PERTEMUAN KE-6
LIMIT FUNGSI
Oleh :
KBK ANALISIS
MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGM
FMIPA UGM
APA ITU LIMIT?
Arti kata:
batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan.
Dalam kehidupan sehari-hari,
orang sering dihadapkan pada
masalah-masalah pendekatan
suatu nilai/besaran.
Contoh:
a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono.
b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang
ditunggu-tunggu.
c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9. d. ……dst.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Gagasan limit mendasari dua konsep utama di
dalam kalkulus, yaitu Derivatif dan Integral.
Derivatif bermula pada masalah garis singgung Integral bermula pada masalah mencari luas
daerah
Konsep limit, selain muncul dalam usaha mencari
kemiringan (gradien) garis singgung dan luas daerah, juga muncul dalam masalah mencari kecepatan dan jumlah deret tak hingga
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
1. Perhatikan gambar berikut.
……. dst.
Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut berada pada lingkaran. Tentu dapat dibayangkan bahwa apabila n sangat besar, maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Jika A menyatakan luas lingkaran dan An menyatakan
luas segi n, dalam hal ini kita tuliskan
Proses mencari luas area datar dengan menggunakan
konsep limit tsb akan dibicarakan pada pembahasan integral n n A A lim
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(Masalah garis singgung)
Kata garis singgung diterjemahkan dari kata “tangent”
yg diadopsi dari kata “tangens” di bahasa latin yg berarti “penyentuhan”
Diket kurva C mempunyai persamaan y=f(x), akan dicari
garis singgung kurva C di titik P(a,f(a)). Ditinjau sebuah titik lain yg berdekatan dg P, misalnya Q(x,f(x)) dg x tdk sama dg a.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(Garis Singgung)
Kemiringan (gradien) garis yg melalui P dan Q adalah
a
x
a
f
x
f
m
PQ
(
)
(
)
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Garis singgung)
Selanjutnya, jk Q digerakkan mendekati P sepanjang
kurva C dg cara x dibuat mendekati a, maka garis yg melalui P dan Q akan mendekati garis singgung di P. Dalam hal ini dituliskan
a x a f x f m m a x PQ P Q ) ( ) ( lim lim
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret) 2. Masalah penjumlahan:
4
3
4
1
2
1
8
7
8
1
4
1
2
1
16
15
16
1
8
1
4
1
2
1
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret) ……….. ……….dst.
32
31
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ... 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 n nLATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret)
Apabila jumlahan dilakukan untuk n sangat
besar, maka hasil jumlahan akan mendekati 1.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(Masalah Kecepatan)
Sebuah benda bergerak dg pers gerak s=f(t) dg s
menyatakan jarak perpindahan benda dari titik awal pada waktu t. Kecepatan rata-rata pada selang waktu dari t=a sampai t=a+h adalah
h a f h a f ( ) ( )
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Kecepatan)
Kecepatan rata-rata tsb sama seperti kemiringan garis yg
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(Kecepatan)
Apabila h dibuat mendekati 0, diperoleh kecepatan
(atau kecepatan sesaat) benda pada saat a, dan apabila kecepatan ini ditulis dg v(a), maka
h
a
f
h
a
f
a
v
h)
(
)
(
lim
)
(
0
Mengingat pentingnya menentukan nilai limit suatu
besaran, seperti terlihat pada contoh-contoh di atas, perlu untuk dibuat definisi yang tepat untuk limit sehingga diperoleh hukum-hukum limit yang memudahkan kita menentukan nilai limit
FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali dijumpai
adanya keterkaitan atau hubungan antara satu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antara pedagang dan pembeli suatu barang, antara majikan dan pelayan,
antara bank dan nasabah, dst.
Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebut
relasi.
Secara sistemik, suatu relasi menggambarkan
hubungan antara anggota dari suatu kumpulan obyek dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain.
Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabila
setiap unsur dalam suatu kumpulan obyek mempunyai hubungan dengan tepat satu obyek dari kumpulan yang lain, disebut fungsi.
FUNGSI
Secara matematis, pengertian fungsi diberikan sebagai berikut:
Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi dari
A ke B adalah suatu himpunan .
Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota A berelasi dengan tepat satu anggota B disebut fungsi dari A ke B.
B
A
FUNGSI
Jika sebarang anggota A diwakili dengan variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasa diberikan dengan
rumus
)
(x
f
y
LIMIT FUNGSI
Limit suatu fungsi f merupakan alat untuk
mempelajari perilaku f(x) untuk x mendekati suatu bilangan tertentu. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh-contoh berikut
LIMIT FUNGSI
Contoh 1. Diberikan fungsi
Akan dipelajari perilaku f(x) di sekitar x= 0.
Beberapa nilai f(x) untuk x dekat dengan 0 disajikan dalam tabel berikut
1
)
(
x
x
f
LIMIT FUNGSI
x f(x) x f(x) –1 0 1,24 2,24 –0,55 0,45 0.997 1,997 –0,125 0,875 0,00195 1,00195 –0,001 0,999 0,0000015 1,0000015 –0,000001 0,999999 0,000000001 1,000000001 … … … …LIMIT FUNGSI
Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x
semakin dekat dengan 0, maka akan semakin dekat dengan 1.
CATATAN:
Adalah suatu kebetulan bahwa .
Dengan grafik, dapat digambarkan sebagai berikut.
)
(x
f
1 ) 0 ( fLIMIT FUNGSI
Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat dekat
dengan 0, baik untuk x<0 maupun untuk x>0, maka sangat dekat dengan 1.
1
)
(x
LIMIT FUNGSI
Hal ini kita katakan
Limit f(x) untuk x mendekati 0
sama dengan 1
dan kita tuliskan dengan
1
)
(
lim
0
f
x
xLIMIT FUNGSI
Contoh 2. Diberikan
Akan dilihat perilaku g(x) untuk x semakin dekat dengan bilangan 1
Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak ada atau tak terdefinisi.
1
1
)
(
2
x
x
x
g
)
1
(
g
LIMIT FUNGSI
Perhatikan bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai g(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)
(
1
1
)
1
)(
1
(
1
1
)
(
2x
f
x
x
x
x
x
x
x
g
1
x
1 ) (x x f1
x
LIMIT FUNGSI
x g(x) x g(x) 0 1 1,24 2,24 0,557 1,557 1,0997 2,0997 0,799999 1,799999 1,00195 2,00195 0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015 0,999999999 1,999999999 1,000000001 2,000000001 … … … …LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan 1 dapat dilihat pada gambar
berikut.
1
2
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x dengan 1, maka nilai
g(x) semakin dekat dengan 2.
Hal ini kita katakan
Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2
dan kita tuliskan dengan
2
)
(
lim
1
g
x
xLIMIT FUNGSI
Contoh 3. Diberikan
Akan dipelajari perilaku h(x) untuk x semakin dekat dengan bilangan 1
1
,
1
1
,
1
1
)
(
2x
x
x
x
x
h
LIMIT FUNGSI
Jawab:
Jelas bahwa .
Apakah keadaan tersebut, yaitu , akan mengakibatkan juga akan bernilai 1 ketika x sangat dekat dengan 1?
)
(x
h
h
(
1
)
1
1 ) 1 ( hLIMIT FUNGSI
Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2, bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai h(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)
(
1
1
)
1
)(
1
(
1
1
)
(
2x
f
x
x
x
x
x
x
x
h
1
x
1 ) (x x f1
x
LIMIT FUNGSI
x h(x) x h(x) 0 1 1,24 2,24 0,557 1,557 1,0997 2,0997 0,799999 1,799999 1,00195 2,00195 0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015 0,999999999 1,999999999 1,000000001 2,000000001 … … … …LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan 1 dapat dilihat pada gambar
berikut.
1
2
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x dengan 1, maka nilai
h(x) semakin dekat dengan 2.
Hal ini kita katakan
Limit h(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1
dan kita tuliskan dengan
2
)
(
lim
1
h
x
xLIMIT FUNGSI
Dengan demikian, dengan menggunakan bahasa sehari-hari, pengertian limit bisa kita nyatakan sebagai beirkut
Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati c, ditulis
jika untuk nilai x yang sangat dekat dengan c, tetapi , berakibat f(x) mendekati L.
L
x
f
c x(
)
lim
c
x
LIMIT FUNGSI
Pengertian dg bahasa sehari-hari tsb tidak dapat
digunakan untuk mendapatkan sifat-sifat limit yang kita perlukan untuk perhitungan. Karena itu,
diperlukan definisi yang tepat (precise) untuk limit fungsi. Definisi ini pertama kali digunakan oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) yg memulai karirnya sebagai insinyur militer. Definisi secara eksak(yg kita gunakan sampai sekarang)
LIMIT FUNGSI
Definisi.
Diberikan fungsi f yg terdefinisi pada suatu selang
terbuka yg memuat bil a, kecuali mungkin di a. Limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L, dituliskan
Jika untuk setiap bil terdapat bil sehingga apabila dengan
berlaku L x f a x ( ) lim 0
0
L
x
f )
(
x a 0 f D xLIMIT FUNGSI
Untuk , pengertian limit dg menggunakan bahasa sehari-hari dapat dituliskan sebagai berikut. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x
mendekati ∞ , ditulis
jika untuk nilai x yang sangat besar tak terbatas arah positif berakibat f(x) mendekati L.
L
x
f
x(
)
lim
c
LIMIT FUNGSI
Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkaran
dengan jari-jari R sama dengan .
Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalam
lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada pada lingkaran.
R
LIMIT FUNGSI
Keliling segi n tersebut adalah
Untuk n cukup besar, maka nilai akan
mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu, keliling lingkaran adalah
n
n
R
n
R
n
L
n1
2
cos
1
2
2
cos
1
2
2 2
nL
R
L
L
n n2
lim
LIMIT FUNGSI
Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikuti
persamaan
dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa kecepatan
partikel pada jam 2?
0
,
4
)
(
t
t
2
t
t
S
LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:
Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai dengan jam 2+h, dengan adalah
Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0,
maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2, yaitu
