaan kuadrat dua variabel.

Berikut ini adalah contoh grafik persamaan kuadrat dua variabel.

Ket Ket 1.

1. Gambar a adalah parabola dengan persamaan y = xGambar a adalah parabola dengan persamaan y = x²² – – 5x + 6 5x + 6 2.

2. Gambar b adalah lingkaran dengan persamaan xGambar b adalah lingkaran dengan persamaan x²² + y + y ²² = 9 = 9 3.

3. Gambar c adalah elips dengan persamaan 9xGambar c adalah elips dengan persamaan 9x²² + 16y + 16y ²² = 144 = 144 4.

4. Gambar d adalah hiperbola dengan persamaan 9xGambar d adalah hiperbola dengan persamaan 9x²² – – 16y 16y ²² = 144 = 144

(4)

Selanjutnya mari kita pelajari topik ini, yaitu tentang sistem Selanjutnya mari kita pelajari topik ini, yaitu tentang sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan kuadrat dua pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan kumpulan beberapa pertidaksamaan yang memuat paling variabel merupakan kumpulan beberapa pertidaksamaan yang memuat paling sedikit satu pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Penyelesaian dari sistem sedikit satu pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan perpotongan atau irisan pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan perpotongan atau irisan dari beberapa pertidaksamaan yang membentuk sistem tersebut. Adapun dari beberapa pertidaksamaan yang membentuk sistem tersebut. Adapun grafik daerah himpunan penyelesaian dibatasi oleh kurva yang membentuk grafik daerah himpunan penyelesaian dibatasi oleh kurva yang membentuk sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Selanjutnya pertidaksamaan sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Selanjutnya pertidaksamaan yang

yang memuat memuat < < atau atau > > , , kurva kurva pembatas pembatas digambar digambar dengan dengan menggunmenggunakanakan garis putus, sedangkan pertidaksamaan yang

garis putus, sedangkan pertidaksamaan yang memuat ≤ atau ≥ , kurvamemuat ≤ atau ≥ , kurva pembatas digambar menggunakan garis utuh. Untuk lebih jelasnya mari kita pembatas digambar menggunakan garis utuh. Untuk lebih jelasnya mari kita mencermati contoh di bawah ini.

mencermati contoh di bawah ini.

Contoh 1 : Contoh 1 :

Salah satu ukuran tentang berat badan Ideal adalah menggunakan BMI (

Salah satu ukuran tentang berat badan Ideal adalah menggunakan BMI ( BodyBody Man Index

Man Index ) dengan rumus sebagai berikut:) dengan rumus sebagai berikut:

BMI :

BMI :  () () (

(  (())))²² adapun table BMI sebagai berikut: adapun table BMI sebagai berikut:

Ida mempunyai tinggi badan 155 cm dan berat badan 60 kg. Teman-teman Ida mempunyai tinggi badan 155 cm dan berat badan 60 kg. Teman-teman Ida mengatakan bahwa Ida kegemukan. Apabila menggunakan BMI, apakah Ida mengatakan bahwa Ida kegemukan. Apabila menggunakan BMI, apakah pernyataan tersebut benar?

pernyataan tersebut benar?

155 cm = 1,55 m 155 cm = 1,55 m

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, nilai BMI Ida terletak pada kategori Berdasarkan hasil perhitungan di atas, nilai BMI Ida terletak pada kategori berat badan ideal 18,5 ≤24,97≤ 25. Dengan kata lain, pernyataan mengenai berat badan ideal 18,5 ≤24,97≤ 25. Dengan kata lain, pernyataan mengenai Ida kegemukan adalah salah.

Ida kegemukan adalah salah.

Masalah tersebut merupakan salah satu penerapan tentang pertidaksamaan Masalah tersebut merupakan salah satu penerapan tentang pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Selanjutnya kita akan mempelajari masalah tentang kuadrat dua variabel. Selanjutnya kita akan mempelajari masalah tentang sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel berikut.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel berikut.

(5)

Contoh 2 : Contoh 2 : Tentukan da

Tentukan daerah himpunerah himpunan penyan penyelesaian daelesaian dari sistem pertidari sistem pertidaksamaan ksamaan ::

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan di atas, ada beberapa langkah Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan di atas, ada beberapa langkah yang har

yang harus di tempuhus di tempuh..

(1) Buat kurva pembatas, yaitu y = x

(1) Buat kurva pembatas, yaitu y = x²² (parabola) dengan cara membuat tabel. (parabola) dengan cara membuat tabel.

Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada kurva sebagai titik uji, Ambil sebarang titik yang tidak terletak pada kurva sebagai titik uji, kemudian substitusikan ke

kemudian substitusikan ke persamaapersamaan kurva.n kurva.

Sebagai contoh, kita akan uji titik (1,2).

(1,2) → x = 1 dan y = 2 → x

(1,2) → x = 1 dan y = 2 → x²² = 1 dan 2 > 1 →= 1 dan 2 > 1 → y y > > xx²² sehingga daerah yang sehingga daerah yang memenuhi

memenuhi y y > > xx²² adalah daerah di dalam kurva. Dengan demikian, gambar adalah daerah di dalam kurva. Dengan demikian, gambar daerah himpunan penyelesaian y ≥ x

daerah himpunan penyelesaian y ≥ x²² sebagai berikut. sebagai berikut.

(6)

(2) Buat garis pembatas, yaitu y = 2x + 3 (garis lurus) dengan cara membuat tabel.

Perlu diketahui bahwa pada saat membuat grafik berupa garis, kalian cukup mencari dua titik yang terletak pada garis tersebut, misalkan :

Langkah berikutnya adalah mengambil sebarang titik yang tidak terletak pada garis sebagai titik uji, misalkan titik (0,0) kemudian pada persamaan garis y = 2x + 3 kita substitusikan x = 0 dan y = 0. Oleh karena diperoleh hasil 0 < 3 , maka daerah yang memenuhi y ≤ 2x + 3 adalah daerah di bawah garis.

(7)

Gambar daerah himpunan penyelesaian y ≤ 2x + 3 sebagai berikut.

(3) Tentukan irisan dua daerah himpunan penyelesaian tersebut.

Perhatikan bahwa titik (-1,1) dan (3,9) merupakan titik potong kedua kurva.

Hal ini berarti bahwa titik (-1,1) dan (3,9) terletak pada parabola maupun pada garis (lihat baris yang berwarna kuning pada tabel).

Koordinat titik potong kedua kurva juga dapat ditentukan dengan cara menyelesaikan sistem persamaan :

(8)

SOAL-SOAL YANG DISELESAIKAN

1. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan daerah himpunan penyelesaian dari suatu SPtKDV.

SPtKDV tersebut adalah ….

a. b.

c. d.

e.

Penyelesaian Petunjuk

Perhatikan persamaan lingkaran besar dan persamaan lingkaran kecil.

Daerah yang diarsir berada diantara kedua lingkaran sehingga SPtKDV dapa t dibentuk.

Penjelasan

Persamaan lingkaran besar adalah x² + y ² = 9 merupakan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran kecil adalah x² + y ² = 4 merupakan lingkaran berpusat di O(0,0) jari-jari 2. Daerah yang diarsir berad a diantara kedua lingkaran tersebut sehingga sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel yang memenuhi adalah:

(9)

2. Perhatikan SPtKDV berikut.

Gambar yang tepat untuk daerah himpunan penyelesaian SPtKDV tersebut adalah ….

a. d.

b. e.

c.

Penyelesaian Petunjuk

Gambarlah masing-masing kurva pembatas kemudian gunakan titik uji untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.

Selanjutnya tentukan irisan antara kedua daerah himpunan penyelesaian.

(10)

Penjelasan

1) Buat garis pembatas yaitu y = x² (parabola terbuka ke atas) dengan cara membuat tabel:

Daerah yang memenuhi y ≥ x² adalah:

2) Buat garis pembatas yaitu y = 2 – x² (parabola terbuka ke bawah) dengan cara membuat tabel: