UJIAN TENGAH SEMESTER
KALKULUS I/KALKULUS
Selasa, 23 Maret 2004
Waktu : 2 jam
SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10,
KECUALI NOMOR 8
1. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x x2. Dengan menggunakan de…nisi turunan, tentukan f0(1).
2. Tentukan y0 dari y = sin x2+ sin 2x
sin( =6) . 3. Jika sin y = x x3, tentukan y"
y0 di titik (1; 0).
4. Beberapa buldoser milik PT TSLB (Tukang Sulap Lahan Bersejarah) meraung-raung untuk mengeruk dan meratakan sebuah lapangan olahraga menjadi lahan parkir bus wisata. Tanah yang dihasilkan kemudian di-angkut untuk ditimbun di suatu lokasi tak jauh dari lapangan tersebut. Timbunan tersebut membentuk kerucut dengan tinggi (h) yang sama dengan jari-jari (r). Volume timbunan (V ) bertambah dengan laju 4 m3/menit. Tentukan berapa laju pertambahan tinggi timbunan ketika
jari-jarinya 2 meter. (V = 13 r2h).
5. Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sam-pai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diijinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.
6. Diberikan f (x) = jxj dan g(x) = sin(x + ). Jika ada, tentukan (a) f0(x).
(b) d
7. Jika f000 kontinu pada interval I yang memuat c, f0(c) = f00(c)=0 dan f000(c) > 0, maka tentukan nilai minimum lokal dari f0 pada I, beserta alasannya.
8. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x
2 x + 1 x 1 , f 0(x) = x2 2x (x 1)2, dan f "(x) = 2 (x 1)3.
(a) Tentukan daerah asal fungsi f .
(b) Tentukan selang fungsi f naik dan selang fungsi f turun.
(c) Tentukan selang fungsi f cekung ke atas dan selang fungsi f cekung ke bawah.
(d) Jika ada, tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot garis miring.
(e) Gambar gra…k fungsi f .
9. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x
2+ x ; 1 x 0
p
x x ; 0 < x 4 Tentukan :
(a) nilai maksimum global dan nilai minimum global fungsi f pada [ 1; 4]. (b) nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal fungsi f pada ( 1; 4).
10. Seorang simpatisan partai politik akan menempel poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Pada jarak 8 meter di depan gedung terse-but terdapat pagar setinggi 1 meter. Simpatisan terseterse-but akan membuat tangga yang menghubungkan jalan di luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Dengan berbekal pengetahuan Kalkulus, bantulah simpatisan partai tersebut untuk menentukan panjang minimum tangga tersebut.
JAWABAN UTS KALKULUS/KALKULUS 1 2003/2004 SELASA, 23 MARET 2004 1. Cara 1: f0(1) = lim x!1 f (x) f (1) x 1 = lim x!1 x x2 0 x 1 = limx!1 x x2 x 1 = limx!1 x (x 1) x 1 = lim x!1( x) = 1: Cara 2: f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h = lim h!0 h (x + h) (x + h)2i x x2 h = lim h!0 x + h x2+ 2xh + h2 x x2 h = lim h!0 x + h x2 2xh h2 x + x2 h = lim h!0 h 2xh h2 h = limh!0 h (1 2x h) h = limh!0(1 2x h) = 1 2x: Jadi f0(1) = 1 2 (1) = 1 2 = 1: 2. y = sin x 2 + sin2x sin ( =6) = sin x2 + sin2x 1=2 = 2 [sin x 2 + sin2x]: Jadi
y0= 2 cos x2 (2x) + 2 sin x cos x = 4x cos x2 + 4 sin x cos x: 3. sin y = x x3: Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x
diperoleh (cos y) y0= 1 3x2; sehingga
y0= 1 3x
2
cos y (1)
Jika kedua ruas persamaan (1) diturunkan secara implisit terhadap x maka akan diperoleh:
y00= ( 6x) (cos y) 1 3x
2 ( sin y) y0
Dari persamaan (1) diperoleh nilai y0 di titik (1; 0) adalah 1 3
cos 0 = 2 1 = 2; sedangkan nilai y00 di titik (1; 0) adalah
6 (cos 0) (1 3) ( sin 0) (cos 0)2 = 6 ( 2) (0) (1)2 = 6: Jadi y00 y0 di titik (1; 0) adalah 6 2 = 3: 4. Volume timbunan yang berbentuk kerucut adalah V = 1
3 r
2h: Diketahui
r = h; sehingga rumus volume menjadi V = 1
3 h
3:
Jika persamaan ini diturunkan secara implisit terhadap t diperoleh dV dt = h 2dh dt: Diketahui dV dt = 4 m
3/menit, maka pada saat h = 2 diperoleh:
4 = (2)2dh dt: Jadi dh dt = 1 m/menit.
5. Misalkan f (x) menyatakan jarak yang ditempuh (dalam satuan km). Menu-rut Teorema Nilai Rata-rata, terdapat c 2 0;32 sehingga
f0(c) = f (3=2) f (0) 3=2 =
156 0 1; 5 = 104: Jadi terdapat waktu di antara 0 dan 3
2 sehingga kecepatan mobil Badrun pernah mencapai 104 km/jam. Jadi kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.
6. Misalkan
f (x) = jxj = x;x; untuk xuntuk x < 00 dan g (x) = sin (x + ) : (a) Pada selang-selang bukanya
f0(x) = 1; untuk x > 0 1; untuk x < 0 :
Di titik x = 0; f0(x) harus diperiksa dengan menggunakan de…nisi turunan. lim x!0 f (x) f (0) x 0 = xlim!0 x 0 x 0 = limx!0 x x = limx!0 ( 1) = 1; lim x!0+ f (x) f (0) x 0 = xlim!0+ x 0 x 0 = limx!0 x x = limx!0 1 = 1: Karena lim x!0 f (x) f (0) x 0 6= limx!0+ f (x) f (0) x 0 ; maka limx!0 f (x) f (0) x 0 = f 0(0) tidak ada. Jadi:
f0(x) = 1; untuk x > 0 1; untuk x < 0 : (b) d dx(f (x) + g (x)) = f 0(x) + g0(x) : Sedangkan g0(x) = cos (x + ) : Jadi: f0(x) + g0(x) = f0(x) = 1 + cos (x + ) ; untuk x > 0 1 + cos (x + ) ; untuk x < 0 7. f00(c) = 0 dan c 2 I ! c titik stasioner dari f0:
f000(x) kontinu pada selang I; dan f000(c) > 0; maka dari Uji Turunan Kedua diperoleh kesimpulan bahwa f0(c) merupakan nilai minimum lokal dari f0: Karena diketahui f0(c) = 0; maka 0 adalah nilai minimum lokal
dari f0: 8. f (x) = x 2 x + 1 x 1 =; f 0(x) = x2 2x (x 1)2 = x (x 2) (x 1)2; f 00(x) = 2 (x 1)3 (a) Df = fxjx 6= 1g : (b) Tanda f0 + + + (0) ( ) (0) + + + 0 1 2
Jadi f naik pada selang ( 1; 0] dan [2; 1); sedangkan f turun pada selang [0; 1) dan (1; 2]:
Dapat ditambahkan, bahwa f (0) = 1 adalah nilai maksimum lokal, dan f (2) = 3 adalah nilai minimum lokal fungsi f:
(c)
Tanda f00 ( ) + + +
1
f cekung ke bawah pada selang ( 1; 1) dan cekung ke atas pada selang (1; 1) :
(d) Karena lim x!1 x2 x + 1 x 1 = xlim!1 x 12 2+12 x 1 = 1; atau lim x!1+ x2 x + 1 x 1 = xlim!1+ x 12 2+12 x 1 = 1 maka garis x = 1 merupakan asimtot tegak dari fungsi f: Karena f (x) = x 2 x + 1 x 1 = x + 1 x 1 dan lim x!1[f (x) x] = limx!1 1 x 1 = 0 maka garis y = x merupakan asimtot miring dari fungsi f: Karena lim x!1f (x) = xlim!1 x + 1 x 1 = +1; dan lim x! 1f (x) = x! 1lim x + 1 x 1 = 1 maka f tidak mempunyai garis asimtot datar.
(e) Gambar gra…k fungsi f :
9. f (x) = x
2+ x; jika 1 x 0
p
(a) Titik-titik (bilangan) kritis dari fungsi f ditentukan dengan cara se-bagai berikut: f0(x) = 8 < : 2x + 1; jika 1 < x < 0 1 2px 1; jika 0 < x < 4
Turunan pertama f di x = 0 diperiksa dengan cara sebagai berikut: lim x!0 f (x) f (0) x 0 = xlim!0 x2+ x 02+ 0 x = limx!0 (x + 1) = 1; lim x!0+ f (x) f (0) x 0 = xlim!0+ (px x) 02+ 0 x = limx!0 1 p x 1 tidak ada.
Jadi f0(0) tidak ada. Ini berarti bahwa x = 0 merupakan titik (bilangan) kritis fungsi f:
f0(x) = 0 untuk x = 1
2, jadi x = 1
2 merupakan titik kritis fungsi f:
Titik ujung selang: x = 1; dan x = 4:
x f (x) Keterangan
1 ( 1)2+ 1 = 2 2 adalah nilai maksimum mutlak fungsi f 0 02+ 0 = 0 1 2 1 2 2 +1 2 = 3 4
4 p4 4 = 2 2 adalah nilai minimum mutlak fungsi f (b) f0(x) = 8 < : 2x + 1; jika 1 < x < 0 1 2px 1; jika 0 < x < 4 Tanda f0 + + + ( ) 1 2 0 4
Dari Uji Turunan Pertama, nilai minimum lokalnya adalah f 12 = 0; dan f tidak mencapai nilai maksimum lokal.
Misalkan l adalah panjang tangga. Dari segitiga sebangun diperoleh
y 1 = 8 + x x l2= y2+ (8 + x)2= 8 + x x 2 + (8 + x)2= 8 x+ 1 2 + (8 + x)2: Misalkan p (x) = l2; maka p (x) = 8 x+ 1 2 + (8 + x)2 p0(x) = 2x + 1 x3( 16x 128) + 16 = 2x 4 16x 128 + 16x3 x3 = 2 (x + 8) x 3 8 x3
p0(x) = 0 untuk x = 8 (tidak memenuhi karena negatif) atau x = 2:
Karena p00(x) = 2(16x + x4+ 192)
x4 ; maka p00(2) > 0; sehingga dari Uji
Turunan Kedua diperoleh bahwa p minimum di x = 2: Jadi y = 10
2 = 5
l2 = y2+ (8 + x)2= 125 l = p125 = 5p5 meter. Jadi panjang tangga minimum adalah 5p5 meter.
