Slide TSP205 Mek Bahan TSP 205 P7

Torsi

Pertemuan - 7

 Mahasiswa dapat menghitung besar tegangan dan regangan yang terjadi pada suatu penampang

•

TIK :



Deformasi Torsional Batang Lingkaran Elastis

Linier



Torsi Tak Seragam

• Suatu batang prismatis berpenampang lingkaran mengalami torsi murni • Penampang batang tidak berubah bentuk pada saat berotasi terhadap

sumbu longitudinal

• Akibat torsi T, ujung kanan batang akan berotasi dengan sudut kecil f, yang disebut sudut puntir

• Tinjau elemen kecil abcd dari suatu batang dengan beban torsi

• Elemen memiliki sisi ab dan cd yang semula sejajar sumbu longitudinal

• Akibat torsi, penampang kanan berotasi terhadap penampang kiri dengan sudut puntir kecil df

• Titik b dan c masing-masing bergerak ke b’ dan c’.

• Panjang sisi elemen yang sekarang ab’c’d tidak berubah, namun sudut bad menjadi berkurang sebesar

ab

'

bb

maks



• Regangan geser _maks dinyatakan dalam radian

• Karena bb’ dapat dinyatakan dalam rdf, serta ab = dx, maka persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk :

• Besaran df/dx adalah besarnya perubahan sudut puntir f terhadap jarak x yang diukur di sepanjang sumbu batang, dapat disebutkan pula sebagai sudut puntir per panjang satuan atau laju puntiran , q

dx rd

maks

f





q

f



r

dx rd

maks  

• Pada umumnya, f dan q bervariasi terhadap x di sepanjang sumbu batang

• Pada kasus torsi murni, laju puntiran konstan dan sama dengan sudut puntir total f dibagi panjang batang L, sehingga q = fL

• Pada sisi dalam penampang, regangan geser dapat dihitung dengan persamaan

L r r

maks

f

q



 

maks

r dx

d

f

_q



_



• Dari hukum Hooke untuk geser

• G adalah Modulus Geser dan  adalah regangan geser yang dinyatakan dalam radian

• Dengan mengingat persamaan untuk _maks, maka dapat dituliskan







G

q



_maks



Gr

_maks

r

G

q











• Selanjutnya akan ditentukan hubungan antara tegangan geser dan torsi

• Untuk menentukan resultan ini, tinjau elemen luas dA yang terletak pada jarak radial  dari sumbu batang

• Gaya geser yang bekerja pada elemen sama dengan dA

• Momen dari gaya ini terhadap sumbu batang sama dengan dA

• Dari persamaan untuk  sebelumnya, maka diperoleh :

• Momen resultan T adalah integral dari persamaan tersebut :

dA

r

dA

dM









maks



2

p maks

maks

_I

r

dA

r

dM

• Sehingga nilai tegangan geser maksimum yang timbul akibat torsi T

adalah :

• Sehingga persamaan untuk _maks dapat dituliskan menjadi :

• Tegangan geser pada jarak  dari pusat batang adalah :

p

d = diameter penampang lingkaran (mm)

I_p adalah momen inersia polar untuk lingkaran

• Dari persamaan sebelumnya terdapat hubungan _maks = Grq

• Sehingga dapat diturunkan rumus untuk laju puntiran q :

• Nilai G∙I_p disebut dengan kekakuan torsional (Torsional Rigidity)

• Untuk torsi murni, sudut puntir total (f) sama dengan laju puntiran dikalikan panjang batang (artinya f = qL), sehingga :

p

I G

T

 

q

p

I G

L T

  

• Tegangan geser pada batang lingkaran solid akibat momen torsi akan mencapai maksimum di tepi luar penampang dan berharga nol di pusat

• Dengan demikian sebagian besar bahan pada batang solid mengalami tegangan yang jauh lebih kecil daripada _maks (_maks terjadi pada permukaan terluar batang) • Oleh karena hal tersebut maka dalam

mendisain penampang yang memikul beban momen torsi, akan lebih efisien apabila digunakan batang lingkaran berlubang



4



1 4 2

2 r r

I_p   



4



1 4

2

32 d d

• Untuk penampang berupa lingkaran berlubang, rumusan untuk inersia polar dapat dinyatakan dalam ketebalan dinding penampang, t

• Dalam mendisain tabung lingkaran untuk menyalurkan momen torsi, tebal t harus cukup besar untuk mencegah terjadinya tekuk pada dinding tabung

• Sebagai contoh, harga maksimum rasio jari-jari terhadap tebal dapat ditetapkan misal (r₂/t)_maks = 10 – 20.

4 2

3

3 d t

t r

Sebuah batang baja pejal dengan penampang lingkaran berdiameter d = 40 mm, panjang L = 1,4 m, dan Modulus Elastisitas Geser, G = 80 GPa. Batang ini mengalami torsi T yang bekerja di ujung-ujungnya.

a. Jika T = 340 N∙ , hitung _maks yang timbul

b. Jika _ijin adalah 40 Mpa dan f_ijin adalah 2,5o_{, berapa}

torsi ijin maksimum

Contoh 2

Sebuah batang baja akan dibuat entah dengan penampang lingkaran solid atau lingkaran berlubang. Batang ini harus menyalurkan momen torsi sebesar 1200 N∙ tanpa melebihi tegangan geser ijin sebesar 40 MPa dan laju puntir ijin 0,75o_{/m. Jika G}

baja = 78 GPa, tentukan : a. Diameter d_o untuk batang pejal

• Pada kasus torsi murni, beban momen torsi yang konstan bekerja pada suatu batang yang prismatis

• Pada beberapa kasus beban momen torsi yang berbeda-beda dapat terjadi di sepanjang batang, terkadang pula batang bukan merupakan batang yang prismatis. Kasus demikian dinamakan sebagai torsi tak seragam (non uniform torsion)

• Ada 3 macam kasus yang dapat terjadi :

a. Batang yang mengandung segmen-segmen prismatis dengan torsi konstan di tiap segmen

b. Batang dengan penampang yang berubah secara kontinu dan mengalami torsi konstan

• Untuk keperluan analisis, maka dapat dibuat diagram badan bebas di tiap segmen, kemudian ditentukan besarnya torsi internal yang bekerja

• Torsi internal bertanda positif jika vektornya berarah meninggalkan potongan dan negatif jika vektornya berarah menuju potongan !!

T_CD = − T₁ − T₂ + T₃ TBC = − T1 − T2

T_AB = − T₁







 

 

 n

i i pi

i i n

i i

I G

L T

1 1

• Untuk momen torsi yang konstan, maka tegangan geser maksimum akan selalu terjadi di penampang yang mempunyai diameter terkecil • Sudut puntir, dicari dengan meninjau elemen yang panjangnya dx pada

jarak x dari salah satu ujung batang. Sudut rotasi diferensial df untuk elemen ini adalah :

• Sudut puntir total adalah :

• Sudut puntir untuk batang dapat dianalisis seperti halnya kasus 2, perbedaannya adalah bahwa torsi dan momen inersia polar juga bervariasi sepanjang sumbu

• Sehingga persamaan untuk sudut puntir menjadi :

• Integral ini dapat dihitung secara analitis untuk beberapa kasus, namun biasanya harus dihitung secara numerik

 

 





 _ 

 L

p L

x I G

dx x

T d

0 0

Contoh 3

Sebuah batang baja solid ABCDE memiliki diameter d = 30 mm berputar dengan bebas di ujung A dan E. Batang ini digerakkan dengan gigi di C, yang menerapkan torsi T₂ = 450 Nm. Gigi di B dan D digerakkan oleh batang tersebut dan mempunyai torsi penahan T₁ = 275 Nm dan

T₃ = 175 Nm yang bekerja berlawanan dengan

T₂. Segmen BC dan CD masing-masing mempunyai panjang L₁ = 500 mm dan L₂ = 400 mm. Nilai G = 80 GPa.

• Penampang tabung berdinding tipis diberi beban momen torsi T

Tegangan geser yang timbul dihitung dengan menggunakan persamaan :

m

tA T

2

 

 = tegangan geser (MPa)

T= o e torsi ya g bekerja N∙ t = tebal penampang batang (mm)

A_m = luas yang dibatasi garis median

• Penampang tabung berdinding tipis diberi beban momen torsi T

Tegangan geser dan sudut puntir yang timbul dihitung dengan persamaan :

m

tA T

2

 

 = tegangan geser (MPa)

T= o e torsi ya g bekerja N∙ t = tebal penampang batang (mm)

A_m = luas yang dibatasi garis median

T/2A_m = f, disebut dengan aliran geser (shear flow)

L = panjang batang (mm)

J = konstanta torsi (mm4₎

GJ TL

 f

m m

L tA J

2 4

Contoh 4

Sebuah tabung lingkaran berlubang yang mempunyai diameter dalam 250 mm dan tebal dinding 25 mm, memikul momen torsi sebesar T = 135 kN∙ . Tentukan tegangan geser maksimum di tabung dengan menggunakan :

a.Teori pendekatan tabung berdinding tipis b.Teori torsi eksak