ANALISIS KESTABILAN MODEL PENIPISAN SUMBER DAYA HUTAN OLEH PERKEMBANGAN INDUSTRIALISASI

(1)

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENIPISAN

SUMBER DAYA HUTAN

OLEH PERKEMBANGAN INDUSTRIALISASI

Oleh:

Khairina Aryaputri 1206 100 041

Pembimbing: Drs. Kamiran, M.Si

Drs. M. Setijo Winarko, M.Si

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

(2)

Abstrak

Sebuah model matematika nonlinier disusun untuk mempelajari penipisan sumber daya hutan yang disebabkan oleh penekanan populasi dan perluasan industrialisasi, sehingga keseimbangan sumber daya hutan menurun dibandingkan dengan keseimbangan kepadatan penduduk dan industrialisasi yang semakin meningkat. Meskipun rata-rata pertumbuhan populasi (tetap ataupun migrasi) hanya sebagian bergantung pada sumber daya hutan, tetap saja sumber daya hutan berpengaruh sehingga terjadi kepunahan akibat besarnya tekanan populasi yang memperbesar industrialisasi. Dalam Tugas Akhir ini, akan ditentukan analisis kualitatif dari model penipisan sumber daya hutan yang bertujuan mengetahui adanya gangguan atau tidak adanya gangguan melalui analisis stabilitas dari titik setimbang bebas gangguan maupun titik setimbang endemik. Untuk menopang industrialisasi, pengendali pertumbuhannya dibutuhkan untuk memelihara stabilitas ekologi.

(3)

PENDAHULUAN

(4)

Sumber Daya Hutan

INDUSTRI MANUSIA

PENIPISAN

(5)

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana menganalisis model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan oleh pertumbuhan jumlah populasi dan meningkatnya industrialisasi

2. Bagaimana mensimulasikan kesetimbangan dan kestabilan dari model penipisan sumber daya hutan tersebut

1.3 Batasan Masalah

Batasan yang digunakan dalam permasalahan di atas adalah:

1. Rata-rata penekanan populasi dianggap sebanding dengan kepadatan penduduk.

2. Penipisan sumber daya hutan dianggap sebagai akibat dari reaksi populasi dan industrialisasi.

(6)

1.4 Tujuan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Menganalisis model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan adanya peningkatan industrialisasi untuk menjaga keseimbangan ekosistem.

2. Mensimulasikan kestabilan model penipisan sumber daya hutan dengan software Matlab.

1.5 Manfaat

Manfaat yang diharapkan pada tugas akhir ini adalah memberikan informasi kepada pihak terkait bahwa penyelesaian bentuk kestabilan yang diberikan dapat direalisasikan untuk menjaga keseimbangan ekosistem.

(7)

TINJAUAN PUSTAKA

II

PENDAHULUAN

(8)

2.1 Model Penipisan Sumber Daya Hutan

Dengan:

adalah kepadatan keseluruhan sumber biomasa (hasil hutan) dengan koefisien rata-rata pertumbuhan dan kapasitas

adalah kepadatan keseluruhan populasi (baik manusia dan ternak) adalah penekanan kepadatan populasi

adalah kepadatan industrialisasi

(9)

Sedangkan,

koefisien rata-rata penipisan sumber daya hutan secara alami,

koefisien rata-rata kematian populasi secara alami,

rata-rata pertumbuhan kepadatan populasi,

koefisien rata-rata kesesuaian penipisan sumber daya hutan

dengan kepadatan populasi,

koefisien rata-rata pertumbuhan penekanan populasi,

koefisien rata-rata penipisan secara alami,

koefisien rata-rata penipisan yang disebabkan oleh membesarnya

industrialisasi,

koefisien rata-rata penipisan kepadatan sumber daya hutan yang

disebabkan oleh industrialisasi,

koefisien rata-rata pertumbuhan industrialisasi

rata-rata pertumbuhan industrialisasi untuk menekan populasi

koefisien rata-rata pengendali industrialisasi secara eksternal yang

dilakukan oleh pemerintah

(10)

2.2 Diagram kompartemennya:

2.3 Kestabilan Titik tetap

_Stabil

Stabil Asimtotis

Titik Setimbang Sifat

(11)

2.4 Stabil Asimtotis Lokal

Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan.

2.4.1 Akar-Akar Persamaan Karakteristik

Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi : Jx = x (2.3)

Untuk suatu skalar  disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai karakteristik matriks Jyang berukuran n×n, maka dapat dituliskan kembali persamaan (2.3) sebagai Jx = Ix atau ekuivalen dengan (J - I)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika J - I| = 0.

Jika matriks maka (2.3) dapat ditulis

(12)

2.4.2 Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.

(13)

METODOLOGI III TINJAUAN PUSTAKA II PENDAHULUAN I

(14)

Studi Pendahuluan

Menyusun Asumsi Model

Mencari Daerah Penyelesaian dan Titik

Setimbang

Titik Setimbang Bebas

Gangguan Titik Setimbang Endemik

Akar-Akar Karakteristik

Analisis Kestabilan

Penarikan Kesimpulan dan Saran

(15)

ANALISIS DAN PEMBAHASAN IV METODOLOGI III TINJAUAN PUSTAKA II PENDAHULUAN I

(16)

4.1 Deskripsi dan Asumsi Model Penipisan Sumber Daya Hutan a. Sumber biomassa

Sumber biomassa dipengaruhi oleh penipisan sumber biomassa itu sendiri secara alami , akibat kepadatan penduduk , dan akibat industrialisasi . Apabila kepadatan populasi meningkat, dapat memicu pertumbuhan industrialisasi dan pada akhirnya terjadi penipisan sumber biomassa. Sehingga persamaan sumber biomassa yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:

b. Kepadatan populasi

Kepadatan populasi dipengaruhi oleh kematian populasi (manusia dan ternak) dan pertumbuhan kepadatan populasi akibat adanya sumber biomassa yang berarti apabila sumber biomassa meningkat, dapat memicu pertumbuhan populasi disekitar sumber biomassa karena populasi memanfaatkan sumber biomassa untuk memenuhi kelangsungan hidupnya. Sehingga persamaan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:

(17)

c. Penekanan kepadatan populasi

Penekanan kepadatan populasi dipengaruhi oleh kematian yang dialami populasi itu sendiri , penipisan yang disebabkan membesarnya industrialisasi dan pertumbuhan penekanan populasi . Sehingga persamaan penekanan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:

d. Industrialisasi

Pertumbuhan industrialisasi dipengaruhi oleh sumber biomassa (yang berarti industrialisasi akan meningkat apabila terdapat lahan hutan yang memadai), pertumbuhan sumber industrialisasi itu sendiri dan kegiatan pemerintah sebagai pengendali industrialisasi ( (dalam memberikan ijin atas pengeksploitasian dan pengeksplorasian oleh pihak-pihak yang terkait). Sehingga persamaan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:

(18)

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut dapat disusun diagram kompartemen sebagai berikut:

Berdasarkan diagram kompartemen di atas, model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan oleh penekanan penduduk dan industrialisasi adalah

(19)

Pada persamaan kedua model (4.1), adalah fungsi pertumbuhan populasi yang mempunyai dua bentuk:

1. yang merupakan pertumbuhan populasi secara logistik dengan angka pertumbuhan intrinsik dan kapasitas pendukung .

2. sebagai konstanta. Pada kasus ini konstanta adalah migrasi pertumbuhan populasi dalam suatu habitat.

(20)

Dari persamaan pertama model (4.1)

Maka

Dari persamaan kedua model (4.1) Maka

Dari persamaan ketiga model (4.1)

Maka

Maka daerah penyelesaian dari model adalah

4.2 Analisis untuk kasus

(21)

4.2.2

Titik Setimbang dari Model

Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang diperoleh dari , , dan

sehingga diperoleh

Dalam hal ini ada dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas gangguan dan titik setimbang endemik, yaitu

Bebas Gangguan :

(22)

4.2.3 Matriks Jacobian Model

Dengan

4.2.4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Gangguan

4.2.4.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang

Akar-akar karakteristiknya adalah:

(23)

Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas seperti di bawah ini:

(24)

4.2.5 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik

Akar-akar karakteristiknya adalah: Stabil

(25)

BerdasarkanTeorema Liapunov didapat bahwa : a. Saat

Stabil jika b. Saat

(26)

4.3 Analisis untuk kasus

4.3.1 Daerah Penyelesaian Model

Dari persamaan pertama model (4.1)

Dari persamaan kedua model (4.1)

Dari persamaan ketiga model (4.1)

4.3.2

Titik Setimbang dari Model

Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang diperoleh dari , , dan

sehingga diperoleh dan

(27)

4.3.3 Matriks Jacobian Model

Dengan

(28)

Tidak Stabil Stabil

(29)

Dengan memasukkan parameter yang ada dapat dianalisa sebagai berikut:

(30)

4.4 Simulasi

4.4.1 Untuk kasus

Pada percobaan pertama diberikan nilai:

Maka akan didapat hasil sebagai berikut: ,

(31)

Pada percobaan kedua diberikan nilai: ,

(32)

4.4.2 Untuk kasus

Pada percobaan pertama diberikan nilai:

(33)

Pada percobaan kedua diberikan nilai:

(34)

PENUTUP

V

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

IV METODOLOGI III TINJAUAN PUSTAKA II PENDAHULUAN I

(35)

5.1 Kesimpulan

Dari analisis yang dilakukan pada model penipisan sumber daya hutan, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Persamaan kedua pada model sumber daya hutan, adalah fungsi pertumbuhan populasi yang mempunyai dua bentuk:

a.

Pada kondisi ini diperoleh titik kesetimbangan bebas gangguan adalah dan sedangkan titik kesetimbangan endemiknya adalah

b.

Pada kondisi ini diperoleh titik kesetimbangan endemiknya, yaitu: dan

2. Pada populasi sumber daya hutan didapat Basic Reproduction Number

(36)

5.2 Saran

Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan model matematika penipisan sumber daya hutan untuk mengetahui adanya gangguan atau tidak sehingga untuk ke depannya dapat diteliti lebih lanjut pada upaya pengendalian dan pencegahannya.

(37)

DAFTAR PUSTAKA PENUTUP

V

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

IV METODOLOGI III TINJAUAN PUSTAKA II PENDAHULUAN I

(38)

[1] B. Dubey. 2006. Modelling Depletion Of Forestry Resources By Population And Population Pressure Augmented Industrialization. J. Math. Biol. 36 pp 3003-3014 [2] Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern

Applications. California: Wadsworth

[3] J.B. Shukla, H.I. Freedman, V.N. Pal, O.P. Misra, M. Agarwal, A. Shukla, 1989,

Degradation and subsequent regeneration of a forestry resource: a mathematical model, Ecol. Model. 44 pp 219–229.

[4] James, J.R. Tweedy, B.G. and Newby, L.C. 1993. Efforts by industry to improve the environmental safety of pesticides. Ann. Rev. of Phytopathol., 31:423-439.

[5] J.B. Shukla, H.I. Freedman, V.N. Pal, O.P. Misra, M. Agarwal, A. Shukla, 1989,

Degradation and subsequent regeneration of a forestry resource: a mathematical model, Ecol. Model. 44 pp 219–229.

(39)