Cacat dalam Mekanika Kuantum dan Beberapa Kesalahan Konsep dalam Buku Teks Mekanika Kuantum

Cacat dalam Mekanika Kuantum dan Beberapa Kesalahan Konsep dalam Buku Teks Mekanika Kuantum ^∗

M. Ardhi K.

email : muhammad ardhi@walisongo.ac.id web : http://abu-khadijah.web.id

2 Mei 2013

Õ  æk QË@ á 

Ôg  QË@ é  

<Ë@ Õ  æ„.

”However, if you do not appreciate the mathematics, you cannot see, among the great variety of facts, that logic per- mits you to go from one to the other.”

–R. P. Feynman–

1 Pendahuluan

Mekanika kuantum, teori yang menjelaskan me- ngenai perilaku dunia mikro, telah menjadi sosok yang menakutkan di kalangan penuntut ilmu.

Hal ini dikarenakan kerumitan matematika yang diperlukan untuk memahami teori tersebut. Di antara mereka mungkin ada yang melihat rumit- nya proses penyelesaian persamaan Schr¨ odinger

i~ d

dt Ψ(~ r, t) =



− ~

²

2m ∇

²

+ V (~ r)



Ψ(~ r, t) (1) untuk berbagai sistem kuantum. Ada pula yang melihat pada ketidak-laziman konsep yang

∗disampaikan dalam kegiatan diskusi dosen Fakultas Tarbiyah IAIN Walisongo, tanggal 2 Mei 2013. Makalah ini sepenuhnya diketik dengan L^ATEX.

berlaku di dunia mikro, semisal perilaku proba- bilistik partikel.

Kerumitan dalam penyelesaian persamaan Schr¨ odinger sebenarnya tidak jauh dari ku- rangnya pengalaman dalam penyelesaian per- samaan diferensial. Tentunya bekal ilmu kalkulus, penyelesaian persamaan diferensial, masalah syarat batas menjadi modal yang diper- lukan untuk dapat menyelesaikan persamaan Schr¨ odinger.

Perilaku yang tidak lazim pada dunia mikro harus dipahami dengan terlebih dahulu

”melepaskan” doktrin dunia makro. Pada dunia makro, benda bermassa tidak mungkin berperi- laku yang akan disifati sebagai gelombang. Se- mentara pada dunia mikro, penjelasan menge- nai perilaku partikel (setidaknya saat ini) meli- batkan konsep probabilistik, yang membuat par- tikel tersebut memiliki sifat gelombang. Se- makin besar ukuran partikel/benda, maka sifat gelombang pada ”dirinya” semakin ”tidak terli- hat”.

Sesungguhnya matematika mekanika kuantum

tidaklah (sesederhana) seperti yang lazim dia-

jarkan dalam perkuliahan mekanika kuantum,

setidaknya pada level strata 1. Mekanika kuan-

tum tidak lain merupakan suatu model pelu- ang, yang berbeda dari model peluang klasik.

Model peluang ini disebut model peluang kuan- tum, yang komponen penyusunnya adalah al- jabar von-Neumann dan keadaan-keadaan nor- mal. Bagi siapa saja yang menghendaki pema- haman yang utuh mengenai bangunan matema- tis mekanika kuantum, maka pemahaman ter- hadap model peluang kuantum merupakan suatu keharusan.

Namun dibalik kemegahan bangunan teori mekanika kuantum, ternyata tercatat jejak ca- cat di beberapa tempat. Secara garis besar dapat dikatakan bahwa mekanika kuantum tidak lengkap. Untuk menunjukkan ketidak- lengkapan mekanika kuantum, akan dibahas dua topik berikut :

1. ketakpastian Heisenberg, 2. persamaan Schroedinger.

Selain itu, dijumpai pada beberapa buku teks adanya kesalahan penggunaan istilah terkait de- ngan obyek-obyek matematis yang digunakan dalam mekanika kuantum. Sebagai misal, terkadang ditemukan istilah swadamping (self- adjoint ) disamakan dengan istilah hermitan, tanpa pensyaratan. Kemudian kesalahan lain yang juga terkadang ditemukan dalam buku teks mekanika kuantum adalah dituliskannya kaitan komutasi antara operator momentum linier ˆ p

_x

dengan operator posisi ˆ x seperti yang berikut ini[1, 2]

[ˆ x, ˆ p

x

] = ˆ xˆ p

x

− ˆ p

x

x = i~. ˆ (2) Kedua hal tersebut, meskipun bukan meru- pakan kecacatan matematis dalam bangunan teori mekanika kuantum, tetapi termasuk yang akan dibahas dalam artikel ini.

2 Sekilas tentang teori opera- tor

Dalam matematika, operator ˆ O pada ruang vek- tor V didefinisikan sebagai pemetaan dari ruang vektor V ke ruang vektor V juga, yakni

O : V −→ V. ˆ (3)

Termasuk ke dalam kategori ruang vektor adalah ruang Hilbert. Ruang Hilbert sendiri didefi- nisikan sebagai ruang vektor berproduk skalar h , i yang lengkap. Istilah lengkap di sini dimaksudkan bahwa setiap barisan Cauchy di dalam ruang tersebut selalu konvergen, relatif terhadap metrik d yang didefinisikan melalui produk skalar h , i menurut :

d(ψ, φ) ≡ phψ − φ, ψ − φi. (4) Domain bagi operator ˆ O dituliskan sebagai dom( ˆ O). Jika ˆ O

1

dan ˆ O

2

dua operator pada ru- ang vektor V , maka umumnya tidak dapat di- jamin bahwa setiap vektor v ∈ dom( ˆ O

₁

) juga merupakan unsur di dom( ˆ O

2

). Hal ini bergan- tung pada definisi yang diberikan untuk ˆ O

1

dan O ˆ

₂

.

Setiap operator ˆ O di ruang Hilbert H, apapun jenisnya, memiliki himpunan yang termuat dalam himpunan semua bilangan kompleks C, yang disebut sebagai spektrum bagi operator tersebut. Spektrum bagi operator ˆ O didefinisi- kan menurut

Sp( ˆ O) ≡ C\R( ˆ O), (5)

dengan R( ˆ O) adalah himpunan resolvent opera-

tor ˆ O, yakni himpunan semua bilangan α ∈ C

yang membuat operator ( ˆ O − αˆ I)

⁻¹

ada dan

bersifat terbatas serta terdefinisikan secara rapat

di ˆ H. Di sini, ˆ I merupakan operator identitas, yakni operator yang didefinisikan menurut

I :H → H ψ 7→ ˆ Iψ ≡ ψ

. (6)

Berdasarkan definisi tersebut tentunya berlaku dom(ˆ I) = H.

Kemudian, sebuah operator ˆ O dikatakan ter- batas jika norma operator tersebut, yang didefi- nisikan menurut

k ˆ Ok ≡ sup

ψ∈H

k ˆ Oψk

kψk , (7)

bernilai berhingga.

3 Asas-Asas Mekanika Kuan- tum

Sesungguhnya kecacatan matematika mekanika kuantum bermula dari asas yang lazim dite- tapkan, dan diungkapkan dalam berbagai buku mekanika kuantum. Sehubungan dengan per- masalahan yang telah disebutkan dalam 1, berikut ini ditampilkan asas-asas yang terkait dengan permasalahan tersebut[3]

1. Setiap sistem kuantum berpadanan dengan suatu Ruang Hilbert H separabel (sepa- rable) dan keadaan-keadaan yang mungkin bagi suatu sistem kuantum diwakili oleh vektor-vektor satuan anggota ruang Hilbert itu.

2. Pada saat tertentu, misalkan saat t, besaran fisis O besaran fisika yang dapat diukur di- wakili oleh operator swadamping (self ad- joint ) ˆ O yang bekerja pada H.

3. Di antara dua pengukuran yang beruru- tan, keadaan sistem kuantum berevolusi se- iring dengan berubahnya waktu menurut persamaan Schroedinger gayut waktu

i~ d

dt Ψ(~ r, t) =



− ~

²

2m ∇

²

+ V (~ r)



Ψ(~ r, t).

(8)

4 Mekanika kuantum tidak lengkap

Asas-asas dalam teori mekanika kuantum menentukan batas bagi bangunan teori terse- but. Seperti disebutkan dalam asas pertama, setiap sistem kuantum diwakili oleh suatu ru- ang Hilbert. Tetapi sesungguhnya asas terse- but masih menyisakan suatu wilayah kosong (mekanika kuantum tidak berdiri di atasnya).

Maksud dari kalimat tersebut adalah terdapat vektor dalam ruang Hilbert yang tidak da- pat menyatakan keadaan kuantum. Atas dasar inilah dikatakan bahwa mekanika kuan- tum tidak lengkap.

Telah disebutkan di atas bahwa sebuah be- saran fisis O diwakilkan oleh sebuah operator ˆ O (yang swadamping), dan keadaan kuantum di- wakilkan oleh vektor ψ dalam ruang Hilbert H.

Penetapan ini menghadirkan konsekuensi bahwa vektor-vektor yang mewakili keadaan kuantum haruslah termuat di dalam domain operator ˆ O.

Yakni, jika ψ ∈ H merupakan keadaan kuantum, maka haruslah berlaku ψ ∈ dom( ˆ O). Lebih lan- jut lagi, jika ditinjau dua besaran fisis, yakni dua operator swadamping ˆ O

₁

dan ˆ O

₂

, maka setiap keadaan kuantum ψ ∈ H harus termuat di dalam irisan domain masing-masing operator tersebut, yakni harus berlaku ψ ∈ dom( ˆ O

₁

) ∩ dom( ˆ O

₂

).

Sebuah operator ˆ O di H belum tentu memi-

liki domain yang sama dengan ruang Hilbert

H itu sendiri. Hal ini bergantung pada defi- nisi yang diberikan pada operator tersebut. Jika terjadi kondisi demikian, maka tentu ada vek- tor dalam ruang Hilbert yang tidak termuat di dalam domain operator tersebut. Vektor terse- but tentunya tidak layak untuk digunakan seba- gai keadaan kuantum. Hal ini dikarenakan vek- tor tersebut tidak memuat informasi apapun me- ngenai besaran fisis yang diwakili oleh operator tadi.

Seperti telah disebutkan di atas, untuk sem- barang operator ˆ O

1

dan ˆ O

2

di H tidak se- lalu memenuhi dom( ˆ O

₁

) = dom( ˆ O

₂

). Terlebih lagi jika ditinjau beberapa operator, katakanlah O ˆ

1

, . . . , ˆ O

n

, yang umumnya tidak memiliki do- main yang sama dengan ruang Hilbert H tempat mereka beroperasi. Maka pada kondisi seperti ini hanya vektor-vektor ψ ∈ dom( ˆ O

1

) ∩ . . . ∩ dom( ˆ O

n

) yang dapat digunakan sebagai keadaan kuantum. Pada kondisi ini pula, bahkan sebuah vektor yang termuat dalam domain suatu opera- tor boleh jadi tidak termuat dalam domain ope- rator lain. Vektor yang demikian, meskipun ter- muat dalam domain salah satu operator, tidak dapat digunakan sebagai keadaan kuantum.

Sampai di sini tentunya dapat dipahami bahwa asas-asas mekanika kuantum mem- buat tersingkirkannya vektor-vektor yang tidak termuat dalam irisan domain operator-operator swadamping yang mewakili besaran fisis. Tetapi jika sebagai ruang yang menampung keadaan-keadaan kuantum adalah ruang yang unsurnya adalah vektor-vektor yang termuat dalam irisan domain operator-operator tersebut, maka dapat dipastikan bahwa ruang terse- but tidak akan bersifat lengkap (secara Cauchy), sehingga bukan lagi merupakan ruang Hilbert. Hal ini membawa konsekuensi bahwa pada ruang tersebut tidak boleh

diterapkannya teorema-teorema yang hanya berlaku pada ruang Hilbert.

5 Ketakpastian Heisenberg

Seperti yang telah ditunjukkan pada pemba- hasan sebelumnya, pemahaman terhadap teori operator akan memberikan pandangan yang lebih jelas mengenai kecacatan dalam mekanika kuantum. Pemahaman tersebut juga akan dite- rapkan dalam pembahasan mengenai ketakpas- tian Heisenberg.

Ketakpastian Heisenberg, sebagai sebuah kon- sekuensi dari asas-asas mekanika kuantum[4, 2], tampil dalam bentuk[3]

(∆ ˆ A

ψ

)

²

(∆ ˆ B

ψ

)

²

≥    

1

2i h[ ˆ A, ˆ B]i

ψ

   

. (9) Ketaksamaan tersebut berbicara mengenai keterbatasan hasil pengukuran sembarang dua besaran A dan B. Pada keadaan ψ, jika kedua operator ˆ A dan ˆ B yang masing-masing mewakili besaran A dan B tidak rukun, yakni [ ˆ A, ˆ B] 6= 0, maka hasil pengukuran besaran A membatasi hasil pengukuran besaran B, begitu juga seba- liknya. Pada kondisi demikian, jika besaran A berhasil diukur dengan ketakpastian yang cukup kecil, maka pengkuran besaran B pada saat yang sama akan memiliki ketakpastian yang cukup be- sar sedemikian rupa sehingga ketaksamaan (9) dipenuhi. Tetapi sebaliknya jika pada keadaan ψ kedua operator tersebut rukun, yakni [ ˆ A, ˆ B] = 0, maka pengukuran kedua besaran A dan B pada saat yang sama tidak akan saling bergantung satu dengan lainnya. Pada kondisi ini, ketakpas- tian pengukuran dua besaran tersebut masing- masing secara prinsip dapat dibuat bernilai nol.

Tetapi dari bentuk ketaksamaan (9) terda-

pat konsekuensi yang harus diterima, terkait de-

ngan ψ ∈ H yang terlibat di dalamnya. Jika

dom( ˆ A) = dom( ˆ B) = H, maka tentu saja dom([ ˆ A, ˆ B]) = H. Namun beberapa operator besaran fisika tidak terdefinisikan di mana-mana sehingga ψ yang terlibat dalam ketaksamaan (9) perlu disesuaikan.

Secara umum untuk sembarang dua operator A dan ˆ ˆ B berlaku

dom([ ˆ A, ˆ B]) ⊂ dom( ˆ A) ∩ dom( ˆ B). (10) Lebih tepatnya, dapat dituliskan

dom([ ˆ A, ˆ B]) ≡ {ψ ∈ dom( ˆ A) ∩ dom( ˆ B)|

Aψ ∈ dom( ˆ ˆ B) ∧ ˆ Bψ ∈ dom( ˆ A)}.

(11) Ketaksamaan (9) mengharuskan setiap ψ yang dilibatkan termuat dalam dom([ ˆ A, ˆ B]). Bahkan suatu ψ yang termuat dalam dom( ˆ A) ∩ dom( ˆ B), berdasarkan definisi dom([ ˆ A, ˆ B]) yang diberikan dalam (11), belum tentu dapat digunakan dalam ketakpastian Heisenberg. Sebagai kon- sekuensinya, ψ ∈ H yang demikian tidak dapat digunakan untuk mewakili suatu keadaan kuan- tum. Lagi-lagi hal ini telah membatasi penggu- naan ψ ∈ H.

6 Persamaan Schroedinger

Persamaan Schroedinger seperti yang ditampil- kan dalam pers.(1), dapat dituliskan menjadi

i~ d

dt ψ = ˆ Hψ, (12) dengan ˆ H didefinisikan sebagai

H ≡ − ˆ ~

²

2m ∇

²

+ V (~ r). (13) Operator ˆ H disebut sebagai operator Hamilto- nan. Persamaan Schroedinger (1) menjelaskan

perilaku evolusi keadaan kuantum gayut waktu Ψ(~ r, t) di antara dua pengukuran.

Tidak bergantungnya potensial V terhadap waktu t, memungkinkan penyelesaian persamaan (1) dengan metode pemisahan peubah[1, 2, 4], yakni

Ψ(~ r, t) ≡ ϕ(~ r)f (t), (14) dengan ϕ ∈ H suatu fungsi yang hanya bergan- tung pada ~ r , dan f (t) suatu fungsi yang hanya bergantung pada t. Dengan metode tersebut, dihasilkan persamaan Schroedinger tak gayut waktu

Hϕ = Eϕ, ˆ (15)

dengan E merupakan energi sistem kuantum yang keadaannya diwakili oleh ϕ. Persamaan (15) merupakan persamaan swanilai (eigen value equation). Operator Hamiltonan ˆ H mewakili be- saran energi E. Bentuk Ψ(~ r, t) sesungguhnya merupakan lintasan di ruang Hilbert H.

Adanya persamaan (1) atau lebih khususnya (15), jelas telah membatasi penggunaan ψ ∈ H.

Setiap keadaan kuantum ψ, berdasarkan kedua persamaan tersebut, harus termuat di dalam dom( ˆ H). Tetapi persyaratan ini tidak menjamin bahwa ψ tersebut termuat dalam domain opera- tor lain.

Permasalahan ini sekali lagi telah meng- hadirkan konsekuensi terbatasinya vektor- vektor dalam ruang Hilbert H yang dapat digunakan untuk mewakili keadaan kuan- tum.

7 Sesungguhnya swadamping (self-adjoint) tidak sama dengan hermitan

Seperti disebutkan dalam asas pertama di atas,

unsur dalam ruang Hilbert, yang disebut sebagai

vektor, mewakili keadaan kuantum suatu sistem kuantum. Maka besaran (fisis) kuantum diwa- kili oleh operator swadamping yang memetakan sebuah vektor ke vektor lain dalam suatu ruang Hilbert.

Jika sebuah operator mewakili suatu besaran fisis, maka spektrum bagi operator tersebut berisikan nilai-nilai yang mungkin keluar pada pengukuran besaran fisis tersebut. Digunakan- nya operator yang swadamping dikarenakan ter- jaminnya unsur-unsur yang berupa bilangan riil pada spektrum bagi operator tersebut. Hal ini sejalan dengan kenyataan bahwa hasil penguku- ran besaran fisis selalu berupa bilangan riil.

Membahas mengenai definisi operator swadamping dan operator hermitan akan menampilkan kerumitan tersendiri sebelum dapat mengambil gambaran perbedaan antara keduanya. Oleh karena itu, ada baiknya penulis akan tampilkan langsung perbandingan antara kedua operator tersebut. Operator swadamping, apakah bersifat terbatas (bounded) ataupun tak terbatas (unbounded), bekerja di ruang Hilbert berdimensi berhingga maupun tak berhingga, selalu sekaligus merupakan operator hermitan.

Hal yang sebaliknya tidak berlaku. Tetapi jika ruang Hilbert yang dilibatkan berdimensi berhingga, maka setiap operator hermitan pasti sekaligus merupakan operator swadamping.

Dari penjelasan di atas, jelaslah bahwa secara umum kedua operator tersebut, yakni operator swadamping dan operator hermi- tan, bukanlah operator yang sama. Ke- dua istilah tersebut hanya dapat diper- tukarkan manakala ruang Hilbert yang dilibatkan dalam pembicaraan berdimensi berhingga. Maka untuk memberikan bangu- nan teori yang tepat secara matematis, seharus- nya yang digunakan sebagai operator yang akan mewakili besaran fisis adalah opera-

tor swadamping, bukan operator hermi- tan.

8 [ˆ x, ˆ p

_x

] 6= i~

Dalam membahas kaitan komutasi antara ope- rator ˆ x dengan ˆ p

_x

beberapa penulis buku sam- pai pada kesimpulan seperti yang tertera pada pers.(2). Berikut ini langkah yang biasa ditem- puh sampai pada kesimpulan tersebut. Dalam wakilan posisi, kedua operator tersebut masing- masing berbentuk x dan

^h_{i ∂x}^∂

. Maka untuk mencari kaitan komutasi antara kedua opera- tor tersebut, komutator kedua operator tersebut dikenakan pada sebuah ψ ∈ H seperti berikut ini

[ˆ x, ˆ p

_x

]ψ =

 x, h

i

∂

∂x

 ψ

=

 x h

i

∂

∂x − h i

∂

∂x x

 ψ

= x h i

∂

∂x ψ − h i

∂

∂x (xψ)

= x h i

∂

∂x ψ − h

i ψ − x h i

∂

∂x ψ

= − h

i ψ = i~ψ.

(16)

Sampai di sini beberapa penulis ada yang mengambil kesimpulan berlakunya kaitan komutasi[1, 2]

[ˆ x, ˆ p

_x

] = i~. (17) Padahal secara matematis hal tersebut tidak- lah tepat. Karena komutator dua buah opera- tor juga merupakan operator, maka sisi kanan pers.(17) juga harus merupakan operator di H.

Oleh karena itu sesungguhnya pers.(17) seharus- nya (atau dapat ditafsirkan) berbentuk

[ˆ x, ˆ p

x

] = i~ˆI, (18)

dengan ˆ I operator identitas di H. Tetapi pada hampir semua kasus fisis, domain komu- tator [ˆ p

x

, ˆ x] tidaklah sama dengan H, yakni dom([ˆ x, ˆ p

_x

]) 6= H. Sehingga ungkapan seperti dalam pers.(17) tidak dapat dibenarkan secara matematis. Kaitan komutasi antara opera- tor ˆ p

_x

dan ˆ x yang benar adalah

[ˆ x, ˆ p

_x

]ψ = i~ψ, (19) untuk setiap ψ ∈ dom([ˆ x, ˆ p

_x

]).

9 Overview

Kecacatan pada mekanika kuantum seperti yang telah ditunjukkan di atas bermuara pada asas yang digunakan sebagai fondasi bangunan mekanika kuantum. Kecacatan tersebut se- cara mudah dapat diungkapkan sebagai keti- daklengkapan mekanika kuantum.

Rosyid[6] bersama dengan penulis[3] telah membuat suatu formulasi baru dengan menawarkan konsep peluang majemuk.

Tetapi meskipun konsep tersebut mampu menghindari permasalahan ketidaklengkapan mekanika kuantum, sampai saat ini belum terselesaikan secara sempurna.

¹

Untuk menyele- saikan konsep tersebut, perlu melibatkan kajian di bidang geometri ruang Wasserstein, salah satu topik kajian dalam bidang matematika yang sedang berkembang.

Kemudian terkait permasalahan kesalahan konsep dalam mekanika kuantum seperti yang tampak di beberapa buku teks standar mekanika kuantum, menurut penulis hal tersebut dikare- nakan kurangnya pemahaman penulis buku tersebut terhadap teori operator. Meskipun

1Formulasi baru ini akan diselesaikan dalam penelitian selanjutnya, atau dalam disertasi penulis, insya Allah.

teori operator tidak diajarkan pada kuliah stan- dar mekanika kuantum, baik itu di tingkat S1 fisika maupun S2 Ilmu fisika, kesalahan konsep tersebut tetap harus dihindari dalam penyam- paian materi mekanika kuantum kepada maha- siswa.

Dengan menunjukkan kesalahan konsep yang ada pada beberapa buku teks mekanika kuan- tum, diharapkan mahasiswa terdorong untuk mengkaji lebih dalam teori mekanika kuantum.

Setidaknya, pengajar telah berusaha untuk tidak terjatuh dalam kesalahan menyampaikan materi mekanika kuantum.

10 Ucapan Terimakasih

Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid, yang telah membimbing penulis, terutama dalam penelitian tesis mengenai topik Peluang Majemuk[3], se- hingga dari sebagian dalam tesis tersebut dapat dituangkan ke dalam makalah ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada pimpinan Fakultas Tarbiyah yang telah memberikan ke- sempatan kepada penulis untuk menyampaikan makalah ini dalam kegiatan diskusi dosen pada tanggal 2 Mei 2013.

Daftar Pustaka

[1] Goswami, A., Quantum Mechanics (Wm. C.

Brown Publisher, ,1992)

[2] Griffith, D., Introduction to Quantum Me- chanics (2nd Edition) (Pearson Prentice Hall, , 2004)

[3] Khalif, M. A., Peluang Majemuk : Se-

buah Inspirasi Dari Mekanika Kuantum Un-

tuk Matematika, Dan Untuk Kembali Ke

Mekanika Kuantum, Tesis S2 (Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, 2010) [4] Rosyid, M. F., Mekanika Kuantum : Model Matematis Bagi Fenomena Alam Mikroskopis - Tinjauan Nonrelativistik [5] Boccara, N., Functional Analysis : An Intro-

duction for Physicists (Academic Press Inc, San Diego, 1990)

[6] Rosyid, M. F., A Varian of Kolmogorov

Probability Emerging From Quantum Theory

(The 3rd Asian Physics Symposium, Ban-

dung,2009)