statistika-inferensi

Statistika

Statistika

Inferensi

Inferensi

:

:

Estimasi

Estimasi

Estimasi

titik 

titik 





Estimasi adalah keseluruhan proses yang

Estimasi adalah keseluruhan proses yang

menggunakan sebuah estimator untuk

menggunakan sebuah estimator untuk

menghasilkan sebuah estimate dari suatu

menghasilkan sebuah estimate dari suatu

parameter.

parameter.





Sebuah estimasi titik dari sebuah

Sebuah estimasi titik dari sebuah

parameter

parameter

 

 

adalah sesuatu angka

adalah sesuatu angka

tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai

tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai

yang masuk akal dari

Contoh

Contoh





Seorang ahli sosial ekonomi ingin

Seorang ahli sosial ekonomi ingin

mengestimasi rata-rata penghasilan buruh

mengestimasi rata-rata penghasilan buruh

di suatu kota. Sebuah sampel dikumpulkan

di suatu kota. Sebuah sampel dikumpulkan

menghasilkan rata-rata Rp 2.000.000,-.

menghasilkan rata-rata Rp 2.000.000,-.





Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik,

Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik,

dengan menggunakan estimator berupa

dengan menggunakan estimator berupa

statistic mean

statistic mean

(

(

)

) untuk

untuk mengestimasi

mengestimasi

parameter mean populasi (

parameter mean populasi (

 μ μ

).

). Ni

Nila

laii sa

samp

mpel

el

R

Rp

p 2

2..0

00

00

0..0

00

00

0,-

,- sse

eb

baaggaaii n

niillaaii e

essttiim

maatte

e d

daarrii

mean populasi.

mean populasi.

 X    X  

Estimasi Interval



Sebuah estimasi interval (interval

estimate) dari sebuah parameter

 

, adalah

suatu sebaran nilai nilai yang digunakan

untuk mengestimasi interval.



 Jika dimiliki sampel X

₁

, X

₂

, …., X

_n

dari

distribusi normal N(



,



2

) maka

)

,

(

~

2 n  N   X 

_ 

 



Akibatnya interval kepercayaan (1-

 

)100%

untuk mean populasi

 

adalah

dengan Z

_(1-

_

_/2)

adalah kuantil ke-(1-

 

/2) dari

distribusi normal baku dan jika

 

tidak

diketahui maka dapat diestimasi dengan

simpangan baku (standard deviation) sampel

s

yaitu

s

=



s

2

.

n

 Z 

 X  

n

 Z 

 X  

  

_ 

  

   /2 1 /2 1_







_





 Jadi interval kepercayaan (

confidence interval 

)

adalah estimasi interval berdasarkan tingkat

kepercayaan tertentu dan batas atas serta batas

bawah interval disebut batas kepercayaan

(

confidence limits

).



Dari prakteknya tingkat kepercayaan dilakukan

sebelum estimasi dilakukan, jadi dengan

menetapkan tingkat kepercayaan interval

sebesar 90 persen (90 %).



Artinya seseorang yang melakukan tersebut

ingin agar 90 persen yakin bahwa mean dari

populasi akan termuat dalam interval yang

diperoleh.

Estimasi interval untuk beberapa

Contoh



Seorang guru ingin mengestimasi waktu

rata-rata yang digunakan untuk belajar.



Suatu sampel acak ukuran 36

menunjukan bahwa rata-rata waktu yang

digunakan siswa untuk belajar di rumah

setiap harinya adalah 100 menit.



Informasi sebelumnya menyatakan



Estimasi interval dengan tingkat kepercayaan 95 persen

dapat ditentukan berikut ini :



Unsur unsur yang diketahui :

= 100 ;



= 20;

n

=36; tingkat kepercayaan 95 %.



Dengan tingkat kepercayaan 95 % maka nilai z adalah

1,96 jadi estimasi interval dari nilai waktu rata-rata

sesungguhnya adalah :



Dengan kata lain guru mengestimasi dengan tingkat

keyakinan 95 % bahwa rata-rata waktu belajar adalah

antara 93,47 menit hingga 106,53 menit



 X  

53

,

106

47

,

93

)

6

/

20

(

96

,

1

100

)

6

/

20

)(

96

,

1

(

100

         

 Jika n > 30



Dari seluruh siswa 4 kelas diambil sebagai sampel 40 siswa dan

didapatkan nilai Matematika dari 40 siswa tersebut sebagai berikut :

58

48

56

43

58

57

48

35

43

47

49

41

64

58

46

44

47

55

42

48

54

29

46

47

59

47

52

43

47

49

40

58

60

50

50

50

64

36

43

44

maka estimasi rata-rata nilai Matematika sesungguhnya dengan tingkat

kepercayaan 90 persen yaitu :

Dengan tingkat kepercayaan 90 % maka nilai z adalah 1,645 jadi

estimasi interval dari rata-rata sesungguhnya adalah :

 Jika n



30



 Jika dimiliki sampel X

₁

, X

₂

, …., X

_n

dari

distribusi normal N(



,



2

) dengan



2

tidak diketahui maka :

berdistribusi

t

dengan derajat bebas

n

-1.

n S   X   T  /    

Sifat-sifat distribusi

t



Distribusi ini serupa dengan distribusi Z dengan

mean nol dan simetris berbentuk lonceng /

bell

shape

terhadap mean.



Bentuk distribusi tergantung pada ukuran

sampel. Jadi distribusi adalah kumpulan keluarga

distribusi dan perbedaan satu dengan yang

lainnnya tergantung pada ukuran sampel.



Pada ukuran sampel yang kecil keruncingan

berbentuk distribusi

t

kurang dibandingkan

dengan distribusi Z dan jika meningkatnya

ukuran sampel mendekati 30 maka bentuk 

distribusi semakin mendekati bentuk distribusi

Z. (Jadi jika

n

>30 maka digunakan nilai z).



Untuk

n

 

30, interval kepercayaan

(1-



)100% untuk mean populasi

 

adalah

dengan

t

_{n-1; (1-}

_

_/2)

adalah kuantil ke-(1-



/2) dari

distribusi

t

dengan derajat bebas

n

-1 dan

s

adalah

simpangan baku (

standard deviation

) sampel dengan

s

=



s

2

yaitu akar dari variansi sampel.

n

 s

t 

 X  

n

 s

t 

 X  

n n_{1;1 /2}



 





_{1;1 /2}



Contoh



Misalkan diberikan nilai Matematika 10

siswa sebagai berikut : 58, 58, 43, 64, 47,

54, 59, 47, 60, dan 64.



Estimasi rata-rata nilai Matematika

sesungguhnya (populasi). Nilai rata-rata

Matematika dengan tingkat kepercayaan

95 persen dapat diestimasi sebagai

interval kepercayaan

 

(rata-rata

populasi) dengan koefisien

ESTIMASI PARAMETER

SATU POPULASI

Estimasi Parameter :

Metode statistika yang berfungsi untuk

mengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasi atau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel atau statistik sampel.

Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi  sampling dilakukan

secara acak. Contoh :

Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiap wilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak. Cara estimasi :

1. Estimasi Titik

Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik)

Mean populasi =



=

Variansi populasi =



2 _{= s}2

standar deviasi =



= s

2. Estimasi Interval

Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu.

Misal X₁,X₂,X₃,…X_n adalah sampel acak dari suatu populasi dengan



adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk

 

adalah :

P(B<



< A)=1-



Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk



dari B sampai A yang dihitung pada probabilitas 1-



.

Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yang digunakan



(misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)=



dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatu interval kepercayaan (1-



) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas: P(h-

 

< H < h

 

)= 1-



 …….(1)

Dengan :

h-

 

= titik minimum (limit kepercayaan bawah) h

 

= titik maksimum (limit kepercayaan atas) 1-



= koefisien kepercayaan

(1-



) 100% = interval kepercayaan

Parameter yang umum diestimasi:

1. Ukuran pemusatan : mean=



, Selisih mean =



₁ -

 

₂ =



Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan :

a. Distribusi Z :

- Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya

(



2_{) dan standar deviasinya (}



_{) diketahui.}

- Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya (



2) dan

standar deviasinya (



) tidak diketahui ukuran sampel besar (n



30).

b. Distribusi t-student (Distribusi t)

- Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya

(



2_{) dan standar deviasinya (}



_{) ukuran sampel kecil (n}



_30).

2. Ukuran penyebaran : Variansi =

 

2_{, Rasio variansi dua populasi = F}

Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X2_),

 A. Estimasi Mean Populasi

1. Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z

Misal x₁,x₂,x₃….x_n adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean



tidak diketahui dan variasi

 

2_{, dan = mean sampel maka :}

Mean ( )=



Var (( )=



2_/n

Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random mendekati distribusi normal

Maka rumus 1 akan berubah menjadi :

Jika nilai Z diganti menjadi :

Biasanya

 

2_{tidak diketahui, tetapi karena n besar maka}

 

2_{dapat diasumsikan} sama dengan s2_.  X   X   X  n  X   Z  /                    _{ } 1 2 / 2 /                            







1 2 / 2 / n  X  n  X 





                  _{ } 1 / /2 2 / n  X  

Sehingga:

Contoh :

Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai rata-rata umur simpan 23,4 bulan dan standar deviasi s=6,2 bulan. Berapakah kisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada interval kepercayaan 95%.

Jawab :

Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan

 

=s

=23,4 bulan dan s=6,2

1-



=95%=0,95 = 0,05



/2 = 0,025 Z_0,025 = 1,96. Maka:

Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikan               ( _{ /2  /2} ) 1 n  s  X   n  s  X    X  % 95 ) 400 2 , 6 96 , 1 4 , 23 400 2 , 6 96 , 1 4 , 23 (        

%

95

)

01

,

24

79

,

22

(

     

2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil.

- Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (



2) dan standar

deviasinya (



) tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30).

- Jika adalah transformasi t dari sampel X₁,X₂,X₃,…X_n. Jika

sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1)

ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan



populasi.

P(-t_α/2 < t < t _α/2)=1-α Jika nilai t diganti menjadi :

n  s  x t  /              









 

 





 

 











1 / /2 2 /

t 

t 

n  X               

 







 



 

 











1 2 / 2 / n  X   n  X  

_t 

_t 

Atau

 

 

   







 

 



 

 











1

2 / 2 /

n

 s

 X  

n

 s

 X  

_t 

_t 

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi

Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n

mempunyai mean = p dan variasi untuk n besar harga

Mendekati distribusi normal.

Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah:

= 1 – α 

Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar.

C. Estimasi Variansi populasi normal

Transformasi

S2 _{dihitung dari suatu sampel random X}

1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi

berdistribusi normal dengan variansi

 

2 _{berdistribusi X}2 _{dengan derajat bebas =}

n-1. n  p  P (1 ) n n  x n  x ) 1 (

_

n  p  P (1 )

 z 

 z 

_n n  x n  x n n  x n  x

n

 x

 p

n

 x

 P 

(

_/2 1 _/2 1  ₎                   

_

_

_



    2 2 2

(

1

)

    s n  X    

Tabel V :

Untuk 0<α<1 maka :

Untuk estimasi standar deviasi



digunakan :

        _

)



1



(

 X 2(k ; /2)  X 2 X 2(k ;1 /2)  P                              1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 / 1 ; ( 2 2 2 ) 2 / ; ( 2 2 k  k  X   S  n  X   S  n  P                           _  1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 / 1 ; ( 2 2 ) 2 / ; ( 2 2 k  k  X  S  n  X  S  n  P