M01385

Sistem Persamaan Diferensial Elektrokardiogram

dengan Waktu Tunda untuk Simulasi Gelombang PQRST

Suryasatriya Trihandaru

Fakultas Sains dan Matematika, Progdi Fisika, Progdi Pendidikan Fisika, Universitas Kristen Satya Wacana

suryasatriya@staff.uksw.edu

Abstrak

Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara beberapa elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncak-puncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf PQRST. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan ventrikel. Telah ada beberapa model matematika EKG berupa sistem persamaan diferensial, misalnya model Zeeman (1972), dan model McSharry (2003). Model Zeeman menggambarkan trayektori atraktor EKG walaupun tidak merepresentasikan sinyal EKG, sedangkan model McSharry telah menambahkan fungsi eksplisit sinyal EKG kedalam persamaan atraktornya. Dalam studi sebelumnya, peneliti menyederhanakan trayektori atraktor EKG berupa lingkaran statis, dan dinamika EKG hanya direpresentasikan oleh sebuah persamaan diferensial mirip dengan yang diusulkan McSharry, dan menghasilkan sinyal yang representatif untuk EKG. Dalam makalah ini ditulis ide yang baru, yaitu bahwa fungsi sinyal EKG dibentuk melalui sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda yang mirip dengan model peluruhan radioaktif dengan suatu sumber gaussian. Berbeda dengan McSharry yang memasukkan puncak-puncak sinyal yang disebut sebagai sinyal PQRST dengan fungsi eksplisit, di makalah ini PQRTS muncul karena ada sinyal pemicu dan dinamikanya muncul sesuai dengan model yang dibangun. Jadi, persamaan atraktor yang dimodelkan, baik oleh Zeeman maupun McSharry, di sini diganti dengan sinyal pemicu yang muncul secara periodik. Sinyal pemicu ini akan memicu terjadinya puncak-puncak PQRST. Hasil simulasi komputer berbasis metoda Runge Kutta untuk model yang baru ini memperlihatkan sinyal EKG yang mendekati data EKG dari seorang pasien.

Kata kunci : Elektrokardiogram, pemodelan matematika, komputasi numerik

1. PENDAHULUAN

Gambar 1. Profil satu siklus EKG

Sinyal EKG adalah sinyal listrik yang ada di jaringan tubuh manusia yang

meng-dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/ repolarisasi dari atrium dan ventrikel.

Dalam bukunya [7], Soetopo menjelaskan arti penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat dilihat pada Gb 1 Gelombang

P menggambarkan aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q menggambarkan awal dari fase depolarisasi ventrikel. Gelombang R dan S

meng-gambarkan fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S secara bersama disebut sebagai kompleks QRS. Gelombang T

menggambarkan repolarisasi ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T masih ada gelombang Ta yang menggambarkan proses

model yang biasa dipakai yaitu model Zeeman [6] dan model McSharry [5]. Juga dibahas penyederhanaan model McSharry oleh Peneliti [3]. Zeeman memodelkan bagaimana jantung mempunyai siklus denyut dengan sistem persamaan diferensial yang disini disebut sebagai atraktor Zeeman. McSharry memodelkan atraktor yang lebih sederhana dan juga menambahkan secara explisit representasi gelombang PQRST dalam modelnya. Dengan menganggap atraktor McSharry berupa lingkaran, maka gelombang PQRST bisa ditulis hanya dalam sebuah persamaan diferensial biasa [3], dengan memanfaatkan model eksplisit McSharry.

Pada makalah ini, gelombang PQRST tidak ditulis secara eksplisit seperti pada McSharry [5] atau [3], namun disusun melalui sistem persamaan diferensial biasa. Gelombang P dimodelkan seperti model peluruhan radioktif dengan sumber luar, namun dengan efek tunda. Gelombang Q juga berbentuk seperti model peluruhan dengan gelombang P sebagai sumber ekternalnya. Demikian juga gelombang R mempunyai sumber ekternal Q, begitu seterusnya. Masing-masing model mempunyai waktu tunda. Jadi sebuah sinyal luar akan memunculkan P, kemudian Q, R, S dan yang terakhir T.

2. KAJIAN LITERATUR

Zeeman [6] memperkenalkan model EKG berupa sistem dinamis yang terdiri dari tiga persamaan diferensial sebagai berikut



x ax b



x  3  



a x a2 2

1







a

b



(1) dengan x berupa panjang jaringan otot hati (bisa bernilai negatif),  suatu skalar positif, b

adalah parameter yang menggambarkan kontrol kimia, x0 adalah panjang otot jantung

awal dalam kondisi diastole, dan a adalah parameter yang berhubungan dengan tegangan di otot. Sebagai contoh, Gambar 2 mem-perlihatkan dinamika x terhadap t.

0 1 2 3 4 5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 t x

Gambar 2. Dinamika jantung menurut model Zeeman

McSharyy [5] memodelkan EKG dengan sistem tiga persamaan diferensial biasa, yaitu

 , , , ,  exp 2 ( 0)

2 2 z z b a z x y y y x x T S R Q P i i i i

i  

    _       

















   (2)

dengan



1 x2 y2 ,









_i (  _i)mod2

 ,



arctan2(y,x).

Kecepatan sudut diberikan oleh



dan fungsi kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan

dengan frekuensi f yang berbentuk ) 2 sin( )

(

0 t A ft

z 



(3)

Bagian pertama dan kedua Persamaan (2) membentuk trayektori yang mengitari sebuah atraktor pada bidang x,y. Dalam satu siklus dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).

-1 -0.5 0 0.5 1 -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

y

(a)

-1

0

1

-1 0

1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

x y

z

P Q

R

S T

(b)

0 2 4 6 8 10

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t

z

(c)

Gambar 3. Simulasi Runge Kutta dari Persamaan (2).

(a) adalah bentuk trayektori bagian kesatu dan kedua (b) adalah kurva (x,y,z) (c) adalah represntasi EKG

sintesis.

 , , , , 

exp

2

(

0

)

2 2

z z b

a z

T S R Q P

i i

i i

i











 



















(4)

dengan 



_i (



t)mod(2



)







_i.

Hasil simulasi Persamaan (4) dengan  yang bervariasi terhadap waktu [3] [4], diberikan pada Gb 4.

0 5 10 15 20

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t

z

Gambar 4. Simulasi Persamaan 4 dengan  yang bervariasi dengan distribusi gamma.

3. PEMODELAN EKG

Pemodelan EKG dengan waktu tunda dalam bentuk yang lain bisa diacu pada Lainscsek [1].

Berbeda dengan model McSharry, dalam makalah ini gelombang P,Q,R,S dan T masing-masing dimodelkan dengan sebuah persamaan diferensial biasa yang saling terhubung. Hanya ada satu sinyal yang bebas, berbentuk fungsi normal yang sempit dan terjadi secara periodik. Sebuah sinyal pembangkit gaussan bisa ditulis sebagai

) 2 /( )) ( ( 2 2

)

(

t t s

Ae t

g



  (5)

Parameter A merupakan amplitudo sinyal, parameter s adalah setengah lebar sinyal, dan posisi puncak sinyal terjadi pada saat . Agar sinyal ini terjadi secara periodik maka nilai  berubah setiap siklusnya. Sinyal ini akan memicu terjadinya gelombang P melalui persamaan yang mirip dengan model peluruhan sebagai berikut

RR

)

( _Q

P Q Q Q

Q a y b y t

y   



(7)

Begitu juga seterusnya, gelombang Q akan memicu R, geleombang R memicu S, dan gelombang S memicu T melalui persamaan-persamaan

)

( _R

Q R R R

R a y b y t

y   



(8)

)

( _S

R S S S

S a y b y t

y   



(9)

)

( _T

S T T T

T a y b y t

y   



(10)

Sinyal EKG terbentuk oleh jumlahan dari gelombang P, Q, R, S, T sebagai berikut

T S R Q

P y y y y

y

y     (11)

Parameter ai dan bi (i={P,Q,R,S,T}) pada

Persamaan (6-10) masing-masing menentukan tinggi dan lebar gelombang P, Q, R, S dan T.

4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Simulasi model EKG yang baru

me-nunjukkan representasi sinyal EKG yang

mirip dengan model yang lain [3], [5].

0 1 2 3 4 5

-2 0 2 4 6 8 10 12x 10

-3

Gambar 5. Bentuk sinyal Persamaan (5) yang periodik

menghasilkan sinyal EKG pada Gb. 6.

0 1 2 3 4 5

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Gambar 6. Simulasi EKG dengan sinyal seperti Gb 5

memperlihatkan gelombang PQRST.

Gb. 5 menunjukkan sinyal pembangkit sesuai dengan Persamaan (5). Sinyal ini menghasilkan Gb. 6 menurut Persamaan (11). Terlihat di sini, dalam satu siklus semua gelombang PQRST muncul. Andaikan sinyal pembangkit datang lebih cepat daripada durasi sebuah siklus maka akan terjadi superposisi gelombang dengan gelombang pada siklus berikutnya seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7 dan 8. Pada Gb. 8 gelombang P siklus kedua muncul bersamaan dengan T pada sikulus pertama.

0 1 2 3 4 5

-2 0 2 4 6 8 10 12x 10

-3

Gambar 7. Sinyal pembangkit yang lebih cepat

datangnya dari durasi sebuah siklus menyebabkan superposisi dengan sikuls berikutnya (Gb. 8).

0 1 2 3 4 5

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Gambar 8. Simulasi EKG dengan sinyal yang

periodenya lebih cepat dari durasi sebuah siklus EKG seperti Gb 7 memperlihatkan tumpang tindih antara

gelombang P dan T.

0 1 2 3 4 5 -0.02

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Gambar 9. Perbedaan EKG dengan sinyal pembangkit

tanpa derau (lebih rendah) dengan yang berderau (lebih tinggi).

Tinggi rendah sinyal EKG bisa di-simulasikan dengan memvariasikan am-plitudo sinyal pembangkit seperti yang diperlihatkan pada Gb 10 dan 11.

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8

x 10-3

Gambar 10. Sinyal pembangkit yang bervariasi akan

memicu sinyal EKG yang bervariasi juga. Gb 11 adalah hasil dari pembangkit yang diperlihatkan ini.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Hasil simulasi yang diperlihatkan di Gb 5-11 menggunakan parameter dengan nilai-nilai yang tercantum di Tabel 1

Tabel 1. Nilai-nilai parameter simulasi

Gelombang ai bi i

P 30 33,3 0,2 Q 30 -33,3 0,1 R 30 -333,3 0,4 S 15 -1,67 0,45 T 15 -10 0,5 Pembangkit A=0,01 s=0,07

Tentunya bisa dibuat simulasi dengan berbagai variasi nilai parameter sesuai dengan yang diinginkan pembaca.

5. KESIMPULAN

Makalah ini berisi pemodelan EKG berupa sistem persamaan diferensial biasa, masing-masing persamaan menggambarkan dinamika gelombang P, Q, R, S dan T yang muncul karena dibangkitkan oleh sebuah fungsi pembangkit, namun terbangkitkan sesuai dengan waktu tunda masing-masing gelombang. Model EKG ini berbeda dari model-model EKG yang ada sebelumnya. Berbagai simulasi numerik memperlihatkan bahwa sinyal yang terbangkitkan dapat merepresentasikan sinyal EKG yang nyata.

6. UCAPAN TERIMA KASIH

Terimakasih

kepada

Universitas

Kristen

Satya

Wacana

yang

telah

membiayai presentasi makalah ini dan

Program Studi Fisika Medis UKSW yang

telah memberi dorongan untuk bekarya di

dunia fisika medis

.

7. REFERENSI

1. Claudia Lainscsek and Terrence, J. Sejnowski,Chaos 23, 023132 (2013). 2. Gil Gaspar M. Lobo Pinto, Nur Aji

Wibowo, Suryasatriya Trihandaru,

Vol 5, No.1, pp 270-274, ISSN :2087-0922 (21 Juni 2014).

4. Herlina D ,T , Parhusip, H.A., Trihandaru, S., Susanto, B, “Pola Distribusi Interval Denyut Jantung Dengan Memanfaatkan Jumlahan Fungsi Gauss Yang Dioptimasi Secara Nelder-Mead Simplex” in

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX FSM-UKSW, Vol.5, No.1, ISSN:2087-0922, pp.739-747, , 21 Juni 2014.

5. Patrick E. McSharry, Gari D. Clifford, Lionel Tarassenko, and Leonard A. Smith,

IEEE Transactions On Biomedical

Engineering, VOL. 50, NO. 3, pp. 289-294 (MARCH 2003).

6. Zeeman EC., Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Mathematics Institute, University of Warwick, Coventry, UK, 1972.