BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

1.1 Latar Belakang

Di dalam dunia mikroskopik, fisika klasik mengalami kegagalan untuk menjelas- kan setiap fenomena yang ada. Spektrum khas yang dimiliki oleh atom, teramatinya dua komponen spin pada eksperimen Stern-Gerlach, dan pola interferensi elektron merupakan beberapa contoh kasus ketika fisika klasik tidak dapat berperan untuk menjelaskan gejala alam pada tataran dunia mikroskopik. Hal ini kemudian di- ketahui disebabkan karena dunia mikroskopik memiliki perilaku yang sama sekali berbeda—meskipun masih menjadi perdebatan di kalangan fisikawan—dengan du- nia makroskopik. Untuk itu, diperlukan suatu teori lain yang mampu menggantikan teori fisika klasik.

Pada tataran mikroskopik, alam memiliki sifat yang diskrit (Max Planck me- nyebutnya sebagai terkuantisasi) dan probabilistik. Spektrum khas yang dimiliki oleh setiap atom, tidak lain adalah tingkat-tingkat energi yang terkuantisasi di da- lam struktur atom tersebut. Spektrum tersebut menunjukkan besarnya nilai energi yang boleh dilepaskan atau diserap oleh elektron untuk berpindah dari satu kulit ke kulit yang lain di dalam struktur atom. Spektrum ini kemudian dapat dijelaskan dengan baik oleh mekanika kuantum, sebuah teori yang muncul pada seperempat awal abad keduapuluh. Dalam perkembangannya, mekanika kuantum tidak hanya mampu memberikan penjelasan bagi hasil-hasil pengamatan, namun ia juga mam- pu memberikan prediksi yang akurat mengenai gejala-gejala dunia mikroskopik.

Dengan kata lain, dunia mikroskopik seolah menjadi wilayah kekuasaan mekanika kuantum.

Sebagaimana hukum-hukum fisika lainnya, sistem koordinat merupakan sa- lah satu hal penting yang perlu diperhatikan bagi suatu teori. Ia merupakan kerang- ka kerja yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan yang sedang dihadapi. Sebagai contoh, masalah atom hidrogen yang berkaitan dengan potensial terpusat (central potential) akan lebih mudah untuk diselesaikan dalam sistem ko- ordinat bola daripada sistem koordinat Cartesian. Di sisi lain, permasalahan seperti osilator harmonik atau potensial sumur tak-berhingga akan lebih mudah untuk di- selesaikan jika dikerjakan dalam kerangka sistem koordinat Cartesian. Oleh karena itu, untuk setiap permasalahan yang sedang dihadapi, perlu dipilih sistem koordinat

1

yang memiliki karakter yang cocok untuk permasalahan tersebut.

Pada reaktor fusi seperti tokamak dan stellarator, plasma yang terdiri da- ri partikel-partikel bermuatan berada di dalam ruang pengungkung yang berben- tuk torus untuk jangka waktu tertentu agar terjadi reaksi fusi. Partikel-partikel ini bergerak di dalam potensial yang dihasilkan oleh arus pada kumparan-kumparan eksternal yang menghasilkan medan magnet toroidal, medan magnet poloidal, ma- upun potensial listrik yang menginduksi arus plasma. Dalam teori fisika plasma berbagai gejala yang teramati di dalam reaktor fusi tersebut berusaha untuk dijelas- kan dalam kerangka sistem koordinat yang memanfaatkan bentuk simetri torus atau yang simetri dengan konfigurasi medan magnetnya. Sistem koordinat simetri to- rus yang paling mendasar adalah sistem koordinat toroidal dan sistem koordinat toroidal baku, sedangkan sistem koordinat yang memanfaatkan simetri konfigurasi medan magnet reaktor fusi disebut sebagai sistem koordinat fluks (terkadang juga disebut sebagai sistem koordinat magnetik). Sistem koordinat fluks yang paling umum dikenal meliputi sistem koordinat Hamada dan sistem koordinat Boozer, di- mana keduanya menjadikan garis medan magnet atau fluks yang konstan sebagai sumbu-sumbu koordinatnya.

Meski demikian, fisikawan plasma pada umumnya tidak menggunakan me- kanika kuantum dalam teori plasma fusi. Hal ini karena teori klasik yang digunakan dianggap sudah cukup akurat dengan hasil pengamatan. Namun di sisi lain, ma- sih ada begitu banyak permasalahan ketidakstabilan plasma di dalam reaktor fusi karena keterbatasan pemahaman atas sifat dan perilaku plasma, baik secara ma- kroskopik maupun mikroskopik. Secara makroskopik, berkembang sebuah model yang memandang plasma sebagai suatu fluida termagnetisasi yang dikenal sebagai magnetohidrodinamika sedangkan secara mikroskopik, hanya sebatas memanfaat- kan teori kinetik dari partikel-partikel penyusun plasma.

Penelitian ini pada dasarnya berusaha untuk membangun dasar bagi meka- nika kuantum untuk dapat mendeskripsikan sifat dan perilaku plasma secara mi- kroskopik. Oleh karena itu, teori mekanika kuantum tersebut perlu untuk diadaptasi- kan ke dalam sistem koordinat yang memanfaatkan simetri torus, khususnya sistem koordinat toroidal, sebelum ia dapat digunakan untuk membuat “model kuantum”

bagi teori plasma fusi.

1.2 Perumusan Masalah

1. Bagaimana bentuk perumusan matematis operator posisi dalam sistem koor- dinat toroidal?

2. Bagaimana bentuk perumusan matematis operator momentum dalam sistem koordinat toroidal?

3. Bagaimana bentuk perumusan matematis operator Hamiltonan dalam sistem koordinat toroidal?

1.3 Batasan Masalah

Agar pembahasan lebih terarah, maka penelitian ini dibatasi pada perumusan opera- tor observabel posisi, momentum, dan Hamiltonan untuk sistem koordinat toroidal, serta perumusan yang ditinjau adalah untuk kasus tak-relativistik.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian dalam Skripsi ini bertujuan untuk menjabarkan perumusan matematis berbagai observabel posisi, momentum, dan Hamiltonan mekanika kuantum dalam sistem koordinat toroidal.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah:

1. Hasil penelitian ini dapat digunakan pada sebarang kasus yang memiliki si- metri torus, khususnya pada dinamika partikel dalam reaktor fusi tokamak dan stellarator.

2. Hasil penelitian ini dapat memberikan wawasan tambahan mengenai keber-

gantungan mekanika kuantum terhadap sistem koordinat, khususnya sistem

koordinat toroidal, serta konsekuensinya terhadap penggambaran sistem yang

ditinjau.

1.6 Tinjauan Pustaka

Mekanika kuantum terbentuk melalui sejarah yang panjang. Istilah kuanta pertama kali digunakan oleh Max Planck ketika ia berusaha menjelaskan gejala radiasi benda hitam pada tahun 1900. Pada saat itu ia menyatakan bahwa energi pada spektrum radiasi benda hitam tidaklah kontinyu melainkan berupa paket-paket energi yang ia sebut kuanta. Gagasan Planck ini meraih sukses besar karena kecocokannya dengan hasil pengamatan dan berhasil mengatasi bencana ultraviolet yang dihadapi oleh hukum Rayleigh-Jeans. Gagasan terkuantisasi ini kemudian digunakan oleh Albert Einstein (meskipun pada akhirnya Einstein menjadi skeptis dengan teori kuantum) pada tahun 1905 untuk menjelaskan efek fotolistrik dengan menganggap gelombang elektromagnetik terkuantisasi sebagai foton.

Berkebalikan dengan Einstein, Louis de Broglie pada tahun 1924 menga- jukan sifat gelombang dari partikel dalam disertasinya. Tahun berikutnya muncul, bentuk mekanika kuantum yang formal pertama kali yang dirumuskan oleh Werner Karl Heisenberg. Perumusan Heisenberg ini disebut sebagai mekanika matriks, di- mana setiap observabel dalam mekanika kuantum diwakili oleh suatu matriks. Max Born dan Ernst Pascual Jordan kemudian mendapati bahwa matriks Heisenberg me- menuhi kondisi kuantum (Boffi, 2008),

pq − qp = h

2πi I, (1.1)

dengan p, q, serta I, masing-masing adalah matriks momentum, posisi, dan identi- tas. Relasi ini kemudian dijadikan salah satu postulat fundamental dalam mekanika kuantum untuk berbagai operator posisi umum q dan operator momentum umum p. Tidak berselang lama, Erwin Schrödinger kemudian mempublikasikan mekani- ka gelombang untuk gelombang partikel de Broglie pada tahun 1926. Mekanika gelombang milik Schrödinger ini kemudian berakhir dengan diperkenalkannya per- samaan Schrödinger gayut-waktu,

∇

²

ψ − 8π

²

h

²

V ψ + 4πi h

∂ψ

∂t = 0 (1.2)

dengan h adalah tetapan Planck serta massa partikel adalah m = 1. Secara terpisah

dengan tulisan Schrödinger, Max Born memberikan salah satu sumbangan terbesar

dengan interpretasi probabilistiknya bahwa |ψ|

²

adalah peluang untuk menemuk-

an partikel. Perumusan mekanika matriks Heisenberg dan mekanika gelombang

Schrödinger ini kemudian disatukan oleh Paul Adrien Maurice Dirac dan ia juga memperkenalkan notasi bra-ket.

Setelah era Heisenberg, Schrödinger, dan Dirac, mekanika kuantum kemu- dian semakin berkembang dengan munculnya beberapa perumusan yang berbeda.

Berdasarkan perumusan matematiknya, mekanika kuantum setidaknya dapat dikla- sifikasikan menjadi sembilan perumusan yang berbeda. Bentuk perumusan meka- nika kuantum yang lain di antaranya adalah perumusan integral lintasan, matriks kerapatann, variasional, gelombang pilot, dan Hamilton-Jacobi. Munculnya bebe- rapa perumusan yang berbeda ini bukan tanpa alasan yang kuat, tetapi ada beberapa hal yang mendasari perlunya perumusan yang berbeda. Pertama karena adanya beberapa permasalahan yang rumit dalam satu perumusan, namun menjadi lebih sederhana pada perumusan yang lain. Selain itu, setiap perumusan memiliki cara pandangnya masing-masing terhadap permasalahan yang sedang ditinjau. Alas- an yang terakhir adalah bentuk perluasan dari masing-masing perumusan tersebut (Styer et al., 2001).

Perumusan mekanika kuantum untuk sistem koordinat yang bukan Carte- sian pada dasarnya sudah dimulai sejak awal kelahirannya. Mekanika kuantum dirumuskan dalam sistem koordinat bola oleh Paul Dirac yang digunakan untuk menjelaskan elektron dalam potensial terpusat atom hidrogen. Meski demikian, perumusan mekanika kuantum dalam sistem koordinat bola untuk atom hidrogen tidak menyentuh pada bentuk operatornya, melainkan hanya sebatas perumusan persamaan Schrödingernya saja yang cukup dilakukan dengan mengganti operator Laplacian ∇

²

dalam sistem koordinat bola. Di sisi lain, perumusan operator yang mewakili observabel dalam mekanika kuantum tidak dapat dilakukan hanya dengan mengganti operator ∇ begitu saja. Salah satu artikel yang mendiskusikan mengenai perumusan operator ini di antaranya dituliskan oleh Zhan (1988) yang membahas tentang operator mekanika kuantum, baik operator momentum maupun operator la- innya secara umum, serta aturan korespondensi dalam sistem koordinat lengkung ortogonal secara umum. Metode pengkuantuman ini lebih dikenal sebagai metode pengkuantuman kanonis (Merzbacher, 1998). Namun terdapat beberapa kelemahan dalam metode pengkuantuman semacam ini seperti yang disebutkan oleh Rosyid (2005) sehingga kemudian berkembang beberapa metode pengkuantuman lainnya, seperti misalnya pengkuantuman geometrik.

Sejak tahun 1950-an, penelitian plasma untuk fusi nuklir sudah mulai dila-

kukan namun masih pada tahap yang dirahasiakan. Baik Amerika Serikat maupun

Rusia, keduanya melakukan risetnya dengan memanfaatkan gerak partikel bermuat-

an dengan medan magnet yang berbentuk melingkar, yaitu menggunakan konfigu- rasi toroidal. Meski begitu, konfigurasi ini masih menyisakan masalah akibat gerak hanyut partikel bermuatan oleh kelengkungan medan magnet yang cenderung un- tuk melemparkan partikel-partikel plasma keluar dari daerah pengungkungan. Hal ini kemudian diatasi dengan diusulkan perlunya medan magnet tambahan berupa medan magnet poloidal. Ide tentang perlunya medan magnet poloidal ini diusulkan oleh Igor Tamm dan Andrei Sakharov pada 1951 di Rusia serta Lyman Spitzer, Jr.

pada 1952 di Amerika Serikat secara terpisah. Ide Tamm dan Sakharov kemudian diwujudkan dalam bentuk tokamak (dari kata “toroidalnaya kamera maknitanaya”

yang artinya kamar pengungkung toroidal bermedan magnet) oleh Yavlinsky dan Artsimovich (Furth, 1981) sedangkan ide Spitzer kemudian diwujudkan dalam ben- tuk stellarator di Princeton Plasma Physics Laboratory (Bosch, 2004). Perbedaan mendasar dari kedua reaktor fusi tersebut adalah arus yang menjadi sumber med- an magnet poloidal. Pada tokamak, medan magnet poloidal dihasilkan oleh arus di dalam plasma serta dibantu oleh kumparan poloidal. Sementara pada stellarator, medan magnet poloidal murni dihasilkan oleh arus eksternal dari kumparan yang bentuknya terpilin. Berkaitan dengan sumber medan poloidal, stellarator dianggap lebih unggul daripada tokamak karena minimnya peluang munculnya ketidakstabil- an plasma oleh arus plasma (current-driven instabilities).

Kajian mengenai gerak partikel bermuatan dalam medan magnet merupak- an salah satu aspek penting dalam memahami sifat plasma di dalam reaktor fusi.

Penyelesaian analitik gerak partikel bermuatan untuk medan magnet yang tak sera- gam pertama kali dilakukan oleh Alfvén (1940). Kemudian hal ini juga mendapat perhatian dari seorang fisikawan Amerika, Lyman Spitzer, Jr., yang menunjukkan adanya gerak hanyut (drift) ketika partikel bermuatan berada di dalam medan mag- net yang tak-seragam (Spitzer, 1956). Topik ini kemudian terus berkembang diikuti oleh Seymour (1959, 1970), Hurley (1961), serta Karlson (1962) yang memberik- an penyelesaian klasik gerak hanyut partikel bermuatan untuk berbagai konfigurasi medan magnet yang berbeda dengan berbagai macam metode pendekatan.

Di sisi lain, penjelasan atas dinamika partikel bermuatan dalam medan mag-

net seragam mengunakan tinjauan mekanika kuantum sudah diawali oleh Landau

pada tahun 1933 (Landau dan Lifshitz, 1977). Jika tinjauan klasik atas gejala ini

membolehkan partikel untuk memiliki bentuk distribusi energi yang kontinyu, se-

suai dengan medan B serta kecepatan awal partikel, maka Landau menunjukkan

bahwa partikel justru hanya boleh memiliki tingkat-tingkat energi tertentu yang ni-

lainya adalah

E =

 n + 1

2



~ω

H

+ p

²_z

2m − µσH

s , (1.3)

yang disebut sebagai tingkat-tingkat Landau (Landau dan Lifshitz, 1977). Tinjauan mekanika kuantum untuk dinamika partikel tunggal dalam medan magnet baru di- lakukan kembali oleh de Jesus et al. (1999), Chan et al. (2012),Oikawa et al. (2011) secara analitik dengan verifikasi numeriknya. Sementara pemodelan kuantum untuk sistem banyak partikel, yang disebut sebagai hidrodinamika kuantum, di antaranya dideskripsikan oleh Manfredi (2005), Vladimirov et al. (2011), serta Zamanian (2012) dengan menggunakan distribusi Fermi-Dirac.

Salah satu gejala kuantum yang dicoba untuk dimasukan ke dalam model plasma pada model hidrodinamika kuantum adalah interaksi spin partikel dengan medan magnet seperti pada Zamanian (2012). Namun Krishnaswami et al. (2011) menunjukkan bahwa rasio momen magnet spin, µ

_s

, terhadap momen magnet gerak girokinetik, µ

_g

, untuk elektron adalah

µ

_s

µ

_g

' 10

⁻⁷

(1.4)

dan menyatakan bahwa efek kuantum ini dapat diabaikan. Meskipun momen mag- net dari spin dapat diabaikan, namun perlu ditelisik lebih mendalam gejala kuantum lainnya yang mungkin saja terjadi di dalam plasma, secara mikroskopik maupun efeknya makroskopik.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian dalam Skripsi ini dilakukan dengan metode studi literatur dan penjabaran persamaan yang bersesuaian dengan kasus yang sedang ditinjau.

1.8 Sistematika Penulisan

Untuk mempermudah dalam memahami alur berpikir dalam topik usulan penelitian

ini, maka penulisannya terbagi menjadi dua pokok bahasan utama, yaitu mengenai

dasar-dasar mekanika kuantum dan tentang sistem koordinat toroidal. Pada bab I

dipaparkan latar belakang permasalahan, tujuan penelitian, serta diberikan uraian

singkat mengenai perkembangan teori kuantum dan fisika reaktor fusi. Kemudian

pada Bab II, diuraikan mengenai prinsip-prinsip dasar mekanika kuantum. Pada

Bab III, diuraikan mengenai bentuk geometri reaktor fusi serta sistem koordinat

toroidal. Pada Bab IV, diuraikan proses pengkuantuman operator posisi, momen-

tum, serta Hamiltonan untuk partikel bebas dan partikel dalam medan magnet. Di

dalam Bab IV juga diuraikan sifat-sifat dari tiap-tiap operator tersebut serta kesesu-

aiannya dengan postulat-postulat dasar mekanika kuantum. Kemudian pada Bab V

diuraikan kesimpulan yang diperoleh serta saran untuk pengembangan berikutnya,

sedangkan dua bab terakhir merupakan lampiran yang berisi detail tentang sistem

koordinat toroidal serta pembuktian beberapa komutator dan penurunan operator.