FAKTORISASI ALJABAR
Pemfaktoran
A. Pemfaktoran Suku Bentuk Aljabar
Suatu bentuk aljabar dapat membagi habis
bentuk aljabar yang lain disebut faktor dari bentuk aljabar yang lain tersebut. Setiap bentuk aljabar memiliki minimal dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Pemfaktoran merupakan proses
A.1 Pemfaktoran dengan
Hukum Distributif
Hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan bilangan bulat menyatakan bahwa ab + ac = a(b + c), untuk setiap a,b,dan c bilangan real.
Hukum ini menunjukan bahwa penjumlahan dari suku-suku yang mempunyai faktor
Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian
Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat
difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif
b + c a(b + c)
Contoh:
Faktorkan bentuk-bentuk berikut :
a. 4a+8 b. 6ab-4a²
Jawab :
b. 4a dan 8 memiliki faktor persekutuan terbesar 4,maka:
4a+8= 4(a)+4(2)=4(a+2)
A.2 Pemfaktoran Bentuk
x
²+2xy+y² dan
x
²-2xy+y²
Sebelumnya telah kita pelajari bahwa pengkuadratan suku dua dapat dijabarkan sebagai berikut :
1. (x+3)²= x²+6x+9
2. (3x-4)²= 9x²-24x+6
Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil
pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan ciri-ciri sebagai berikut :
I. Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk
kuadrat.
II. Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar
x² + 6x + 9 9x² – 24x + 16
Dengan demikian, kedua bentuk
penjumlahan di atas dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut :
Contoh
Faktorkan Bentuk aljabar berikut!
x²+10xy+25y² Jawab:
c. Pemfaktoran Bentuk Selisih
Dua Kuadrat
Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa (x+y)(x-y) dapat di
jabarkan sebagai berikut: (x+y)(x-y)= x²+xy-xy-y²
= x²-y²
Ruas kiri persamaan di atas merupakan bentuk
pengurangan suku-suku aljabar sedangkan ruas kanan merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.
Pemfaktoran selisih dua kuadrat adalah:
Contoh:
Faktorkan bentuk berikut!
a. 9p²-25q² b. 4x²-16y²
Jawab:
b. 9p²-25q² =3(p)²-(5q)²
=(3p+5q)(3p-5q) b. 4x²-16y² = (2x)²-(4y)²
d. Pemfaktoran Bentuk ax
²+bx+c
dengan a = 1
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a = 1. Misalnya bentuk seperti berikut :
x² + 10x -21, berarti a= 1, b = 10 dan c = -21
Pada bentuk ax²+bx+c, a disebut koefisien x², b koefisien x dan c bilangan konstan (tetap)
Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax²+bx+c
dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan
perhatikanlah uraian beikut :
(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x +12
Dari conto diatas di peroleh hubungan sebagai berikut : x² + 7x +12 = (x + 3)(x + 4)
3+4 3x4
Ternyata memfaktorkan bentuk x²+bx+c dapat
dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagi berikut.
a. Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian.
b. Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.
Pemfaktoran bentuk x²+bx+c adalah:
x²+bx+c = (x+p)(x+q)
e. Pemfaktoran Bentuk ax²+bx+c dengan a=1
Pemfaktoran bentuk ax²+bx+c dengan a≠1 seperti berikut : 8 x 15 = 120
10 X 12 = 120
(2x+3)(4x+5) = 8x² + 10x +12x + 15 = 8x² + 22x + 15
Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk
memfaktorkan 8x²+22x+15, terlebih dahulu 22x diuraikan menjadi dua suku dengan aturan sebagai berikut :
a. Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan koefisien
x
b. Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil
Contoh:
Faktorkan bentuk aljabar berikut!
2p²-20p+18 Jawab:
2p²-20p+18 dapat diubah menjadi 2(p²-10p+9) Sehingga untuk memfaktorkannya kita cukup
mencapai bilangan-bilangan yang hasil jumlahnya -10 dan hasil kalinya 9,yaitu -1 dan-9, sehingga
