STUDI MEMBANGUN PROSES TITIK (POINT PROCESSES)
DAN PENDEKATANNYA MELALUI PROSES POISSON
TESIS
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Magister dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh:
RINI CAHYANDARI
NIM: 20105006
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
STUDI MEMBANGUN PROSES TITIK (POINT PROCESSES)
DAN PENDEKATANNYA MELALUI PROSES POISSON
TESIS
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Magister dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh:
RINI CAHYANDARI
NIM: 20105006
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui,
Bandung, ….September 2007
Dr. Udjianna S. Pasaribu
Pembimbing
i ABSTRAK
Proses menghitung merupakan proses stokastik yang memiliki ruang keadaan diskrit dan indeks parameter berupa waktu, lokasi dan keduanya. Salah satu contoh proses menghitung adalah proses titik. Ada 4 pendekatan untuk membentuk proses titik, yaitu ukuran menghitung, fungsi tangga, barisan titik, dan barisan interval. Berkaitan dengan ukuran menghitung, contoh trivial dari proses titik adalah proses Poisson, khususnya Poisson nonhomogen yang diperluas, dimana proses ini dicirikan oleh suatu fungsi intensitas. Sebagai ilustrasi dari fungsi intensitas, dilakukan analisis metode maksimum likelihood, dimana fungsi likelihood Poisson nonhomogen memuat bentuk integral Riemann-Stieltjes. Untuk studi kasus, dipilih data pohon pinus berdaun panjang (longleaf pine) di hutan Wade Tract, Thomas County, Georgia.
Kata kunci: proses menghitung, proses Poisson, proses titik, integral Riemann-Stieltjes, metode maksimum likelihood
ABSTRACT
Counting process is a stochastic process which has a discrete state space and parameter index such as time, location and both of them. The example of counting process is point processes. There 4 approaches to construct point processes; counting measure, step function, sequence of points, and sequence of intervals. Related to the counting measure, trivial case of point processes is Poisson process, especially extended nonhomogeneous Poisson, which is characterized by an intensity function. The ilustration of intensity function is approached by analyzing maximum likelihood method, which nonhomogeneous Poisson likelihood function contains Riemann-Stieltjes integration and by using longleaf pine data at Wade Tract forest, Thomas County, Georgia.
Keywords: counting process, Poisson process, point processes, Riemann-Stieltjes integration, maximum likelihood method.
“ Oleh karena itu, “ fa idzaa azamta fa tawaqqal alallah “, bulatkan tekad, sempurnakan ikhtiar namun hati harus tetap menyerahkan segala keputusan dan kejadian terbaik kepada Allah SWT “.
“ Boleh jadi engkau tidak menyukai sesuatu padahal bagi Allah SWT lebih baik
bagimu, dan boleh jadi engkau menyukai sesuatu padahal buruk dalam pandangan
Allah SWT.”
(Q.S.Al-Baqarah : 216 )
“ Ketahuilah hidup ini bagai gaung di pegunungan, apa yang kita bunyikan, suara itu pulalah yang akan kembali kepada kita, artinya segala yang terjadi pada kita adalah buah dari apa yang kita lakukan ”.
“ Sesungguhnya sesudah kesulitan itu pasti ada kemudahan dan sesudah kesulitan itu
pasti ada kemudahan.”
(Q.S. Al-Insyiroh [94]:5-6)
“ Kegagalan itu tidak fatal. Kegagalan hendaknya menjadi guru, bukan penggali kubur. Hendaknya menantang kita untuk mencapai prestasi yang lebih tinggi, bukan menarik kita ke dalam keputusasaan yang baru. Dari kegagalan yang jujur akan muncul pengalaman yang berharga”
William Arthur Ward
Kupersembahkan karya ini untuk
Abah dan Mamah tercinta
Kakak-kakakku tersayang
Orang-orang yang kusayangi dan menyayangiku
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut
Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta
ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut
Teknologi Bandung. Referensi Kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi
pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus
disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin
Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
iv
UCAPAN TERIMA KASIH
Assalamu’alaikum Wr.Wb.Alhamdulillah, puji dan syukur kehadirat Allah SWT, atas segala limpahan
nikmat, rahmat dan hidayah-Nya, khususnya kepada penulis, karena dengan izin-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Shalawat dan salam semoga Allah
limpahkan kepada nabi Muhammad SAW, penyempurna akhlak manusia, penghulu para nabi dan uswatun hasanah.
Dengan mengambil judul “Studi Membangun Proses Titik (Point Processes) dan Pendekatannya Melalui Proses Poisson“, tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pada program studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Penulis dalam menyelesaikan tesis ini banyak memperoleh bantuan, bimbingan dan dorongan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis
mengucapkan terima kasih secara khusus kepada kedua orang tua penulis, Abah dan Mamah, yang telah membesarkan, mendidik, membimbing penulis
dengan penuh kesabaran, pengertian, limpahan kasih sayang dan selalu memberikan dorongan baik moril maupun materiil serta tidak henti-hentinya berdoa buat penulis. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Ibu Dr. Udjianna S. Pasaribu, selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktunya untuk memberikan arahan, sumbangan pikiran, ilmu, pengetahuan, bantuan dan pengalaman yang bermanfaat bagi penulis.
2. Bapak Prof. Hendra Gunawan dan Bapak Dr. Sutawanir Darwis yang telah bersedia menjadi dosen penguji pada seminar tesis dan memberikan masukan-masukan untuk perbaikan dalam penyusunan tesis ini..
3. Ibu Dr. Irawati, selaku dosen wali penulis selama menjadi mahasiswa S2 di program studi Matematika ITB.
4. Staf pengajar Matematika ITB, atas segala ilmu dan pengetahuan yang telah diberikan selama perkuliahan.
5. Bapak Dr. Yudi Soeharyadi, atas segala bantuan dan waktunya untuk diskusi. 6. Staf Tata Usaha, Perpustakaan dan Laboratorium, yang telah banyak
memberikan bantuan dan kemudahan kepada penulis.
7. Ibu Dr. Budi Nurani R, atas dukungan dan nasehat kepada penulis untuk tetap semangat dalam menjalani studi S2.
8. Rekan-rekan S2, S3 dan mahasiswa/i KK Statistik, khususnya utriweni mukhaiyar, terima kasih atas kebersamaan, nasehat dan bantuannya.
9. Teman-teman terbaik, khususnya lia yuwanita, rizky yurisa, surya kusumah, edi kurniadi dan arif rochman atas dukungan, nasehat dan bantuannya. 10. Penghuni kosan Haur 133, atas kebersamaan, dukungan dan pengertiannya. 11. Pihak-pihak lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, atas bantuan
dalam berbagai hal, baik langsung maupun tidak langsung.
Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan bapak, ibu dan rekan-rekan semua. Akhir kata, penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca umumnya.
Wassalamu’alaikum Wr.Wb.
Bandung, Oktober 2007
vi DAFTAR ISI
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS iii
UCAPAN TERIMA KASIH iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR TABEL x BAB I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang ……….... 1 1.2 Tujuan Penulisan ………... 3 1.3 Pembatasan Masalah ………... 3 1.4 Sistematika Penulisan ………. 4
BAB II PROSES MENGHITUNG DAN PROSES TITIK 6 2.1 Proses Stokastik ………... 6
2.2 Proses Menghitung ……….. 7
2.3 Partisi Himpunan dengan Bentuk Sebangun ………... 8
2.4 Partisi Menggunakan Konsep Pengemasan Bola (Sphere Packing) ... 13
2.5 Proses Titik (Point Processes) ……… 16
2.6 Membentuk Proses Titik melalui Ukuran Menghitung ……….. 18
2.7 Membentuk Proses Titik melalui Fungsi Tangga ………... 21
2.9 Membentuk Proses Titik melalui Barisan Interval ………. 24 2.10 Hubungan antar 4 Pendekatan ... 25
BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES 33
3.1 Pendahuluan ………... 33 3.2 Integral Riemann-Stieltjes ………... 33 3.3 Fungsi Likelihood Proses Poisson Nonhomogen ……… 38 BAB IV TAKSIRAN MAKSIMUM LIKELIHOOD
FUNGSI INTENSITAS POISSON NONHOMOGEN
42
4.1 Pendahuluan ……… 42 4.2 Fungsi Intensitas Proses Poisson Nonhomogen ……….. 42 4.3 Taksiran Fungsi Intensitas Proses Kedatangan ………... 43 4.4 Fungsi Intensitas Pohon Pinus Berdaun Panjang (Longleaf Pine) …. 47
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 51
5.1 Kesimpulan ……….. 51 5.2 Saran ……… 54
DAFTAR PUSTAKA 55
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1 Pengemasan irisan jeruk dengan ukuran dan jenis yang berbeda 2
Gambar 2 Partisi himpunan A = [0,t] 9
Gambar 3 Partisi himpunan A di ℜ2 10
Gambar 4 Lingkaran A”, A’ dan A 11
Gambar 5 Partisi himpunan A di ℜ3 12 Gambar 6 Susunan jeruk pada sebuah kotak 13 Gambar 7 Susunan teratur segi enam (hexagonal packing arrangement) 15 Gambar 8 cubic close packing 15 Gambar 9 hexagonal closes packing 15 Gambar 10 Titik-titik kedatangan dalam antrian 16 Gambar 11 Titik lokasi gempa bumi 17 Gambar 12 Titik waktu dan lokasi gempa bumi 17 Gambar 13 Skema prosedur membentuk proses titik 18 Gambar 14 Foto jejak dan partikel-partikel hasil benturan 20
Gambar 15 Posisi ti di ℜ+ 22
Gambar 16 Posisi ti di ℜ- 23
Gambar 17 Masalah pengiriman sinyal pada Signal Encoding 24 Gambar 18 Pendekatan yang diperoleh jika ukuran menghitung N[0,T]
diketahui
27
ix Gambar 21 Grafik fungsi banyaknya pengunjung warnet ‘Cozy’ terhadap
waktu kedatangan
30
Gambar 22 Pendekatan yang diperoleh jika barisan titik (ti} diketahui 30 Gambar 23 Grafik fungsi banyaknya pengunjung terhadap waktu
kedatangan
31
Gambar 24 Pendekatan yang diperoleh jika barisan interval {τi} diketahui 32
Gambar 25 Grafik fungsi distribusi peubah acak diskrit X 36 Gambar 26 Grafik fungsi peluang peubah acak kontinu Y 37 Gambar 27 Peta penyebaran pohon pinus berdaun panjang dengan diameter
lebih dari 2 dbh di lokasi hutan Wade Tract seluas empat hektar 47
Gambar 28 Empat sublokasi hutan hasil partisi 49 Gambar 29 Partisi lokasi hutan yang diperkecil 50
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1 Daftar kecelakaan 647 wanita yang bekerja di sebuah pabrik amunisi selama 5 minggu
26
Tabel 2 Banyaknya lumut yang menyerang 126 daerah kuadrat pada mika
27
Tabel 3 Data waktu sebuah tempat usaha fotokopi “ Darker Image” 28 Tabel 4 Data waktu pengunjung warnet “Cozy” 29
Tabel 5 Data waktu antar kedatangan pengunjung 31 Tabel 6 Jumlah pohon pinus pada masing-masing sublokasi 49 Tabel 7 Intensitas pohon pinus pada masing-masing sublokasi 49
