EKONOMETRIKA DASAR Modul 3 TONO SAKSONO

EKONOMETRIKA DASAR

Modul 3

Histogram dan Poligon Frekuensi

 Histogram atau histogram frekuensi terdiri atas empat persegi

panjang yang memiliki:

 Basis (dasar) yang terletak pada sumbu horizontal (sumbu x),

dimana tengahnya terletak pada class mark (tanda kelas) dan panjangnya sama dengan ukuran kelasnya.

 Luas yang proporsional dengan kelas frekuensinya

 Poligon frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah

puncak daripada empat persegi panjang dalam sebuah histogram

Gambar 2.1

10

20

30

40

Distribusi Frekuensi Relatif

 Frekuensi relatif sebuah kelas adalah frekuensi kelas tersebut dibagi

dengan frekuensi total semua kelas yang umumnya dinyatakan

dalam persentase. Contoh: frekuensi relatif kelas 66-68 pada Tabel 2.1 adalah 42/100 = 42%

 Jumlah frekuensi relatif adalah 1 atau 100%.

 Jika Frekuensi di tabel frekuensi di atas diganti dengan frekuensi

relatifnya, maka tabel tersebut dinamakan distribusi frekuensi

relatif, distribusi presentasi, atau tabel frekuensi relatif.

Distribusi Frekuensi Kumulatif

 Total frekuensi semua nilai yang lebih kecil dari batas atas

dinamakan frekuensi kumulatif.

 Contoh: frekuensi kumulatif sampai dengan kelas interval 66-68 di

Tabel 2.1 adalah 5+18+42 = 65. Ini berarti, 65 mahasiswa memiliki berat kurang dari 68.5;

 Tabel yang menggambarkan frekuensi kumulatif dinamakan

distribusi frekuensi kumulatif, tabel frekuensi kumulatif atau disingkat distibusi kumulatif dan diberikan pada Tabel 2.2.

Bobot

(kg)

Jumlah mahasiswa

< 59.5

0

< 62.5

5

< 65.5

23

< 68.5

65

< 71.5

92

< 74.5

100

 σ_𝑗=1𝑛 𝑥_𝑗 = 𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃+ . . . . +𝑥_𝑛

 σ_𝑗=1𝑛 𝑥_𝑗𝑦_𝑗 = 𝑥₁𝑦₁ + 𝑥₂𝑦₂ . . . . 𝑥_𝑛𝑦_𝑛

 σ_𝑗=1𝑛 𝑎𝑥_𝑗 = 𝑎 σ𝑛_𝑗=1 𝑥_𝑗 = 𝑎𝑥₁ + 𝑎𝑥₂+ . . . 𝑎𝑥_𝑛

 Rerata dinamakan a measure of central tendency

 Arithmetic mean (atau mean);

 Median

 Mode

 Geometric mean

 Harmonic mean

ҧ𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3+ . . . . 𝑥𝑛

𝑛 =

σ_𝑗=1𝑛 𝑥_𝑗 𝑛

Contoh: arithmetic mean dari 8, 3, 5, 12, 10 adalah: ҧ𝑥 = 8 + 3 + 5 + 12 + 10

5 =

38

5 = 7.6

Arithmetic Mean

 Jumlah deviasi dari sederet angka terhadap arithmetic mean-nya sama

dengan NOL;

 Contoh: deviasi angka-angka: 8, 3, 5, 12, 10 adalah:  𝑣₁ = 8 − 7.6 = 0.4  𝑣₂ = 3 − 7.6 = −4.6  𝑣₃ = 5 − 7.6 = −2.6  𝑣₄ = 12 − 7.6 = 4.4  𝑣₅ = 10 − 7.6 = 2.4  Maka 0.4 - 4.6 - 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0

 Jumlah kuadrat dari 𝑣_𝑗 adalah minimum  𝑣₁ 2 + 𝑣₂ 2+ . . . + 𝑣_𝑘 2 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

 Median adalah harga tengah (middle value) atau arithmetic mean dari

dua middle values;

 Contoh 1:

 Himpunan (set): 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 memiliki median 6;  Contoh 2:

 Himpunan (set): 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 memiliki median ½(9+11) = 10

 Mode dari serangkaian angka adalah harga yang frekuensinya paling

tinggi.

 Mode mungkin saja tidak ada. Atau jika ada pun mungkin tidak unik.  Contoh 1:

 Set (Himpunan): 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 memiliki mode 9;  Contoh 2:

 Himpunan: 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 tidak memiliki mode  Contoh 3:

 Himpunan: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 memiliki dua mode 4 dan 7

(bimodal)

Mode

 Root Mean Square (RMS) dari sebuah himpunan angka 𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛 didefinisikan dengan: 𝑅𝑀𝑆 = 𝑥2 = σ𝑗=1 𝑛 _𝑥 𝑗2 𝑛 = σ 𝑥2 𝑛

 Contoh: RMS sebuah Himpunan: 1, 3, 4, 5, 7 adalah:

12 + 32 + 42 + 52 + 72

5 = 20 = 4.47

 Tingkat penyebaran data numeris terhadap harga reratanya dinamakan

variation atau dispersion.

 Beberapa ukuran dispersi ini adalah:

 Range

 Mean deviation

 Semi-interquartile range

 10-90 percentile range, dan

 Standard deviation

Contoh:

Range sebuah himpunan 2, 3, 3, 5, 5, 5, 10, 12 adalah: (12-2) = 10.

Kuncinya adalah angka terkecil dan terbesar

𝑀𝑒𝑎𝑛 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑀𝐷 = σ𝑗=1 𝑛 _𝑥 𝑗− ҧ𝑥 𝑛 = σ 𝑥− ҧ𝑥 𝑛 = 𝑥 − ҧ𝑥 dimana

 ҧ𝑥 adalah arithemetci mean

 𝑥_𝑗 − ҧ𝑥 adalah harga absolut deviasi 𝑥_𝑗 dari ҧ𝑥

Contoh:

Cari mean deviation dari sebuah himpunan angka 2, 3, 6, 8, 11

Arithmetic mean = ҧ𝑥 = 2+3+6+8+11 5 = 6 Mean deviation (MD)= 2−6 + 3−6 + 6−6 + 8−6 + 11−6 5 = 4+3+0+2+5 5 = 2.8

Jika 𝑥₁, 𝑥₂, . . . . , 𝑥_𝑘 muncul dengan frekuensi 𝑓₁, 𝑓₂, . . . . , 𝑓_𝑘, maka mean deviationnya 𝑀𝐷 = σ𝑗=1 𝑘 _𝑓 𝑗 𝑥𝑗 − ҧ𝑥 𝑛 = σ 𝑓 𝑥 − ҧ𝑥 𝑛 Dimana: 𝑛 = ෍ 𝑗=1 𝑘 𝑓_𝑗

Standard deviation (s) sebuah himpunan 𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛 didefinisikan sebagai berikut: 𝑠 = σ𝑗=1 𝑛 _𝑥 𝑗 − ҧ𝑥 2 𝑛 Dimana:

ҧ𝑥 adalah arithmetic mean Jadi

s = root mean square deviation

s di sini dinamakan uncorrected standard deviation atau biased standard deviation.

Cukup representative, jika jumlah sampelnya besar

Jika 𝑥₁, 𝑥₂, . . . . , 𝑥_𝑘 muncul dengan frekuensi 𝑓₁, 𝑓₂, . . . . , 𝑓_𝑘, maka standard deviationnya 𝑠 = σ𝑗=1 𝑘 _𝑓 𝑗 𝑥𝑗 − ҧ𝑥 2 𝑛 Dimana: 𝑛 = ෍ 𝑗=1 𝑘 𝑓_𝑗

Variance adalah kuadrat dari standard deviation.

Jika s = standard deviation Maka s2 _{= variance}

Untuk memperoleh unbiased variance atau unbiased standard deviation,

digunakan rumus: 𝑠2 = 1 𝑛 − 𝑢 ෍ 𝑗=1 𝑛 𝑥_𝑗 − ҧ𝑥 2 Dimana: n-u = r

𝑟 = (𝑛 − 𝑢), redundancy (kelebihan pengamatan); 𝑢 = jumlah pengamatan minimum yang diperlukan

 Standard Deviation 𝑠 = σ𝑗=1

𝑛 _𝑥

𝑗− ҧ𝑥 2

𝑛 dimana ҧ𝑥 adalah rerata atau

arithmetic mean.

 Untuk normal distribution, dapat dibuktikan bahwa

a) 68.27% kasus pengukuran akan masuk di antara ҧ𝑥 − 𝑠 dan ҧ𝑥 + 𝑠; b) 95.45% kasus pengukuran akan masuk di antara ҧ𝑥 − 2𝑠 dan ҧ𝑥 + 2𝑠; c) 99.78% kasus pengukuran akan masuk di antara ҧ𝑥 − 3𝑠 dan ҧ𝑥 + 3𝑠.

Hitunglah mean deviation (MD) dari Himpunan berikut: a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

CONTOH 4.3

Penyelesaian a) Arithmetic mean ҧ𝑥 = 12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5 8 = 76 8 = 9.5 𝑀𝐷 = σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 8 = 12 − 9.5 + 6 − 9.5 + 7 − 9.5 + 3 − 9.5 + 15 − 9.5 + 10 = 9.5 + 18 − 9.5 + 5 − 9.5 8 = 2.5 + 3.5 + 2.5 + 6.5 + 5.5 + 0.5 + 8.5 + 4.5 8 = 4.25

 Definisi klasik probabilitas: Misal, sebuah peristiwa E dapat terjadi

dalam h kali dari total n kali yang memiliki kemungkinan yang sama.

 Maka probabilitas kemunculan peristiwa ini dinamakan sukses

didefinisikan:

𝑝 = 𝑃𝑟 𝐸 = ℎ 𝑛

 Probabilitas kegagalan (failure) nya adalah:

𝑞 = 𝑃𝑟 𝑛𝑜𝑡 𝐸 = 𝑛−ℎ

𝑛 = 1 − ℎ

𝑛 = 1 − 𝑝 = 1 − 𝑃𝑟 𝐸

 Jadi 𝑝 + 𝑞 = 1, atau 𝑃𝑟 𝐸 + 𝑃𝑟 𝑛𝑜𝑡 𝐸 = 1  Peristiwa “not E” sering disebut juga: ത𝐸

 Misal E adalah peristiwa yang dapat menghasilkan angka 3 dan 4

dalam satu lemparan dadu.

 Ada enam kemungkinan hasil lemparan dadu, yaitu: angka 1, 2, 3,

4, 5, atau 6 (jika dadu-nya tidak bias, maka ke enam angka di atas memiliki peluang sama);

 Karena E dapat muncul dalam dua di antara enam persitiwa,

maka:

𝑝 = Pr 𝐸 = 2 6 =

1 3

 Dan probabilitas tidak memperoleh angka 3 atau 4 (yaitu

memperoleh angka 1, 2, 5, atau 6):

𝑞 = Pr ෨𝐸 = 1 − 1 3 =

2 3

Contoh:

 Probabilitas sebuah peristiwa adalah antara 0 dan 1;

 Jika peristiwanya tidak dapat muncul, maka probabilitasnya = 0;  Jika peristiwanya harus muncul, atau kemunculannya pasti, maka

probabilitasnya = 1

Ingat:

 Definisi yang lebih baik adalah menggunakan istilah frekuensi relatif

dari terjadinya peristiwa jika jumlah pengamatannya cukup besar.

 Contoh:

 Jika 1000 lemparan koin menghasilkan 529 heads, maka

frekuensi heads = 529/1000 = 0.529;

 Jika 1000 lemparan berikut menghasilkan 493 heads, frekuensi

relatif untuk total 2000 lemparan adalah: (529+493)/2000 = 0.511;

 Menurut definisi statistik, dengan melanjutkan lemparan2

tersebut, akhirnya akan mendekati pada sebuah angka yang dinamakan probabilitas diperolehnya satu head dalam satu

lemparan koin;

 Saat ini kita sudah memperoleh angka 0.511 yang mendekati

angka teoretis 0.5.

 Statistik sukar didefinisikan secara matematik karena

batas angka yang sebenarnya mungkin tidak pernah ada

 Teori probabilitas modern dibangun berdasarkan kaidah

axiomatik.

 Jadi, probabilitas sebetulnya merupakan konsep yang

tidak dapat didefinisikan

 Mirip dengan titik dan garis yang juga tidak dapat

 E₁ dan E₂ adalah dua peristiwa

 Probabilitas E₂ terjadi Karena E₁ sudah terjadi dinyatakan dengan: 𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁ dinamakan probabilitas kondisional E₂ karena E₁ telah

terjadi.

 Jika kejadian atas ketidakmunculan 𝐸₁ tidak mengakibatkan probabilitas terjadinya peristiwa 𝐸₂, maka:

𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁ = 𝑃𝑟 𝐸₂ atau dikatakan: E₂ dan E₁ adalah peristiwa yang independen. Jika tidak, maka keduanya adalah peristiwa yang

dependen (saling tergantung, tidak bebas).

 Jika kita namakan E₁E₂ adalah peristiwa dimana “kedua dan

terjadi”, ini dinamakan compound event dan dinyatakan dengan: 𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁

 Untuk independent events:

 Misal E₁ adalah peristiwa “head dalam lemparan ke 5”, dan E₂

adalah peristiwa “head dalam lemparan ke 6”.

 𝐸₁dan 𝐸₂ adalah independent events (peristiwa bebas, tidak saling tergantung).

 Maka probabilitas didapatkannya head pada lemparan ke lima

dan ke enam dinyatakan dengan:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂ = 1 2 1 2 = 1 4

Contoh 1

 Jika probabilitas A dapat hidup selama 20 tahun lagi adalah 0.7

dan probabilitas B untuk hidup 20 tahun lagi adalah 0.5, maka probabilitas keduanya dapat hidup 20 tahun lagi adalah:

(0.7)(0.5)=0.35

Contoh 2

 Sebuah kotak berisi 3 bola putih dan 2 bola hitam. Misal E₁ adalah

peristiwa “bola yang diambil pertama berwarna hitam”, dan E₂ adalah peristiwa “bola kedua yang diambil berwarna hitam”. Dimana, setelah bola diambil dari kotak tidak dimasukkan bola pengganti. Dengan demikian 𝐸₁ dan 𝐸₂ adalah independent events.

 Maka probabilitas bola pertama yang diambil adalah bola hitam: 𝑃𝑟 𝐸₁ = 2

3 + 2 = 2 5

 Dengan demikian, probabilitas kedua bola yang diambil berwarna

hitam adalah: 𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁ = 2 5 1 4 = 1 10

Contoh 3

 Dua atau lebih peristiwa dikatakan sama2 eksklusif jika kemunculan

salah satunya menghilangkan kemunculan yang lain.

 Jadi, jika E₁ dan E₂ adalah peristiwa yang sama2 eksklusif, maka:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 0

 Jika E₁ dan E₂ dinamakan sebagai peristiwa “salah satu dari E₁ atau

E₂ terjadi”, maka:

𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂ − 𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂

Probabilitas sama-sama exklusif

 Jadi, untuk peristiwa yang sama2 eksklusif:

𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂

 Secara umum: Jika E₁, E₂, . . . , E_n adalah n peristiwa yang sama2

eksklusif yang memiliki probabilitas p₁, p₂, . . . . , p_n, maka

probabilitas kemunculan salah satu dari E₁, E₂, . . . E_n, adalah: p₁ + p₂ + . . . . + p_n

 Jika 𝐴₁ adalah peristiwa “penarikan satu ace dari setumpuk kartu” dan 𝐴₂ adalah persitiwa “penarikan sebuah king”, maka:

𝑃𝑟 𝐴₁ = 4 52 = 1 13 dan 𝑃𝑟 𝐴2 = 4 52 = 1 13

 Probabilitas penarikan yang menghasilkan satu ace atau king

adalah: 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂ = 1 13 + 1 13 = 2 13

Karena kedua ace dan king tidak dapat diambil melalui satu tarikan, maka keduanya adalah mutually independent events.

 Sepasang dadu dilemparkan dimana x adalah jumlah dari kedua

hasil lemparan sepasang dadu tsb.

 Misalnya: probabilitas memperoleh jumlah 5 dari lemparan

sepasang dadu adalah 4/36 = 1/9. Artinya, dalam 900 lemparan kita harapkan 100 di antara lemparan akan menghasilkan jumlah 5;

 Perhatikan bahwa ini analog dengan dengan relative frequensy

distribution dengan relative frequency nya diganti dengan

probabilitas;

Distribusi Probabilitas yang Diskrit

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

 Jadi, distribusi probabilitas sebetulnya adalah bentuk ideal

(teoretis) dari relative frequency distribution jika jumlah pengamatannya dibuat sangat besar;

 Dengan kata lain, probability distribution adalah merupakan

distribusi untuk population (seluruh populasi), sedangkan relative

frequency distribution adalah distribusi untuk sampel yang diambil

dari populasi;

 Probability distribution dapat digambarkan secara grafis dengan

memplot p(x) terhadap x;

 Dengan mengakumulasikan probabilitas, kita memperoleh

cumulative probability distribution yang juga analog dengan cumulative relative frequency distribution.

0. 03 0. 06 0. 08 0. 11 0. 14 0. 17 0. 14 0. 11 0. 08 0. 06 0. 03 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PROB ABIL ITAS

JUMLAH HASIL LEMPARAN SEPASANG DADU P(X)

 Jika p adalah probabilitas bahwa seseorang akan menerima uang

sebesar S, maka ekspektasinya (expectation) didefinisikan sebagai

pS;

 Contoh:

 Jika probabilitas seseorang memenangi hadiah US$ 10 adalah

1/5, maka ekspektasinya adalah 1/5(US10) = US$ 2

 Konsep expektasi ini dapat dikembangkan. Jika x adalah sebuah

discrete random variable dengan harga2 nya x₁, x₂, . . . , x_k dan memiliki probabilitas p₁, p₂, . . . , p_k, dimana p₁+p₂+ . . . +p_k = 1, maka ekpektasi matematik x adalah:

𝐸 𝑥 = 𝑝₁𝑥₁ + 𝑝₂𝑥₂+ . . . + 𝑝_𝑘𝑥_𝑘 = σ_𝑗=1𝑘 𝑝_𝑗𝑥_𝑗

 Jika probabilitas p_j di atas diganti dengan relative frequencies 𝑓_𝑗/𝑁 dimana 𝑁 = σ 𝑓_𝑗, expektasinya bertambah kecil menjadi σ 𝑓𝑥 /𝑁 yang merupakan arithmetic mean ҧ𝑥 dari sebuah sampel berukuran

N dimana x₁, x₂, . . . , x_k muncul dengan relative probabilities di

atas. Jika N bertambah besar terus, maka relative frequencies f_j/N

akan mendekati harga probabilitas p_j;

 Ini berujung pada suatu interpretasi bahwa E(x) adalah merupakan

harga rerata (mean) dari sebuah populasi dari mana sampel tersebut diambil.

 Jika m adalah rerata dari sebuah sampel (sample mean) maka

 Jika kita memilih sampel dengan ukuran N secara acak dari

sebuah populasi (artinya: kita anggap bahwa semua sampel

memiliki probabilitas yang sama), maka dapat dibuktikan bahwa

harga harapan (expected value) dari sample mean m adalah merupakan population mean 𝝁.

 Namun, ini tidak berlaku bahwa expected value yang dihasilkan

dari sebuah sampel juga merupakan population quantity-nya;

 Misalnya, expected value dari sebuah sample variance adalah

bukan merupakan population veariance-nya. Tapi adalah (n-1)/n

kali variance-nya. Itulah sebabnya, ahli statistik memilih sample

variance sama sengan variance dikalikan dengan n/(n-1).

Jika 𝑝 adalah probabilitas peristiwa yang akan terjadi untuk percobaan tunggal, dan 𝑞 = 1 − 𝑝 adalah probabilitas jika gagal, maka probabilitas suatu peristiwa akan terjadi 𝑥 kali dalam 𝑛 percobaan dinyatakan

dengan: 𝑓 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 =

𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝

𝑥_𝑞𝑛−𝑥 _{ sering ditulis dalam bentuk lain}

𝑝 𝑥 = 𝐶_𝑥𝑛𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 = 𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝

𝑥_𝑞𝑛−𝑥

Contoh:

Probabilitas untuk memperoleh dua heads dalam 6 lemparan koin: 𝐶₂6 0.5 20.756−2 = 6!

2! 6 − 2 ! 0.5

2_0.756−2 ₌ 15

64

2.2 Distribusi Binomial

 Pengobatan leukemia tertentu memiliki 25% probabilitas dapat

menyembuhkan total.

 Jika 40 orang pasien dipilih secara acak dan diberi pengobatan,

berapakah probabilitas minimal 15 orang dapat disembuhkan?

 Misal 𝑥 = jumlah keberhasilan dalam 40 percobaan.Dengan demikian,

kita memerlukan 𝑃 𝑥 > 15 untuk 𝑝 = 0.25;

 𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥_𝑞𝑛−𝑥 Ditulis juga:  𝑝 𝑥 = 𝐶_𝑥𝑛𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝 𝑥_𝑞𝑛−𝑥 Dimana:  𝑞 = 1 − 𝑝;  𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … .0!  (0! 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 = 1) 𝑓 𝑥 = 40 15 (0.25) 15_(0.75)40−15₌ 40! 15! 40−15 ! (0.25) 15_(0.75)40−15_{= 0.028192}

Contoh 2.4

Probabilitas memperoleh dua heads dalam 6 lemparan adalah: 𝑝 𝑥 = 𝐶_𝑥𝑛𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 = 𝑛! 𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 𝑝 𝑥_𝑞𝑛−𝑥 n=6; x=2; p=1/2; q=1-1/2=1/5; 𝐶₂6 1 2 2 1 2 6−2 = 6! 2! 6 − 2 ! 1 2 2 1 2 6−2 = 720 2 24 1 2 6 = 15 64

Contoh 1 (hal 122 Schaum)

Probabilitas memperoleh minimal empat heads dalam 6

lemparan adalah:

𝑝 𝑥 = 𝐶

_𝑥𝑛

𝑝

𝑥

𝑞

𝑛−𝑥

=

𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !

𝑝

𝑥

_𝑞

𝑛−𝑥

𝐶

₄6 1 2 4 1 2 6−4

+ 𝐶

₅6 1 2 5 1 2 6−5

+ 𝐶

₆6 1 2 6 1 2 6−6

=

6! 4! 6−4 ! 1 2 4 1 2 6−4

+

6! 5! 6−5 ! 1 2 5 1 2 6−5

+

6! 6! 6−6 ! 1 2 6 1 2 6−6

=

720 24 2 1 2 6

+

720 120 1 2 6

+

720 720 1 2 6

=

720 (48)(64)

+

720 (120)(64)

+

720 (720)(64)

=

15 6 1 22 11

Distribusi probabilitas kontinyu yang terpenting adalah distribusi normal, atau kurfa normal, atau distribusi gauss yang fungsinya berbentuk:

𝑌 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 −1 2 𝑋−𝜇 ൗ 2 𝜎2 (3) Dimana:

 Luas total daerah yang dibatasai oleh fungsi (3) dan sumbu x adalah

satu.

Distribusi Normal (Schaum hal 123)

𝜇 = Mean (harga rerata)

𝜎 = Standard deviation (simpangan baku) 𝜋 = 3.14159 . . .

 Luas daerah di bawah kurva antara dua titik 𝑋 = 𝑎 dan 𝑋 = 𝑏 dimana

𝑎 < 𝑏 merepresentasikan probabilitas X terletak antara a dan b yang dinyatakan dengan 𝑃𝑟 𝑎 < 𝑋, 𝑏 .

 Jika variabel 𝑋 dinyatakan dalam unit standar 𝑧 = (𝑋 − 𝜇)/𝜎,

persamaan (3) dikatakan berada dalam bentuk standar (standard

form): 𝑌 = 1 2𝜋 𝑒 −1 2𝑧 2 (4)

Dalam kasus seperti ini, z dikatakan terdistribusi secara normal dengan

mean sama dengan NOL, dan variance sama dengan SATU, seperti

 Ide di atas dapat

dikembangkan dimana

variabel x dapat dianggap sebagai himpunan harga yang kontinyu

 Relative frequency poligon

untuk seluruh populasi

(teoretis) akan merupakan fungsi kontinyu

Distribusi Probabilitas yang Kontinyu

• Total luas di bawah kurva ini = 1 (100%), dan luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b memberikan nilai probabilitas harga x yang berada di antara a dan b. Atau ditulis:

DistributionMean1 Sigma 119 9.35 0.00439 13.54 1.45667 71 10.16 0.0184 20 10.48 0.03006 124 10.51 0.03133 33 10.54 0.03291 23 10.57 0.03418 58 10.83 0.04817 126 11.04 0.0631 1 11.11 0.06814 40 11.16 0.0721 50 11.23 0.07764 48 11.24 0.07857 68 11.36 0.08945 25 11.49 0.10181 35 11.60 0.11261 111 11.64 0.11708 45 11.73 0.12629 65 11.85 0.13971 61 11.85 0.13991 34 11.86 0.14051 29 11.96 0.1516 22 12.02 0.15871 125 12.05 0.16175 60 12.07 0.16434 24 12.15 0.17358 118 12.21 0.17999 44 12.29 0.18926 100 12.33 0.1942 32 12.36 0.19729 46 12.51 0.2137 2 12.59 0.22127 37 12.63 0.22496 63 12.64 0.22648 54 12.68 0.23011 47 12.74 0.23528 105 12.79 0.23951 90 12.89 0.24764 121 12.90 0.24893 80 12.92 0.25043 120 12.94 0.25169 110 12.97 0.25346 55 12.97 0.25395 21 12.98 0.25409 123 13.07 0.25993 97 13.14 0.26353 106 13.17 0.26521 67 13.21 0.26674 115 13.21 0.2668 104 13.24 0.26815 53 13.25 0.26831 27 13.27 0.26916 108 13.38 0.27213 107 13.45 0.27336 103 13.46 0.27341 4 13.47 0.27353 122 13.51 0.27382 62 13.56 0.27384 59 13.61 0.2736 101 13.66 0.27298 88 13.73 0.2715 78 13.76 0.27091 8 13.78 0.27035 39 13.79 0.26983 28 13.85 0.2677 3 13.85 0.2677 69 13.90 0.26585 116 13.92 0.26488 117 14.00 0.26044 83 14.03 0.25888 17 14.06 0.25681 16 14.08 0.25543 114 14.10 0.25474 18 14.10 0.25426 42 14.14 0.25157 94 14.16 0.25057 26 14.21 0.2468 57 14.21 0.24673 87 14.27 0.24148 12 14.27 0.24123 7 14.34 0.23553 84 14.34 0.23524 79 14.40 0.23046 41 14.41 0.22904 10 14.45 0.22517 52 14.46 0.22479 74 14.47 0.22389 43 14.47 0.22336 70 14.50 0.22011 64 14.51 0.21997 113 14.51 0.21903 81 14.52 0.21892 98 14.57 0.21385 75 14.61 0.20895 9 14.62 0.20764 36 14.68 0.20217 112 14.69 0.20048 5 14.70 0.19997 102 14.70 0.19984 38 14.73 0.19573 82 14.75 0.19458 76 14.78 0.19053 51 14.79 0.1901 56 14.82 0.18596 49 14.93 0.17411 73 14.93 0.17328 89 14.96 0.17048 96 15.01 0.16489 11 15.02 0.16408 77 15.03 0.16283 66 15.03 0.16224 109 15.06 0.15921 85 15.07 0.15732 31 15.09 0.15573 86 15.14 0.14966 93 15.15 0.14887 15 15.16 0.1473 14 15.17 0.14673 19 15.26 0.13629 30 15.30 0.13177 72 15.32 0.12958 13 15.35 0.12622 95 15.59 0.10144 91 15.65 0.0963 6 15.85 0.07754 99 16.02 0.06425 92 17.20 0.01176

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 9.50 10.50 11.50 12.50 13.50 14.50 15.50 16.50 17.50 D is tri b u si

Sun depression angle (dip) - derajat

𝜇 = 13.5

𝑧_𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝜇 𝜎 𝑧1 = 12−13.5 1.5 = -1.0 𝑧₂ = 13.5−13.5 1.5 = 0 𝑧₃ = 15−13.5 1.5 = +1.0

𝑓(𝑥)

𝑎 𝑏

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) _{Misal: 𝑏 = 1.72; 𝑎 = 1.50}

Maka probabiliti 𝑥 yang berada di antara 𝑎 dan 𝑏 dapat dilihat dari Tabel Standard Normal Curve.

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 0.4573 − 0.4332 = 0.0241 = 2.41%

Yaitu luasan dalam kurva yang berwarna merah

 Luas daerah dari 0 sampai 1.72 adalah 0.4573;

 Karena kurva berbentuk simetri, luas daerah antara 0 dan -1.72

juga 0.4573;

 Jadi, luas antara 0.65 sampai 1.72 diperoleh dari selisih luas L1 (dari

0 ke 1.72) dengan L2 (dari 0 ke 0.65) = 0.4573-0.2422 = 0.1829 atau 18.29%;

 Dengan cara sama, kita dapat menghitung:

 𝑃 −0.65 < 𝑥 < 1.44 = 0.2422 + 0.4251 = 0.6673 = 66.73%;

 𝑃 −1.44, 𝑥, −0.65 = 0.1892 = 18.92%;

 𝑃 𝑥 > 1.12 = 𝑃 𝑥 > 0 − 𝑃 0 < 𝑥 < 1.12 = 0.5 − 0.3686 = 0.1314 = 13.14%