TUGAS AKHIR
KAJIAN MODEL MARKOV WAKTU DISKRIT UNTUK
PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR PADA MODEL EPIDEMIK SIR
Oleh:
RAFIQATUL HASANAH NRP. 1208 100 021 Dosen Pembimbing:
Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si. Drs. Suhud Wahyudi, M.Si.
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA 2012
Setiap tahun, jutaan manusia di seluruh dunia meninggal karena
penyakit menular. Memodelkan proses penyebaran penyakit
menular akan mempermudah dalam mengerti dinamika
penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Pada Tugas Akhir
ini dianalisis sebuah model probabilitas transisi penyebaran
penyakit menular untuk model epidemik SIR, dengan tetap
memperhatikan keunggulan pendekatan model yang sudah ada
(misalnya asal penularan dan dinamika penyebaran) dan
memanfaatkan penggunaan efisiensi dari teknik program
dinamik untuk membentuk model yang diinginkan. State space
dalam model ini dapat direduksi dengan agregasi state. Hasil
yang didapat dari penelitian Tugas Akhir ini adalah didapat
probabilitas transisi model Markov waktu diskrit untuk
penyebaran penyakit menular dan model epidemik SIR, serta
probabilitas transisi untuk rantai markov tereduksi
pada
penyakit menular melalui agregasi state. Dalam Tugas Akhir ini
juga didapat simulasi grafik hubungan jumlah individu tiap kelas
kompartemen dan hubungan probabilitas penggerak kejadian
SI(t) serta IR(t) terhadap waktu.
Kata kunci: agregasi state, model epidemik SIR, model Markov
waktu diskrit, state space, teknik program dinamik
PENDAHULUAN
1TINJAUAN PUSTAKA
METODE PENELITIAN
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
DAFTAR PUSTAKA
2 3 4PENUTUP
5 6L
ATAR
B
ELAKANG
M
ASALAH
PENDAHULUAN
Berbagai jenis patogen
manusia dan Sirkulasi
penyakit menular [1]
Kebijakan
kesehatan
dinamik
Model stokastik
penyebaran penyakit
menular
Diperoleh melalui
teknik program
dinamik
Proses stokastik markov
Diskrit
Kontinu
Diskrit
Penelitian Sebelumnya:
1. Sari (2009): menganalisis tentang hubungan kesetimbangan Model epidemik SIS baik secara deterministik dan stokastik.
2. Hardiningsih, A.Y (2010): menganalisis tentang kestabilan titik setimbang pada model deterministik dan mean distribusi probabilitas pada model stokastik untuk model epidemik SIR.
L
ATAR
B
ELAKANG
M
ASALAH
(
LANJUTAN
)
SIR merupakan model epidemik dengan karakteristik bahwa:
S (susceptibles): individu rentan terinfeksi suatu penyakit
I (infected): individu yang terinfeksi
R (recovered): individu yang terinfeksi akan sembuh
Model markov waktu
diskrit untuk penyebaran
penyakit menular pada
model Epidemik SIR
L
ATAR
B
ELAKANG
M
ASALAH
(
LANJUTAN
)
Memanfaatkan penggunaan
efisiensi dari teknik
program dinamik
State space dapat direduksi
dengan agregasi state
Dapat dibentuk peluang
kepercayaan tentang
keadaan aktual
penyebaran penyakit
berdasarkan data yang
Bagaimana membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular.
Bagaimana membentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR.
Bagaimana mereduksi state space model Markov untuk penyakit menular melalui agregasi state.
R
UMUSANM
ASALAH1
2 3
B
ATASANM
ASALAHPembangunan model Markov waktu diskrit dari penyakit menular memenuhi persyaratan teknik program dinamik.
Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe SIR waktu diskrit. Model stokastik waktu diskrit merupakan model Rantai Markov dengan state
space berhingga.
Model epidemik SIR tidak dibahas tentang pemberian vaksinasi atau sejenisnya.
Jumlah populasi suatu wilayah tertentu diasumsikan tetap (konstan).
1
2
3
4
1. Membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaran
penyakit menular.
2. Membentuk probabilitas transisi model Markov untuk model
epidemik SIR.
3. Mereduksi state space model Markov untuk penyakit menular
melalui agregasi state.
Manfaat yang diharapkan pada Tugas Akhir adalah untuk
memberikan informasi mengenai pemanfaatan penggunaan
efisiensi dari teknik program dinamik dalam membentuk model
Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular
sehingga diharapkan dapat diambil langkah-langkah yang tepat
untuk mencegah terjadinya epidemik yang semakin meluas.
TUJUAN
Model Epidemik SIR
Adapun asumsi pada Model Epidemik SIR ini adalah : a. Jumlah populasi N berukuran tetap (konstan)
b. Laju kelahiran dan kematian sama
c. Semua populasi yang baru lahir adalah individu yang rentan
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun diagram kompartemen model epidemik SIR sebagai berikut :
TINJAUAN PUSTAKA
Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 1. model epidemik SIR analog dengan model sebagai berikut [2].
Program Dinamik adalah suatu teknik matematis yang digunakan untuk membuat suatu
keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya. Tujuan utama model ini adalah untuk mempermudah penyelesaian persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu [3].
Ide dasar Program Dinamik ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian yang lebih kecil
sehingga memudahkan penyelesaiannya. Pada persoalan Program Dinamik tidak ada formulasi matematis yang standar. Karena itu persamaan-persamaan yang dipilih harus dikembangkan agar dapat memenuhi masing-masing situasi yang dihadapi. Dengan demikian, antara satu persoalan dengan persoalan yang lainnya dapat mempunyai struktur penyelesaian persoalan yang berbeda.
Program Dinamik
Proses Stokastik
Proses stokastik adalah himpunan variabel acak dalam bentuk dengan T adalah beberapa himpunan indeks yang disebut parameter space dan S adalah ruang sampel dari peubah acak yang disebut state space. Untuk setiap t tertentu, menyatakan suatu peubah acak yang didefinisikan pada S. Untuk setiap s tertentu, berhubungan dengan fungsi yang didefinisikan pada T yang disebut lintasan sampel (sample path). Secara singkat proses stokastik adalah himpunan peubah acak yang menggambarkan dinamika dari suatu proses [4].
Rantai Markov
Proses stokastik dengan waktu diskrit dengan adalah peubah acak diskrit yang didefinisikan pada state space yang berhingga S = {0, 1, 2, ..., s} atau tak berhingga terhitung S = {0, 1, 2, ...}.
Proses stokastik Markov adalah suatu proses stokastik dimana perilaku/ kelakuan sistem pada waktu yang akan datang (besok) hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak bergantung pada keadaan yang lalu atau dapat dikatakan hanya bergantung pada keadaan satu langkah ke belakang [4].
Teorema 1. Persamaan Chapman-Kolmogorov [5]
Maximum Likelihood Estimators
Salah satu metode yang seringkali digunakan untuk mendapatkan estimator dari parameter adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Hal ini dikarenakan metode MLE mempunyai sifat-sifat yang baik untuk sampel berukuran besar, antara lain asimtotik unbiased, asimtotik konsisten serta mempunyai sifat invarian. MLE dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood. Pada dasarnya, estimasi parameter dengan menggunakan MLE meliputi dua tahap, yakni mengkonstruksi fungsi likelihood dan memperoleh nilai estimator yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut.
Misalkan X variabel random dengan fungsi probabilitas f(x,λ), dimana λ merupakan parameter yang tidak diketahui dan saling independen maka pengkonstruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan [6]
Teorema 2. [7]
Peluang Bersyarat dan Distribusi Peluang
Teorema 3. Aturan Bayes [7]
Definisi 3. Distribusi Eksponensial [7]
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Probabilitas Transisi Untuk
Penyebaran Penyakit Menular
1. Menentukan kelas dan bentuk persamaan state dinamik.
Jika diasumsikan bahwa ukuran populasi tetap dan sama dengan N, maka persamaan
state dinamik untuk penyakit ini adalah:
Dengan menggunakan persamaan (4), state penyakit sepenuhnya diidentifikasi jika diketahui (M-1) variabel dari
State dari perubahan sistem sebagai peristiwa yang terjadi, disebut dinamika
2. Menentukan distribusi probabilitas bersama dari penggerak kejadian dalam state penyakit pada waktu t.
Estimasi Parameter Untuk
Penyebaran Penyakit Menular
Dengan menggunakan prinsip probabilitas bersyarat pada persamaan (3), maka persamaan (14) menjadi
1. Menentukan kelas dan bentuk persamaan state dinamik.
Probabiltas Transisi untuk
Model Epidemik SIR
2. Menentukan distribusi probabilitas bersama dari penggerak kejadian pada waktu t.
3. Membentuk kendala dinamika penggerak dan kelayakan.
Contoh Kasus Model
Epidemik SIR
Reduksi State Space Model Markov untuk
Penyakit Menular Melalui Agregasi State
Dari hasil analisis Model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular, didapatkan kesimpulan sebagai berikut :
Bentuk probabilitas transisi model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular adalah:
KESIMPULAN
Bentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR adalah:
Probabilitas transisi untuk rantai markov tereduksi pada penyakit menular melalui agregasi state adalah:
