BAB I PENDAHULUAN. Nilai tukar mata uang rupiah terhadap US Dollar sangat fluktuatif dalam dua

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Nilai tukar mata uang rupiah terhadap US Dollar sangat fluktuatif dalam dua belas tahun terakhir ini, dan puncaknya adalah saat terjadi krisis moneter pada tahun 1998. Ketidakstabilan mata uang rupiah terhadap US Dollar ini tentu menghasilkan dampak yang besar. Pihak yang paling besar merasakan dampaknya adalah para praktisi bisnis atau pemilik perusahaan yang sering melakukan kegiatan ekspor-impor. Sehingga tak heran jika masa-masa tersebut, mengakibatkan banyaknya perusahaan di Indonesia yang mengalami kebangkrutan. Sebab, jika suatu perusahaan mengimpor bahan baku yang dibutuhkannya keluar negeri pada saat rupiah melemah, maka modal pokok yang perlu di siapkan olehnya harus lebih besar dibandingkan modal pokok sebelum melemahnya rupiah. Akibatnya perusahaan berupaya untuk menutupi dana tambahan modal pokok, diantaranya dengan menaikan harga barang jadinya.

Namun strategi tersebut cenderung menimbulkan masalah baru, berupa turunnya permintaan pasar barang, sehingga kerugian tetap tidak terelakkan.

Peramalan adalah salah satu alat penting dalam dunia bisnis. Salah satunya adalah peramalan dalam mengamati fluktuasi nilai tukar mata uang rupiah terhadap US Dollar yang pergerakannya sangat tidak menentu. Oleh karena itu, sangat penting terutama bagi importir, untuk meramalkan nilai jual atau beli mata

mungkin timbul. Peramalan juga sangat diperlukan untuk meminimumkan resiko ketidak pastian perkembangan fluktuasi mata uang yang cenderung berubah-ubah setiap waktunya.

Pada skripsi ini, akan dilihat dan diikuti perkembangan nilai beli mata uang US Dollar, dengan metode-metode peramalan yang sudah ada. Penggunaan metode peramalan haruslah tepat untuk tiap kasusnya, agar memberikan hasil peramalan yang akurat (mendekati kenyataan yang sebenarnya). Penulis akan membandingkan dua metode peramalan, yang hasilnya akan dibandingkan dengan data sebenarnya. Peramalan yang paling mendekati keadaan sebenarnyalah yang nanti akan dipakai untuk meramalkan fluktuasi mata uang.

Dalam dunia peramalan, terdapat elemen-elemen yang sangat penting, yaitu:

• Masa yang akan datang

• Ketidakpastian

Penambahan jenis-jenis metode peramalan, tentu menimbulkan masalah baru bagi para praktisi bisnis dalam hal bagaimana memahami karakteristik suatu metode peramalan, sehingga metode yang ia pilih tersebut benar-benar merupakan metode yang tepat bagi pengambilan keputusan untuk kasus tertentu. Dari banyaknya metode peramalan yang tersedia, metode pemulusan (Smoothing) dan metode peramalan deret berkala Box-Jenkins adalah diantaranya. Metode pemulusan eksponensial ini sebenarnya terdiri dari banyak metode. Namun dalam skripsi ini, penulis hanya menggunakan Metode pemulusan eksponensial ganda dengan pendekatan metode linear satu-parameter dari Brown dan metode

pemulusan eksponensial ganda dengan pendekatan metode linear dua-parameter dari Holt. Metode kedua yang penulis gunakan dalam skripsi ini adalah metode peramalan deret berkala Box-Jenkins, yang sering diidentikkan dengan model ARIMA (Auto Regressive Integrated Moving Average), karena George P. Box dan Gwilym Jenkins (1976) inilah yang mempopulerkan model ARIMA ini.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimankah metode peramalan yang sesuai untuk data yang diambil dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial?

2. Bagaimanakah metode ARIMA yang sesuai untuk data yang diambil?

3. Diantara dua metode (metode pemulusan eksponensial yang terbaik dan metode ARIMA), metode manakah yang paling baik untuk data yang ada?

4. Hari-hari apa saja dalam seminggu (kecuali Sabtu dan Minggu) yang dianggap paling menguntungkan untuk membeli US Dollar?

1.3 Batasan Masalah

Berdasarkan rumusan masalah yang sudah diuraikan, maka batasan masalah dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Pengaruh yang ditimbulkan oleh situasi politik, sosial, dan ekonomi diasumsikan konstan

2. Data nilai beli US Dollar yang akan diolah dalam studi kasus pada skripsi ini adalah data empat bulan terakhir. Adapun periode yang diambil adalah dari Bulan Maret 2007 sampai dengan Bulan Juni 2007

3. Data nilai beli US Dollar yang digunakan untuk analisis data harian dalam studi kasus skripsi ini adalah data satu tahun. Adapun periode yang diambil adalah dari Bulan Juli 2006 sampai dengan Bulan Juni 2007

1.4 Tujuan dan Kegunaan Penelitian

Dari hasil perumusan masalah diatas, maka penelitian ini memiliki tujuan sebagai berikut:

1. Menentukan model yang sesuai untuk data yang diambil dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial dari Brown dan Holt

2. Menentukan model ARIMA yang sesuai untuk data yang diambil dengan menggunakan metode peramalan deret berkala Box-Jenkins

3. Mencari metode yang paling baik untuk meramalkan nilai beli US-Dollar 4. Mencari hari-hari tertentu yang dianggap paling menguntungkan untuk

membeli US Dollar

Adapun beberapa manfaat diharapkan dari skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagi penulis, dapat mengetahui metode yang cocok untuk meramalkan fluktuasi mata uang

2. Bagi eksportir, dijadikannya metode peramalan terbaik yang kelak didapat, secara luas, tidak hanya oleh kalangan eksportir, namun digunakan pula oleh

masyarakat umumnya, terutama untuk kalangan masyarakat yang hendak menyekolahkan putra-putrinya ke Amerika Serikat

3. Bagi khasanah ilmiah, dapat lebih memahami pentingnya peramalan, yaitu berupaya agar segala sesuatu yang telah direncanakan tidak meleset dari kenyatannya

1.5 Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini memberikan penjelasan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan kegunaan, dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini menguraikan teori dan konsep yang berhubungan dengan masalah yang diangkat dalam topik skripsi ini. Khususnya konsep-konsep yang mendukung BAB III

BAB III PEMBAHASAN

Bab ini berisikan pembahasan utama dalam skripsi ini, yaitu metode pemulusan eksponensial ganda dan metode peramalan deret berkala Box-Jenkins.

BAB IV STUDI KASUS DAN PENGOLAHAN DATA

Pada bab ini akan dilakukan pengolahan data yang berkaitan dengan masalah nilai beli US Dollar, dengan menggunakan kedua metode peramalan diatas, kemudian dianalisa output hasil peramalannya terhadap data aktual, sehingga dapat membandingkan hasil akhir dari kedua metode tersebut, untuk selanjutnya melihat mana yang merupakan metode peramalan yang terbaik berkenaan dengan masalah diatas.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini berisikan kesimpulan dan saran hasil-hasil pengolahan data serta analisa yang telah diperoleh di BAB IV, sehingga tercapailah apa yang diharapkan dari tujuan penyusunan skripsi ini, sebagaimana telah diuraikan dalam tujuan dan kegunaan penelitian skripsi ini diatas.

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dikemukakan pengertian nilai tukar mata uang asing yang berkaitan erat dengan permasalahan yang dibahas pada skripsi ini. Selain itu dibahas juga teori-teori dasar yang akan digunakan pada bab-bab selanjutnya.

2.1 Pendahuluan

Sering terjadinya senjang waktu (time lag) antara kesadaran akan peristiwa dengan kebutuhan mendatang peristiwa itu sendiri, adanya waktu tenggang (lead time) ini merupakan alasan utama bagi perencanaan dan peramalan. Jika waktu tenggang ini nol atau sangat kecil, maka perencanaan tidak diperlukan. Jika waktu tenggang ini panjang dan hasil peristiwa akhir bergantung pada faktor-faktor yang dapat diketahui, maka perencanaan dapat memegang peranan penting. Dalam situasi seperti itu, peramalan diperlukan untuk menetapkan kapan suatu peristiwa akan terjadi atau timbul, sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan (Makridakis dan Wheelwright,1983: 3)

2.2 Tinjauan Ekonomi

2.2.1 Alasan Penggunaan Mata Uang Asing

Berikut ini beberapa alasan suatu negara, menggunakan mata uang asing dalam proses transaksi jual-beli, terutama yang berkaitan dengan interaksi jual- beli dengan negara lain, diantaranya:

1. Adanya forward market bagi mata uang negara-negara maju, tetapi tidak ada pasar bagi negara-negara berkembang.

2. Kekhawatiran adanya devaluasi yang berakibat buruk baik pada investasi asing maupun domestik.

3. Sering terjadinya perubahan nilai tukar mata uang negara yang sedang berkembang, menyebabkan berkurangnya kepercayaan untuk memegang dan menyimpannya.

4. Banyak negara-negara yang sedang berkembang, tidak mempunyai derajat kesamaan dalam pengawasan terhadap tingkat harga dalam negeri.

Namun pengaitan mata uang suatu negara, khususnya negara berkembang terhadap mata uang asing lain, tentunya bukan tanpa masalah. Terkadang negara berkembang tersebut mengalami fluktuasi jangka pendek, ketika negara yang mata uangnya dikaitkan oleh negara berkembang, mengalami hal tersebut.

Semakin kuat pengaitannya, akan mengakibatkan perubahan baik dalam nilai tukar efektifnya, maupun harga mata uang lokal untuk ekspor dan impor. Apalagi negara berkembang biasanya menggunakan mata uang asing lebih banyak sebagai alat bayar dalam aktivitas ekspor-impornya pada negara asing tersebut.

Padahal tujuan awal suatu negara berkembang memegang uang internasional adalah agar negara berkembang tersebut memiliki cadangan berupa devisa.

2.2.2 Pengertian Valuta Asing (Foreign Exchage)

Valuta asing (valas) diartikan sebagai mata uang asing dan alat pembayaran lainnya yang digunakan untuk melakukan atau membiayai transaksi

ekonomi dan keuangan internasional atau luar negeri, adapun catatan kurs resmi ada pada Bank Sentral atau Bank Indonesia.

Mata uang yang sering digunakan sebagai alat pembayaran dan kesatuan hitung dalam transaksi ekonomi dan keuangan internasional disebut sebagai hard currency, yaitu mata uang yang nilainya relatif stabil dan kadang-kadang mengalami apresiasi atau kenaikan nilai terhadap mata uang lainnya. Hard currency pada umumnya berasal dari negara-negara industri maju, seperti US Dollar, Japan Yen, Denmark Mark, GB Pounsterling, France Franc, AUS Dollar.

Sedangkan soft currency adalah mata uang lemah yang jarang digunakan sebagai alat pembayaran dan kesatuan hitung karena nilainya relatif tidak stabil dan sering mengalami depresi atau penurunan nilai terhadap mata uang lainnya.

Soft currency ini pada umumnya berasal dari negara-negara yang sedang berkembang, seperti Rupiah-Indonesia, Peso-Filipina, Bath-Tailand, dan Rupee- India

Total valas yang dimiliki oleh pemerintah dan swasta dari suatu negara disebut juga sebagai cadangan devisa. Cadangan tersebut dapat diketahui dari posisi balance of payment (BOP) atau neraca pembayaran internasionalnya.

Makin banyak devisa yang dimiliki oleh pemerintah dan penduduk suatu negara, maka makin besar pula kemampuan negara tersebut dalam melakukan transaksi ekonomi dan keuangan internasional, serta makin kuat pula nilai mata uang negara tersebut (Hamdy Hady, 2004: 24)

2.2.3 Teori Nilai Tukar

Winardi (1987:168) memberikan pengertian nilai tukar yaitu harga persatuan sebuah valuta asing yang dinyatakan dalam satuan domestik. Robert D.

Tollison (1985:428) serta Roger A. Arnold (1996:478) memberikan pengertian yaitu the price of one country’s currency stated in term of another. Paul A.

Samuelson dan William D. Nordhas (1992:450) menyatakan kurs (nilai tukar) valuta asing yaitu harga mata uang asing dalam satuan mata uang domestik.

Nopirin (2000:163) menyatakan nilai tukar itu sebenarnya merupakan semacam harga didalam pertukaran tersebut. Jadi nilai tukar rupiah terhadap US-Dollar merupakan harga rupiah terhadap mata uang Amerika.

Nilai tukar merupakan faktor resiko yang harus diperhitungkan dalam memperkirakan tingkat hasil portofolio di reksa dana (Institusi jasa keuangan yang menerima uang dari pemodal yang kemudian menginfestasikan dana tersebut dalam portofolio yang terdiversifikasikan pada efek/sekuritas). Semakin tinggi fluktuasi nilai tukar suatu negara, mengindikasikan tingginya ketidakpastian nilai tukar mata uang negara bersangkutan. Dengan demikian, investor harus mempertimbangkan pula resiko nilai tukar tersebut. Resiko nilai tukar mata uang merupakan faktor ketidakpastian yang dihadapi investor bila melakukan investasi di pasar global. Pertukaran antara dua mata uang yang berbeda, akan terdapat perbedaan nilai atau harga antara mata uang tersebut (Sadono Sukirno, 2002:358)

2.2.4 Mekanisme Bursa Valuta Asing (Valas) 2.2.4.1 Pendahuluan

Bursa atau pasar valas diartikan sebagai suatu tempat atau sistem dimana perorangan, perusahaan, dan bank dapat melakukan transaksi keuangan internasional dengan jalan melakukan pembelian atau permintaan (demand) dan penjualan atau penawaran (supply) atas valas (Hamdy Hady, 2004: 25)

2.2.4.2 Tiga Prinsip Bursa Valas

Tiga prinsip pokok bursa valas adalah sebagai berikut:

1. Pengertian kurs jual dan beli selalu dilihat dari pihak bank atau money changer.

2. Kurs jual selalu lebih tinggi dari kurs beli atau sebaliknya kurs beli selalu lebih rendah dari kurs jual.

3. Kurs jual/beli suatu mata uang (valas) adalah sama dengan kurs beli/jual dari mata uang (valas) lawannya. Denga kata lain, kurs jual/beli US-Dollar sama dengan kurs beli/jual IDR (menjual atau membeli rupiah)

(Hamdy Hady, 2004: 26)

2.2.4.3 Fungsi Bursa Valas

Fungsi bursa valas sebagai berikut:

1. Mempermudah pertukaran valas serta pemindahan dana dari suatu negara ke negara lain.

2. Karena sering terdapat transaksi internasional yang tidak perlu segara diselesaikan pembayaran atau penyerahan barangnya, maka pasar valas

memberikan kemudahan untuk dilaksanakannya perjanjian/kontrak jual-beli atau kredit.

3. Memungkinkan dilakukannya hedging, yaitu tindakan pengusaha atau pedagang valas untuk menghindari resiko kerugian atas fluktuasi nilai tukar valas.

(Hamdy Hady, 2004: 26)

2.2.4.4 Penyebab Perbedaan Kurs Valas

Perbedaan kurs valas disebabkan oleh beberapa hal, diantaranya:

1. Perbedaan antara kurs beli dan jual oleh pedagang valas, ataupun bank 2. Perbedaan kurs yang diakibatkan oleh perbedaan dalam waktu pembayaran.

2.3 Beberapa Ukuran Statistik yang Diperlukan

Beberapa ukuran statistik yang diperlukan dalam skripsi ini diantaranya:

2.3.1. Rataan hitung

Rataan hitung adalah jumlah pengamatan dibagi dengan banyaknya pengamatan. Jika setiap pengamatan dipandang mempunyai suatu satuan masa dan didistribusikan sepanjang sumbu (seperti dalam histogram), maka rataan hitung ditempatkan pada sentroida atau pusat gravitasi distribusi itu (Wilfrid J.

Dixon dan Frank J. Massey, Jr.,1991:29)

Sehingga bila ada data X1, X2, X3,..., Xn, maka rataan hitung dinyatakan

sebagai:

n

X X

X

X = X₁+ ₂ + ₃ +... ⁿ atau biasa disingkat:

n X X

n

i

∑

i

= =¹

2.3.2 Variansi

Secara sederhana Wilfrid J. Dixon dan Frank J. Massey (1991:34-35) mendefinisikan variansi sebagai ukuran yang menunjukkan tersebarnya pengamatan-pengamatan itu di sekitar rataan. Atau disebutkan pula sebagai ukuran penyebaran atau variabilitas. Biasanya suatu ukuran penyebaran menjadi besar jika pengamatan-pengamatan jauh dari rataan dan kecil jika dekat dengan rataan.

Sepintas lalu, jumlah simpangan pengamatan dari rataan hitung

∑ (

X_i −X

)

terlihat merupakan suatu ukuran yang baik untuk maksud ini. Tetapi pada pemeriksaan lebih jauh nampak nilainya sama dengan nol. Misalnya, rataan hitung bilangan 2, 3, 5, dan 8 adalah 4,5. Sehingga simpangan dari rataan adalah - 2,5; -1,5; 0,5; 3,5. Jumlah dari bilangan-bilangan tersebut adalah nol. Keberatan ini dapat diatasi dengan mengkuadratkan simpangan itu sebelum dijumlahkan.

Sehingga variansi didefinisikan sebagai jumlah kuadrat simpangan pengamatan dari X dibagi dengan jumlah pengamatan kurang satu. Dengan lambang X1−X

adalah simpangan pengamatan pertama dari rataan, X2 −X simpangan pengamatan kedua dari rataan, dan sebagainya. Jadi variansi yang kita sajikan dengan lambang s², didefinisikan sebagai

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

... ₁

2 2

2 2 2 2 1

−

−

− =

− + +

− +

= −

∑

=

N X X N

X X X

X X s X

n

i i n

Akan tetapi selanjutnya kita perlu membagi dengan N - 1, bukan dengan N, dalam penggunaan s² untuk berbagai peranannya dalam sejumlah metode

statistika. Banyak buku yang memperkenalkan s² dan N, bukan N - 1, sebagai

penyebut dan kemudian menyesuaikan ini dengan mengalikannya dengan

(

^NN−1

)

jika dilakukan pengamatan sampel. Selanjutnya akan terlihat bahwa pengurangan dengan 1 berhubungan dengan penggunaan X dalam pembilang

Untuk menyederhanakan perhitungan, rumus yang sering digunakan untuk s ² adalah

( )

²

2 2

1

i i

X X s N

N

= −

−

∑ ∑

2.4 Dasar-dasar Peramalan Kuantitatif

2.4.1 Peramalan eksplanatoris dan Deret Berkala

Peramalan eksplanatoris mengasumsikan adanya hubungan sebab dan akibat diantara input dengan output dari suatu sistem, seperti ditunjukkan pada gambar (2.1)

Gambar (2.1) Hubungan Kausal atau Eksplanatoris

Sistem itu dapat berupa apa saja, misalnya ekonomi nasional, pasar suatu perusahaan, atau rumah tangga. Menurut peramalan eksplanatoris, setiap perubahan dalam input akan berakibat pada output sistem dengan cara yang dapat

Hubungan Sebab dan

akibat

Input Output

Sistem

diramalkan, dengan menganggap hubungan sebab dan akibat itu tetap. Tugas pertama peramalan adalah menemukan hubungan sebab dan akibat dengan mengamati output sistem (baik menurut waktu, maupun dengan mempelajari contoh yang mewakili sistem serupa) dan menghubungkannya dengan input yang bersangkutan. Sebagai contoh, orang mungkin ingin mencoba menentukan hubungan sebab dan akibat dalam suatu sistem untuk meramalkan output seperti GNP (Produk Bruto Nasional), penjualan perusahaan, atau pengeluaran rumah tangga. Proses seperti ini jika dilakukan dengan benar akan memberikan taksiran tentang jenis dan tingkat hubungan antar input dan output. Hubungan ini kemudian dapat digunakan untuk meramalkan keadaan sistem yang akan datang, dengan memberikan input yang telah diketahui untuk keadaan mendatang itu.

Penentuan dan penggunaan hubungan sebab akibat dapat digambarkan dengan menggunakan hubungan fisika yang terkenal, yaitu hukum Boyle. Hukum ini menyatakan:

P N

= Θ V

...( 2.1) dengan

P adalah tekanan

N adalah jumlah volume

V adalah volume, dan Θadalah faktor proporsi

Misalkan bahwa persamaan (2.1) diketahui, maka persamaan ini dapat dipandang sebagai contoh dari gambar (2.1). Untuk setiap nilai input N dan V, dan Nilai Θ, akan dihasilkan dari output P yang bersangkutan, yaitu tekanan.

Persamaan (2.1) mempunyai nilai peramalan, karena dengan input yang telah diketahui, output-nya dapat diramalkan. Tak perlu dikatakan bahwa hubungan kausal atau eksplanatoris di dunia nyata ini hampir tak terbatas jumlahnya. Namun pertanyaan yang sangat penting bagi peramal adalah ada hubungan tertentu yang dapat diramalkan.

Berbeda dengan sistem eksplanatoris, peramalan deret berkala memperlakukan sistem sebagai kotak hitam (black box) dan tak ada usaha untuk menemukan faktor yang berpengaruh pada perilaku sistem tersebut. Seperti ditunjukkan pada gambar (2.2), sistem secara sederhana dipandang sebagai proses bangkitan (generating process) yang tidak diketahui mekanismenya.

Gambar (2.2) Hubungan Deret Berkala

Terdapat dua alasan utama untuk memperlakukan sistem sebagai kotak hitam. Pertama, sistem itu mungkin tidak mengerti, dan kalaupun hal itu diketahui, mungkin sangat sulit untuk mengukur hubungan yang dianggap mengatur perilaku sistem tersebut. Kedua, perhatian utamanya mungkin hanya untuk meramalkan apa yang akan terjadi dan bukan mengetahui, mengapa hal itu terjadi. Selama abad delapan belas, sembilan belas, dan dua puluh, sebagai contoh, terdapat beberapa orang yang memperhatikan besarnya bintik hitam pada

Proses bangkitan

Input Output

Sistem

matahari. Pada saat itu sedikit diketahui tentang penyebab terjadinya bintik pada matahari atau sumber energi matahari tersebut. Walaupun demikian, kekurangtahuan ini tidak menghalangi para penyidik untuk mengumpulkan dan menganalisis frekuensi terjadinya bintik pada matahari. Schuster (1906) menemukan pola yang teratur mengenai besarnya bintik pada matahari, dan dia serta beberapa orang lainnya dapat meramalkan kesinambungan tersebut melalui analisis deret berkala.

Sering peramalan dapat menggunakan baik pendekatan kausal maupun deret berkala. Kegiatan ekonomi, sebagai contoh dapat diramalkan dengan menemukan dan mengatur hubungan GNP terhadap beberapa faktor yang memengaruhinya, seperti kebijakan moneter dan fiskal, inflasi, pengeluaran modal, dan impor serta ekspor. Hal ini merupakan bentuk hubungan dan parameter yang berupa:

GNP = f( kebijakan moneter dan fiskal, inflasi,

pengeluaran modal, impor, ekspor ) ...( 2.2) Telah diketahui bahwa besarnya GNP tidak berubah secara drastis dari

bulan ke bulan, atau bahkan dari tahun ke tahun. Jadi GNP bulan mendatang akan bergantung pada GNP bulan sebelumnya, atau mungkin beberapa bulan yang lalu.

Berdasarkan hal ini, GNP dapat ditunjukkan sebagai berikut:

( )

1 , 1, 2, 3....

t t t t t

GNP₊ = f GNP GNP₋ GNP₋ GNP₋ ...( 2.3) Dengan t adalah bulan ini

t + 1 adalah bulan mendatang t - 1 adalah bulan yang lalu

t - 2 adalah dua bulan yang lalu dan seterusnya

Persamaan (2.3) serupa dengan persamaan (2.2) kecuali faktor di ruas kanan merupakan nilai sebelumnya dari faktor di ruas kiri. Pekerjaan peramalan akan lebih mudah ketika persamaan (2.3) diketahui, karena tidak diperlukan nilai input tertentu seperti persamaan (2.2). Namun masalah utama pada persamaan (2.2) dan (2.3) adalah bahwa hubungan antara ruas kiri dan ruas kanannya harus ditentukan dan diukur (Makridakis dan Wheelwright,1983:15-17)

2.4.2 Taksiran Kuadrat Terkecil

Karena hubungannya dengan ilmu pengetahuan alam dan fisika biasanya bersifat pasti, maka hal ini sering disebut hukum. Sebagai contoh, persamaan (2.1) akan selalu berlaku dalam kondisi tertentu. Hal yang sama berlaku pula untuk dua hukum Kepler pertama tentang gerakan planet yang menetapkan dengan tepat kedudukan planet sebagai fungsi dari waktu. Tetapi tingkat ketepatan yang tinggi akan hilang bila kita beranjak dari sistem fisika atau ilmu alam ke sisi sosial.

Hubungan GNP pada persamaan (2.2) atau (2.3) tidak akan pernah pasti. Selalu terdapat perubahan GNP yang tidak dapat diterangkan oleh variasi pada ruas kanan persamaan (2.2) atau (2.3)

Gambar (2.3) Hubungan Eksplanatoris atau Kausal dengan Pengaruh Gangguan Random

Dengan demikian sebagian perubahan GNP akan tetap tidak teramalkan.

Oleh karena itu agar menjadi lengkap, maka gambar (2.1) dan (2.2) harus dimodifikasi dengan memasukkan unsur random yang memengaruhi GNP. Hal ini ditunjukkan dalam Gambar (2.3) dan (2.4). Persamaan (2.2) dan (2.3) harus dimodifikasi juga untuk memasukkan unsur random, biasanya ditunjukkan dengan u, untuk menerangkan sebagian perilaku sistem yang tidak dapat digambarkan melalui hubungan kausal atau deret berkala.

GNP = f(kebijakan moneter dan fiskal, inflasi,

pengeluaran modal, impor, ekspor, u) (lihat ( 2.1)) ...( 2.4) dan

( )

1 , 1, 2, 3,....,

t t t t t t

GNP₊ = f GNP GNP₋ GNP₋ GNP₋ u (lihat ( 2.2)) ...( 2.5) Hal yang diamati sebagai keluaran sistem bergabung pada dua persoalan, yang hubungan fungsionalnya mengatur sistem tersebut (untuk seterusnya akan disebut pola) dan unsur random (atau kesalahan/galat). Sehingga

Data = Pola + Kesalahan ...( 2.6) Hubungan

Sebab dan akibat

Input Output

Sistem

Pengaruh Random

Gambar (2.4) Hubungan Deret Berkala dengan Pengaruh Gangguan Random

Masalah kritis dalam peramalan adalah memisahkan pola dari komponen kesalahan (galat), sehingga pola tersebut dapat digunakan untuk peramalan.

Prosedur umum untuk menduga pola hubungan, baik kausal maupun deret berkala, adalah dengan mencocokkan suatu bentuk fungsional sedemikian rupa sehingga komponen kesalahan pada persamaan (2.6) dapat diminimumkan. Salah satu bentuk pendugaan ini adalah kuadrat terkecil. Pendekatan ini sudah lama dilakukan (dikembangkan pertama kali oleh gauss pada tahun 1980-an) dan merupakan pendekatan yang paling luas digunakan dalam statistika klasik. Istilah kuadrat terkecil didasarkan pada kenyataan bahwa prosedur penaksiran ini berusaha meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan pada persamaan (2.6) (Makridakis dan Wheelwright,1983:17-18)

Proses Bangkitan

Input Output

Sistem

Pengaruh Random

2.5 Pengukuran Kesalahan Peramalan

Jika X merupakan data aktual untuk periode i dan F_i i merupakan ramalan (atau kecocokan/fitted value) untuk periode yang sama, maka kesalahan/galat didefinisikan sebagai:

i i

i X F

e = −

Arsyad (1999) juga menyebutkan bahwa salah satu cara untuk mengevaluasi teknik peramalan adalah menggunakan penjumlahan kesalahan absolut atau Mean Absolute Deviation (MAD) yang mengukur akurasi peramalan dengan merata-ratakan kesalahan peramalan (nilai absolutnya). MAD ini sangat berguna jika seorang analis ingin mengukur kesalahan peramalan dalam unit ukuran yang sama dengan data aslinya.

Galat Rata-rata (Mean Error)

( )

1 n

i i

X F

ME n

=

−

=

∑

Nilai Tengah Kesalahan Absolut (Mean Absolute Error)

1 n

i i

X F

MAE n

=

−

=

∑

Nilai Tengah Kesalahan Kuadrat atau Mean Squared Error (MSE) merupakan metode alternatif dalam mengevaluasi suatu teknik peramalan. Setiap kesalahan atau galat dikuadratkan, kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah observasi.

Jumlah Kuadrat Kesalahan (Sum of Squared Error)

( )

∑

=

−

= ⁿ

i

i

i F

X SSE

1

2

Nilai Tengah Kesalahan Kuadrat (Mean Squared Error)

( )

n F X MSE

n

i

i

∑

i

=

−

= ¹

2

Deviasi standar kesalahan (Standard Deviation of Error)

( )

1

1 1

n

i i

i

SDE X F

n ₌

= −

−

∑

Kadangkala lebih bermanfaat jika menghitung kesalahan peramalan dengan menggunakan secara persentase daripada absolutnya. Nilai Tengah Kesalahan Persentase atau Mean Absolute Percentege Error (MAPE) dihitung dengan menemukan kesalahan absolut tiap periode, kemudian membaginya dengan nilai observasi pada pariode tersebut dan akhirnya merata-ratakan persentase absolutnya. Pendekatan ini sangat berguna jika ukuran variabel peramalan merupakan faktor penting dalam mengevaluasi akurasi peramalan tersebut. MAPE memberikan petunjuk seberapa besar kesalahan peramalan dibandingkan dengan nilai sebenarnya dari deret data tersebut. MAPE juga dapat digunakan juga untuk membandingkan akurasi dari teknik yang sama atau berbeda pada deret data yang berbeda.

Kesalahan Persentase (Percentage Error)

% 100 X x

F PE X

t i i

t 



 



 −

=

Nilai Tengah Kesalahan Persentase Absolut (Mean Absolute Percentage Error)

∑

=

= ⁿ

i t

n MAPE PE

1

Perlu juga untuk menentukan apakah suatu metode peramalan bias atau tidak (secara konsisten tinggi atau rendah). Nilai Tengah Kesalahan Persentase atau Mean Percentage Error (MPE) digunakan dalam kasus seperti ini. MPE dihitung dengan cara memasukkan kesalahan tiap periode, kemudian membaginya dengan nilai sebenarnya pada periode tersebut. Jika pendekatan peramalan tersebut tak bias maka MPE akan menghasilkan persentase mendekati nol. Jika hasil persentase negatifnya cukup besar, maka metode peramalan tersebut menghasilkan peramalan yang terlalu tinggi, demikian sebaliknya.

Nilai Tengah Kesalahan Persentase (Mean Percentage Error)

1 n

t i

MPE PE

= n

=

∑

Keputusan kita dalam memilih suatu teknik peramalan sebagian tergantung pada apakah teknik tersebut menghasilkan kesalahan/yang bisa dianggap kecil atau tidak.

2.6 Metode Perataan (Average)

Data masa lalu, dapat diratakan dalam berbagai cara. Dalam bagian ini akan dibahas beberapa metode perataan yang berhubungan dengan pembahasan skripsi ini. Diantaranya adalah rata-rata bergerak sederhana (simple moving average), dan rata-rata bergerak ganda (double moving average). Semua kasus,

tujuannya adalah memanfaatkan data masa lalu untuk mengembangkan suatu sistem peramalan pada periode mendatang.

2.6.1 Nilai Tengah (Mean)

Diberikan sekumpulan data yang meliputi N periode waktu terakhir:

dan ditentukan t titik data pertama sebagai “kelompok inisiasi” dan sisanya sebagai “kelompok pengujian”

KELOMPOK INISIASI KELOMPOK PENGUJIAN

Metode rata-rata sederhana adalah mengambil rata-rata dari semua data dalam kelompok inisiasi tersebut

₁

1 t

i t i

X X F

t ⁺

=

=

∑

= ...( 2.7)

Sebagai ramalan untuk periode (t+1), kemudian bila data periode (t+1) tersedia, maka dimungkinkan untuk menghitung nilai kesalahannya:

e_t+1= X_t+1−F_t+1 ...( 2.8) X1 , X2 ,X3….. ….., XN-1 ,XN

X1, X2, X3, ….. ,Xt Xt+1, Xt+2….. ,XN

Untuk periode (t+2) keadaannya adalah

KELOMPOK INISIASI KELOMPOK PENGUJIAN

Dalam kelompok data masa lalu terdapat satu lagi titik data, sehingga nilai rata- ratanya yang baru adalah

( )

1

2

1 1

t i

t i

X X F

t

+

= +

= =

∑

+ ...( 2.9) Dan unsur kesalahan yang baru, jika telah tersedia, adalah

e_t+2 =X_t+2 −F_t+2 ...( 2.10) Peramalan sederhana, akan menghasilkan ramalan yang baik hanya jika

1. Proses yang mendasari nilai pengamatan tidak menunjukkan adanya trend.

2. Tidak menunjukkan adanya unsur musiman.

Dengan semakin banyak kelompok data masa lalu, maka nilai tengah tersebut menjadi lebih stabil (menurut teori statistika dasar), dengan anggapan proses yang didasarinya adalah stasioner. Banyak data yang perlu disimpan untuk prosedur ini, tetapi kenyataannya hanya dua item yang perlu disimpan dengan bergeraknya waktu.

Halangan utama dalam penggunaan metode sederhana ini adalah tidak adanya deret berkala bisnis yang benar-benar didasarkan atas proses “konstan”.

Jika proses yang mendasari mengalami peningkatan (step function), maka nilai X_1, X₂…… …. X_t,,X_t+1 X_t+2, X_t+3 …,X_N

tengah yang digunakan sebagai ramalan untuk periode mendatang tidak dapat menangkap adanya perubahan tersebut. Kata lain dari step function tersebut adalah bahwa datanya mengalami perubahan mendadak pada suatu saat. Demikian pula, jika deret data tersebut menunjukkan adanya trend dan musiman, nilai tengah sebagai ramalan adalah tidak tepat

Secara umum rumus untuk beberapa nilai t disajikan pada tabel berikut ini Waktu Yang Disimpan

dari Periode Lalu

Input Pada Waktu Ini

Output

t

t+1

t+2 . . .

t, Ft+1

t+1, Ft+2

. . .

X1, ...,Xt

Xt+1

Xt+2

. . .

1 1 t

i t

i

F X

+ t

=

=

∑

( )

(

¹

)

¹

2

. 2

t t

t

t F X

F t

+ +

+

= +

+

( ( ) )

(

²

)

²

3

1 . 3

t t

t

t F X

F t

+ +

+

+ +

= +

(Makridakis dan Wheelwright,1983:65-67)

2.6.2 Rata-rata Bergerak Tunggal (Single Moving Average)

Salah satu cara untuk mengubah pengaruh data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai ramalan adalah dengan menentukan sejak awal berapa jumlah nilai observasi masa lalu yang akan dimasukkan untuk menghitung nilai tengah. Untuk

menggambarkan prosedur ini digunakan istilah rata-rata bergerak (moving average) karena setiap muncul nilai observasi baru, nilai rata-rata baru dapat dihitung dengan membuang nilai observasi yang paling tua dan memasukkan nilai observasi yang terbaru. Rata-rata bergerak ini kemudian akan menjadi ramalan untuk periode mendatang. Perhatikan bahwa titik data dalam setiap rata-rata tetap konstan dan observasi yang dimasukkan adalah yang paling akhir.

Diberikan N titik data dan diputuskan untuk menggunakan t observasi pada setiap rata-rata [yang disebut dengan rata-rata bergerak berorde t, atau bila disingkat MA (t)], sehingga keadaannya adalah sebagai berikut:

KELOMPOK INISIASI KELOMPOK PENGUJIAN

Waktu Rata-rata Bergerak Ramalan

t

1 t+

2 t+

1 2 .... _t

X X X

X t

+ + +

=

2 3 .... _t 1

X X X

X t

+ + + +

=

3 4.... _t 2

X X X

X t

+ + +

=

1

1 t

i t

i

F X X

+ t

=

= =

∑

1 2

2 t

i t

i

F X X

t

+

+ =

= =

∑

2 3

3 t

i t

i

F X X

t

+

+ =

= =

∑

X1 X2 ….. Xt Xt+1….. XN

Dibandingkan dengan nilai tengah sederhana (dari semua data masa lalu) rata-rata bergerak berorde t mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Hanya menyangkut t periode terakhir dari data yang diketahui.

2. Jumlah titik data dalam setiap rata-rata tidak berubah dengan berjalannya waktu.

Tetapi metode ini juga mempunyai kelemahan sebagai berikut:

1. Metode ini memerlukan penyimpanan yang lebih banyak, karena semua t observasi

terakhir harus disimpan, tidak hanya nilai tengahnya.

2. Metode ini tidak dapat menanggulangi dengan baik adanya trend atau musiman, walaupun metode ini lebih baik dibanding rata-rata total.

Karena seorang peramal harus memilih jumlah periode (t) dalam rata-rata bergerak, ada baiknya beberapa aspek dari pemilihan ini dikemukakan.

1. MA (1) yaitu rata-rata bergerak dengan orde 1. Nilai data terakhir yang diketahui (Xt) digunakan sebagai ramalan untuk periode berikutnya (Ft+1 = Xt). Contohnya adalah “ramalan harga jadi dari saham IBM besok adalah harga jadi hari ini”. Metode ini dinamakan ramalan naif (NF1)

2. MA (4) untuk data kuartalan, rata-rata bergerak empat periode secara efektif mengeluarkan pengaruh musiman (terutama jika pengaruh musiman ini bersifat aditif), namun jika digunakan secara ramalan untuk periode mendatang tidak akan dapat menyesuaikan unsur trend atau musiman itu sendiri. Dalam keadaan ini MA (4) akan bermanfaat jika digunakan sebagai

rata-rata bergerak terpusat (centered), daripada sebagai ramalan, untuk membantu memeriksa komponen dalam deret berkala.

3. MA (12). Sekali lagi, untuk data bulanan, metode ini menghilangkan pengaruh musiman dari deret data dan bermanfaat dalam mendekomposisi deret menjadi komponen trend atau musiman, dan lain-lain. Tetapi metode ini sendiri tidak efektif jika digunakan sebagai alat peramalan untuk data yang menunjukkan kecenderungan atau musiman.

4. MA (besar). Secara umum, makin besar orde dari rata-rata bergerak, yaitu jumlah nilai data yang digunakan untuk setiap rata-rata, maka pengaruh penghalusan data akan semakin besar. Jika digunakan sebagai ramalan, MA (besar) tidak banyak memperlihatkan fluktuasi dalam deret data.

Secara aljabar, rata-rata bergerak (MA) dapat dituliskan sebagai berikut:

1 2

1

1

.... _t 1 ^t

t i

i

X X X

F X

t t

+ =

+ + +

= =

∑

1

2 3 1

2

2

.... _t 1^t

t i

i

X X X

F X

t t

+ +

+ =

+ + +

= =

∑

Dengan membandingkan Ft+1 dapat dilihat bahwa Ft+2 perlu menghilangkan nilai X1 dan menambahkan nilai Xt+1 begitu nilai ini tersedia, sehingga cara lain untuk menulis Ft+2 adalah

( )

2 1 1 1

1

t t t

F F X X

+ = + +t − − ...( 2.11) Dapat dilihat pada persamaan tersebut bahwa setiap ramalan baru (Ft+2) hanya merupakan penyesuaian dari ramalan satu periode sebelumnya (Ft+1). Penyesuaian ini adalah (1/t) dari selisih antara Xt₊₁ dan X₁. Jelaslah jika t merupakan suatu

angka yang besar, penyesuaian ini adalah kecil, sehingga rata-rata bergerak dari orde tinggi menghasilkan ramalan yang tidak terlalu banyak berubah.

Sebagai ringkasan, suatu sistem peramalan MA (t) akan memerlukan t nilai data yang disimpan pada suatu saat. Jika t adalah kecil (katakanlah 4), maka keperluan penyimpanan tidak begitu berat walaupun untuk ribuan deret berkala (katakanlah untuk inventory yang meliputi ribuan unit barang) hal ini dapat menimbulkan masalah. Walaupun demikian, dalam prakteknya teknik rata-rata bergerak sebagai prosedur peramalan tidak sering digunakan karena metode pemulusan (smoothing) eksponensial, biasanya lebih baik (Makridakis dan Wheelwright,1983:67-72).

2.6.3 Rata-rata Bergerak Ganda (Double Moving Average)

Dalam dua bagian sebelumnya telah dinyatakan bahwa kedua nilai rata- rata (dari semua data masa lalu ) dan rata-rata bergerak (dari t nilai yang terakhir), bila digunakan sebagai ramalan untuk periode mendatang, tidak dapat mengatasi trend yang ada. Disini dijelaskan suatu variasi dari prosedur rata-rata bergerak yang diinginkan untuk dapat mengatasi adanya trend secara lebih baik.

Untuk mengurangi kesalahan secara sistematis yang terjadi bila rata-rata bergerak dipakai pada data berkecenderungan, maka dikembangkan metode rata- rata bergerak linear (linear moving averages). Dasar metode ini adalah menghitung rata-rata bergerak yang kedua. Rata-rata bergerak “ganda” ini merupakan rata-rata bergerak dari rata-rata bergerak, dan menurut simbol

dituliskan sebagai MA (M X N) dimana artinya adalah MA M-periode, dari N- periode.

Jadi prosedur peramalan rata-rata bergerak linier meliputi tiga aspek:

1. Penggunaan rata-rata bergerak tunggal pada waktu t (ditulis S_t^')

2. Penyesuaian, yang merupakan perbedaan antara rata-rata bergerak tunggal dan ganda pada waktu t (ditulis S_t^'−S_t^'')

3. Penyesuaian untuk kecenderungan dari periode t ke periode t+1 (atau ke periode

t + m jika kita ingin meramalkan m periode kedepan)

Penyesuaian 2, paling efektif bila trend bersifat linier dan komponen kesalahan randomnya tidak begitu kuat. Penyesuaian ini efektif, karena adanya kenyataan bahwa MA tunggal tertinggal (lags) dibelakang data yang menunjukkan trend

Prosedur rata-rata bergerak linier secara umum dapat diterangkan melalui persamaan sebagai berikut:

' _{t t} 1 _t 2.... _{t N} 1

t

X X X X

S N

− − − +

+ + +

= ...( 2.12)

' ' '

'' _{t t} 1 _t 2.... _{t N} 1

t

S S S S

S N

− − − +

+ + +

= ...( 2.13)

(

^{' ''}

)

^{' ''}

' _{t t} 2 _{t t}

t

t S S S S S

a = + − = − ...( 2.14)

(

^{' ''}

)

2

t 1 t t

b S S

= N −

− ...( 2.15)

t m t t

F₊ = +a b m ...( 2.16) Persamaan (2.12) mempunyai asumsi bahwa saat ini berada pada periode waktu t dan mempunyai nilai masa lalu sebanyak N. MA (N) tunggal dituliskan dengan

'

St. Persamaan (2.13) menganggap bahwa semua rata-rata bergerak tunggal S^' telah dihitung. Dengan persamaan (2.13) itu dapat dihitung rata-rata bergerak N- periode dari nilai –nilai S tersebut. Rata-rata bergerak ganda dituliskan sebagai ^'

( )

^S'' . Persamaan (2.14) mengacu terhadap penyesuaian MA tunggal S dengan _t^'

perbedaan

(

^St'−St''

)

, dan persamaan (2.15) menentukan taksiran terhadap kecenderungan dari periode waktu yang satu ke periode waktu berikutnya.

Akhirnya, persamaan (2.16) menunjukkan bagaimana memperoleh ramalan untuk m periode kedepan dari t. Ramalan untuk m periode kedepan adalah dimana merupakan nilai rata-rata yang disesuaikan untuk periode t titambahkan m kali komponen kecenderungan .

Perhatikan bahwa bt mencakup faktor 2/(N-1) dalam persamaan. Faktor ini muncul karena rata-rata bergerak N periode sebenarnya harus diletakkan di tengah-tengah pada periode waktu (N+1)/2 dan rata-rata bergerak tersebut dihitung pada periode waktu N (untuk rata-rata bergerak yang pertama), menghasilkan perbedaan

1 1

2 2

N N

N− + = − periode

Demikian pula, perbedaan waktu antara saat rata-rata bergerak dihitung dan dimana hasilnya diletakkan dipusat, adalah (N – 1)/2 untuk sistem MA (N X N) sehingga perbedaan

(

^St'−St''

)

merupakan perbedaan untuk periode waktu (N – 1)/2, dan perbedaannya (atau trend-nya) per-periode adalah

(

^{' ''}

)

( 1) / 2

t t

S S N

−

−

Atau

(

^{' ''}

)

2

( 1) S^t S^t b^t

N − =

− ...( 2.17) (Makridakis dan Wheelwright,1983:72-76)

1 2 3 4 5 6 (Misalkan untuk N = 6)

MA (6) dihitung Pada periode

ini MA seharusnya

diletakkan di tengah-tangah ini

Perbedaan adalah 1 6 1 5 2 2 2 2, 5

N− = − = = periode

2.6.4 Kombinasi Rata-rata Bergerak Lainnya

Kombinasi rata-rata bergerak dengan orde yang lebih tinggi dapat dibayangkan mempunyai variasi yang tak terbatas. Metode rata-rata bergerak linear yang dibahas pada bagian sebelumnya menggunakan orde yang sama, baik untuk rata-rata bergerak tunggal ataupun ganda.

Hal yang perlu diperhatikan tentang semua prosedur rata-rata bergerak adalah bahwa kesemuanya menunjukkan adanya pembobotan untuk nilai pengamatan masa lalu. Hal ini penting untuk membandingkannya dengan metode pemulusan (smoothing) eksponensial dan berbagai model linier umum lainnya.

Sebagai contoh, nilai rata-rata sederhana dari N observasi masa lalu, menunjukkan bobot yang sama untuk semua N nilai data.

1 2

1 1 1

.... _N

X X X X

N N N

     

=  +  + + 

      ...( 2.18)

(Bobot sama)

Hal ini tentu saja berlaku untuk semua sistem rata-rata bergerak tunggal.

Untuk rata-rata bergerak ganda bobotnya dapat ditentukan sebagai berikut:

Sebagai contoh, MA (3X3)

' 1 2 3

1 3

X X X

S = + +

' 2 3 4

2 3

X X X

S = + +

' 3 4 5

3 3

X X X

S = + +

(

^{1' 2' 3'}

)

'' 1

1 2 3 4 5

3

1 2 3 2 1

9 9 9 9 9

S S S

S

X X X X X

= + +

         

=  +  +  +  + 

         

...( 2.19)

(Bobot tidak sama)

Dalam metode rata-rata bergerak linear (LMA) ramalan untuk periode t+1 [ persamaan (2.15)] adalah

( )

1

' '' ' ''

' ''

2 2

1

2 1

1 1

t t t

t t t t

t t

F a b

S S S S

N

N N

S S

N N

+ = +

= − + −

− +

   

=  − 

− −

   

...( 2.20)

Jika N = 3, ramalan untuk periode t +1 menunjukkan bobot pada lima nilai masa lalu sebagai berikut:

1 4 3 2 1

2 4 3 5 7

9 9 9 9 9

t t t t t t

F₊  X₋  X ₋  X ₋  X ₋  X

= −  +  +  +  + 

         

(Bobot tidak sama yang biasanya makin meningkat pada data yang paling akhir) ...( 2.21)

Kesimpulannya adalah bahwa rata-rata bergerak ganda, tripel, dan kombinasi lainnya, secara otomatis memberikan bobot pada data masa lalu, dimana bobot terbesar diberikan pada nilai yang terletak ditengah dari kelompok data masa lalu. Seperti telah diketahui, rata-rata bergerak tersebut berguna untuk pemulusan/smoothing (disamping sebagai ramalan) deret data dan akan lebih sering digunakan sebagai rata-rata bergerak terpusat (centered). Tetapi bila digunakan dalam konteks peramalan-seperti LMA-sistem pembobotannya lebih ditekankan pada data yang paling baru.

2.7 Metode Pemulusan (Smoothing) Eksponensial Tunggal

Kasus yang paling sederhana dari pemulusan (smoothing) eksponensial tunggal (SES) dapat dikembangkan dari (2.11), atau secara lebih khusus, dari suatu variasi persamaan tersebut, yaitu sebagai berikut:

1

t t N

t t

X X

F F

N N

+ −

 

= + + 

  ...( 2.22) Misalnya observasi yang lama X_{t N−} tidak tersedia sehingga tempatnya harus digantikan dengan suatu nilai pendekatan (aproksimasi). Salah satu pengganti yang mungkin adalah nilai ramalan periode yang sebelumnya. Dengan melakukan substitusi ini persamaan (2.22) menjadi persamaan (2.23), dan dapat ditulis kembali sebagai (2.24):

1

t t

t t

X F

F F

N N

+

 

= + + 

  ...( 2.23)

Gambar (2.5)

Pembobotan yang Diberikan Kepada Data 3

9

  

  5 9

  

  7 9

  

 

Waktu t t + 1

Rata-rata Bergerak Linear MA(3X3)

2 9

 

− 

  4 9

 

− 

  1

9

  

  2 9

  

  3 9

  

  2 9

  

  1 9

  

 

Waktu t t + 1

Rata-rata Bergerak Ganda MA(3X3)

1 5

  

  1 5

  

  1 5

  

  1 5

  

  1 5

  

 

t t + 1 Rata-rata

Bergerak Tunggal

(N = 5) Waktu

1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

  1 8

  

 

Waktu t t + 1

Nilai Tengah (N = 8)

Gambar (2.5) merupakan gambar pembobotan yang diberikan kepada data masa lalu bila dilakukan peramalan pada waktu t untuk periode mendatang, dengan menggunakan prosedur peramalan

1

1 1

t t 1 t

F X F

N N

+

   

=  + − 

    ...( 2.24) (Perhatikan bahwa jika datanya stasioner, maka substitusi diatas merupakan pendekatan yang cukup baik, namun bila terdapat trend metode SES yang dijelaskan disini tidak cukup baik)

Dari persamaan (2.24) dapat dilihat bahwa ramalan ini (Ft + 1) didasarkan atas pembobotan observasi yang terakhir dengan suatu nilai bobot (1/N) dan pembobotan ramalan yang terakhir sebelumnya (Ft) dengan suatu bobot [1 – (1/N)]. Karena N merupakan suatu bilangan positif, 1/N akan menjadi suatu konstanta antara nol (jika N tak terhingga) dan 1 (jika N = 1). Dengan mengganti 1/N dengan α , persamaan (2.24) menjadi

( )

1 1

t t t

F₊ =αX + −α F ...( 2.25) Persamaan ini merupakan bentuk umum yang digunakan dalam menghitung ramalan dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial.

Metode ini banyak mengurangi masalah penyimpangan data, karena tidak perlu lagi menyimpan semua data masa lalu atau sebagian daripadanya (seperti dalam kasus rata-rata bergerak). Agaknya hanya observasi terakhir, ramalan terakhir, dan suatu nilai yang harus disimpan.

Implikasi pemulusan eksponensial dapat dilihat dengan lebih baik bila persamaan (2.25) diperluas dengan mengganti F dengan komponennya sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

2

1 1

1 1

1 1

t t t t

t t t

F X X F

X X F

α α α α

α α α α

+ − −

− −

= + −  + − 

= + − + − ...( 2.26)

Jika proses substitusi ini diulangi dengan menggantikan F dengan _t−1 komponennya, F_t−2 dengan komponennya, dan seterusnya, hasilnya adalah persamaan (2.27):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

_{( )}

( )

_{( )}

2 3

1 1 2 3

4 5 1

4 5 1

1

1 1 1

1 1 .... 1

1

t t t t t

N

t t t N

N

t N

F X X X X

X X X

F

α α α α α α α

α α α α α α

α

+ − − −

−

− − − −

− −

= + − + − + −

+ − + − + + −

+ −

...( 2.27)

Berikut ini disajikan contoh pembobotan observasi-observasi yang lalu untuk berbagai nilai α . Diantaranya untuk α = 0,2 ; 0,4 ; 0,6; atau 0,8.

Bobot yang

Diberikan Pada: α ^{= 0,2} α ^{= 0,4} α ^=0,6 α ^=0,8

Xt 0,2 0,4 0,6 0,8

Xt-1 0,16 0,24 0,24 0,16

Xt-2 0,128 0,144 0,096 0,032

Xt-3 0,1074 0,0384 0,0384 0,0064

X_t-4 (0,2)(0,8)⁴ (0,4)(0,6)⁴ (0,6)(0,4)⁴ (0,8)(0,2)⁴

Jika bobot ini di plot, dapat dilihat bahwa bobot tersebut menurun secara eksponensial, dari sana nama pemulusan (smoothing) eksponensial muncul. (perlu dikemukakan bahwa walaupun tujuannya adalah menemukan nilai α ^yang meminimumkan MSE pada kelompok data pengujian, penaksiran yang terjadi dalam pemulusan eksponensial adalah metode non-linier)

Cara lain untuk menuliskan persamaan (2.25) adalah dengan susunan sebagai berikut:

( )

1

t t t t

F₊ = +F α X −F ...( 2.28) Secara sederhana

( )

1

t t t

F₊ = +F α e ...( 2.29) Dimana e_t adalah kesalahan ramalan (nilai sebenarnya dikurangi ramalan) untuk periode t. Dari dua bentuk Ft+1 ini dapat dilihat bahwa ramalan yang dihasilkan dari SES secara sederhana merupakan ramalan yang lalu ditambah suatu penyesuaian untuk kesalahan yang terjadi pada ramalan terakhir. Dalam bentuk ini terbukti bahwa jika α mempunyai nilai mendekati 1, maka ramalan yang baru akan mencakup penyesuaian kesalahan yang besar pada ramalan sebelumnya.

Sebaliknya, jika α mendekati 0, maka ramalan yang baru akan mencakup penyesuaian yang sangat kecil. Jadi, pengaruh besar kecilnya α benar-benar analog (dalam arah yang berlawanan) dengan pengaruh memasukkan jumlah pengamatan yang kecil atau besar pada perhitungan rata-rata bergerak. Perlu juga diperhatikan bahwa pemulusan (smoothing) eksponensial tunggal akan selalu mengikuti setiap trend dalam data yang sebenarnya, karena yang dapat

dilakukannya tidak lebih dari mengatur ramalan mendatang dengan suatu persentase dari kesalahan yang terakhir.

Persamaan (2.28) mengandung prinsip dasar dari umpan balik (feedback) yang negatif, karena persamaan ini berperan sebagai proses kontrol yang dilakukan oleh alat otomatis seperti termostat, pilot otomatis, dan sebagainya.

Kesalahan ramalan masa lalu dipakai untuk mengoreksi ramalan mendatang pada arah yang berlawanan dengan kesalahan tersebut. Penyesuaian tersebut tetap berlangsung sampai kesalahan dikoreksi. Prinsip ini sama dengan prinsip alat pengendali otomatis yang mengarah kepada keseimbangan begitu terjadi penyimpangan (kasalahan). Prinsip ini, yang tampaknya sederhana, memainkan peranan yang sangat penting dalam peramalan. Jika digunakan secara tepat prinsip ini dapat digunakan untuk mengembangkan suatu proses mengatur diri sendiri (self-adjusting process) yang dapat mengoreksi kesalahan paramalan secara otomatis.

Pemulusan eksponensial tunggal memerlukan sedikit penyimpangan data dan perhitungan. Oleh karena itu, metode ini menarik jika diperlukan peramalan untuk sejumlah besar item. Salah satu hal yang perlu diperhatikan berkaitan dengan tahap inisialisasi SES. Sebagai contoh, untuk dapat memulai sistem peramalan SES kita memerlukan F₁ karena

( )

2 1 1 1

F =αX + −α F ...( 2.30) Karena nilai untuk F₁ tidak diketahui, dapat digunakan nilai observasi pertama (X1) sebagai ramalan pertama (F1 = X1) dan kemudian dilanjutkan dengan menggunakan persamaan (2.25). Ini merupakan salah satu metode inisialisasi.