Makalah Kelompok
“HIMPUNAN”
Di Ajukan Untuk Tugas Pada Mata Kuliah Seminar Matematika
Di Susun
O
L
E
H
Kelompok 9
1. LENNY PUJI ASTUTY (35 07 25824)
2. IRMAYANTI SARAGIH
PMM – 3 / SEM. VII
FAKULTAS TARBIYAH PENDIDIKAN MATEMATIKA
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
SUMATERA UTARA
MEDAN
KATA PENGANTAR
Dengan Nama Allah Yang Maha Pengasih Dan Maha Penyayang
Puji dan syukur kami ucapkan ke hadirat Allah SWT, karena berkat izin dan ridhaNya makalah seminar matematika ini dapat diselesaikan. Shalawat dan salam kami hadiahkan keharibaan Junjungan kita Nabi Muhammad Saw., semoga syafaat beliau dapat membantu umatnya pada hari akhirat kelak.
Amin.
Pengerjaan makalah seminar matematika ini bertujuan untuk memenuhi tugas kelompok yang diberikan oleh Bapak pada mata kuliah Seminar Matematika. Adapun judul makalah kelompok 9 adalah “Himpunan”.
Kami menyadari bahwa isi dari tugas kami ini banyak kesalahan dan kekurangan. Sebagai mahasiswa yang masih mempunyai ilmu sedikit dalam penulisan ilmiah maupun wawasan berpikir, kami pribadi berharap kepada Bapak Dosen memakluminya dan mau mengkoreksi kami lewat saran-saran yang dapat mengoreksi kesalahan-kesalahan pemahaman saya.
Mudah-mudahan makalah Himpunan ini, dapat mendongkrak nilai kami khususnya pada mata kuliah Seminar Matematika di semester tujuh ini.
Medan, 27 Oktober 2010 Pemakalah,
Kelompok 9 PMM-3/VII
DAFTAR ISI
Kata Pengantar... DAFTAR ISI... BAB I Pendahuluan...
I.1 Latar Belakang... I.2 Tujuan...
BAB II Pembahasan...
II.1 Himpunan... II.1.1. Teori Himpunan... II.1.2. Notasi Himpunan... II.1.3. Menulis Himpunan dan Anggota Himpunan... II.1.4. Relasi Himpunan... II.2 Manfaat Himpunan untuk Matematika... II.3 Manfaat Himpunan untuk Mata Pelajaran Lain... II.4 Manfaat Himpunan untuk Kehidupan Sehari-hari...
BAB III Penutup...
III.1 Kesimpulan... III.2 Saran...
BAB I
Pendahuluan
I.1. Latar Belakang
Sekawanan kuda, sekelompok ayam, dan sekumpulan huruf-huruf, masing-masing kata “kawanan”, “kelompok”,dan “kumpulan”dapat diganti dengan kata “himpunan”.
Konsep tentang himpunan dikembangkan kedalam cabang matematika pada akhir abad XIX oleh seorang ahli matematika Jerman, George Cantor. Teori himpunan berkembang dengan cepat, penerapannya sangat penting dalam hampir setiap cabang matematika.
Suatu himpunan atau suatu kumpulan benda-benda terjadi, bila kita mengelompokkan benda-benda itu menjadi himpunan atau kumpulan. Misalnya kita himpun buku-buku di dalam suatu perpustakaan.
Walaupun himpunan tidak didefinisikan namun harus diketahui dengan jelas bahwa yang dibicarakan adalah kumpulan objek-objek atau simbol-simbol yang mempunyai sifat yang dapat menunjukkan apakah objek itu menjadi anggota atau bukan anggota dari himpunan tersebut.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai sesuatu yang mempunyai konsep himpunan. Disini kami akan daftarkan contoh khusus mengenai himpunan.
1). Bilangan-bilangan 1, 3, 7, dan 9
2). Huruf-huruf hidup dari alfabet : a, i, u, e, o 3). Penduduk bumi
4). Siswa yang bernama Maya, Ida, Ira, Adi 5). Siswa yang tidak hadir disekolah 6). Ibukota-ibukota dari benua Asia
Himpunan sangat bermanfaat untuk memahami sifat-sifat bilangan cacah, untuk mendefinisikan kejadian dalam teori peluang dan dalam definisi-definisi geometri. Himpunan sangat membantu untuk memahami banyak topik – topik matematika, yang menjadi lebih sukar kalau mempelajarinya menggunakan alat yang lain.
I.2. Tujuan
Himpunan merupakan dasar ilmu matematika yang dipelajari di sekolah sampai ketingkat perguruan tinggi.Himpunan merupakan penunjang penting pada materi ilmu-ilmu tesebut dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Karna pentingnya pokok bahasan himpunan, maka diperlukan pemahaman siswa dalam mempelajari pokok bahasan himpunan. Untuk mencapai itu tidak terlepas dari bagaimana cara guru mengajarkannya. Maka, tujuan utama makalah ini adalah agar kita sebagai calon guru yang akan mengajarkan bidang studi matematika agar dapat memahami betul konsep dari teori himpunan dan tahu akan manfaat dipelajarinya.
BAB II
Pembahasan
II.1. Himpunan
II.1.1. Teori Himpunan
Pada akhir abad ke-19, didalam matematika timbul suatu masalah yaitu adanya penggolongan atas dasar sifat-sifat yang serupa dan sifat yang berbeda. Masalah klasifikasi semacam inidisarikan menjadi suatu cabang matematika yang dinamakan Teori Himpunan. Orang yang pertama kali mengemukakan konsep himpunan ialah seorang matematikawan Jerman yang bernama George Cantor (1845-1918). Ia menciptakan suatu istilah baru dalam bahasa Jerman yang disebutnya “Menge”, yang dibatasi olehnya sebagai “hasil usaha menghimpun beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu, menjadi suatu kesatuan”. Di dalam bahasa Inggris “menge” disebut “set”. Sedangkan kita sering menyebutnya sebagai “Himpunan”. Namun ada pula yang menyebutnya sebagai “keluarga”, “gugus”, “kelas” atau “kelompok”.1
Himpunan dapat diartikan sebagai kumpulan benda-benda real atau abstrak yang dapat dibedakan antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain himpunan itu harus merupakan kumpulan objek yang dapat di definisikan dengan jelas.2 Maksudnya, kita dapat menentukan apakah suatu benda atau hal lain termasuk anggota himpunan tersebut atau bukan. Dengan demikian kumpulan suatu benda yang keanggotaannya diragukan tidak merupakan contoh himpunan.
1 Karso, Pengantar Dasar Matematika,2003, Jakarta : Universitas Terbuka, hal.3 2 opcit, hal.4
Objek-objek didalam suatu himpunan boleh apa saja, bisa real dan bisa pula abstrak, misalnya manusia, huruf, sungai, ide, bilangan, planet dan sebagianya.
Perhatikan kumpulan-kumpulan dibawah ini : 1. Kumpulan bujur sangkar
2. Kumpulan bilangan asli, yaitu 1,2,3, . . . 3. Kumpulan lukisan yang indah
Kumpulan bujur sangkar merupakan sebuah himpunan, karena yang bentuknya selain bujur sangkar (misal segitiga, lingkaran dll) bukan merupakan anggota dari kumpulan bujur sangkar. Begitu juga dengan kumpulan bilangan asli 1,2,3, dst merupakan himpunan, disebabkan bilangan 0,-1,-2, dst bukan anggota dari bilangan asli. Lain halnya dengan kumpulan lukisan, pernyataan indah merupakan relatif . Maka dari itu, kumpulan lukisan yang indah bukan himpunan.
Jadi jelas bahwa benda-benda yang termasuk dalam kumpulan itu harus dapat didefinisikan dengan tepat, atau harus ada perbedaan yang jelas agar kumpulan itu dapat disebut sebagai himpunan.
II.1.2. Notasi Himpunan
Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital (huruf besar), misalnya A,B,C dan seterusnya. Dan untuk menyatakan istilah himpunan itu sendiri dinotasikan dengan tanda kurung kurawal.3 Sedangkan anggota-anggota himpunan dinyatakan dengan huruf-huruf kecil a, b, c, d, x, p, . . . Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}.
Penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang
“∉” (baca: bukan anggota).4
Suatu himpunan dimungkinkan tidak mempunyai anggota, mempunyai anggota terhingga atau tak terhingga. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dilambangkan dengan { } atau ∅.5
Contoh : Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2 adalah himpunan kosong. Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.6
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{} atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
4 http://www.pppgkes.com/downloads/Diktat
5 Soewito, Miiep S.Madja, dkk, Pendidikan Matematika 1, 1992, Jakarta : Depdikbud, hal. 3 6 http://uryant05.wordpress.com/2010/10/12/himpunan-matematika/
Operasi irisan dua himpunan , , ,
Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
II.1.3. Menulis Himpunan dan Anggota Himpunan
Suatu himpunan harus jelas anggota-anggotanya, sehingga kita dapat menyatakan dengan jelas apakah suatu benda, objek atau simbol tertentu merupakan anggota himpunan atau bukan. Ini berarti bahwa suatu himpunan harus mempunyai diskripsi verbal yang jelas sehingga anggota-anggotanya dapat di identifikasi.
Cara-cara untuk menulis himpunan dan anggota himpunan adalah sebagai berikut :7
a. Dengan kalimat (kata-kata) Contoh :
1) Himpunan nama-nama hari yang mulai dengan S, ditulis dengan : A = Himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan S
2) Himpunan tiga huruf abjad (alphabet) yang terakhir ditulis dengan B = Himpunan tiga huruf abjad yang terakhir
3) Himpunan empat bilangan asli ganjil pertama, ditulis dengan : C = himpunan empat bilangan asli ganjil pertama
7 Drs.Muchtar A. Karim dan Drs.Gatot muhsetyo, Materi Pokok Matematika, 1999, Jakarta : UT Depdikbud, hal.1.3
4) Himpunan huruf-huruf hidup, ditulis dengan : D = Himpunan huruf-huruf hidup
b. Dengan pendaftaran, tabulasi atau roster, yaitu menyebutkan semua anggota himpunan dan menuliskannya di dalam pasangan kurung kurawal ( { } ) yang masing-masing dipisahkan dengan tanda koma { ., ., ., }
Contoh :
1) A adalah himpunan huruf-huruf hidup, maka A = { a, i, u, e, o }
a, i, u, e, o ada didalam kurung kurawal, sehingga ada di dalam A, atau a, i, u, e, o masing-masing adalah anggota A dan ditulis dengan a∈ A, i ∈A, u
∈ A, e ∈ A, dan o ∈ A. Sedangkan x, y dan z tidak ada didalam kurung kurawal sehingga tidak ada di dalam A, atau x, y dan z masing-masing adalah bukan anggota A dan di tulis dengan : x ∉ A , y ∉ A , z ∉ A
2) B adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah Ita, Ira dan Ida,
maka B = { Ita, Ira, Ida } Ita ∈ B, Ira ∈ B, Ida ∈ B Ati, Ari dan Adi tidak ada di dalam B, maka : Ati ∉ B, Ari ∉ B, Adi ∉ B
c. Dengan menyebutkan sifat yang merupakan syarat keanggotaan himpunan Contoh :
1) A = {x x adalah huruf hidup }
dibaca : A adalah himpunan semua x demikian hingga x adalah huruf hidup. Huruf x adalah variable pada himpunan A, dan A disebut domain dari variable x.
dibaca : X adalah himpunan semua p demikian hingga p adalah nama binatang berkaki empat. Huruf p adalah variable pada himpunan x, dan x domain dari variable p.
d. Dengan Diagram Venn : menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.8
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan
diagram Venn
II.1.4. Relasi antar himpunan
a. Kesamaan Himpunan-Himpunan9
8http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan
9 Seymour Lipschutz, Seri Buku schaumTeori Himpunan (Set Theory), 1995,Jakarta : Erlangga,
Himpunan A sama dengan himpunan B jika keduanya bersama-sama memiliki anggota-anggota yang sama, artinya, jika setiap elemen yang termasuk A juga termasuk B dan jika setiap elemen yang termasuk B
juga termasuk A.
A = B
Contoh :
1). Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 1, 4, 2}. Maka A = B, yaitu, {1, 2, 3, 4} = {3, 1, 4, 2}, karena tiap-tiap elemen 1, 2, 3 dan 4 dari A termasuk B dan tiap-tiap elemen 3, 1, 4 dan 2 dari B termasuk A. Karena itu perhatikan bahwa sebuah himpunan tidak berubah apabila elemen-elemennya disusun kembali.
2). Misalkan E = {x x2 – 3x = - 2}, F = {2, 1} dan G = {1,2,2,1}, Maka E = F =
G
Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
Ditulis A // B
contoh:
A = {a,b,c}
B = {k,l,m} Maka A // B
b. Subhimpunan10
Jika semua elemen sebuah himpunan A adalah juga sebuah himpunan B, maka A disebut subhimpunan dari B atau lebih khusus lagi, A adalah subhimpunan B berarti jika χ ∈ A maka χ ∈ B.
A
⊂
B
Dibaca “A terkandung dalam B” Contoh :
1). Himpunan C = {1, 3, } adalah subhimpunan dari D = {5, 4, 3, 2, 1}, karena tiap-tiap bilangan 1, 3 dan yang termasuk C juga termasuk D.
2). Misalkan G = {x x adalah genap}, artinya G = {2, 4, 6, . . .}, dan misalkan F = {x x adalah sebuah bilangan pangkat positif dari 2}, artinya F = {2, 4, 8, 16, . . .}, Maka F ⊂ G, artinya F terkandung dalam G.
c. Subhimpunan sejati
Karena setiap himpunan A adalah subhimpunan dari dirinya sendiri, maka kita menyebut B subhimpunan sejati dari A jika, pertama, B adalah subhimpunan A dan, kedua, B tidak sama dengan A. Dinyatakan B ⊂ A dan B ≠ A
B
⊆
A
Di baca “ B subhimpunan sejati A”
e. Himpunan Semesta11
Merupakan himpunan yang memuat seluruh elemen dalam suatu pembicaraan tertentu disebut himpunan semesta, dilambangkan dengan “S”. Himpunan objek-objek dalam pembicaraan tertentu dan mengandung semua himpunan bagian yang sedang dibicarakan, merupakan himpunan semesta.
Contoh :
1). Dari himpunan-himpunan {a, b, c}, {p, x, h}, {p, q, r, s, t} dapat ditentukan himpunan semestanya, antara lain S = {a, b, c, . . ., x, y, z}
2). Dalam ilmu ukur bidang, himpunan semesta terdiri dari semua titik-titik dalam bidang
f. Himpunan Ekivalen
Jika bermaksud menghitung banyaknya kursi dalam suatu ruangan, kita gunakan bilangan untuk menerangkan berapa banyaknya kursi dalam ruangan itu. Dalam hal ini kita buat korespondemsi 1-1 antara himpunan kursi dengan himpunan bagian dari {1, 2, 3, . . .} yang sudah disusun menurut urutannya, selanjutnya jumlah (banyak) anggota (kadang-kadang disebut juga dengan bilangan kardinal) dari A ditulis dengan n(A).
Himpunan-himpunan yang dapat dikorespondensikan 1-1 disebut himpunan-himpunan yang ekivalen, misalnya :
{p, q, r}, {a, b, c}, {1, 2, 3}
2 himpunan A dan B yang ekivalen ditulis dengan A ↔ B
Semua himpunan di atas mempunyai jumlah anggota yang sama, yaitu tiga. Contoh :
Terdapat dua cara mengkorespondensikan 1-1 antara {andi, taufik} dan {Ana, Desi} yaitu :
{Andi, Tauik} ; {Andi, Taufik} ↕ ↕
(Ana, Desi} {Ana, Desi}
g. Himpunan Kuasa12
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set). Keluarga dari semua subhimpunan sebuah himpunan S dikatakan himpunan kuasa dari S. Notasinya adalah
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
Contoh :
1). Misalkan M = {a. b}, maka 2M = {{a,b}, {a}, {b}, ∅}
12 Seymour Lipschutz, Seri Buku schaumTeori Himpunan (Set Theory), 1995,Jakarta : Erlangga,
2). Misalkan T = {4, 7, 8}, maka 2T = {T, {4, 7}, {4, 8}, {7, 8}, {4}, {7},{8}, ∅}
h. Kelas13
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan - himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan. Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan.
i. Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena
dengan mudah kita membuat fungsi
yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
.
II. 2. Manfaat Himpunan untuk Matematika
Konsep himpunan adalah suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna. Himpunan merupakan dasar ilmu matematika yang dipelajari di sekolah sampai ketingkat perguruan tinggi.Himpunan merupakan penunjang penting pada materi ilmu-ilmu tesebut.
Dari uraian diatas ternyata didalam matematika tidak lengkap tanpa uraian mengenai himpunan. Hal ini sejalan dengan yang dikemukakan oleh Assauri dalam bukunya Matematika Ekonomi (1979:1) yaitu: Di dalam uraian mengenai matematika adalah tidak lengkap apabila tidak disertai uraian mengenai himpunan atau kumpulan (sets). Hal ini karna dalam matematika modern, himpunan atau kumpulan (sets) memegang peranan yang sangat penting. Segala sesuatu yang ada dalam hidup manusia terdiri atas himpunan atau kumpulan (sets).14
Misal dalam himpunan suatu bilangan:
1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,...}
2. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6. Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, dll
7. Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8. Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b є R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh: 2-3i, 8+2
II.3. Manfaat Himpunan untuk Mata Pelajaran Lain
Dari uraian dan contoh-contoh diatas, manfaat himpunan untuk ilmu-ilmu yang lainnya sangat banyak. Hampir semua ilmu menggunakan konsep himpunan,akan tetapi dalam makalah ini kami hanya paparkan beberapa saja.
Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal. Fungsi karakteristik dalam himpunan menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c,
d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner --- a b c d e f g
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1 A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0 B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
II.3.2. Ekonomi Bisnis
Himpunan dapat dilihat dari penawaran dan permintaan akan komoditas, baik itu barang atau jasa. Permintaan dan penawaran pasar yang dapat di definisikan, seperti sifat dan model komoditas. Semua itu, kita dasarkan himpunan. Misalnya, Kota tujuan A menginginkan produk yang murah tanpa melihat kualitas, Kota tujuan B menyukai produk dengan kualitas bagus . Maka sebagai kota asal (pengedar) harus bisa memetakan produk-produknya, agar tepat sasaran.
II.3.3. Aljabar Boolean
Sebuah aljabar Boolean adalah sebuah himpunan B dari elemen-elemen a, b, . . . . dan dua operasi biner yang dinamakan jumlah dan hasilkali, yang berturut-turut dinyatakan oleh + dan *.15
Karena himpunan merupakan bagian dari aljabar, maka menyatakan operasi sebuah aljabar Boolean dengan ∪ dan ∩.
II.4. Manfaat Himpunan untuk Kehidupan Sehari-hari
Telah di paparkan di atas, bahwasanya dalam kehidupan sehari-hari secara tidak langsung sudah menggunakan konsep tentang himpunan. Bila kita sedang berbicara tentang buku, sepeda motor, sapi, sebetulnya kita sedang membicarakan himpunan buku, himpunan sepeda motor dan himpunan sapi.
15 Seymour Lipschutz, Seri Buku schaumTeori Himpunan (Set Theory), 1995,Jakarta : Erlangga,
Suatu himpunan atau kumpulan benda-benda terjadi, bila kita mengelompokan benda-bendaitu menjadi himpunan atau suatu kumpulan. Misalnya kita himpun buku-buku di dalam suatu kelasdan sebagainya. Anak-anak mudah memahami hal ini. Seorang anak dapat menentukan apakah mainananya hilang dari keranjang mainannya, atau ia dapat menentukan berapa banyak mainannya.
BAB III
PENUTUP
III.1. KesimpulanDari uraian pada Bab sebelumnya, maka Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU Y.P Prayatna tahun 2002-2006 yang nilai IQ-nya diatas 120.
Himpunan dinyatakan dengan huruf-huruf besar, sedangkan anggota-angota himpunan dinyatakan dengan huruf-huruf kecil. Adapun cara-cara untuk menulis himpunan dan anggota himpunan adalah dengan kalimat, pendaftaran, menyebutkan sifat yang merupakan syarat keanggotaan himpunan ,dan diagram venn.
Istilah-Istilah dalam himpunan, yakni :
1. Elemen (Anggota) notasi :∈
Setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut elemen/anggota himpunan itu.
2. Himpunan kosong 9999999999999notasi :φ atau {} Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota 3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
Yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan.
Himpunan merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan matapelajaran lain. Teori himpunan juga dapat kita rasakan dalam kehidupan seari-hari, dalam tubuh kita juga terdapat himpunan.
III.2. Saran
Studi mengenai teori himpunan, sangatlah berguna. Himpunan merupakan penunjang penting pada materi ilmu-ilmu modern dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Karna pentingnya pokok bahasan himpunan pada matematika, maka diperlukan pemahaman siswa dalam mempelajari pokok bahasan himpunan.
Tujuan pokok bahasan himpunan pada tingkat-tingkat pendidikan, supaya siswa dapat menggunakan aturan-aturan himpunan. Maka dari itu, diharapkan kepada guru khususnya kita sebagai calon guru matematika untuk dapat mengajarkan konsep himpunan secara baik sebagai dasar pemahaman siswa untuk tahap yang lebih tinggi lagi.
DAFTAR PUSTAKA
Buku :
1. Julius Hambali,Drs, Siskandar, MA. Materi Pokok Pendidikan
Matematika 1. 1992. Jakarta : Depdikbud.
2. Karso. Pengantar Dasar Matematika. 2003. Jakarta : Pusat Penerbitan UT. 3. Muctar A.Karim, Drs, Drs. Gatot Muhsetyo. Materi Pokok Matematika. 1999. Jakarta : Depdikbud.
4. Seymour Lipschutz. Seri Buku Schaum :Teori Himpunan (Set Theory). 1995. Jakarta : Penerbit Erlangga.
5. Soewito, Mimiep S. Madja. Pendidikan Matematika 1. 1991. Jakarta : Depdikbud. Internet : 1. http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor 2. http://www.pppgkes.com/downloads/Diktat%20Kuliah%20M1,2,3.pdf 3. http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan 4. http://apiqquantum.wordpress.com/2010/01/09 5. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_Boolean 6. http://uryant05.wordpress.com/2010/10/12/himpunan-matematika/
