Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu
matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A x
A tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka, detA ad bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor A tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a
M
detM a
a
x a
a
Kemudian kofaktor dari a
adalah c
M
a
a
x a
a
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C ij
M ij
untuk membedakan apakah kofaktor pada ij
adalah
atau maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a
M
detM a
a
a
Maka kofaktor dari a
adalah c M x a a x a a
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo x adalah detA a
C
a
C
C
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama Misalkan ada sebuah matriks A
x
A
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, detA a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a Contoh Soal
A tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama Jawab
detA
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu
hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor
dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan
minor dengan kompone kolom pertama. Misalkan ada sebuah matriks A
x
A
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, detA a
a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a
a
a
Contoh Soal
A tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab detA
Adjoin Matriks x
Bila ada sebuah matriks A x
A
Kofaktor dari matriks A adalah C C C C C C C C
C
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi
kolom adjA
Determinan Matriks Segitiga Atas Jika A adalah matriks segitiga nxn
segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal maka adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
Metode Cramer
jika Ax b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan detA maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j
adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j
dengan matrik b Contoh soal
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x
x
x x x x x Jawab
bentuk matrik A dan b A b
kemudian ganti kolom j
dengan matrik b A
A
A
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrikmatrik di atas
RE r ...E E A dan, detRdetE r ...detE detE detE A
Jika A dapat diinvers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R I, jadi detR
dan detA . Sebaliknya, jika detA , maka detR , jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R I, maka A adalah dapat diinvers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan
baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers. Contoh Soal
A
karena detA . Maka A adalah dapat diinvers. Mencari determinan dengan cara Sarrus A tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka, detA aei bfg cdh bdi afh ceg
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi x Menghitung Inverse dari Matrix x
A
C C C C C C C C C
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adjA
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
Sistem Linear Dalam Bentuk Ax x
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan Ax x dimana adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan xAx, atau dengan memasukkan matrix identitas
menjadi I A x
contoh
diketahui persamaan linear x x x x x x
dapat ditulis dalam bentuk
yang kemudian dapat diubah A dan x
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
sehingga didapat bentuk I A
namun untuk menemukan besar dari perlu dilakukan operasi det I A adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh det I A
dan dari hasil faktorisasi di dapat
dan
dengan memasukkan nilai pada persamaan I A x , maka eigenvector bisa didapat bila maka diperoleh dengan mengasumsikan x t maka didapat x t x VEKTOR . Pengertian vektor
Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan
Atau dapat juga dinyatakan sebagai Dimana adalah vektor satuan.
. Panjang Vektor Jika titik A x
,y
,z
dan B x
,y,z maka vektor AB adalah
. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Jika vektor
maka vektor satuan dari a adalah
. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar a. Penjumlahan atau pengurangan vektor
Contoh
Jawab
b. Perkalian Skalar dengan vektor
. Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor a. Perkalian Skalar
b. Cross Product
d. Rumus Pembagian
Diketahui titik A , , , B , , dan C , , Titik R membagi AB sehingga AR RB, vektor yang mewakili adalah
Jawab
LOGIKA
l. PENGERTIAN LOGIKA
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaranpelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metodemetode dan prinsipprinsip yang dapat dipakai
membantu menyatakan ideide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya
mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
II. PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja
dan tidak keduaduanya.
Istilahistilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.
III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga
dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan
cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.
Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk
disebut komponenkomponen pernyataan majemuk. Komponenkomponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk.
Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataanpernyataan tunggal menjadi
pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan pernyataanpernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasioperasi logika matematika. Contoh
. Jakarta adalah ibukota negara RI . Merah putih adalah bendera negara RI . adalah bilangan prima yang genap
IV. OPERASI LOGIKA
Adapun operasioperasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah . Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol
. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol . . Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol v . Implikasi, dengan kata perangkai Jika , maka .., simbol
. Biimplikasi, dengan kata perangkai .jika dan hanya jika ., simbol
Contoh pernyataan majemuk
. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih . Ani dan Ana anak kembar
. Cuaca hari ini mendung atau cerah . Jika x maka x x
. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama
V. TABEL KEBENARAN
. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan.
Operasi negasi dilambangkan
Jika p adalah pernyataan tunggal, maka p adalah pernyataan majemuk.
Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan
yang bernilai salah adalah benar.
Definisi Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb
Contoh
p Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
p Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia . Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi
dilambangkan dengan . .
Definisi Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponenkomponennya bernilai benar, dan bernilai
salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb p q p . q B B B B S S S B S S S S . Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi
dilambangkan dengan v p p B S S B
Definisi Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai
benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar
tetapi tidak keduaduanya.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb Disjungsi Inklusif Disjungsi Eksklusif
p q p v q B B B B S B S B B S S S . Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika . maka .. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan
Definisi Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya
salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb p q p q B B B B S S S B B S S B . Operasi Biimplikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai jika dan hanya jika disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan
Definisi Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponenkomponennya mempunyai
nilai kebenaran sama, dan jika komponenkomponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama
maka biimplikasi bernilai salah. p q p v q
B B S B S B
S B B S S S
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb p q p q
B B B B S S S B S S S B
VI. BENTUKBENTUK PERNYATAAN
Bentukbentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam . Kontradiksi
. Tautologi . Kontingensi
Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah,
atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponenkomponennya.
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai
kebenaran dari komponenkomponennya.
Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Contoh
Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi p . q v q p p q p p . q q p p . q v q p B B S S B B B S S S B B S B B B S B S S B S B B
Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu TAUTOLOGI
VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis. Contoh p q p q p q . p p q . p p B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen
logis dengan notasi atau Contoh p q p q p q q p p q . q p B B B B B B B S S S B S S B S B S S S S B B B B
Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan p q . q p , maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.
Jadi, p q p q . q p
VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi p q disebut invers Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut kontraposisi Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb
konvers p q q p
invers kontraposisi invers p q q p
konvers
Contoh
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan
Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah
Konvers Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar Invers Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah Kontraposisi Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar IX. PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan
mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan. Kuantor dibedakan atas
. Kuantor Universal/ Umum Universal Quantifier , notasinya . Kuantor Khusus Kuantor Eksistensial Quantifier , notasinya Contoh
Jika px kalimat terbuka x gt
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka x, x gt S atau x, x gt B
Jika x e bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan di bawah ini . x y x y . x y x y x . x y x gt y . x y x.y X. PERNYATAAN BERKUANTOR Contoh pernyataan berkuantor . Semua manusia fana
. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa . Ada bunga mawar yang berwarna merah
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya
terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan Semua manusia fana maka kita buat fungsi proposisi
untuk manusia Mx dan fana Fx, sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, Mx Fx Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini
. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki Ax, Kx . Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas Mx, Tx . Beberapa murid ikut lomba Porseni Mx, Lx
. Semua guru diharuskan berpakaian seragam Gx, Sx
XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut. Contoh Negasi dari pernyataan Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas adalah
Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas
Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi x, Mx T x , negasinya x, Mx . Tx
XII. ARGUMEN
Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan pernyataan sebelumnya disebut premispremis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.
Contoh . p q . p / q . p q . r s . q v s / p v r . p . q / p . q
XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN Bukti keabsahan argumen dapat melalui . Tabel Kebenaran
. Aturan Penyimpulan
Untuk argumen sederhana atau argumen yang premispremisnya hanya sedikit bukti keabsahan
argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premispremisnya
kompleks harus menggunakan aturanaturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh
Buktikan keabsahan argumen . . p q . q / p . . a b . c d . b v d . a v b / a v c Bukti
Soal no. menggunakan tabel kebenaran P q p q p q p q . q p q . q p
B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B
Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen SAH
XIV. ATURAN PENYIMPULAN . Modus Ponens MP
p q p / q
. Modus Tolens MT p q q / p . Hypothetical Syllogisme HS p q q r / p r . Disjunctive Syllogisme DS p v q p / q . Constructive Dillema CD p q . r s p v r / q v s . Destructive Dillema DD p q . r s q v s / p v r . Conjunction Conj p q / p . q . Simplification Simpl p . q p . Addition Add p p v q Fungsi . Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Misalkan f A B dan g B C
f g
A B C
h g o f
Fungsi baru h g o f A C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis hx gofx gfx
gof x g fx ada hanya j i ka R f
D g
Ni l ai f ungsi komposi si gof x untuk x a adal ah gofa gf a
Contoh
Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f ,, ,, ,,, dan g ,, ,, ,, , Tentukanlah a f o g b g o f c f o g d g o f a f o g ,, ,, , b g o f ,, , c f o g d g o f Contoh f R R fx x , g R R gx x f o gx fgx fx x x x xx g o fx gfx gx x x f o g fg f . . g o f gf g
Contoh
Diketahui A x l x lt , B dan C adalah himpunan bilangan real. f A B dengan fx x g B C dengan gx x
dan h g o f A C.
Bila x di A dipetakan ke di C, tentukan nilai x hx g o fx gfx gx x
hx x
x
x x atau x x
Karena A x l x lt , maka nilai x yang memenuhi adalah x .
x yfx zgy
. Sifatsifat Komposisi Fungsi
Jika f A B g B C h C D, maka berlaku i. fogx g o fx tidak komutatif
ii. fogohx fogohx sifat asosiatif iii. foI x I ofx f x elemen identitas
Contoh
Diketahui fx x , gx x, dan hx x
, Ix x
g o fx gfx gx x x x g o hx ghx gx
x
x
Dari hasil di atas tampak bahwa fogx g o fx
fogohx fog h x fog x
x x fogohxf gohx f x x x x
Dari hasil di atas tampak bahwa fogohx fo gohx
foI x f I x fx x I ofx I fx I x x
Dari hasil di atas tampak bahwa foI x I ofx fx
. Fungsi Invers Definisi
Jika fungsi f A B dinyatakan dengan pasangan terurut f a, bl aeA dan beB, maka invers dari fungsi f adalah f
B A ditentukan oleh f
b, a l beB dan aeA .
Jika f A B, maka f mempunyai fungsi invers f
B A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi .
Jika f y fx f
x fy
f o f
x f
o fx Ix fungsi identitas
Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. fx ax b a f x a b x a ii. fx d cx
b ax x c d f x a cx b dx x c a iii. fx a cx a gt f x a log x /c c a log x c iv. fx a log cx a gt cx gt f
x c a x c v. fx axbxc a f x a x ac b b Catatan
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh
Diketahui f R R dengan fx x . Tentukan f
x Cara y x yang berarti x f y x y x y f
x x Cara fx ax b f x a b x fx x f x x Contoh Diketahui Tentukan x f Cara yx x yx y x yx x y xy y x y y f
x x , R x , x x x f e x x y x x Cara fx d cx b ax f x a cx b dx x x
x f f x x x Contoh Jika x , R x , x x x f e dan k f . Tentukan nilai k Cara yx x xy y x xy x y xy y x y y
f x x x f k k k k k k k k Cara f k a k fa k f k f . .
x x y Contoh Diketahui fx x , tentukan f x Cara y x
ingat rumus logaritma a n b n b log a x y log x y log f
x x log Cara fx a cx f x c a log x fx x f x x log Contoh Diketahui fx x x , tentukan f x Cara y x x
y x x y x y x x y x y f x x Cara fx axbxc f x a x ac b b fx x x f x x x
x Contoh Diketahui x x f , tentukan f x Cara x y y x y x x y x y
f x x Cara c bx a x f n m f x b c x a m n x x f f x
x x
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi f o gx atau g o fx diketahui dan sebuah fungsi fx juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi gx. Demikian pula jika fungsi komposisi f o gx atau g o fx diketahui dan sebuah fungsi gx juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi fx.
Contoh
Diketahui gx x dan g o fx x
x , tentukan rumus fungsi fx Cara g o fx x x gfx x x fx x x fx x x fx x x , Cara gx x g x
x fx g o g o fx fx , x x x x x x Contoh Diketahui fx x dan g o fx x x
, tentukan rumus fungsi gx Cara
g o fx gfx x
x gx Misalkan x a x a ga . . a a ga
a a a a gx x x Cara x x x x g o fx x x gfx
x x gx x x gx x x gx x x Cara fx x f x x gx g o f o f
x g o f f x gx x x x x x x .
.
. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasingmasing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi
invers f
dan g
. Fungsi komposisi g o f , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan
kedua ditentukan oleh g. Mulamula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.
f g
A B C
g o f
x yfx zgy
Fungsi g o f
, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f
. Sehingga g o f
dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f
g
. Seperti tampak pada diagram berikut.
f
g
A B C
g o f
Jadi diperoleh hubungan
g o f
x f
x
Contoh
Diketahui fungsi fx x dan gx
x , x . Tentukan f o g x Cara f o gx x x x x x Misalkan y f o gx y
x x yx x xy y x xy x y x y y x y y f o g x x x Cara f o gx x x x x x
f o g x x x x x x yfx zgy Contoh Diketahui f x x , g x x x
dan hxg o fx. tentukan h x Cara f x x f o fx Ix f fx x fx x fx x fx x g x x x g o gx Ix g
gx x x g x g x gx x.gx x gx x.gx x gx x x gx x x x x hx g o fx hx x x x x h x
x Cara hx g o fx h x g o f x f o g x f g x h x . x x x x x x x
x x
x x
Contoh
Ditentukan fx x , dan gx x dan hx x , x
, carilah nilai x sehingga h o g o f
x Cara go fx x x h o g o fx x Misalkan h o g o f x y, maka
y x y xy xy y x y y y y h o g o f x x x x x x x x Cara go fx x x h o g o fx x
h o g o f x a x h o g o f a h o g o f x x h o g o f .
