sinyaller ve sistemler üniversite sınav soru cevapları

SİNYALLER VE SİSTEMLER ARASINAV SORULARI 21.11.2011 Süre: 80 dakika

1) x(t)=2u(t+2)−4u(t−2) sinyalinin tek ve çift bileşenlerini çiziniz. (15 puan)

2) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi

∫

− + = t t d x t y 2 ) 1 ( )

(

τ

τ

ile verilen sistem doğrusal mıdır, bellekli midir, nedensel midir, kararlı mıdır, zamanla değişen midir? (5x2 = 10 puan) (Açıklama beklenmemektedir.)

3) Birim basamak tepkisi şekildeki s[n] sinyali olan doğrusal zamanla değişmez bir sistemin girişine de

] [ ] [n s n

x = sinyali uygulanırsa çıkışı ne olur? Çiziniz. (20 puan) İstediğiniz yolla hesaplayınız.

Yol gösterme: Önce sistemin birim darbe tepkisini bulmanız kolaylıktır.

4) Birim darbe tepkisi h(t) ve girişi x(t) şekillerde verilen doğrusal zamanla değişmez sistemin çıkışını bulunuz. (25 puan) (Çizmeniz beklenmemektedir.)

5) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi ) ( ) ( 2 ) (t y t x t y& + =

ile verilen sistemin çıkışını, x(t)=u(t)cost girişi ve y(0)=0 başlangıç şartı için bulunuz. (15 puan)

6) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi ] 5 [ 6 ] [ 5 , 0 ] 1 [ 2 ] 2 [ 2y n+ − y n+ + y n = x n− ile verilen nedensel sistemin birim darbe tepkisini bulunuz. (15 puan)

BAŞARILAR … Yard. Doç. Dr. Ata SEVİNÇ

n ] [n s 0 1 2 3 4 5 3 4 2 1 − t ) (t h 2

π

0

SİNYALLER VE SİSTEMLER ARASINAV CEVAP ANAHTARI 21.11.2011

1) 2) Sistem belleklidir.

Doğrusaldır. Nedensel değildir.

Tek ve çift bileşenlerin önce sağ yarılarını bulalım: Kararlıdır (her sonlu sinyalin her 2

0≤t< için x_T(t)=(2−2) 2=0 xÇ(t)=(2+2) 2=2 sonlu zaman aralığı boyunca 2

=

t için x_T(2)=(−2−2) 2=−2 x_Ç(2)=(−2+2) 2=0 integrali sonludur). 2

>

t için xT(t)=(−2−0) 2=−1 xÇ(t)=(−2+0) 2=−1 Zamanla değişmez (sınırlarda sonlu

Bunların simetriklerini de alarak çizelim: sabit yok).

3) Birim darbe tepkisi: h[n]=s[n]−s[n−1]

Çıkış . Bunu klasik çarpmaya benzer yolla yapalım:

3 1 (-2) (-2) Sonuncusu × 3 4 2 Sonuncusu 6 2 (-4) (-4) 12 4 (-8) (-8) + 9 3 (-6) (-6) 4) 9 15 4 (-12) (-12) (-4) Sonuncusu t < 0 için :   − − ≤ ≤ = − diger 0 sin 2 ) ( ) ( h t t t x

τ

τ

τ

π

τ

) cos( 2 cos 2 cos 2 sin 2 ) (

τ

τ

τ

_π

π

π− = = − − = ₋ −

∫

t t d t y t_t t t t t y( )=4cos 0 ≤ t < π için :      ≤ ≤ ≤ ≤ − − = − diger 0 0 sin 2 0 sin 2 ) ( ) ( t t t h x

τ

τ

τ

π

τ

τ

τ

2 cos 2 ) cos( 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 ) ( 0 ₀ 0 0 + − − − = − = + − = ₋ −

∫

∫

t t d d t y t t t t

π

τ

τ

τ

τ

τ

τ

_π π 4 ) ( = → y t t ) (t x_T 0 2 2 2 − 2 − 1 − 1 t ) (t x_Ç 0 2 2 2 − 1 − 1      ≥ − < ≤ − − < = − − + = 2 2 2 2 2 2 0 ) 2 ( 4 ) 2 ( 2 ) ( t t t t u t u t x n ] [n h 0 1 2 3 4 5 3 1 2 − 1 − 2 − 6 ] [ * ] [ ] [n x n h n y = ] 4 [ h ] 3 [ ] 3 [ s x = ] 7 [ ] 4 3 [ y y + = n ] [n y 0 1 2 3 4 5 4 9 15 1 − 12 − 6 12 − 4 − 7 8 9 t ) (t−τ h 2 t π − t

∫

+∞ −∞ = − = = τ

τ

τ

τ

h t d x t h t x t y( ) ( )* ( ) ( ) ( )

t ≥ π için :    − ≤ ≤ = − diger 0 sin 2 ) ( ) ( h t t t xτ τ τ π τ t t t t d t y _π π

τ

τ

τ

− − − = =

_∫

2sin 2cos ) ( ) cos( 2 cos 2 + −π − = t t → y(t)=−4cost Sonuç:      ≥ − < ≤ < =

π

π

t t t t t t y cos 4 0 4 0 cos 4 ) (

5) Diferansiyel denklemin sağ tarafı u(t) ile çarpım halinde ve 0 anındaki tüm standart başlangıç şartları sıfır (burada 1. Mertebe olduğu için yalnızca y(0) = 0 ). Bu yüzden t ≥ 0 çözümünü u(t) ile çarpacağız.

2 0 2= → =− + λ λ 0 ≥ t için homojen çözüm: yh t A

e

t 2 ) ( = −

sağ taraf = x(t)=cost için m j∉

{ }

λ

, dolayısıyla yö(t)=bsint+ccost y&ö(t)=bcost−csint → y&ö(t)+2yö(t)=(b+2c)cost+(−c+2b)sint =cost

1 2 = + c b 0 2b−c= → b=15, c=2 5 yö t t cost 5 2 sin 5 1 ) ( = − → y t A

e

t t cost 5 2 sin 5 1 ) ( = −2 + − y(0)=0=A−2 5 → A=2 5

Tüm zamanlar için çıkış:

(

sin 2cos

)

( ) 5

1 )

(t

2

2 t t u t

y =

e

− t + −

6) n>5 için 2h[n+2]−2h[n+1]+0,5h[n]=0 denklemini h[6]=0 ve h[7]=6 2=3 için çözeriz: 0 5 , 0 2 2λ2− λ+ = 2 1 2 1= = →

λ

λ

(

)

7 2 1 2 ] [ = +₋ → n n A A n h → h[6]=2A₁+12A₂ =0 h[7]= A₁+7A₂ =3 → A₁ =−18 , A₂ =3

Tüm zamanlar için yazılırsa:

(

)

[ 7] 2 18 3 ] [n = n−₋₇ u n− h _n

Başka gösterimler de mümkündür. Meselâ,

(

)

(

)

(

)

_{[ 7]} 2 2304 384 ] 6 [ 2 2304 384 ] 6 [ 2 36 6 ] [n = n−₋₆ u n− = n− u n− = n− u n− h _{n n n} SS-V-2011-CA-2 t ) (t y 0

π

π − 2

π

π

2 − 4 − 4 0

) (t h t 0 2 1 1 0 1 2 3 4 ] [n h n

SİNYALLER VE SİSTEMLER FİNAL SINAVI SORULARI 04.01.2012 Süre: 80 dakika

3. ve 4. sorular zorunludur. Diğer sorulardan istediğiniz 3 tanesini çözünüz.

1) a) a bir tamsayı olmak üzere x[n]*δ[n−a]=x[n−a] olduğunu, konvolüsyon toplamı formülünü kullanarak ispatlayınız. (10 puan)

b) Birim darbe tepkisi aşağıdaki h(t) olan doğrusal zamanla değişmez (DZD) sistem bellekli midir, nedensel midir, kararlı mıdır? Her birini DZD sistemlere özel kuralını uygulayarak belirtiniz. (3+3+4=10 puan)

2) Birim darbe tepkisi yandaki h(t) olan (DZD) sistemin girişine x(t)=h(t) sinyali uygulanırsa alınacak çıkış sinyalini ( y(t)) çiziniz. (20 puan)

3) Birim darbe tepkisi h[n] yanda verilen DZD sistemin girişine xn = − n ∀n ) 1 ( ] [ sinyali uygulanırsa çıkış fonksiyonu ne olur? (Çizim beklenmemektedir.) (25 puan)

4) Primerine AC gerilim uygulanan yüksüz bir trafonun primer akımı şekildeki gibidir. Bu akımın gerçel ve karmaşık Fourier serileri

(

)

∑

∑

+∞ −∞ = +∞ = = + + = k k k k k t jk

e

c t k b t k a a t i ω ω ω 1 0 10 cos( ) sin( ) 2 ) (

biçimlerinde düşünüldüğünde buradaki katsayıların hangilerinin sıfır olduğu söylenebilir? (15 puan)

(“a ” , “₀ c ” , “₀ a_k ∀k” , “b_k ∀k” , “tek k’lar için hem a hem _k b hem _k c ” , “çift k’lar için hem _k a hem _k

k

b hem c ” , “tüm negatif k’lar için _k c ” , “tüm pozitif k’lar için _k c ” seçeneklerinden sıfır olanların _k hepsini seçiniz.)

5) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi aşağıda verilen nedensel sistemin transfer fonksiyonunu (6 puan) ve birim darbe tepkisini (14 puan) bulunuz.

)

(

4

)

(

12

)

(

6

)

(

8

)

(

2

&

y

&

t

+

y

&

t

+

y

t

=

x

&

t

+

x

t

6) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi ] [ ] 1 [ ] [ ] 1 [ 2y n+ −y n = xn+ +x n

ile verilen nedensel sistemin transfer fonksiyonunu (5 puan) ve x[n]=u[n] girişi için enerjisiz başlangıçlı çıkışını (15 puan) Z ve/veya Z-1 dönüşümleriyle bulunuz.

7) Kaydedilmiş bir ses sinyalinin (x(t)) genlik spektrumu X(

ω

) aşağıdaki gibidir. Bu sinyali kazanç spektrumu H(

ω

) aşağıdaki gibi olan ideal bir alçak geçiren süzgeçten geçirerek y(t) sinyali elde edilecektir.

) (t

y sinyalinin enerjisinin, x(t) sinyalinin enerjisinin yarısı olması isteniyorsa alt kesim frekansı ω_c ne olmalıdır? (20 puan)

t 0 2 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) (t =t⋅u t − t− ⋅u t− s ) 2 ( − −s t 2 − 2 4 ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ( ) (t =t⋅u t − t− ⋅u t− + t− ⋅u t− y t 0 2 2 4

SİNYALLER VE SİSTEMLER FİNAL SINAVI CEVAP ANAHTARI 04.01.2012 1) a)

∑

+∞ −∞ = − ⋅ − = − k a k k n x a n n

x[ ]*δ[ ] [ ] δ[ ] Darbe k =a dışında sıfır olduğu için x[n−k]’da k =a yazılır ve bu x[n−a] sabit (k’ya göre) olduğu için toplamın dışına çıkar:

] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ * ] [ 1 a n x a k a n x a k a n x a n n x k k − = − − = − ⋅ − = −

∑

∑

+∞ −∞ = +∞ −∞ = 43 42 1

δ

δ

δ

olur.

b) h(t)=0 ∀t<0 olduğundan dolayı DZD sistem nedenseldir.

h(t)≠Kδ(t) olduğundan (yani h(t) ötelenmemiş birim darbe cinsinden yazılamayacağı için) sistem belleklidir. Daha basitçesi: Bazı t ≠0 için h(t)≠0 olduğu için.

∫

= × = <∞ +∞ ∞ − 2 1 2 ) (t dt

h olduğundan sistem kararlıdır.

2) x(t)=u(t)−u(t−2) olduğundan y(t)=s(t)−s(t−2) olur, burada s(t) sistemin birim basamak tepkisi

olup

∫

−∞ = = th d t s τ

τ

τ

) ( )

( biçiminde hesaplanır. Yani t anındaki değeri h fonksiyonu grafiğinde t ’nin sol

tarafında biriken alandır. Buna göre s(t) ile −s(t−2) aşağıda soldaki şekildeki gibi olur. Bu iki bileşenin toplamıyla da y(t) aşağıda sağdaki gibi bulunur.

3) Çıkış: [ ]= [ ]* [ ]=

∑

[ ]⋅ [ − ]= [0]⋅ [ ]+ [1]⋅ [ −1]+ [2]⋅ [ −2] +∞ −∞ = h k xn k h x n h x n h x n n x n h n y k = + − + − = − + − − + − − = 4 4 3 4 4 2 1 0 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ] 2 [ ] 1 [ ] [ ] [n x n xn x n n n n y y n = − n ∀n ) 1 ( ] [

4) Sinyalin ortalaması sıfırdır (c0 =a0 2=0). Tek sinyal değildir (orijinle sağdaki ilk tepe arasında büküm var, soldaki ilk tepe arasında yok). Çift sinyal hiç değildir (orijinin hemen sağı pozitif, hemen solu negatif). Yani her a veya her _k b ’nın sıfır olduğu söylenemez. Sinyalin bir yarı periyodu, diğer yarı periyodunun _k negatifi değerlidir ( ) ( ) 2 ( 0 t x T t

x + =− ), yani tek harmonik simetrisi vardır. Sonuçta sıfır olanlar: “a ” , “0 c ” , “çift k’lar için hem 0 a hem k b hem k c ” k

Son iki seçenek ise sıfır sinyal hariç gerçel sinyallerde olmaz. Çünkü gerçel sinyallerde c_−k =c*_k olduğundan herhangi bir k için c sıfır olsa _k c_−k da sıfır olurdu.

5) Transfer fonksiyon : = + + + 6 ) ( 8 ) ( 2 4 ) ( 12 2 ω ω ω j j j ) 3 )( 1 ( 2 ) ( 6 ) ( + + + = ω ω ω ω j j j H ) 3 ( ) 1 ( + + + = ω ω j B j A 2 3 1 2 6 ) 3 ( 2 ) ( 6 1 − = + − + − = + + = − ← ω

ω

ω

j j j A 8 1 3 2 18 ) 1 ( 2 ) ( 6 3 = + − + − = + + = − ← ω

ω

ω

j j j B

=       + + + − = ) 3 ( 8 ) 1 ( 2 ) ( ω ω j j t h

ω

a − a      < ≤ − < < − + = diger 0 0 0 ) ( 2 a a a a X

ω

ω

ω

ω

ω

ω

c

ω

−

ω

c      < < − < < − + = diger 0 0 0 ) ( 2 _c c a a Y

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

= + −2

e

−tu(t) 8

e

−3tu(t) h(t)=

(

8

e

−3t −2

e

−t

)

u(t) 6) Transfer fonksiyon : = − + 1 2 1 z z 2 1 ; ) 2 1 ( 1 2 1 ) ( > − + ⋅ = z z z z H ⇒ = = [ ] 1 [ ] ] [n u n u n x n ; 1 1 ) ( > − = z z z z X 1 ; ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 1 ) ( ) ( ) ( > − − + ⋅ = = z z z z z z H z X z Y 2 1 1 ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 1 ) ( − + − = − − + ⋅ = z B z A z z z z z Y A z z A z = = − + × = − + = = 2 2 1 1 1 1 2 1 ) 2 1 ( 1 2 1 1 B z z B z = − = − + × = − + = = 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 ) 1 ( 1 2 1 2 1 ; 1 2 1 2 3 1 2 ) ( > − ⋅ − − = z z z z z z Y = × − × = → [ ] 2 1 2 3 ] [ 1 2 ] [n u n u n y n _n [ ] 2 1 2 3 2 ] [n u n y _n       × − = 7) x(t) sinyalinin enerjisi:

∫

+∞ −∞ = = t dt t x

E_x ( )2 (Sinyalin bir ses çıkış elemanı üzerine bırakacağı enerjinin

bununla orantılı olduğu anlamına gelir. Akım veya gerilim sinyalinin direnç üzerinde bıraktığı enerji gibi.) Parseval eşitliğine göre:

x E d X dt t x t = =

_∫

∫

+∞ −∞ = +∞ −∞ =

π

ω

ω

ω

2 2 ) ( 2 1 ) ( ve y E d Y dt t y t = =

_∫

∫

+∞ −∞ = +∞ −∞ =

π

ω

ω

ω

2 2 ) ( 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ω X ω H ω Y ω X ω H ω Y = → = 2 ) (ω

H grafiği H(

ω

)’nınkiyle aynı olduğundan çarpımın grafiği yanda gösterildiği gibi olur.

) (t y sinyalinin enerjisi:

∫

∫

= − = − + + = c c d a d a Ey ω ω ω ω ω ω π ω ω π ₀ 0 ) ( 2 1 ) ( 2 1 y c c c E a a a a a a a a c c = − − = − − − − − − = − − + = ₋

π

ω

π

ω

ω

ω

π

ω

π

ω ω ₂ ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 1 ) ( 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 x

E integralinin bundan tek farkı

ω

_c yerine de a yazılması olduğu için

π

2 2 a E_x = bulunur. 2 2 2 ) ( 2 1 a a a E E _c x y − −

ω

= = → → a2 =2a2 −2(a−ωc)2 2 2 ) ( 2 a− c =a → ω → = − → a

ω

c a 2

ω

c =

(

1−1 2

)

⋅a≈0,29a SS-F-2012-CA-2

1 0 1 2 3 4 ] [n x n 1 − 2 − 5 6 7 8 2 1 t 0 2 2 4 ) (t s t 0 2 1 ) (t x t 1 1 − 0 1 2 3 1 − 2 − 3 − ) (t y

SİNYALLER VE SİSTEMLER BÜTÜNLEME SINAVI SORULARI 18.01.2012 Süre: 80 dakika

1) Bir öğrencinin ders çalışma sistemi şöyledir: Her bir derse çalışmaya sınavdan üç gün önce 1 saat ile başlıyor, iki gün önce 2 saat, bir gün önce 3 saatle devam ediyor ve sınav günü 1 saat ile o derse çalışmayı sonlandırıyor. Günlere göre sınav sayıları giriş, günlük ders çalışma saat sayıları çıkış olarak tanımlanıyor ve öğrencinin sınav programının, bu sistemin doğrusal ve zamanla değişmez olmasını bozmayacak, günün mümkün olan saat sınırlarını zorlamayacak bir yoğunlukta olduğu ve aksamayacağı varsayılıyor.

a) Sistemin birim darbe tepkisini çiziniz. (6 puan) b) Varsayımlar altında sistem nedensel midir, kararlı mıdır? (2+2=4 puan) Genel ifadelerle değil, bu sisteme özel gerekçelerini belirterek yazınız.

c) Öğrencinin günlere (n) göre sınav sayıları (x[n])

grafikteki gibiyse bu öğrencinin günlere göre ders çalışma saat sayılarını grafikle gösteriniz. (10 puan)

2)

Birim basamak tepkisi yukarıdaki s(t) olan (DZD) sistemin

a) Girişine şekildeki x(t) uygulanırsa alınacak çıkış sinyalini (y(t)) çiziniz. (12 puan) b) Birim darbe tepkisini (h(t)) çiziniz. (8 puan)

Her iki çizimde de özel noktaların yeri belli olmalıdır.

3) Şekilde verilen T =2 ile periyodik y(t) sinyalini Fourier serisine açınız. (Genel katsayı formüllerini bulunuz ve serinin sıfırdan farklı en az 3 terimini, katsayılarının sayısal değerlerini yerine koyarak yazınız.)

(20 puan)

4) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi aşağıda verilen nedensel sistemin transfer fonksiyonunu (5 puan) ve x(t)=

e

−tu(t) girişi için enerjisiz başlangıçlı çıkışını (15 puan) bulunuz.

)

(

5

)

(

5

)

(

6

)

(

5

)

(

t

y

t

y

t

x

t

x

t

y

&

+

&

+

=

&

+

&

5) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi aşağıda verilen nedensel sistemin transfer fonksiyonunu (6 puan) ve birim darbe tepkisini (14 puan) bulunuz.

] [ 5 , 0 ] 1 [ ] [ 06 , 0 ] 1 [ 5 , 0 ] 2 [n y n y n x n xn y + − + + = + −

SİNYALLER VE SİSTEMLER BÜTÜNLEME SINAVI CEVAP ANAHTARI 18.01.2012

1) a) Bu sistem için birim darbe tepkisi demek, 0. günde bir adet sınavı varsa öğrencinin günlere göre çalışma saatleri demektir ve şekildeki gibidir.

b) Bazı n<0 için h[n]≠0 olduğu için sistem nedensel değildir. ∞ < = + + + =

∑

+∞ −∞ = [ ] 1 2 3 1 7 n n

h olduğu için sistem

kararlıdır. (Günün 24 saat sınırı olmasa bile bu nedenle kararlı olurdu.)

c) Çıkış y[n]=x[n]*h[n] . Her iki sinyal de sonlu süreli olduğu için şu yöntem uygulanabilir:

1 2 3 1
_sonuncusu h[0] 1 0 2 1
_sonuncusu x[5] 1 2 3 1 2 4 6 2 0 0 0 0 1 2 3 1

1 2 5 6 8 5 1
_sonuncusu y[0+5]= y[5]. Buna göre y[n] yukarıdaki şekilde

gösterildiği gibi olur. (Dikkat! Bu işlem her ne kadar klasik çarpmaya benzese de elde aktarımı yapılmaz ve her bir sayı eksi de olsa artı da olsa rakam rakam değil olduğu gibi sayı olarak ele alınır.)

2) a) x(t)=u(t)−u(t−2) olduğu için u yerine s ve x yerine y yazılır: y(t)=s(t)−s(t−2) olur. Aşağıda çıkışın bu iki bileşeni soldaki şekilde, toplamı () da sağdaki şekilde gösterilmiştir.

b) Birim darbe tepkisi

dt t ds t

h()= ( ) Yandaki şekildeki gibi elde edilir.

3) Gerçel seriye açalım:

∑

(

)

+∞ = + + = 1 0 ) sin( ) cos( 2 ) ( k k k k t b k t a a t y ω ω ;

ω

=2

π

T =2

π

2=

π

) ( ) ( t y t

y − =− olduğu için sinyal tektir. Dolayısıyla gerçel serisinde yalnız sinüslü terimler vardır. k

a

a0 = k =0 ∀ . Ayrıca tek harmonik simetrisine de sahip olduğu için tek k ’lar için bk sıfır olacaktır. Bunu

sağlama amacıyla kullanacağız.

∫

∫

∫

= = ⋅ = 1 0 2 2 0 2 0 ) sin( 1 2 ) sin( ) ( 2 4 ) sin( ) ( 4 dt t k dt t k t y dt t k t y T b T k

ω

π

π

π π π π π k t k k k k 2 ) cos( 2 ) cos( 2 1 0

|

= − −− − = k

b için k ’nın sıfır olması söz konusu olmadığı için burada belirsizlik yoktur. cos(kπ)=(−1)k olduğu için × + 6 t 0 2 1 2 4 3 − 5 ) (t s 5 ) 2 ( − −s t 2 − t 0 2 2 4 ) (t y 2 − 3 ₆ 6 t 0 1 2 4 ) (t h 1 − 1 0 _{1 2} 3 4 ] [n h n 1 − 5 − 2 1 4 − −3 −2 3 1 0 1 2 3 4 ] [n y n 1 − 2 − 5 6 7 8 2 1 3 − 5 6 8 5

(

k

)

k k b = 2 1−(−1) π   = → çiftse 0 tekse 4 k k k bk π π π π 5 4 , 3 4 , 4 5 3 1 = = = → b b b .       + + + = K 5 ) 5 sin( 3 ) 3 sin( 1 ) sin( 4 ) (t t t t y π π π

π Tek harmonik simetrili olduğu için seride çift harmonik

yoktur. Karmaşık seri katsayıları istenirse, sinyal tek olduğu için

  − = − = − = ₋ çiftse 0 tekse 2 2 k k k j b j c c k k k π π π π 5 2 , 3 2 , 2 5 5 3 3 1 1 c j c c j c c j c =− =− =− =− =− =− → _{− − −} K K+ + + − − − − = −j t −j t −j t j t j t j t

e

e

e

e

e

e

j j j j j j t y π π π π π π π π π π π π 5 3 3 5 5 2 3 2 2 2 3 2 5 2 ) ( 4) Transfer fonksiyon : = + + + 6 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 2 ω ω ω j j j ) 3 )( 2 ( ) 1 ( 5 ) ( + + + = ω ω ω ω j j j H 1 1 ) ( ) ( ) ( + = →  = − ω ω j X t u t x

e

t 1 1 ) 3 )( 2 ( ) 1 ( 5 ) ( ) ( ) ( + ⋅ + + + = = ω ω ω ω ω ω ω j j j j X H Y ) 3 ( ) 2 ( ) 3 )( 2 ( 5 ) ( + + + = + + = ω ω ω ω ω j B j A j j Y 5 3 2 5 ) 3 ( 5 2 = + − = + = − ← ω ω _j j A 5 2 3 5 ) 2 ( 5 3 − = + − = + = − ← ω ω _j j B = − = →  ( ) 5 − ( ) 5 − ( ) ) ( y t 2u t 3u t Y

ω

e

t

e

t y(t)=5

(

e

−2t −

e

−3t

)

u(t) 5) Transfer fonksiyon : = + − − 06 , 0 5 , 0 5 , 0 2 z z z 3 , 0 ; ) 3 , 0 )( 2 , 0 ( 5 , 0 ) ( > − − − = z z z z z H 3 , 0 2 , 0 ) ( − + − = z B z A z H A z z A z = = − − = − − = = 3 3 , 0 2 , 0 5 , 0 2 , 0 ) 3 , 0 ( 5 , 0 2 , 0 B z z B z = − = − − = − − = = 2 2 , 0 3 , 0 5 , 0 3 , 0 ) 2 , 0 ( 5 , 0 3 , 0 3 , 0 ; ) 3 , 0 ( 2 ) 2 , 0 ( 3 ) ( 1 1 > − − − = − − z z z z z z z z

H Buradaki z−1 çarpanı 1 adım geriletir:

] 1 [ ) 3 , 0 ( 2 ] 1 [ ) 2 , 0 ( 3 ] [ = × −1 − − × −1 − n u n u n h n n SS-B-2012-CA-2

Bilgisayar Mühendislği Bölümü

SİNYALLER VE SİSTEMLER ARASINAV SORULARI 18.4.2012 Süre: 75 dakika

1) Aşağıdaki sinyallerin periyodik olup olmadıklarını ve periyodik olan(lar)ın ana periyodunu yazınız.

(10 puan) a) y[n]=sin

(

2πn 7

)

+(−1)n b) x[n]=cos

(

2πn 7

) (

+sin 2πn 5

)

2) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi

∑

= + = 5 0 ] [ ] [ k k n x k n

y ile verilen sistem doğrusal mıdır, bellekli midir, nedensel midir, kararlı mıdır, zamanla değişen midir? (5x2 = 10 puan) (Açıklama beklenmemektedir.)

3) Birim basamak tepkisi şekildeki s[n] sinyali olan doğrusal zamanla değişmez bir sistemin girişine de

] [ ] [n s n

x = sinyali uygulanırsa çıkışı ne olur? Çiziniz. İstediğiniz yolla yapınız. (20 puan)

Yol gösterme: Önce sistemin birim darbe tepkisini bulmanız kolaylıktır.

4) Birim darbe tepkisi h(t)=−u(t)+2u(t−2)−u(t−4) ile verilen doğrusal zamanla değişmez bir sistemin girişine x(t)=2u(t−1) sinyali uygulanırsa alınacak çıkış sinyalini çiziniz. (20 puan)

5) Birim darbe tepkisi ( h ) ve girişi (x) şekillerde verilen doğrusal zamanla değişmez sistemlerden istediğiniz birisinin çıkışını ( y ) bulunuz. (20 puan) (Çizmeniz beklenmemektedir.)

a) h[n]=u[n]−u[n−4], x[n]=sin(

π

n 2) b) h(t)=u(t)−u(t−2), x(t)=cos(πt) 6) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi ) 3 ( 10 ) ( 50 ) ( 2&y& t + y t = x t− ile verilen nedensel sistemin birim darbe tepkisini bulunuz. (20 puan)

BAŞARILAR … Yard. Doç. Dr. Ata SEVİNÇ

n ] [n s 0 1 2 − 3 4 5 3 2 2 1 −

Bilgisayar Mühendislği Bölümü

SİNYALLER VE SİSTEMLER ARASINAV CEVAP ANAHTARI 18.4.2012

1) a) sin

(

2

π

n 7

)

→ N₁ =7 ve katları ile periyodik. (−1)n → N₂ =2

ve katları ile periyodik. ]

[n y

→ ise N =EKOK(N₁,N₂)=14 ile periyodiktir.

b) Hem 2 N₁ 7=2k hem de 2N₂ 7=2m şartını sağlayacak (N₁,k) ve (N₂,m) tamsayı çiftleri mümkün olmadığı için her iki bileşen de periyodik değildir. Periyodik olmayan bileşenlerin birbirini yok etme durumu da olmadığı için x[n] periyodik değildir.

2) [ ] [ ] [ 1) 2 [ 2] 3 [ 3] 4 [ 4] 5 [ 5] 5 0 + + + + + + + + + = + =

∑

= kx n k x n x n x n xn x n n y k

yazınca açıkça görülebileceği gibi sistem doğrusaldır, belleklidir (ama geleceği hatırlayan bellekli), nedensel değildir, kararlıdır, zamanla değişmez.

3) Birim darbe tepkisi: h[n]=s[n]−s[n−1]

Çıkış ise y[n]=h[n]*x[n]. Bunu klasik çarpmaya benzer yolla yapalım: 2 (-4) 5 (-3) Sonuncusu × 2 (-2) 3 Sonuncusu 6 (-12) 15 (-9) (-4) 8 (-10) 6 + 4 (-8) 10 (-6) 4 (-12) 24 (-28) 21 (-9) Sonuncusu 4) x(t)=2u(t−1) ⇒ y(t)=2s(t−1)

τ

τ

τ d h t s t

∫

−∞ = = ( ) )

( yanda alttaki gibi bulunur.

Bundan da y(t)=2s(t−1) hemen aşağıdaki gibi çizilir:

n ] [n h 0 1 2 3 4 5 2 1 − 3 − 6 4 − 5 ] 4 [ h ] 3 [ ] 3 [ s x = ] 7 [ ] 4 3 [ y y + = n ] [n y 0 1 2 3 4 5 4 24 1 − 12 − 6 21 28 − 7 8 9 9 − t 0 1 2 4 ) (t h 5 1 − 3 t 0 2 − 2 2 4 ) (t s t 1 4 − 3 5 ) (t y

5) y =x*h a)

∑

+∞ −∞ = − = k k n x k h n y[ ] [ ] [ ]    ≤ ≤ = diger 0 3 0 1 ] [k k h [ ] 1 [ ] [ ] [ 1] [ 2] [ 3] 3 0 − + − + − + = − ⋅ =

∑

= x n k x n x n x n x n n y k 4 4 3 4 4 2 1 4 43 4 42 1                 − − −       − +       − +       − +       = 2 2 sin 2 sin 2 3 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin ] [ π π π

π

π

π

π

π

π

π

n n n n n n n y → y[n]=0 b)

∫

+∞ −∞ = − = τ

τ

τ

τ

d t x h t y( ) ( ) ( )    ≤ ≤ = diger 0 3 0 1 ) (τ τ h

[

]

2 2 2 0 0 0 ) sin( 1 ) cos( ) ( 1 ) ( ₌ = = − − = − = − ⋅ =

_∫

_∫

_τ τ τ

τ

τ

π

π

τ

τ

π

π

π

τ

t d t d t x t y y(t)= 1

[

−sin(πt−2π)+sin(πt)

]

= π y(t)=0

Görüldüğü gibi doğrusal zamanla değişmez sistemlerde birim darbe tepkisi ve giriş sıfırdan farklı olsa da çıkış sıfır olabilmektedir.

6) t >3 için 2h&&(t)+50h(t)=0 denklemi h(3)=0, 5 2 10 ) 3

( = =

h& başlangıç şartlarıyla çözülmelidir.

5 0 50 2 1,2 2 j m = → = +

λ

λ

(

5( 3)

)

sin

(

5( 3)

)

cos ) ( = − + − → h t A t B t → h(3)=0= A → A=0

(

5( 3)

)

5 cos

(

5( 3)

)

sin 5 ) ( =− − + −

→ h& t A t B t → h&(3)=5=5B → B=1 bulunur.

Tüm zamanlar için çözüm ise: h(t)=u(t−3)⋅sin

(

5(t−3)

)

Bilgisayar Mühendislği Bölümü

SİNYALLER VE SİSTEMLER FİNAL SINAVI SORULARI 07.6.2012 Süre: 75 dakika

1) Cesur’un iğne korkusu doğrusal zamanla değişmez bir sistem olarak şöyle modelleniyor: n gün numarası, günlere göre vurulan iğne sayıları giriş, günlere göre duyduğu korku değeri (eksi sayı olursa kurtulma rahatlığı) çıkış olarak tanımlanıyor. Yeterince önceden öğrendiği her bir iğne vurulmadan 2 gün önce 1 birim, 1 gün önce 2 birim, iğne günü 3 birim, iğne vurulduğunun ertesi günü -1 birim korku duyuyor. Cesur, doktorunun kendisine günlük iğne sayıları şekilde verilen x[n] olan bir tedavi planı

uygulayacağını yeterince önceden öğreniyor. Planın gerçekleşeceği varsayılıyor. Buna göre: a) Sistemin birim darbe tepkisini çiziniz. (8 puan)

b) Sistem nedensel midir, kararlı mıdır, bellekli midir? Gerekçesini belirterek cevaplayınız. (9 puan) c) Sistem çıkışını çiziniz. (13 puan)

2) Yanda verilen T =2 ile periyodik x(t) sinyalinin Fourier serisi

biçimlerinde düşünüldüğünde buradaki katsayıların hangilerinin sıfır olduğu söylenebilir? (20 puan)

I. a0 ve c0

II. ak k >0

III. bk ∀k

IV. Tek k’lar için hem akhem bk hem ck

V. Çift k’lar için hem akhem bk hem ck

VI. Tüm pozitif k’lar için ck

VII. Tüm negatif k’lar için ck

Bu seçeneklerden sıfır olanların hepsini seçiniz. (Yanlış olarak fazla yazmanız eksik yazmanızla aynı puan kaybına neden olacaktır.)

3) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi aşağıda verilen nedensel sistemin transfer fonksiyonunu (6 puan) ve birim darbe tepkisini (14 puan) bulunuz.

)

(

2

)

(

5

)

(

2

)

(

3

)

(

t

y

t

y

t

x

t

x

t

y

&

+

&

+

=

&

−

&

4) Giriş(x)-çıkış(y) ilişkisi ] [ ] 1 [ ] [ ] 2 [n y n xn x n y + − = + −

ile verilen nedensel sistemin transfer fonksiyonunu (5 puan), birim darbe tepkisini (8 puan) ve ] [ ) 5 , 0 ( ] [n u n x = n

girişi için enerjisiz başlangıçlı çıkışını (17 puan) Z ve/veya Z-1 dönüşümleriyle bulunuz.

BAŞARILAR … Yard. Doç. Dr. Ata SEVİNÇ

(

)

∑

∑

+∞ −∞ = +∞ = = + + = k k k k k t jk

e

c t k b t k a a t i ω ω ω 1 0 10 cos( ) sin( ) 2 ) (

=       + + + − = ) 2 ( 12 ) 1 ( 7 ) ( ω ω j j t h Bilgisayar Mühendislği Bölümü

SİNYALLER VE SİSTEMLER FİNAL SINAVI CEVAP ANAHTARI 07.6.2012

1) a) Bu sistem için birim darbe tepkisi demek, Cesur, sadece 0. günde bir adet iğne vurulacağını yeterince önceden öğrenirse günlere göre duyacağı korku fonksiyonu demektir ve şekildeki h[n] gibidir.

b) Bazı n<0 için h[n]≠0 olduğu için sistem nedensel değildir. ∞ < = − + + + =

∑

+∞ −∞ = [ ] 1 2 3 1 7 n n

h olduğu için sistem

kararlıdır.

Bazı n≠0 için h[n]≠0 olduğu için sistem belleklidir.

c) Çıkış y[n]=x[n]*h[n] . Her iki sinyal de sonlu süreli olduğu için şu yöntem uygulanabilir:

1 2 3 -1
_sonuncusu h[1] 3 1 0 2
_sonuncusu x[4] 2 4 6 -2 0 0 0 0 1 2 3 -1 3 6 9 -3

3 7 11 2 3 6 -2
sonuncusu y[1+4]= y[5]. Buna göre y[n] yukarıdaki şekilde

gösterildiği gibi olur. (Dikkat! Bu işlem her ne kadar klasik çarpmaya benzese de elde aktarımı yapılmaz ve her bir sayı eksi de olsa büyük de olsa rakam rakam değil olduğu gibi sayı olarak ele alınır.)

2) x(t)−1 hem tek bir sinyaldir, hem de tek harmonik simetrisine sahiptir. Bu yüzden x(t) ’nin Fourier serisi 1

) (t −

x ’ in Fourier serisinden sadece a (veya ₀ c ) terimiyle farklıdır. ₀

II. a_k k >0 (Tek sinyallerin Fourier serilerinde cos terimleri olmaz)

V. Çift k’lar için hem a hem _k b hem _k c (Tek harmonik simetrisine sahip sinyallerin serilerinde _k çift harmonik olmaz. Ancak burada x(t) tek harmonik simetrisine sahip bir sinyalin 1 fazlası olduğu için k ≠0 kastedilmektedir. Yani a0 ≠0 ve c0 ≠0.)

katsayıları sıfır olur. Diğerlerinin sıfır olması zorunluluğu yoktur.

3) Transfer fonksiyon : = + + − 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 5 2 ω ω ω j j j ) 2 )( 1 ( 2 ) ( 5 ) ( + + − = ω ω ω ω j j j H ) 2 ( ) 1 ( + + + = ω ω j B j A 7 2 1 2 5 ) 2 ( 2 ) ( 5 1 − = + − − − = + − = − ← ω ωω _j j j A 12 1 2 2 10 ) 1 ( 2 ) ( 5 2 = + − − − = + − = − ← ω ωω _j j j B −7

e

−tu(t)+12

e

−2tu(t)= h(t)=

(

12

e

−2t −7

e

−t

)

u(t) × + 1 − 0 1 2 3 4 ] [n h n 1 − 2 1 4 − −3−2 3 3 0 1 2 3 4 ] [n y n 1 − 2 − 5 6 7 8 7 3 − 11 2 3 6 2 −

4) Transfer fonksiyon : = − − 1 1 2 z z 1 ; 1 1 ) ( > + = z z z H

Bunun Z-1 dönüşümü alınarak birim darbe tepkisi h[n]=(−1)nu[n] bulunur.

⇒ =(0,5) [ ] ] [n u n x n ; 0,5 5 , 0 ) ( > − = z z z z X 1 ; ) 5 , 0 )( 1 ( ) ( ) ( ) ( > − + = = z z z z z H z X z Y 1. yol: 5 , 0 1 ) 5 , 0 )( 1 ( 1 ) ( − + + = − + = z B z A z z z z Y A z A z = − = − − = − = − = 3 2 5 , 0 1 1 ) 5 , 0 ( 1 1 B z B z = = + = + = = 3 2 1 5 , 0 1 ) 1 ( 1 5 , 0 ; 1 5 , 0 3 2 1 3 2 ) ( > − ⋅ − + − = z z z z z z Y = × + − × − = → (0,5) [ ] 3 2 ] [ ) 1 ( 3 2 ] [n u n u n y n n

(

(0,5) ( 1)

)

[ ] 3 2 ] [n u n y = n− − n 2.yol: 5 , 0 1 ) 5 , 0 )( 1 ( ) ( − + + = − + = z b z a z z z z Y a z z a z = = − − − = − = − = 3 2 5 , 0 1 1 ) 5 , 0 ( ₁ b z z b z = = + = + = = 3 1 1 5 , 0 5 , 0 ) 1 ( _0,5 3 0,5 ; 1 1 1 3 2 ) ( 1 1 > − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = − − z z z z z z z z Y

Başlarındaki z çarpanı olmasaydı, Z−1 -1 dönüşümü alınınca (0,5) [ ] 3 1 ] [ ) 1 ( 3 2 n u n u n n _{+ ×} − × bulunurdu.

Ancak z çarpanı zamanda 1 adım gerilettiği için −1 = − × + − − × = − (0,5) − [ 1] 3 1 ] 1 [ ) 1 ( 3 2 ] [n 1u n 1u n y n n

(

(0,5) 2 ( 1)

)

[ 1] 3 1 ] [n = −1+ × − −1 u n− y n n bulunur.

İki yolla bulunan y[n] ifadeleri farklı görünseler de dikkat edilirse her n için aynı değeri verdikleri görülebilir.