1
1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Berbagai masalah aplikasi dunia nyata (real-world problems) dapat diselesaikan menggunakan teori graf, misalnya utilitas dan pengaturan topologi bintang pada jaringan komputer LAN yang merupakan persoalan graf bipartit.
Pencarian solusi persoalan dengan representasi graf dapat dilakukan dengan cara mengunjungi (traverse) simpul-simpul dalam graf secara sistematis. Algoritma pencarian melebar (breadth-first search/ BFS) merupakan salah satu algoritma traversal di dalam graf yang umum digunakan.
Siklus Fundamental adalah siklus yang diperoleh dari suatu graf G(V,E) dengan memperoleh tree dan co-treenya terlebih dahulu. Dengan menggabungkan
spanning tree dengan ruas pada co-tree secara satu demi satu maka akan terbentuk siklus fundamental. Salah satu aplikasi dari siklus fundamental adalah untuk mencacah objek siklus dalam sebuah graf.
1.2 Batasan Masalah
Pembahasan pada skripsi ini dibatasi pada beberapa aspek, yaitu:
1. Merepresentasikan
sembarang graf sederhana sebagai graf planar.
2. Membuat simulasi algoritma BFS (Breadth First Search) dari reprensentasi graf planar dengan mengunjungi node yang mempunyai derajat terbesar terlebih dahulu dalam graf tersebut (T). APLIKASI SIKLUS FUNDAMENTAL PADA GRAF PLANAR
BERBASIS GUI MENGGUNAKAN MATLAB Ita Rahmawati
Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Gunadarma, 2011 Pembimbing : Dr Retno Maharesi, SSI,MSc
ABSTRAKSI
Pencarian solusi permasalahan menggunakan representasi graf dapat dilakukan dengan cara mengunjungi (traverse) simpul-simpul dalam graf secara sistematis. Algoritma pencarian melebar (breadth-first search/ BFS) merupakan salah satu algoritma traversal di dalam graf yang umum digunakan. Dalam teori graf, BFS dapat memecahkan masalah pengecekan graf bipartit, pencarian komponen terhubung dalam graf, pencarian jarak terpendek pada graf tak berbobot, serta pencarian diameter pohon.
Siklus Fundamental adalah siklus yang diperoleh dari suatu graf G(V,E) dengan memperoleh tree dan co-treenya terlebih dahulu. Dengan menggabungkan spanning tree dengan ruas pada co-tree secara satu demi satu maka akan terbentuk siklus fundamental. Salah satu aplikasi dari siklus fundamental adalah untuk mencacah objek siklus dalam sebuah graf.
2 3. Menentukan jumlah ruas
yang terdapat dalam co-tree Tc.
4. Menentukan siklus fundamental graf planar 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penyusunan akhir (skripsi) ini adalah untuk mengetahui bagaimana algoritma BFS mengunjungi node pada graf berplanar yang dimulai dengan derajat terbesar dalam graf tersebut sehingga dapat membentuk Siklus Fundamental dari graf tersebut. Untuk mencapai tujuan tersebut sebuah aplikasi berbasis GUI dirancang dan diimplementasikan dengan perangkat lunak pemrograman MATLAB.
1.4 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian skripsi ini adalah :
1. Perancangan aplikasi menggunakan metode UML (Unified Modelling Language). 2. Perancangan antar muka aplikasi
berbasis GUI menggunakan struktur navigasi dan story board.
3. Implementasi,
mengimplementasikan hasil perancangan yang dibuat ke pemrograman MATLAB untuk menjadi aplikasi program computer yang interaktif dan ramah pengguna.
4. Pengujian aplikasi, dengan melakukan pengujian terhadap aplikasi yang dibuat apakah sudah sesuaikan dengan rancangan yang dibuat, dengan cara mencobakan input dengan beberapa graf.
II. LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Graf
Graf merupakan struktur data yang paling umum. Jika struktur linear
memungkinkan pendefinisian
keterhubungan sikuensial antar entitas data, struktur data tree memungkinkan pendefinisian keterhubungan hirarkis, maka struktur graf memungkinkan pendefinisian keterhubungan tak terbatas antar entitas data[2].
Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) dimana |V| dan |E| merupakan banyaknya verteks dan ruas yang menghubungkan setiap sepasang verteks atau dapat ditulis dengan notasi G(V,E).
2.2 Tree
Pohon (Tree) adalah graf tidak berarah dan terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Sedangkan Forest atau hutan adalah kumpulan pohon yang saling lepas atau graf yang tidak terhubung dan tidak mengandung sirkuit. Pohon didefinisikan juga sebagai graf tidak berarah dengan sifat bahwa hanya terdapat sebuah lintasan tunggal antara setiap pasang simpulnya[4].
Gambar 2.8 Hutan dengan tiga pohon 2.3 Co Tree
Sembarang graf terhubung dapat dinyatakan sebagai tree(T) atau cotree(Tc). Cotree (Tc) adalah ruas pada graf (G) yang tidak terdapat pada T[6].
2.3 POHON RENTANGAN
(SPANNING TREE)
Pohon rentangan (spanning tree) dari graf terhubung adalah subgraf merentang
3 yang berupa pohon. Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di dalam graf[5].
Gambar 2.10 Pohon merentang T1, T2, T3, dan T4 yang dibentuk dari graf G 2.5 Graf Terhubung
Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj. Jika tidak, maka G disebut graf tidak terhubung [9].
(a) (b)
Gambar 2.12 (a) graf terhubung dan (b) graf tidak terhubung
2.5.1 Graf terhubung kuat dan lemah Dua simpul u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected)[9].
(a) (b) Gambar 2.13 graf terhubung kuat dan graf
terhubung lemah
2.5.2 Graf 2 – Koneksi (Biconnected) Graf 2- Koneksi adalah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat paling sedikit 2.
Gambar 2.14 graf 2 koneksi 2.5.3 Graf 3 – Koneksi (Triconnected)
Graf 3 – koneksi adalah graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat paling sedikit 3.
Gambar 2.15 graf 3-koneksi 2.6 BFS (Breadth First Search)
Algoritma pencarian melebar (BFS) mengunjungi setiap simpul dalam graf mulai dari simpul akar, lalu dilanjutkan dengan mengunjungi simpul-simpul yang bertetangga dengan simpul akar. Setelah itu mengunjungi setiap simpul yang bertetanggaan dengan simpul yang belum dikunjungi dan demikian seterusnya sampai seluruh simpul berhasil dikunjungi[10].
Gambar 2.13 Ilustrasi BFS 2.7 Graf Planar
Sebuah graf dikatakan graf planar bila graf tersebut dapat disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan. Contoh graf yang disajikan dapat berbentuk planar, map ataupun peta[12]. Graf yang termasuk
4 planar antara lain tree, Kubus, Bidang Empat, Bidang Delapan Beraturan.
(a) (b) Gambar 2.21 Graf (G) dan penyajian
plannar
2.7.1 Pembentukan Plannar Embedding Plannar Embedding dari sebuah graf dapat diperoleh dengan memodifikasi algoritma pengujian planaritas graf. Sambil menguji planaritas graf, dapat dihasilkan suatu plannar embedding dari graf tersebut. Terdapat dua ketentuan mengenai planaritas graf
1. Sebuah graf adalah planar jika dan hanya jika semua connected component-nya adalah planar.
2. Sebuah connected graf adalah planar jika dan hanya jika semua biconnected component-nya adalah planar.
Untuk memanfaatkan ketentuan tersebut, maka graf harus dibentuk menjadi sebuah graf 2 - koneksi dengan cara menambahkan sejumlah ruasnya. Sebuah graf disebut 2 - koneksi bila dalam graf tersebut tidak ada simpul yang jika dihilangkan akan menyebabkan graf menjadi tidak terhubung. Graf 2 – koneksi dapat didekomporuas menjadi beberapa potongan. 2.8 Siklus Fundamental
Siklus fundamental dalam suatu graf G( V, E) diperoleh dengan cara mendapatkan spanning tree dan dan co-treenya lebih dahulu. Kemudian dengan menggabungkan suatu ruas dalam cotree dengan spanning tree maka diperoleh sebuah siklus, yang dinamakan siklus fundamental. Semua siklus fundamental yang diperoleh dengan cara demikian membentuk ruang
bagian siklus berdimensi sesuai dengan jumlah ruas pad co-tree untuk graf yang mempunyai satu komponen, yaitu
. Ruang siklus C(G) merupakan ruang bagian vector ( , .), yang dibentuk oleh himpunan kuasa ruas E dengan field integer modulo 2, GF(2) = {0, 1} dengan operasi biner beda simetris, yaitu untuk E1 dan E2 subgraf G, maka E1 E2= E1 E2 - E1 E2 dan operasi perkalian trivial 1.v = v, 0.v = 0. Sehingga himpunan ruas bagian dari G(E) yang membentuk suatu siklus dapat dinyatakan sebagai ruang siklus C(G), yang adalah ruang bagian dari ruang vektor ( , .)[16].
Gambar 2.24 Graf dengan 4 simpul dan 5 ruas dengan 3 macam basis siklus.
Dari Basis fundamental dapat diketahui vector masing – masing siklus yang berfungsi untuk mengetahui keterhubungan antara simpul satu dengan simpul lainnya melalui ruas dari tiap – tiap siklus. Vektor Siklus basis ini bernilai 0 dan 1. 0 menandakan ketiadaan keterhubungan antara simpul, sedangkan 1 menandakan keterhubungan antar simpul.
2.9 Pengenalan Matlab
MATLAB (Matrix Laboratory) adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik dan merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunkan sifat dan bentuk matriks. [17].
MATLAB telah berkembang menjadi sebuah environment pemrograman yang canggih yang berisi fungsi-fungsi built-in untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan kalkulasi matematis lainnya. MATLAB juga berisi
5 toolbox yang berisi fungsi – fungsi tambahan untuk aplikasi khusus . MATLAB bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada library ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu.
III. ANALISA DAN
PERANCANGAN PROGRAM 3.1 Analisa
Bab berisi tentang analisa permasalahan, yaitu membangun siklus basis fundamental graf planar. Langkah pertama adalah membentuk spanning tree dan co tree dengan metode BFS terlebih dahulu. Sehingga terlihat bagaimana bentuk dari siklus fundamental dari sembarang graf planar. Setelah siklus fundamental terbentuk, dapat diketahui bagaimana bentuk vector dari masing – masing siklus yang berguna untuk mencari siklus Hamiltonian pada berbagai bidang khususnya ilmu komputer.
3.2 Perancangan Aplikasi
Pada sub bab ini akan dijelaskan bagaimana algoritma dan alur tahapan pada program dimulai dengan menginput matriks sehingga terbentuk spanning tree, co tree, siklus fundamental dan vektor dari masing – masing basis siklus.
3.2.1 Algoritma
Untuk membentuk siklus fundamental dalam graf planar, dapat dilakukan dengan mencari spanning tree dan co tree dari sembarang graf planar. Kemudian menggabungkan spanning tree dan salah satu ruas pada co tree sehingga terbentuklah siklus fundamental. Aplikasi ini terbentuk dari beberapa Algoritma. Algoritma – Algoritma ini saling terhubung satu sama lain.
Algoritma 1 :
Baris matriks = 0 Jml_kolom maks = 0
Buat antrian kosong jml = 0
For titik = 1 Maks = 0 If titik tinjau = 1 Ada =1 Else Ada = 0
If jumlah ruas = maks Simpul terbesar ditemukan If ruas = simpul awal Titik tinjau = ruas Else
Cari ruas lain If ruas = titik
Spanning tree = ruas Algoritma 2:
Inisialisasi matriks E (ruas) Inisialisasi matriks ST (Spanning tree) If ruas E = ruas ST Ada = 1 Break Selesai If ada = 0 Ruas Co = ruas E endif Algoritma 3:
Inisialisasi matriks co_tree Inisialisasi matriks ST Inisialisasi matriks E Inisialisasi matriks V
Inisialisasi matriks Siklus (A) Baris=Co_Tree(i,1) Kolom=Co_Tree(i,2) If baris=ST Kolom=ST Break Endif If Matriks A = Matriks ST Ok=1 Else Ok=0 Endif Test_tertutup Return Algoritma 4:
6 Inisialisasi matriks Cx (Siklus Basis)
Inisialisasi matriks vector = A For count j = 1:n2 A = Cx Endfor For j = 1 Hubung = ‘0’ For k = 1 If ruas E = A Hubung = ‘1’ Endif Endfor Endfor 3.2.2 Flowchart
Program Aplikasi untuk membentuk siklus fundamental pada graf planar dapat diimplementasikan menggunakan antar muka berbasis GUI. Berikut adalah tahapan alur program untuk penyeleseain masalah tersebut berdasarkan algoritma yang ada. Flowchart 1 :
Alur program diatas merupakan alur tahapan yang untuk membentuk spanning tree dengan Algoritma BFS dengan simpul berderajat terbesar sebagai simpul awal. Alur ini dimulai dengan membuat counter dengan nama baris matriks tinjau dan jml_kolom maks yang masing – masing bernilai 0. Kemudian tinjau titik simpul apakah pernah dikunjungi. Jika sudah pernah maka program akan kembali menelusiuri titik berikutnya, jika belum pernah dikunjungi maka program akan menyimpan titik simpul tersebut dan melihat apakah mempunyai ruas terbanyak. Jika mempunyai ruas terbanyak maka simpul itu merupakan simpul awal. Jika bukan maka program kembali mencari titik terbanyak kembali.
Jika simpul awal telah ditemukan, telusuri satu persatu simpul kembali apakah mempunyai keterhubungan dengan simpul awal. Jika tidak maka telusuri simpul lain dan lewati simpul tersebut. Jika iya maka terbentuklah spanning tree dari graf tersebut dan program selesai.
Flowchart 2 :
Alur program diatas digunakan untuk mencari co tree yang didapat dengan mengurangkan anggota matriks pada E (ruas pada graf) dengan anggota matriks pada ST (ruas pada spanning tree). Alur tahapan
7 yang didapat mula – mula menginisialisasi matriks E dan matriks ST. Kemudian cek per anggota. Apakah anggota matriks E terdapat pada anggota matriks ST. Jika iya maka program akan melewati anggota matriks tersebut dan memeriksa anggota yang lainnya. Jika tidak maka akan terbentuklah matriks co dan program selesai. Flowchart 3 :
Alur Program diatas digunakan untuk membuat siklus Fundamental dari graf yang telah dibentuk. Alur dimulai dengan menginput matriks – matrik yang digunakan untuk membentuk basis siklus. Matriks – matriks yang digunakan ialah matriks spanning tree, co tree dan matriks ruas (E). Kemudian cek simpul – simpul co tree dengan mengambil salah satu ruas pada co tree apakah simpul tersebut terdapat pada spanning tree. Jika simpul tersebut terdapat pada spanning tree dan mempunyai keterhubungan dengan simpul lain maka matrik siklus = matriks Co + matriks ST. Kemudian test tertutup, jika sudah tertutup maka Siklus basisdidapat. Jika belum tertutup cari lagi simpul yang belum terhubung dalam ST.
Flowchart 4 :
Alur program diatas digunakan untuk membuat vector dari masing – masing siklus Basis yang telah dibuat. Alur dimulai dengan menginput matriks E dan matriks Cx (Siklus Basis). Kemudian buat matriks dari masing – masing siklus dan menyimpan dalam variable A. Setelah terbentuk matriks A cek konektifitas anggota matriks A dengan membandingkan matriks tersebut dengan matriks E. Jika terdapat konektifitas maka bernilai 1. Jika tidak terdapat konektifitas maka bernilai 0. Kemudian cetak vector dalam bentuk file dan selesai. 3.3 Rancangan dan Implementasi
Pada sub bab ini, dibahas mengenai desain rancangan antar muka (interface) dan juga implementasi dari algoritma yang digunakan, yaitu implementasi siklus fundamental graf planar. Untuk desain terdiri dari rancangan antar muka dan UML (Unified Modeling Language).
3.3.1 Rancangan Antar Muka
Pada rancangan antar muka akan diperlihatkan bagaimana bentuk dari GUI program aplikasi yang dibuat. Dibawah ini merupakan gambaran dari rancangan antar muka yang akan dibuat :
8 Halaman ini merupakan rancangan dari Aplikasi yang berbasis GUI. Pada rancangan halaman ini terdapat :
1. Statis teks 1 yang akan menampilkan judul dari aplikasi ini
2. Axes yang akan menampilkan gambar dari sembarang graf planar 3. Static text 2 akan menampilkan
tulisan berupa “Graf”
4. Edit Teks 1, akan menampilkan hasil dari pengujian planar
5. Static text 3, menampilkan huruf Ne yang memberitahukan user ini jumlah ruas yang telah diinput
6. Edit txt 2, menampilkan jumlah ruas 7. Static txt 4, menampilkan huruf Nv
yang memberitahukan user ini tempat menampilkan jumlah simpul yang diinput
8. Edit txt 3, menampilkan jumlah simpul yang diinput
9. Static text 5, menampilkan huruf V yang memberitahukan bahwa yang harus diinput pada bagian ini ialah matriks simpul
10. Edit txt 4, tempat menginput koordinat simpul
11. Static txt 6, menampilkan huruf E yang memberitahukan bahwa yang harus diinput ialah ruas
12. Edit txt 5, tempat menginput ruas – ruas yang terhubung pada sebuah graf
13. Buuton 1 bernama use data yang digunkan untuk menampilkan bentuk graf berdasarkan input
14. Button 2 bernama spanning tree yang akan menampilkan bentuk spanning tree
15. Button 3 bernama Tentang Kami, yang akan mengarahkan user ke halaman about dan menampilkan informasi tentang penulis
16. Button 4 bernama Bantuan yang digunakan untuk menampilkan halaman bantuan
17. Button 5 bernama Keluar, yang akan mengarahkan user keluar dari aplikasi
3.3.2 Rancangan UML
Untuk rancangan UML,
digambarkan dengan dua macam model UML, yaitu Use Case diagram dan Activity diagram.
1. Use Case Diagram
Diagram di atas merupakan bentuk Use Case diagram yang menggambarkan interaksi yang terjadi antara pengguna (user) dengan fungsional dari aplikasi.
9 Pada activity diagram di atas dapat terlihat aktifitas-aktifitas apa saja yang berlangsung selama aplikasi berjalan. Aktifitas dimulai pada state menu, kemudian bercabang menjadi aktifitas input graf, spanning tree, tentang kita dan keluar.
Di halaman awal terdapat aktifitas input graf. Disini user dapat menginput bentuk graf yang diinginkan dengan mengetahui letak – letak simpul dan ruas pada graf tersebut. Untuk aktifitas spanning tree akan mengarah pada halaman spaning tree yang akan menampilkan bentuk spanning tree dari sembarang graf planar. Selain tampilan spanning tree di halaman ini terdapat menu yang akan mengarahkan user ke halaman co tree.
Untuk Aktifitas pada halaman co tree serupa dengan aktifitas pada halaman spanning tree. Di halaman ini akan ditampilkan bentuk – bentuk ruas yang tidak digunakan pada spanning tree.
Aktifitas Siklus Fundamental akan mengarahkan user ke halaman fundamental. Halaman ini berada setelah halaman co tree. Di halaman ini akan ditampilkan bentuk – bentuk siklus fundamental yang didapat dari penggabungan spanning tree dengan salah satu ruas pada co tree.
Sedangkan untuk aktifitas tentang kami akan mengarahkan user ke halaman about yang berisi tentang penulis dan pembimbing dari penulis yang berupa kotak message. Dihalaman ini terdapat button OK yang akan mengarahkan user keluar dari aplikasi ini. Aktifitas keluar akan mengarahkan anda untuk keluar dari aplikasi ini dengan memunculkan kotak dialog terlebih dahulu.
VI. UJI COBA DAN HASIL 4.1 Lingkungan pengujian
Uji coba simulasi ini menggunakan computer yang diimplemantasikan pada Matlab 7.09 dengan menggunakan Matlab GUIDE dan menggunakan function. Berikut
adalah spesifikasi untuk hardware dan software yang digunakan untuk pembuatan aplikasi :
1. Spesifikasi hardware : Prosesor AMD Sempron M120, RAM 1 GB dan Hardisk 320GB
2. Spesifikasi Software : Matlab 7.12 dan Sistem Operasi Windows 7 (seven)
4.2 Pengujian
Pada tahapan pengujian dilakukan 3 kali uji coba dengan menggunakan graf sederhana yang berbeda – beda. Berikut adalah tabel simpul dan ruas untuk membuat graf sederhana pada uji coba ini :
Tabel 4.1 Tabel simpul dan ruas Graf V (simpul) E (ruas) 1 [0 1;0 0;0 -1;1 1;1 0;1 -1;2 1;2 0] [1 2;1 4;2 3;2 5;3 6;4 2;4 5;4 7;5 3;5 6;5 8;7 8;8 4] 2 [0 1;0.5 -1;1.5 1.5;1.5 2;2 0;2 -1] [1 2;1 3;2 3;2 4;2 5;3 4;3 5;4 6;5 6] 3 [0 1;0 -1;0.5 0;1.5 0;2 1;2 -1] [1 2;1 4;1 5;2 3;2 4;2 6;3 4;3 5;3 6;4 6;5 6] 4.3 Hasil Pengujian
Berdasarkan tabel simpul dan ruas yang telah dibuat maka didapatlah spanning tree, co tree dan siklus fundamental dari masing – masing graf yang telah terbentuk sebagai berikut :
1. Pengujian 1 :
Graf
Cek Planar
10 Co tree Siklus Fundamental : Siklus basis1 Siklus 1 = [ 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ] Siklus basis2 Siklus 2 = [ 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ] Siklus basis3 Siklus 3 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ] Siklus basis4 Siklus 4 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ] Siklus basis5 Siklus 5 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ] Siklus basis6 Siklus 6 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ] 2. Pengujian 2 : Graf Cek Planar Spanning tree Co tree Siklus Fundamental : Siklus basis1 Siklus 1 = [ 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ] Siklus basis2 Siklus 2 = [ 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ] Siklus basis3 Siklus 3 = [ 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ] Siklus basis4 Siklus 4 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ]
11 3. Pengujian 3 : Graf Spanning tree Co tree Siklus Fundamental : Siklus basis1 Siklus 1 = [ 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ] Siklus basis2 Siklus 2 = [ 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ] Siklus basis3 Siklus 3 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ] Siklus basis4 Siklus 4 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ] Siklus basis5 Siklus 5 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ] Siklus basis6 Siklus 6 = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ]
Dari hasil pengujian beberapa graf di atas dapat diketahui beberapa hasil, yaitu antara lain :
1. Banyaknya basis fundamental yang didapat pada setiap graf tergantung dari banyaknya ruas pada co tree 2. Setiap siklus pada basis fundamental
dapat diketahui vector-nya yang merepresentasikan keterhubungan antara simpul satu dengan simpul lainnya. Hasil vector ini bernilai 1 dan 0. 1 jika terdapat keterhubungan dan 0 jika tidak terdapat keterhubungan.
3. Semua model graf dapat direpresentasikan menggunakan matriks insidensi dan diploting kedalam aplikasi
4. Baik graf planar maupun bukan graf planar dapat dicari spanning tree, co tree dan siklus fundamentalnya.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Suatu graf sembarang planar dan non planar dapat di reprentasikan dengan matriks insidensi dan di plot kedalam
12 aplikasi. Selain itu juga dapat dibentuk spanning tree dengan algoritma BFS sebagai simpul awal adalah derajat terbesar, co tree dan siklus fundamentalnya meskipun graf sembarang yang diberikan bukan graf planar. Dari tiap – tiap siklus dapat diketahui vector masing – masing yang menyatakan keterhubungan antar simpul pada setiap siklus. Aplikasi ini dapat digunakan untuk berbagai bidang dalam ilmu computer. Salah satunya ialah menentukan enumerasi siklus Hamilton yang berguna dalam berbagai bidang misalkan jaringan computer.
5.2 Saran
Terdapat beberapa kekurangan yang disebabkan oleh berbagai keterbatasan pengetahuan yang dimiliki oleh penulis dalam pembuatan program, seperti masih sederhananya interface dan cara kerja program yang dijalankan. Pengujian juga akan lebih optimal bila menggunakan lebih banyak data yang diuji. Oleh karena itu, sangat diharapakan saran dan ide-ide yang
dapat diberikan guna
menyempurnakan implementasi dan pengembangan dari algoritma ini secara keseluruhan agar menjadi lebih baik dan bermanfaat.
DAFTAR PUSTAKA
[1]BasisGraphAlgorithms.cs.anu.edu.au/stud ent/comp3600/apac/Basis_graph_algorithms .pdf. [2]http://dee83.wordpress.com/2008/08/16/k onsep-dasar-graf/\ [3] kur2003.if.itb.ac.id/file/Graf-1.doc [4]www.ittelkom.ac.id/staf/zka/Matematika %20Diskrit/Pohon.ppt [5]www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/20 07.../MakalahIF2153-0708-039.pd... [6] http://en.wikipedia.org/wiki/Cograf [7] Corneil, Lerchs & Burlingham 1981 [8]yuni_dwi.staff.gunadarma.ac.id/Downloa ds/.../Bab+3+-+Pohon+(Tree).pdf [9]nic.unud.ac.id/~lie_jasa/Diskrit%20II%2 0Pertemuan%20X.pdf [10]http://www.personal.kent.edu/~rmuham ma/Algorithms/MyAlgorithms/Graph Algor/breadthSearch.htm. [11]http://www.docstoc.com/docs/80010026 /Building-a-Spanning-Tree-using-a-Breadth-first-Search [12]http://hmmusu.blogspot.com/2011/03/gr af-planar.html [13]DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTASTEKNOLOGI INDUSTRI INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG (2003), Penggambaran Graf.
![Tabel 4.1 Tabel simpul dan ruas Graf V (simpul) E (ruas) 1 [0 1;0 0;0 -1;1 1;1 0;1 -1;2 1;2 0] [1 2;1 4;2 3;2 5;3 6;4 2;4 5;4 7;5 3;5 6;5 8;7 8;8 4] 2 [0 1;0.5 -1;1.5 1.5;1.5 2;2 0;2 -1] [1 2;1 3;2 3;2 4;2 5;3 4](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/4250873.2878324/9.918.114.821.116.1153/tabel-tabel-simpul-dan-ruas-graf-simpul-ruas.webp)
