Soal Pembahasan Eksponen dan Logaritma

Soal Pembahasan Eksponen dan Logaritma

SUMBER Soal: http://matematika-sma.blogspot.com

Dapatkan Berbagai Konten dan Soal Matematika di

http://matematika100.blogspot.com/

1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3

√

2 ) – ( 4 –

√

50 ) adalah …. a. – 2

√

2 – 3

b. – 2

√

2 + 5 c. 8

√

2 – 3 d. 8

√

2 + 3 e. 8

√

2 + 5

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

( 1 + 3

√

2 ) – ( 4 –

√

50 ) = ( 1 + 3

√

2 ) – ( 4 –

√

25.2 )

= ( 1 + 3

√

2 ) – ( 4 – 5

√

2 ) = 1 + 3

√

2 – 4 + 5

√

2 = – 3 + 8

√

2 2. Jika 2_{log 3 = a dan} 3_{log 5 = b, maka} 15_{log 20 = ….}

a. 2 a

b.

2+ab a(1+b)

c.

a 2

d.

b+1 2ab+1

e.

a(1+b)

2+ab

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

15

log 20

=

3

log 20

3

log15

=

3

log

(

4

x

5

)

3

log

(

3

x

5

)

¿

3

log 4

+

3

log 5

3

log 3

+

3

log 5

=

3

log2

2

+

3

log 5

3

log3

+

3

log5

¿

3

log 2

2

+

3

log 5

3

log 3

+

3

log 5

=

2.

3

log 2

+

3

log 5

3

log 3

+

3

log 5

¿

2.

1

a

+

b

1

+

b

=

2

+

b

a

1

+

b

=

2

+

b

a

(

1

+

b

)

3. Nilai dari

r

log

1

p

5

.

q

log

1

r

3

.

p

log

1

q

=

....

c. – 3

d. 1 15

e. 5

Soal Ujian Nasional Tahun 2005

r

log

1

p

5

.

q

log

1

r

3

.

p

log

1

q

=

r

log

p

−5

.

q

log

r

−3

.

p

log

q

−1

(−

5

)

.

r

log

p

.

(−

3

)

q

log

r

.

(−

1

)

p

log

q

=(−

5

)(−

3

)(−

1

)

.

r

log

p

.

q

log

r

.

p

log

q

¿

−

15.

r

log

p

.

p

log

q

.

q

log

r

=−

15.

r

log

r

=−

15

(

1

)=−

15

4. Nilai dari

7

x

−

.

3

2 6

√

y

5

(

x

5

4

−

6

y

−

.

1

3

)

x

−

2

untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….

a. (1+2

√

2).9

√

2

b. (1+2

√

2).9

√

3

c. (1+2

√

2).18

√

3

d. (1+2

√

2).27

√

2

e. (1+2

√

2).27

√

3

Soal Ujian Nasional Tahun 2004

7

x

−.

3 2 6

√

y

5

(

x

5

4

−

6

y

−. 1 3

)

x

−2

=

7

x

−.3 2

.

y

5 6

.

(

x

5

4

−

6

y

−. 1 3

)

x

−2

=

7

(

4

)

−.3 2

.

(

27

)

5 6

(

(

4

)

5

4

−

6

(

27

)

−. 1 3

)

(

4

)

−2

=

7

(

2

2

)

−. 3 2

.

(

3

3

)

5 6

(

(

2

2

)

5

4

−

6

(

3

3

)

−. 1

3

)

(

2

2

)

−2

= 7 . 2

−.3_{. 3} 5 2

(

2

5

2_{−6 . 3}−1

)

₂−4

=7 . 2

−. 3_.3 2+ 1 2_{. 2}4

(

22+

1 2_−6.1

3

)

=7 . 2 .3

2_.

√

₃

(

22_.

√

₂₋₂

)

=

7 .2 . 32.

√

3 2

(

2 .

√

2−1

)

=

7 . 3

2

.

√

3

(

2

√

2

−

1

)

x

2

√

2

+

1

2

√

2

+

1

=

7. 9

√

3

(

2

√

2

+

1

)

(

8

−

1)

=

9

√

3

(

2

√

2

+

1

)

5. Akar – akar persamaan 32x+1 _{– 28.3}x _{+ 9 = 0 adalah x}

1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …

a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7

Soal Ujian Nasional Tahun 2007 32x_.31 _{– 28.3}x _{+ 9 = 0}

Misal : 3x _{= p}

3p2 _{– 28p + 9 = 0}

( 3p – 1 ) ( p – 9 ) = 0 3p – 1 = 0 atau p – 9 = 0 3p = 1 atau p = 9

p =

1

3 _{atau p = 9}

Substitusikan nilai p pada persamaan 3x _{= p}

3x ₌

1

3 _{atau 3}x _{= 9}

3x _{= 3}–1 _{atau 3}x _{= 3}2

x = –1 atau x = 2 ( karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = –1 ) Substitusikan nilai x1 dan x2, maka akan didapat 3(2) – (–1) = 7 6. Akar – akar persamaan 2.34x _{– 20.3}2x _{+ 18 = 0 adalah x}

1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x_.

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2_log.2_{log (2}x+1 _{+ 3) = 1 +} 2_{log x adalah ….}

a. 2_{log 3}

b. 3_{log 2}

c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½

e. log 2 3

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

2_log.2_{log (2}x+1 _{+ 3) = 1 +} 2_{log x} 2_log.2_{log (2}x+1 _{+ 3) =} 2_{log 2 +} 2_{log x}

2_log.2_{log (2}x+1 _{+ 3) =} 2_{log 2x ( gunakan kesamaan pada logaritma )}

2_{log (2}x+1 _{+ 3) = 2x ( gunakan definisi logaritma sebagai invers eksponen} a_{log b = c ↔ b= a}c ₎

2x+1 _{+ 3 = 2}2x _{( pindahkan semua nilai ke ruas kanan )}

22x _{– 2}x+1 _{– 3 = 0}

(2x₎2 _{– 2}x_.21 _{– 3 = 0}

(2x₎2 _{– 2.2}x _{– 3 = 0}

Misal 2x _{= q}

q2 _{– 2q – 3 = 0}

( q – 3 ) ( q + 1 ) = 0 q – 3 = 0 atau q + 1 = 0 q = 3 atau q = –1

substitusikan nilai q pada 2x _{= q}

x = 2_{log 3 (untuk 2}x _{= –1 tidak ada nilai x yang memenuhi, sebab hasil dari suatu bilangan yang}

dipangkatkan tidak pernah negatif )

8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah …. a. x > 6

b. x > 8 c. 4 < x < 6 d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) log (x – 4) (x + 8) < log (2x + 16)

log ( x2 _{+ 4x – 32 ) < log ( 2x + 16 ) ( gunakan kesamaan pada logaritma )}

( x2 _{+ 4x – 32 ) < ( 2x + 16 )}

x2 _{+ 4x – 32 – 2x – 16 < 0}

x2 _{+ 2x – 48 < 0}

( x + 8 ) ( x – 6 ) < 0 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 1 ) Cari harga pembuat nol untuk ( x + 8 ) dan ( x – 6 ), didapat x = –8 dan x = 6

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log (x – 4), nilai x – 4 > 0

x > 4 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 2 ) Untuk log (x + 8), nilai x + 8 > 0

x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 ) Untk log (2x + 16), nilai 2x + 16 > 0

x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 4 )

Himpunan

Penyelesaian ( HP ) Cat : Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif pada HP 1 caranya dengan substitusi nilai yang berada pada daerah tertentu, misalnya nilai yang kurang dari -8 ( misalnya diambil -9)

Substitusi nilai tersebut pada persamaan x2 _{+ 2x – 48}

F(-9) = (-9)2 _{+ 2 (-9) – 48 = 81 – 18 – 48 = 15 ( didapat hasil yang positif )}

Ini merupakan daerah Himpunan penyelesaian karena nilainya < 0

( + + + ) daerah

positif (– – – ) daerah negatif

( + + + ) daerah positif

HP 1

–8 6

Ini merupakan daerah Himpunan penyelesaian karena nilainya > 4

HP 2 4

Ini merupakan daerah Himpunan penyelesaian karena nilainya > –8

HP 3 dan 4 –8

a. − 5

2 _{< x} ¿ ₈

b. – 2 ¿ _x ¿ ₁₀

c. 0 < x ¿ ₁₀

d. – 2 < x < 0

e. − 5

2 ¿ _{x < 0}

Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004 2 log x ¿ _{log (2x + 5) + 2 log 2}

log x2 _{¿ log (2x + 5) + log 2}2

log x2 _{¿ log (2x + 5) ( 4 ) ( gunakan kesamaan pada logaritma )}

x2 _{¿ (2x + 5) ( 4 )}

x2 _{¿ 8x + 20}

x2 _{– 8x – 20 ¿ 0}

( x – 10 ) ( x + 2 ) ¿ ₀

Cari harga pembuat nol untuk ( x + 2 ) dan ( x – 10 ), didapat x = –2 dan x = 10

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log x, nilai x > 0 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 2 ) Untuk log ( 2x + 5 ), nilai 2x + 8 > 0

x > – 5_/

2 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 )

Himpunan

Penyelesaian ( HP )

HP 1

–2 10

HP 2 0

HP 3 – 5_/

2

Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 0 < x ¿ ₁₀

10. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x _{– 3}x+1 _{+ 1 = 0 adalah ….}

a. { ½ , 1 } b. { –½ , –1 } c. { –½ , 1 } d. { 0 , 3_{log ½ }}

e. { ½ , ½_{log 3 }}

Soal Ujian Nasional Tahun 2005

Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x_.

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3

√

1

8

2x

>

64

3x

2

18x−36

adalah …. a. x < –14

d. x < –17 e. x < –18

Soal Ujian Nasional Tahun 2004

3

√

1

8

2x

>

64

3x

2

18x−36

=

3

√

8

−2x

>

(

2

6

)

3x

2

18x−36

=

8

−2x

3

>

2

18x−(18x−36)

(

2

3

)

−2x

3

>

2

18x−18x+36

=

2

−2x

>

2

36 _{( gunakan kesamaan pada eksponen )}

–2x > 36

x < –18 ( tandanya berubah karena kedua ruas dibagi dengan –2 )

12. Himpunan penyelesaian persamaan x_{log ( 10x}3 _{– 9x ) =} x_{log x}5 _{adalah ….}

a. { 3 } b. { 1,3 } c. { 0,1,3 } d. { –3, –1,1,3 } e. { –3, –1,0,1,3 }

Soal Ujian Nasional Tahun 2004

x

log

( 10x

3

– 9x )

=

x

log

x

5

( gunakan kesamaan pada logaritma )

10x

3

– 9x = x

5

x

5

– 10x

3

+ 9x = 0

( faktorkan dengan mengeluarkan variabel x )

x ( x

4

– 10x

2

+ 9 ) = 0

( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x

( x

2

– 9 )

( x

2

– 1 )

= 0

( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x

( x

– 3 ) ( x

+ 3 )

( x

– 1 ) ( x

+ 1 )

= 0

Cari harga pembuat nol untuk

x, ( x

– 3 ), ( x

+ 3 ), ( x

– 1 ) dan ( x

+ 1 ).

Didapat x = 0

x = 3 x = –3 x = 1 x = –1

Dari kelima jawaban hanya 1 dan 3 yang memenuhi persyaratan jika disubstitusikan kepersamaan ( ingat kembali syarat dari bilangan pokok logaritma )

13. Nilai x yang memenuhi

3

x

2_−3x+4

<

9

x−1

adalah …. a. 1 < x < 2

b. 2 < x < 3 c. –3 < x < 2 d. –2 < x < 3 e. –1 < x < 2

Soal Ujian Nasional Tahun 2003

3

x2−3x+4

<

3

2x−2

( gunakan kesamaan pada eksponen ) x2 _{– 3x + 4 < 2x – 2}

x2 _{– 3x – 2x + 2 + 4 < 0}

x2 _{– 5x + 6 < 0}

( x – 3 ) ( x – 2 ) < 0

Cari harga pembuat nol untuk

( x

– 3 ) dan ( x – 2 ), didapat x = 2 da x = 3

2 3

Didapat hasilya yaitu 2 < x < 3.

Lihat kembali no 8 cara untuk mendapatkan daerah HP nya

14. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0, maka x1.x2 = ….

a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27

Soal Ujian Nasional Tahun 2003 (3_{log x)}2 _{– 3.}3_{log x + 2 = 0}

Misal 3_{log x = p}

p2 _{-3p + 2 = 0}

( p – 2 ) ( p – 1 ) = 0 p1 = 2 atau p2 = 1 3_{log x}

1 = 2atau 3log x2 = 1

x1 = 9 atau x2 = 3

x1 . x2 = 27

15. Penyelesaian pertidaksamaan

(

1

9

)

1−1

2x

>

√

6

243

x−1

adalah …. a. x > –1

b. x > 0 c. x > 1 d. x > 2 e. x > 7

Soal Ujian Nasional Tahun 2002

(

1

9

)

1−1

2x

>

√

6

243

x−1

(

1

3

2

)

1−1

2x

>

243

x−1

6

(

3

−2

)

1− 1 2x

>(

3

5

)

(

x−1 6

)

3

−2+x

>

3

(

5x−5 6

)

–2 + x >

5x−5 6

–12 + 6x > 5x – 5 6x – 5x > –5 + 12 x > 7

16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2_{log (x}2 _{– 3x + 2 ) <} 2_{log ( 10 – x ), x ¿ R adalah ….}

a.

{

x |−2<x<1 atau 2<x<4

}

b.

{

x |x<1 atau x>2

}

c.

{

x |−2<x<4

}

d.

{

x |x>10

}

e. { }

Soal Ujian Nasional Tahun 2002 Caranya sama dengan N0 12

17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9_{log ( x}2 _{+ 2x ) < ½ adalah ….}

a. –3 < x < 1 b. –2 < x < 0 c. –3 < x < 0

d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2 e. –3 < x < –2 atau 0 < x < 1 Soal Ujian Nasional Tahun 2001

9_{log ( x}2 _{+ 2x ) < ½}

9_{log ( x}2 _{+ 2x ) <} 9_log 9

1 2

9_{log ( x}2 _{+ 2x ) <} 9_{log 3}

Selanjutnya cara mengerjakan sama dengan no 12 18. Diketahui 2x _{+ 2}–x _{= 5. Nilai 2}2x _{+ 2}–2x _=….

a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27

Soal Ujian Nasional Tahun 2001

2x _{+ 2}–x _{= 5 ( kuadratkan kedua ruas )}

( 2x _{+ 2}–x ₎2 _{= 5}2

22x _{+ 2.2}x_.2–x _{+ 2}–2x _{= 25}

22x _{+ 2.2}x–x _{+ 2}–2x _{= 25}

22x _{+ 2.2}0 _{+ 2}–2x _{= 25}

22x _{+ 2.1 + 2}–2x _{= 25}

22x _{+ 2}–2x _{= 25 – 2}

22x _{+ 2}–2x _{= 23}

19. Nilai 2x _{yang memenuhi}

4

x

+

2

=

√

3

16

x

+

5

_{adalah ….}

b. 4 c. 8 d. 16 e. 32

Soal Ujian Nasional Tahun 2000

4

x

+

2

=

√

3

16

x

+

5

4

x+2

=

16

x+5 3

4

x+2

=

(

4

2

)

x+5 3

( gunakan kesamaan pada eksponen )

x + 2 =

2x+10 3

3x + 6 = 2x + 10 3x – 2x = 10 – 6 x = 4

2x _{= 2}4 _{= 16}

20. Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 _{< log ( x – 1 ) adalah ….}

a. x < 2 b. x > 1

c. x < 1 atau x > 2 d. 0 < x < 2 e. 1 < x < 2

Soal Ujian Nasional Tahun 2000 Caranya sama dengan no 12