7.IntroductionalaTheoriedesjeux versionknowledge

Thomas Lanzi

SKEMA Business School

Introduction

Nos intérêts individuels sont-ils compatibles avec ceux de la collectivité ?

La poursuite de nos motivations individuelles et de nos désirs égoïstes engendrent-elles nécessairement des situations collectivement optimales ?

La réponse à ces questions implique de comprendre précisément la distinction entre un équilibre et un optimum collectif.

Imaginons deux firmes se faisant concurrence par les prix. S’il existe une issue dans laquelle aucune des deux firmes n’a intérêt à modifier son prix compte tenu du prix pratiquer par son concurrent alors cette situation constituera un équilibre, i.e une issue stable.

Comment comparer des « états économiques », des issues ou des solutions possibles dans une interaction stratégique ?

Le critère de Pareto

Considérons 2 agents A et B dont les gains sont représentés par la fonction g_{i .}

Une issue h est une issue strictement Pareto-dominé s’il existe au moins une issue z telle que le gain de tout agent i obtenu avec l’issue h est strictement inférieure à celui procuré par l’issue z :

Issue

g

_A

g

_B

1

10

10

2

20

26

3

8

22

4

7

30

EXEMPLE

L’issue 1 est Pareto-dominée par l’issue 2 puisque g_A(1) < g_A(2) et g_B(1) < g_B(2).

L’issue 3 est Pareto-dominée par l’issue 2 puisque g_A(3) < g_A(2) et g_B(3) < g_B(2).

L’optimum de Pareto

Une issue est un optimum de Pareto:

- si elle n’est pas Pareto-dominée et,

- s’il n’existe aucune autre issue qui fait l’unanimité

auprès des agents, i.e si l’augmentation du gain d’un agent se réalise au détriment du gain d’au moins un autre agent.

Techniquement, deux issues h et z sont des optima de Pareto si

:

Comment sélectionner les optima de Pareto entre

eux ?

Construction des préférences collectives W :

- Critère Utilitariste : le planificateur maximise la somme

des gains ou utilités individuelles. Ex: On sélectionne l’issue 2 car W₂ = 46 et W₄ = 37.

- Critère Egalitariste : le planificateur minimise l’écart entre

- Critère Rawlsien : le planificateur maximise le gain ou

l’utilité de l’agent le plus défavorisé.

Ex: l’agent A est le plus défavorisé car g_A(2) < g_B(2) et

Les conséquences du raisonnement stratégique au travers de quelques exemples:

« Le dilemme du prisonnier » Considérons l’histoire suivante:

Représentation du jeu sous forme normale

Jeu simultané

Quelle est l’issue de cette interaction ?

Nier Avouer

Nier (-1 ; -1) (-10 ; 0)

Avouer (0 ; -10) (-8 ; -8)

A

Avouer est une stratégie strictement dominante pour chacun des joueurs, ils ont donc tous les 2 intérêts à jouer cette dernière.

Solution : (Avouer ; Avouer)

Cette solution est unique mais ne constitue pas l’issue la plus favorable aux deux individus.

Nier Avouer

Nier (-1 ; -1) (-10 ; 0)

Avouer (0 ; -10) (-8 ; -8)

A

Une des principales moralités du dilemme du prisonnier est que les interactions stratégiques entre des agents économiques rationnels peuvent rendre le résultat collectif inefficace.

Comment s’engager sur une solution efficace ? Dans cette exemple, coopérer n’est pas crédible.

Exemple en science politique: « le vote stratégique »

Une commission de 3 personnes (A, B et C) doit choisir un projet de texte de loi parmi 3 versions possibles: a, b et c.

Règle de vote: 1er _{tour - Majorité sans}

abstention entre b et c. 2nd _{tour - Majorité}

sans abstention entre le 1er _{vainqueur et}

a.

Si le vote est naïf, alors b l’emporte au 1er

et 2nd _tour.

Si A est stratégique, il votera pour c au 1er _{tour pour éliminer le projet b et faire}

gagner le projet a au 2nd _tour.

A

B

C

a

b

c

b

a

b

Eléments de bases des jeux non coopératifs

Description d’un jeu

• Représentation formelle d’une situation dans laquelle un certain nombre d’individus « rationnels » doivent prendre des décisions qui les affectent mutuellement.

• Les décisions sont stratégiques et dépendent des anticipations sur les actions des autres.

Eléments d’un jeu

a) les joueurs

b) le rôle du hasard (ou « nature ») c) les règles du jeu:

- qui joue quand ?

- quelle information ont les joueurs lorsqu’ils jouent ?

- que peuvent faire les joueurs lorsque c’est leur tour de jouer ( « stratégies »)

d) les résultats (pour chaque ensemble possible

d’actions des joueurs et de la nature, quel est le résultat du jeu ?

Nature des interactions

Jeux à somme nulle

• Les intérêts des joueurs sont diamétralement opposés. • Situation de pur conflit car ce qui est perdu par l’un est

gagné par l’autre. Jeux de coordination

• Les intérêts des joueurs sont alignés. • Problèmes de multiplicité d’équilibres.

Types de jeux

Les jeux simultanés

• Les actions sont retenues simultanément et par

définition on n’observe jamais le choix des autres joueurs.

• Anticipation des stratégies des autres joueurs.

Les jeux séquentiels

Les choix sont séquentiels et selon l’hypothèse faite sur

l’information les actions sont observées ou non par les

Deux types de représentations

Forme normale

• Forme condensée d’un jeu où apparaît directement les

stratégies de chaque joueurs et les résultats

conditionnels.

• Représentation des jeux simultanés et séquentiels.

Forme extensive

• Représentation sous la forme d’un arbre où les choix

sont séquentiels. Les arbres se caractérisent par des

branches et des nœuds.

Exemple : Un jeu d’entente

Deux firmes A et B en concurrence.

• Règles du jeu : chaque firme choisit soit une stratégie de

«concurrence» ou d’«entente».

• Logique du Dilemme du prisonnier

• Selon les règles du jeu, les résultats peuvent être

Version 1

• les choix sont simultanés

• Représentation sous forme normal

Concurrence Entente

Concurrence (2;2) (15;0)

Entente (0;15) (10;10)

Firme B

Version 2

• Les choix sont séquentiels en information parfaite • Forme extensive des jeux

Jeu avec 3 nœuds de décision et 6 branches

B B

A

Concurrence _Entente

(2 ; 2) (15 ; 0) (0 ; 15) (10 ; 10)

Le concept de stratégie d’un joueur

Une stratégie n’est pas une action mais une règle de décision qui spécifie le choix du joueur dans toutes les circonstances dans lesquelles il pourrait avoir à choisir une action.

Elle constitue une planification du choix de ses actions à chacun de ses ensembles d’information.

L’écriture des stratégies constitue l’étape la plus importante dans la résolution du jeu.

La résolution d’un jeu consiste à déterminer les stratégies optimales de chaque joueur compte tenu des anticipations faites sur les choix de tous les joueurs.

Un équilibre en théorie des jeux s’apparente donc à un

ensemble de profil de stratégies mutuellement compatible avec un critère donné.

La recherche d’équilibres

Stratégies dominantes et dominées

Une stratégie S_i est strictement (resp. faiblement) dominante pour le joueur i si, quoi que fassent les autres joueurs, S_i lui procure un gain supérieur (resp. supérieur ou égal) à toute autre stratégie.

Exemples:

« Prix bas » est une stratégie dominante pour les deux firmes.

Prix bas Prix élevé

Prix bas (300 ; 300) (700 ; 100)

Prix élevé (100 ; 700) (500 ; 500) Peugeot

G D

H (1 ; -1) (-1 ; 1)

M (-1 ; 1) (1 ; -1)

B (-2 ; 5) (-3 ; 2)

Joueur 1

Joueur 2

G D

H (5 ; 1) (4 ; 0)

M (6 ; 0) (3 ; 1)

B (6 ; 4) (4 ; 4)

Joueur 1

Joueur 2

Equilibre de Nash

Couple de stratégies qui constitue un ensemble de meilleurs réponses (pas de déviations mutuellement avantageuses).

H B

H (a ; b) (c ; d)

B (e ; f) (g ; h)

Joueur 1

Joueur 2

On dira que par exemple (H,H) est un équilibre de Nash si :

MR₁(H) = H, i.e la MR de J1 quand J2 joue H est H (a > e) MR₂(H) = H, i.e la MR de J2 quand J1 joue H est H (b > d)

Exemples:

G M D

H (5 ; 3) (0 ; 4) (3 ; 5)

M (4 ; 0) (5 ; 5) (4 ; 0)

B (3 ; 5) (0 ; 4) (5 ; 3)

Joueur 1

Joueur 2

Choix technologiques : JVC vs Sony

Conquête du marché mondial des magnétoscopes.

Problématique liée à un programme d’investissement dans des nouvelles technologies incompatibles entre elles (VHS pour JVC et BETAMAX pour SONY).

2 équilibres de Nash (VHS ; VHS) et (BETAMAX ; BETAMAX)

VHS BETAMAX

VHS (3 ; 4) (1 ; 2)

BETAMAX (0 ; 0) (2 ; 5)

JVC

Pendant presque 10 ans, les deux entreprises se sont neutralisées. Cependant JVC préparait la victoire VHS en partageant la production de cette technologie avec d’autres entreprises d’électroniques - RCA aux Etats-Unis, Thorn-EMI en GB, Thomson en France, AEG en Allemagne.... et obtenant ainsi une diminution significative des coûts de production. La matrice des gains s’est transformée 10 ans plus tard de la manière suivante:

VHS est ainsi devenue une stratégie dominante pour JVC et ses alliés et SONY ne pouvait que s’aligner, ce qui a été le cas en 1988.

VHS BETAMAX

VHS (12 ; 3) (10 ; 1)

BETAMAX (0 ; 0) (3 ; 3)

JVC et alliés

Dynamique séquentielle et notion de

menace

Comme les joueurs jouent les uns après les autres, ils peuvent introduire dans leurs stratégies la notion de

menace.

On dira que les menaces peuvent être crédible ou non crédible.

Une menace consiste à retenir une décision

contraignante pour un joueur (une punition) si ce dernier retient une décision donnée.

N1

N2

N3

Joueur 1 Joueur 2

N1

N2

N3

Joueur 1 Joueur 2

Equilibres de Nash : E₁ = ( H ; (h ; h))

E₂ = ( H ; (h ; b)) E₃ = ( B ; (b ; h))

(h ; h) (h ; b) (b ; b) (b ; h)

H (4 ; 1) (4 ; 1) (-5 ; 0) (-5 ; 0)

B (2 ; 2) (0 ; 0) (0 ; 0) (2 ; 2)

Joueur 1

E₁ = ( H ; (h ; h))

Joueur 1 Joueur 2

(4 ; 1)

Menace crédible

Une stratégie repose sur une menace non crédible s’il existe au moins une action qui la compose qui ne constitue pas une meilleure réponse en un nœud de l’arbre de décision.

On peut donc proposer un raffinement de l’équilibre de Nash qui consiste à éliminer les équilibres reposant sur des menaces non crédibles.

N1

N2

N3

Joueur 1 Joueur 2

(4 ; 1)

Application au problème de l’innovation

Firme 1 : Entreprise innovante et a le choix entre développer deux types de technologies, la technologie 1 (T1) qui est plus innovante et plus coûteuse que la technologie 2 (T2).

Le jeu se déroule de la manière suivante :

La firme 1 choisit la technologie 1 ou 2 et la firme 2 décide de la copier ou non.

On suppose que si la firme 1 choisit la technologie 1 et quelle est copiée par la firme 2, alors la firme 1 est éliminée du marché.

N1

N2

N3

Firme 1 Firme 2

N1

N2

N3

Firme 1 Firme 2

(C ; C) (C ; NC) (NC ; NC) (NC ; C)

T1 (-1 ; 1) (-1 ; 1) (10 ; 2) (10 ; 2)

T2 (3 ; 3) (5 ; 2) (5 ; 2) (3 ; 3)

Firme 1

Firme 2

Equilibres de Nash

E₁ = (T1 ; (NC ; NC))

E₂ = (T1 ; (NC ; C))

N1

N2

N3

Firme 1 Firme 2

(-1 ; 1)

Equilibres de Nash

E₁ = (T1 ; (NC ; NC))

E₂ = (T1 ; (NC ; C))

E₃ = (T2 ; (C ; C))

Menace non crédible

Menaces crédibles

N1

N2

N3

Firme 1 Firme 2

(-1 ; 1)

Application à une chaîne de montage