ESPA4112 Matematika Ekonomi

(1)

Limit, Kontinuitas dan Turunan Fungsi

Drs. Wahyu Widayat, M.Ec

erubahan adalah suatu konsep yang penting karena di dunia ini segala sesuatu selalu berubah-ubah. Ilmu tentang analisis perubahan-perubahan merupakan ilmu yang penting dan dipakai oleh hampir semua cabang ilmu termasuk ekonomi. Ilmu ekonomi berkepentingan dengan analisis tentang perubahan ini, karena besaran-besaran ekonomi yang dipakai untuk analisis selalu mengalami perubahan.

Bagian dari matematika yang membicarakan tentang perubahan adalah kalkulus atau hitung diferensial dan integral, dan yang mendasari kalkulus adalah limit. Kaidah-kaidah untuk mendapatkan turunan suatu fungsi diperoleh dengan menggunakan konsep limit.

Modul ini berisikan konsep limit dan penggunaannya untuk menurunkan kaidah-kaidah turunan dan merupakan kelanjutan dari modul-modul sebelumnya. Dalam modul berikutnya nanti, Anda akan menjumpai penggunaan kaidah-kaidah turunan dalam ekonomi. Modul matematika ini disajikan dengan maksud agar Anda dapat menghitung turunan dari suatu fungsi dengan menggunakan limit.

Setelah mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan mampu: a. menjelaskan pengertian limit;

b. menghitung perubahan besaran-besaran ekonomi dengan menggunakan kaidah limit;

c. menunjukkan jenis-jenis diskontinuitas;

d. menunjukkan cara-cara memperoleh turunan pertama dari suatu fungsi; e. Menerangkan arti turunan pertama dari suatu fungsi;

f. menerangkan hubungan antara limit dan turunan dari suatu fungsi.

P

(2)

Kegiatan Belajar 1

Konsep Limit

isalkan kita mempunyai suatu fungsi dalam x yang ditunjukkan oleh f(x). Dari fungsi tersebut dapat kita ketahui bahwa variabel bebasnya adalah x. Hal ini berarti bahwa setiap pemberian nilai kepada variabel x akan menentukan nilai fungsi f(x) atau dengan kata lain, nilai f(x) ditentukan oleh nilai yang diberikan kepada variabel x. Berbagai nilai dapat diberikan kepada variabel x dan berapa nilai yang akan diberikan, tentu saja tergantung dari kebutuhan kita.

Sekarang andaikan pada variabel x diberi nilai dengan satu bilangan yang besarnya tetap yaitu konstanta a, maka nilai f(x) akan tertentu dan katakanlah nilainya adalah sama dengan A. Harap Anda perhatikan bahwa simbol yang diberikan untuk nilai variabel x adalah a dan simbol untuk nilai f(x) adalah A. Meskipun keduanya adalah huruf yang memberikan suara sama bila dibaca, akan tetapi nilai yang dikandung tidak sama karena simbol untuk nilai variabel ditulis dengan huruf kecil, sedang simbol untuk fungsi f(x) ditulis dengan huruf besar.

Sekarang untuk variabel x diberikan suatu nilai baru yang tidak sama dengan a dan kemudian mulai dari nilai ini variabel x nilainya diganti lagi dengan nilai-nilai yang besarnya semakin dekat dengan a. Tujuan dari mengubah-ubah nilai variabel x adalah untuk melihat perubahan yang terjadi pada nilai f(x). Ternyata apabila variabel nilainya semakin dekat dengan a, maka nilai dari fungsi f(x) akan semakin dekat dengan A. Atau dapat dikatakan bahwa f(x) mendekati limit A untuk x yang semakin dekat dengan a. Di sini kita melihat ada dua hal yang terjadi bersamaan, yaitu x dan f(x) masing-masing mendekati limitnya, yaitu a dan A. Ini berarti bahwa baik x maupun f(x) keduanya mempunyai limit. Limit dari x adalah a dan limit dari f(x) adalah A.

Suatu variabel x dikatakan mendekati suatu bilangan a sebagai limit jika nilai-nilai yang diberikan kepada variabel x sedemikian rupa, sehingga harga mutlak dari selisih x a− masih merupakan suatu bilangan positif meskipun sangat kecil. Dengan menggunakan simbol, keadaan ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

(3)

lim x=a atau x → a

Agar supaya Anda mendapatkan gambaran yang lebih jelas lagi tentang hal ini, baiklah Anda ikuti contoh berikut ini.

Contoh 7.1:

Misalkan Anda memilih a = 1 nilai-nilai x yang semakin dekat dengan 1 adalah:

1 2 3 4 (n 1)

0, , , , , ,

2 3 4 5 n

− …

maka Anda dapat menulis

x → 1 atau lim x=1

atau kalau dibaca, limit dari x adalah satu.

Contoh 7.2:

Dengan mengambil nilai a = 1, tetapi nilai variabel x yang dipilih sekarang adalah:

n

1 2 3 4 ( 1) (n 1) 0, , , , , ,

2 3 4 5 n

− −

− − _…

Pada contoh di atas, nilai yang dipilih untuk variabel x tidak mendekati satu nilai saja, akan tetapi dua nilai yaitu +1 dan -1. Jadi dalam hal ini x tidak mencapai suatu limit.

Contoh 7.3:

Seandainya f(x) = 4x + 3 dan angka yang didekati oleh x adalah 0, maka berapakah limit dari f(x)? Persoalan ini dapat ditulis lebih singkat menjadi: Berapakah

Xlim x→0 =(4X 3)+ ?

(4)

1 1 1 1

1, , , , , ,

2 10 100 1000 … dan seterusnya

Kemudian masing-masing deretan nilai x yang positif dimasukkan ke dalam fungsi f(x) sebagai berikut:

f(1) = 4(1) + 3 = 7

f(1

2) = 4( 1

2) + 3 = 5

f( 1

10) = 4( 1

10) + 3 = 3,4

f( 1

100) = 4( 1

100) + 3 = 3,04

f( 1

1000) = 4( 1

1000) + 3 = 3,004 dan seterusnya.

Untuk perbandingan, kita masukkan deretan nilai x yang negatif ke dalam fungsi f(x):

f(-1) = 4(-1) + 3 = -1

f(-1

2) = 4(-1

2) + 3 = 1

f(- 1

10) = 4(-1

10) + 3 = 2,6

f(- 1 100)=

4(-1

100) + 3 = 2,96

f(- 1

1000)= 4(-1

1000) + 3 = 2,996

dan seterusnya

Dari kedua hasil perolehan tersebut dapat dilihat bahwa semakin x mendekati 0, maka f(x) semakin dekat dengan 3. Jadi limit dari f(x) = 4x + 3 adalah 3.

(5)

Suatu fungsi f(x) mempunyai limit A untuk x yang mendekati a tanpa x = a, jika nilai mutlak dari selisih antara f(x) dan A lebih kecil dari suatu bilangan positif yang masih dapat dipikirkan.

Suatu fungsi f(x) akan mendekati suatu limit A untuk x yang mendekati a, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 masih terdapat suatu bilangan kecil lain δ sehingga apabila

0 < x - a < δ maka f(x) - A < ε

Dalam pengertian limit di atas juga terkandung pengertian bahwa x dan f(x) mendekati suatu konstan terhingga (yaitu a dan A) sebagai limitnya. Di sini baik x atau f(x) atau bahkan kedua-duanya dimungkinkan untuk bernilai sembarang baik kecil atau besar. Jika harga mutlak dari selisih antara f(x) dan A lebih kecil dari suatu bilangan positif sembarang untuk setiap x yang nilainya cukup besar, maka f(x) dikatakan mempunyai limit A untuk setiap nilai x yang besarnya tanpa batas. Kalau ditunjukkan dengan menggunakan simbol:

Xlim x→∞ =f (x)=A atau f(x) → A jika x →∞.

Contoh 7.4:

Berapakah limit lim(x) 1 1 x

  =_{ }+

  , untuk x →∞? Dengan memasukkan berbagai nilai untuk x seperti berikut:

f(1) = 2 f(10) = 1,1 f(100) = 1,01 f(1000) = 1,001 f(10.000)= 1,0001 .... dan seterusnya. maka kita tahu bahwa:

Xlim x→∞ =f (x) adalah 1.

Demikian pula untuk kasus yang lain yang mungkin terjadi di mana limit f(x) diperoleh karena x menjadi bilangan negatif yang besarnya tak terhingga. Peristiwa ini dapat ditunjukkan dengan simbol

Xlim x→∞ =f (x)= ∞ atau f (x) A ′

(6)

Contoh 7.5:

Berapakah limit lim(x) 1 1 x

  =_{ }+

  , untuk x → - ∞?

Kembali kita masukkan berbagai nilai untuk x yang semakin mendekati -

∞ seperti berikut:

f(-1)

= 0

f(-10)

= 0,9

f(-100)

= 0,99

f(-1000)

= 0,999

f(-10.000)

=

0,9999

.... dan seterusnya.

Dari sini dapat diketahui bahwa

xlim f (x)→∞

adalah 1.

Jika nilai suatu f(x) menjadi bilangan positif yang sangat besar (tak terhingga) untuk semua nilai x yang mendekati suatu konstan a dan x =/ a, maka f(x) dikatakan mempunyai limit bilangan tak terhingga positif. Kalau keadaan itu ditulis dengan menggunakan simbol:

a x

lim

→ _{f(x) =}_∞_{atau f(x)}_→_∞_{kalau x}_→_a

Hal yang mirip dapat juga terjadi, yaitu f(x) menjadi negatif tak terhingga jika x mendekati a. Dengan menggunakan simbol, keadaan itu dapat ditulis:

a

x

lim

→ _{f(x) = -}_∞_{atau f(x)}_→_-_∞_{kalau x}_→_a

Contoh 7.6:

Berapakah x 3

lim

→ _{f(x) jika f(x) =}

x

-

6x

+

9

1

2

(7)

f(2,8) = 24,9999936 f(2,9) = 99,9999836 f(2,99) = 9999,83076

Jadi

limit

f(x) untuk x → 3 adalah ∞.

Kemungkinan lain yang dapat terjadi yaitu nilai f(x) akan menjadi besar tak terhingga apabila x mendekati angka tak terhingga atau

∞ →

x

lim

f(x) = ∞ atau f(x) →∞ kalau x →∞

Contoh 7.7: Berapakah

xlim→∞ (x

4

- 2)?

Kita lihat f(x) = 2, kalau x diberi nilai yang besar sekali maka nilai tersebut akan dipangkatkan empat sehingga menjadi sangat besar. Jadi nilai f(x) menjadi sangat besar atau mendekati ∞.

KAIDAH-KAIDAH LIMIT

Berikut ini adalah kaidah-kaidah limit yang dapat digunakan untuk mengevaluasi limit dari suatu fungsi.

Jika

xlim→af(x) = A ; xlim→ag(x) = B dan k adalah suatu bilangan konstan, maka:

1. a x

lim

→ k = k

Limit dari suatu bilangan konstan adalah sama dengan bilangan konstan itu sendiri. Suatu yang konstan dapat dipandang sebagai keadaan khusus dari suatu fungsi. Bila suatu fungsi hanya memiliki satu nilai saja, maka nilai tersebut juga merupakan bilangan konstan.

Contoh 7.8:

(8)

2.

Limit dari suatu penjumlahan atau pengurangan suatu fungsi merupakan penjumlahan atau pengurangan limit masing-masing.

Contoh 7.9:

Limit dari perkalian antara dua fungsi adalah sama dengan perkalian antara limit masing-masing fungsi

Contoh 7.10:

(9)

5.

[

]

Limit dari pangkat n suatu fungsi adalah sama dengan limit fungsi tersebut dipangkatkan n.

Contoh 7.12:

Limit dari akar pangkat n suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi tersebut.

Contoh 7.13:

Agar Anda lebih terampil dalam mengevaluasi masalah limit, berikut ini disajikan beberapa contoh tentang cara kita mengevaluasi limit dari suatu fungsi dengan menggunakan beberapa kaidah di atas.

(10)

x 3

0 lim f (x)

0

→ =

Hal ini berarti kita gagal untuk mencari limit f(x). Usaha yang dapat dilakukan adalah mengubah pembilang sedemikian rupa sehingga bentuk f(x)

tidak lagi menjadi 0

0. Untuk x≠3, fungsi f(x) dapat dirubah bentuknya

(11)

Contoh 7.16:

Bila f(x) = 2_{- 1} x

x - 1 berapakah f(x)?

Dalam soal ini kita berhadapan dengan bentuk untuk x = 1, maka:

f(x)

=

(x + 1)(x - 1)

mencari limit gagal. Masalahnya berbeda kalau pembilang maupun penyebut pada f(x) dibagi dengan x3 sehingga menjadi:

(12)

1) 2

Petunjuk Jawaban Latihan

1) 2

Fungsi f(x) akan mempunyai limit A untuk x mendekati a tanpa x = a, jika untuk bilangan positif kecil e masih terdapat bilangan lain d yang lebih kecil sehingga bila:

L A T I H A N

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

(13)

0< − <x a d, maka f (x) A− <e

(14)

A. 1

B. 2

C. 3

D. -1

4)

4 3

4 2

x

ax bx lim

cx dx

→∞

+ +

A. a

c

B. c

a

C. a b

D. b

c

5)

1 x 0

x

1 7

x lim

4 3

→

+

A. 3

4

B. 7

3

C. 7

4

D. 4

7

(15)

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

(16)

Kegiatan Belajar 2

Kontinuitas

mumnya suatu fungsi akan dikatakan kontinu apabila grafiknya berupa kurva yang tidak patah. Definisi kontinuitas secara matematika akan melibatkan juga kaidah-kaidah limit. Pada definisi lim f(x) untuk x → a, kita tidak menghitung berapa nilai f(x) untuk x = a. Besarnya limit ditentukan oleh nilai f(x) pada saat x berada di sekitar nilai a. Jadi lim f(x) untuk x → a belum tentu sama dengan f(a). Sehingga jika lim f(x) ada dan nilai f(a) ada dan sama dengan lim f(x), maka f(x) dikatakan kontinu di titik x = a.

Suatu fungsi f(x) adalah kontinu untuk x = a jika: 1. f(a) tertentu

2.

xlim f (x)→a ada dan terhingga 3.

xlim f (x)→a = f(a)

Suatu fungsi agar merupakan fungsi yang kontinu, harus memenuhi tiga syarat di atas. Kalau salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi, maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.

F(x) dikatakan kontinu pada interval b < x < c jika pada setiap titik dalam interval tersebut f(x) kontinu. Fungsi yang kontinu grafiknya tidak me-ngandung garis patah atau terputus-putus. Suatu fungsi yang kurvanya patah atau terputus-putus pada interval tersebut merupakan fungsi yang diskontinu. Ada tiga jenis diskontinu, yaitu:

a. diskontinuitas titik lowong. b. diskontinuitas tak terhingga. c. diskontinuitas terhingga.

A. DISKONTINUITAS TITIK LOWONG

Suatu fungsi f(x) disebut diskontinuitas titik lowong pada x = a jika limit f(x) ada tetapi f(a) tidak ada (tak terdefinisikan).

(17)

Contoh 7.18:

Fungsi f(x) = (2x + 1)(x - 3)

(x - 3) merupakan fungsi diskontinuitas titik

lowong pada titik x = 3 karena pada titik tersebut f(3) tidak ada (atau tak terdefinisikan). Untuk titik x yang lain, yaitu selain x = 3 fungsi (x) kontinu.

Grafik fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

Y

7 (3, 7)

1

X 0 3

B. DISKONTINUITAS TAK TERHINGGA

Suatu fungsi f(x) adalah diskontinuitas tak terhingga pada x = a jika f(x) menjadi tak terhingga (positif atau negatif) untuk x → a. Jadi f(a) tidak dapat ditentukan dan f(x) untuk x → a tidak mempunyai limit.

Contoh 7.19:

Fungsi f(x) = 2 1

(18)

Y

0 3 X

C. DISKONTINUITAS TERHINGGA

Suatu fungsi adalah diskontinuitas terhingga pada x = a jika f(x) nilainya mendadak berubah pada saat x→a. Di sini f(x) tidak mempunyai limit untuk x→a.

Contoh 7.20:

Fungsi f(x) = ₁

x 2

1 + 2

adalah diskontinuitas terhingga pada x = 0 karena f(x)

tidak dapat ditentukan limitnya dan pada saat x mendekati 0, nilainya mendadak berubah. Akan tetapi untuk nilai-nilai selain x = 0 fungsi tersebut kontinu.

Grafik fungsinya adalah sebagai berikut:

f(x)

2

f(x) = 2

(19)

Biasanya fungsi yang banyak digunakan dalam ilmu ekonomi berbentuk diskontinuitas terhingga. Misalnya suatu fungsi permintaan. Penurunan atau kenaikan jumlah barang yang diminta dalam banyak hal merupakan satuan-satuan jumlah yang bulat (integer) dan bukannya bilangan pecahan. Orang membeli mobil misalnya, selalu dalam satuan yang utuh, satu mobil

atau dua mobil dan tidak pernah ada orang membeli21

3 mobil. Fungsi permintaan semacam ini jika digambarkan, grafiknya tidak berupa fungsi yang kontinu.

Fungsi diskontinu biasanya lebih sukar untuk digunakan sebagai bahan analisis. Jalan untuk mempermudah analisis adalah dengan menganggap fungsi tersebut sebagai fungsi yang kontinu. Anggapan tersebut sangat membantu karena berbagai alat analisis yang lain dapat diterapkan. Meskipun demikian di dalam menginterpretasi hasil analisis hendaklah kita jangan sampai melupakan sifat fungsi itu sendiri yang sebenarnya tidak kontinu.

Contoh 7.21:

(20)

P

1200

1150

1100

1050

Q 0 10 25 50

Contoh 7.22: Dari fungsi f (x) ₂3x + 2 + 4x + 4 x = tentukan nilai x yang menyebabkan f(x) diskontinu, dan sebutkan jenis diskontinuitasnya. F(x) dapat ditulis menjadi 2 3x + 2 (x + 2) Untuk x = -2, f(x) tidak mempunyai limit. Y X -2 0

(21)

Contoh 7.23:

Tentukan nilai x pada fungsi f(x) = 1(x 2)

x − yang menyebabkan f(x) diskontinu. Sebutkan jenis diskontinuitasnya. Untuk x = 0 dan x = 2 nilai f(x) menjadi tak terhingga dan pada kedua titik tersebut f(x) tak dapat ditentukan nilainya dan limit f(x) tak terdefinisi. Dari grafik fungsi dapat dilihat bahwa fungsi mempunyai diskontinuitas tak berhingga.

1 2 x 0

1)

2

x 1

f (x) x 1

− =

−

2)

(

)

(

)

2

x 9

f (x) x 3

− =

−

3)

(

)

2 6 f (x)

x 2

= −

4)

2 2

x 3x 2x 6

f (x)

x 3

− − +

=

−

L A T I H A N

(22)

5)

x 1 f (x)

2 1

= −

1. Diskontinu titik lowong dengan titik x = 1

f(x)

•

f(x) = 1 x

1 x2

− −

1 x

2) Diskontinu titik lowong dengan titik x = 3

f(x) •

f(x) = 3 x

9 x3

− −

3 x

3) Diskontinu tak terhingga dengan titik x = 2

f(x)

(23)

4) Diskontinu tak terhingga dengan titik x = 3

f(x)

0 3 x

5) Diskontinu terhingga dengan titik x = 0

f(x)

1

0 X

Suatu fungsi f(x) adalah kontinu untuk x = a jika: 1. f(a) tertentu

2.

xlim f (x)→a ada dan berhingga 3.

xlim f (x)→a f (a) =

(24)

(25)

4)

2

x 3x 6 f (x)

x 1

+ − =

+

A. x = 4 B. x = -4 C. x = 2 D. x = -2

5)

2 1 f (x)

4x 16

= −

A. x = -2 x = 2 B. x = -2 x = -1 C. x = 1 x = -1 D. x = 1 x = -2

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal

(26)

Kegiatan Belajar 3

Turunan Pertama

urunan pertama suatu fungsi di suatu titik merupakan curam fungsi di titik tersebut. Curam sering pula disebut slope atau kemiringan atau arah garis atau gradien. Meskipun namanya berbeda-beda akan tetapi pengertiannya sama.

Curam dari suatu garis lurus (diberi simbol m) adalah tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horisontal. Atau dapat pula dengan definisi yang lain, curam adalah rasio antara perubahan jarak vertikal dengan perubahan jarak horisontal akibat bergesernya suatu titik sepanjang garis tersebut. Secara grafik dapat dilihat seperti berikut

y

(XB,YB) (XA,YA) ∆Y

∆X

α

0 X

m = tan = B A

B A

- y

y y

=

- x

x x

∆ ∆

Curam suatu garis lurus besarnya konstan dan dapat diartikan bahwa tingkat perubahan y karena perubahan x sepanjang garis mempunyai rasio yang konstan. Hal tersebut tidak berlaku untuk garis lengkung, karena setiap titik pada kurva mempunyai curam yang berbeda-beda.

Misalkan ada suatu fungsi y = f(x) dan ada dua titik yang terletak di kurva tersebut yaitu titik A(xA,yA) dan titik B(xB,yB), yang dapat dilukiskan

dengan gambar berikut:

(27)

y

Y = f(x)

B (XB,YB)

∆y (XA,YA)

A ∆x

0 x

Curam garis AB ditunjukkan oleh rasio antara ∆y dan ∆x. Kalau kemudian titik B letaknya digeser menjadi lebih dekat dengan titik A dan masih terletak pada fungsi y = f(x), maka dapat dilihat bahwa curam garis AB sekarang berubah. Perubahan pada curam garis AB akan terus terjadi kalau titik B bergerak terus mendekati titik A. Semakin dekat titik B dengan titik A, perubahan curam garis AB semakin kecil dan bahkan akan mendekati limit suatu bilangan yang besarnya tetap. Apabila keadaan ini terjadi maka nilai limit tersebut dapat dikatakan sebagai curam garis singgung kurva di titik A atau sebagai curam kurva di titik A. Atau

m =

x 0 y lim

x

∆ → ∆ ∆

Besaran tersebut di atas merupakan curam f(x) di titik A(xA,yA) dan juga

disebut sebagai turunan pertama dari f(x) di titik A. Selanjutnya,

∆x = xB - xA atau xB = xA + ∆x

dan

(28)

Kalau koordinat titik A yaitu (xA,yA) sekarang diganti oleh (x,y) maka

koordinat titik B menjadi (x + ∆x, y + ∆y). Koordinat titik B jika dimasukkan ke dalam fungsi y = f(x), maka akan dipenuhi hubungan:

y + ∆y = f(x + ∆x)

atau

∆

y = f(x +

∆

x) - y

Padahal kita tahu bahwa y = f(x), sehingga:

∆

y = f(x +

∆

x) - f(x)

Apabila kedua ruas dibagi dengan

∆

x, maka diperoleh:

y f(x + x) - f(x) =

x x

∆ ∆

Titik B semakin mendekati titik A, ini berarti ∆x mendekati 0. Dan limit y

x

∆

∆ adalah curam fungsi. Jadi:

x 0 x 0

y f(x + x) - f(x) lim = lim

x x

∆ → ∆ →

∆ ∆

x 0 y lim

x

∆ →

∆

∆ diberi simbol

dy

dx dan dibaca "turunan pertama fungsi terhadap x", atau turunan pertama fungsi y = f(x) terhadap x. Proses untuk memperoleh

dy

dx disebut penurunan fungsi.

Selain simbol dy

dx untuk menunjukkan turunan pertama, ada pula simbol-simbol lain yang juga sering digunakan yaitu:

f'(x), y', d dx (y),

d

dx (f(x)), Dxy, Dx(y)

(29)

Contoh 7.24:

Hitung turunan pertama dari 2

1 y

x

(30)

2 2

Hitung turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi:

(31)

5) y ₂x

x 2

= +

(32)

Langkah-langkah untuk mencari turunan pertama dari suatu fungsi adalah sebagai berikut.

1. Fungsi yang akan dicari turunannya : y = f(x)

2. Kedua sisi tanda sama dengan diberi tambahan nilai x dan y sehingga diperoleh:

y+ ∆ =y f (x+ ∆x)

3. Variabel y diganti dengan f(x) dan dipindah ke sisi kanan

y f (x x) f (x)

∆ = + ∆ −

(33)

4. Kedua sisi dibagi oleh ∆x.

y f (x x) f (x)

x x

∆ + ∆ −

=

∆ ∆

5. Turunan pertama diperoleh dengan mengambil limitnya.

x 0 x 0

dy y f (x x) f (x)

lim lim

dx ∆ → x ∆ → x

∆ + ∆ −

= =

∆ ∆

Dengan menggunakan definisi

x 0 x 0

dy y f (x x) f (x)

lim lim

dx ∆ → x ∆ → x

∆ + ∆ −

= =

∆ ∆

Carilah turunan pertama dari fungsi berikut ini: 1) y = 3x

A. 5

B. 3

C. 2

D. 1

2) x2−2x 10−

A. 2x – 2 B. x – 2 C. 2x2

D. x – 1

3) y x= 3−3

A. x2

B. 3x

C. 2x3

D. 3x2

4) y 1 x 1

= +

T E S F O R M A T I F 3

(34)

A.

(35)

(36)

Kegiatan Belajar 4

Kaidah-kaidah Turunan Pertama

alam modul sebelumnya turunan pertama dari suatu fungsi diperoleh dengan menggunakan limit. Cara tersebut memang dapat digunakan untuk mencari turunan pertama dari suatu fungsi bagaimanapun bentuknya.

Fungsi-fungsi yang mempunyai bentuk tidak sederhana jika dicari turunannya dengan menggunakan limit akan memakan waktu yang lama karena jawabannya menjadi panjang dan kesalahan-kesalahan di dalam menghitung mungkin akan terjadi. Berikut ini kaidah-kaidah yang dapat digunakan untuk mendapatkan turunan suatu fungsi. Kaidah-kaidah ini akan memudahkan dalam mencari turunan fungsi.

Kaidah-kaidah penurunan suatu fungsi:

1. Turunan dari suatu konstan adalah sama dengan nol.

Jika y = k, maka y' = 0 atau dy 0 dx=

Contoh 7.27:

y = 10, maka dy 0 dx=

2. Turunan dari suatu fungsi variabel berpangkat n adalah perkalian antara n dengan variabel tersebut berpangkat (n - 1).

Jika y = xn, maka y'= nx(n - 1)

Contoh 7.28:

1) y = x3 maka y' = 3x2

2) y = x1/2 maka y' = 1/2 x-1/2

(37)

3) y = x-5 maka y' = -5 x-6

3. Turunan dari perkalian bilangan konstan dengan suatu fungsi adalah perkalian antara bilangan konstan tersebut dengan turunan pertama dari fungsi.

Jika y = k.f(x), maka y' = k.f'(x)

Contoh 7.29:

1) y = 5x maka y' = 5

2) y = 2x3 maka y' = 2(3x2) = 6x2

3) y = _3x13_maka_{y '} ₃ 1_x 23 _x32

3

− −

  = _ _ =

 

4) y = -2x x-1 maka y ' = −(2)( 1 x− −2) = 2x−2

4. Turunan dari hasil penjumlahan dua fungsi adalah penjumlahan dari turunan masing-masing fungsi itu.

Jadi kalau ada fungsi y = f(x) + g(x), maka:

y' = f'(x) + g'(x).

Kaidah ini berlaku juga untuk fungsi yang merupakan hasil penjumlahan lebih dari dua fungsi dan turunannya adalah penjumlahan turunan masing- masing fungsi tersebut.

Jadi untuk y = f(x) + g(x) + h(x) + i(x) +.... , maka

y'= f'(x) + g'(x) + h'(x) + i'(x) +....

Contoh 7.30:

(38)

f(x) = 2x dan g(x) = 3x2 y' = f'(x) + g'(x) = f (2x) g (3x )′ + ′ 2

= 2 + 6x

2) y x= 3−3x2+9x maka y ' = 3x2 − 6x + 9x

3) _{y x}= 12+_3x13−_4x41_maka _{y '} 1_x 12 _x 23 _x 34

2

−

− −

= + −

4) _{y 12 6x}= − −13_maka

4 4

3 3

1

y ' (6)( )x 2x

3

− −

= − − =

5. Turunan dari perkalian dua fungsi adalah sama dengan perkalian antara fungsi pertama dengan turunan fungsi kedua ditambah dengan perkalian antara fungsi kedua dengan turunan fungsi pertama.

Jadi untuk fungsi y = f(x).g(x) maka y' = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Contoh 7.31:

1) y = (x2 + 2) (x - 3)

Misalkan f(x)= x2 + 2 dan g(x)= x - 3;

maka f'(x)= 2x dan g'(x) = 1

y'= (x2 + 2)(1) + (x - 3)(2x) y'= x2 + 2 + 2x2 - 6x y'= 3x2 - 6x + 2

2) y x (2x 1)= 2 − maka, 2 2

2

2 2

2

dy d(2x 1) dx

x (2x 1)

dx dx dx

x (2) (2x 1)(2x) 2x 4x 2x 6x 2x

−

= + −

= −

(39)

2

6. Turunan dari pembagian dua fungsi adalah sama dengan pengurangan antara perkalian fungsi penyebut dan turunan fungsi pembilang dengan perkalian fungsi pembilang dengan turunan fungsi penyebut dibagi dengan pangkat dua fungsi penyebut.

(40)

(41)

2

Contoh di atas dapat pula dikerjakan dengan cara:

(42)

du 1

7. Turunan dari suatu fungsi yang berpangkat n adalah sama dengan hasil perkalian antara n dengan fungsi tersebut dipangkatkan (n - 1), dan dengan turunan fungsi.

(43)

3)

Karena fungsi merupakan pembagian, maka digunakan kaidah 6.

2

Karena fungsi merupakan perkalian, maka digunakan kaidah 5 tetapi ingat masing-masing fungsi yang dikalikan adalah fungsi yang berpangkat sehingga turunan pertama masing-masing fungsi harus dicari dengan menggunakan kaidah 7.

(44)

2

(45)

y = U2

(46)

Contoh 7.35:

1) y = ₂(x3- x2)

Misalkan U = x3 - x2 dan a = 2, maka U'= 3x2 - 2x y'= au.ln a.U'

= 2(x3−x )2 (ln 2)(3x2 - 2x) = 2(x3−x )2 (3x2 - 2x) (ln 2)

Apabila pada kaidah 9 tersebut di atas a merupakan bilangan alam e sehingga: y = eu di mana U = f(x), maka turunannya

y'= eu.U

2) y=e2x2+5

Misalkan U = 2x2 + 5, maka U'= 4x y' = eu.U

=e2x2+5(4x) = 4x e2x + 5

3) y=3x2

2

u

x

U x U ' 2x y ' a ln aU '

3 ln 3.2x 2x .3 l n 3

= = = = =

4) y 3 . x= x 3

Contoh yang diberikan di sini merupakan bentuk perkalian antara fungsi, sehingga dapat diumpamakan:

x

U 3= V x= 3

x

(47)

3 x x 2

Apabila pada kaidah 9 tersebut di atas a merupakan bilangan alam e sehingga: y e= u di mana U = f(x), maka turunannya:

Perhatikan, contoh soal ini mempunyai bentuk pembagian, sehingga turunannya harus dicari dengan menggunakan kaidah 6,

(48)

2

Turunan pertama dari suatu fungsi dapat ditafsirkan sebagai kecepatan gerak suatu benda dan tingkat perubahan suatu fungsi. Kedua pengertian tersebut bersumber dari hasil pemecahan masalah-masalah dalam ilmu fisika dan matematika yang kemudian diterapkan pula pada berbagai bidang ilmu, termasuk ilmu ekonomi. Dalam ilmu ekonomi, konsep ini digunakan untuk menganalisis perubahan-perubahan yang terjadi pada besar-besaran ekonomi seperti harga berbagai macam barang, pendapatan seseorang, tingkat bunga, dan lain-lain. Karena variabel-variabel ekonomi tersebut dapat berubah setiap saat, maka konsep turunan suatu fungsi banyak diterapkan terutama untuk menjelaskan tingkat perubahan suatu fungsi.

Kecepatan gerak suatu benda

Bayangkan sebuah kereta api yang akan berangkat dari suatu stasiun untuk menuju ke stasiun lain. Jarak yang ditempuh oleh kereta api diberi simbol j dan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut adalah w. Semakin lama kereta berjalan, maka jarak yang ditempuh juga semakin jauh. Dengan demikian kita juga bisa mengandaikan bahwa jarak yang ditempuh tergantung pada waktu atau j = f(w).

Pada suatu waktu tertentu, misalnya w1, kereta api sudah meninggalkan

stasiun sejauh j1. Tambahan waktu sebesar

∆

w, menyebabkan jarak yang

(49)

kereta api itu konstan, dan ratio

∆

j/

∆

w disebut kecepatan rata-rata. Sean-dainya interval waktu

∆

w yang diambil sangat singkat sekali yaitu mendekati nol, maka kecepatan rata-rata

∆

j/

∆

w mendekati limitnya dan disebut sebagai kecepatan sesaat pada w1.

Kecepatan sesaat pada w1 =

w 0

j d j lim =

w d w ∆ →

∆

∆ adalah turunan pertama dari fungsi f(x) di titik w = w1. Jadi pada suatu waktu tertentu (=w1), kecepatan

suatu benda yang bergerak menurut fungsi j = f(w) di mana j menunjukkan jarak dari titik asal dan w menunjukkan waktu yang digunakan untuk menempuh jarak tersebut, ditunjukkan oleh turunan pertama dari fungsi itu pada w = w1

Contoh 7.37:

Jarak yang sudah ditempuh oleh kereta api dari stasiun ditunjukkan oleh persamaan j = 30w2 + 3w, di mana j menunjukkan jarak yang ditempuh dalam km dan w menunjukkan waktu yang diukur dalam jam. Berapakah jarak dari stasiun dan kecepatannya setelah kereta api bergerak selama 2 jam ?

j = 30w2 + 3w

Setelah 2 jam, w = 2 dan j = 30(4)+3(2) = 126 km j' = 60 w + 3

untuk w = 2, maka = 120 + 3 = 123

Jadi setelah kereta api bergerak selama 2 jam kecepatannya 123 km/jam.

Tingkat perubahan suatu fungsi

Misalkan ada dua variabel yaitu p dan q yang hubungannya ditunjukkan oleh fungsi q = f(p). Bila perubahan-perubahan variabel p dan q mempunyai ratio

∆

q/

∆

p yang nilainya konstan untuk setiap perubahan p, maka ratio tersebut dinamakan tingkat perubahan q karena p dan disebut dengan tingkat perubahan rata- rata.

Kita dapat mengatakan bahwa tingkat perubahan q karena p berubah

(50)

karena p berubah proporsinya tidak lagi sama dengan tingkat perubahan rata-rata dari q karena p berubah dalam interval ∆p.

Sekarang kalau perubahan ratio q p

∆

∆ mendekati limit untuk p mendekati

nol, maka limit tersebut dikatakan sebagai tingkat perubahan sesaat dari q karena p berubah. Tingkat perubahan sesaat dari q adalah

p 0

q dq lim

p dp ∆ →

∆ = ∆

Ternyata tingkat perubahan sesaat dari suatu fungsi adalah sama dengan turunan dari suatu fungsi.

Contoh 7.38:

Hubungan antara harga dan jumlah barang yang diminta oleh konsumen ditunjukkan oleh fungsi Q = 50 - 5P. Jumlah yang diminta oleh konsumen ditunjukkan oleh Q dan P menunjukkan tingkat harga.

Tingkat perubahan sesaat dari Q adalah dq

dp= -5. Hasil tersebut di atas

menunjukkan bahwa bila harga barang mengalami kenaikan Rp1,00,-, maka jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen berkurang 5 unit. Tanda minus yang diperoleh menunjukkan bahwa harga dan jumlah barang yang diminta mempunyai hubungan terbalik.

Dapatkan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini.

1) y 3x= 3+2x2+1

2) y x= 5−2x4+5x 12−

L A T I H A N

(51)

3) y (2x 3)(x= − 2+1)

4) y (x 1) (2 x )= + 3 − 2 2

5) 2 1 y

x =

1) y 3x= 3+2x2+1

2 y ' = 9x + 4x

2) y x= 5−2x4+5x 12− 4

y ' = 5x − 8x + 5

3) y (2x 3)(x= − 2+1)

misalkan U = 2x – 3 dan V = x2+1

U ' 2= dan V '=2x

y = U.V

2

2 2

2

y ' U.V ' V.U '

(2x 3)(2x) (x 1)(2) 4x 6x 2x 2 6x 6x 2

= +

= − + +

= − +

4) y (x 1) (2 x )= + 3 − 2 2

misalkan: U (x 1)= + 3, maka U ' 3(x 1)= + 2

2 2

V (2 x )= − , maka V ' 2(2 x )( 2x)= − 2 −

= −4x (2 x )− 2

= 4x3−8x

5) y 1₂ x

= dapat ditulis menjadi = y x= −2

3

(52)

Kaidah-kaidah yang dapat digunakan untuk mendapatkan turunan pertama dari suatu fungsi adalah:

1. Jika y = k, maka dy = 0 dx

2. Jika y = xn, maka dy = nxn 1 dx

−

3. Jika y = k u, di mana u = f(x), maka dy= kdu dx dx

4. Jika y = u + v, di mana u = f(x), dan v = g(x), maka dy= du dv dx dx+dx

5. Jika y = u . v, di mana u = f(x), dan v = g(x), maka dy= u dv + v du

dx dx dx

6. Jika y u v

= , di mana u = f(x), dan v = g(x), maka

2

du dv v u dy _dx _dx

= dx v

−

7. Jika y = un, di mana u = f(x), maka dy = nun 1du dx dx

−

8. Jika y = log u, di mana u = f(x), maka dy= log e du dx u dx

9. Jika y = an, di mana u = f(x) dan a = konstanta, maka n

dy du

a ln a dx = dx

Bila konstanta a = e, maka dy= eudu dx dx

Turunan pertama dari suatu fungsi dapat diartikan sebagai kecepatan gerak suatu benda dan tingkat perubahan suatu fungsi. Dari suatu fungsi j = f(x) yaitu fungsi yang melukiskan hubungan antara jarak dan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut. Kecepatan rata-rata =

j w

∆

∆ sedangkan kecepatan sesaat di suatu titik =

dj dw .

Turunan pertama dari suatu fungsi q = f(p) yaitu fungsi yang melukiskan hubungan sebab dan akibat pada dua variabel, dapat

(53)

diartikan sebagai tingkat perubahan q karena p berubah. Turunan pertama tersebut merupakan perubahan sesaat dari q atau, tingkat

perubahan sesaat dari q dq dp

= dan perubahan rata-rata dari q, merupakan

nisbah q

p

∆

∆ . Konsep turunan pertama banyak digunakan dalam ekonomi terutama seperti elastisitas dan penggunaan lebih banyak untuk analisis konsep marjinal seperti kepuasan marjinal, produksi marjinal.

Kepuasaan marjinal yang merupakan turunan pertama dari fungsi kepuasan total dapat digunakan untuk menjelaskan perilaku konsumen. Produksi marjinal yang merupakan turunan pertama dari fungsi produksi dapat digunakan untuk menjelaskan perilaku produsen.

Hitung turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini dengan menggunakan

definisi:

x 0

d y f(x + x ) - f(x ) = lim

x d x ∆ →

∆ ∆

1) y = x2

A. x

B. 2x

C. 2x

D. x−2

2) y = 5 - 2x

A. -2

B. 2

C. 1

2

D. 1

4

3) y = 3x3 + 2x2 + 1 A. x2+4x

B. x2+9x

T E S F O R M A T I F 1

(54)

C. 9x2+4x

D. 4x2+9

4. y = 3x (2x3 - 5) A. x3−24

B. 24x3−15

C. 24x 15−

D. 15x3−24

5. y = (x - 2)2 (3x + 2) A. x – 8

B. 2x + 8 C. 12x + 8 D. 12x – 8

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal

(55)

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) A 2) B 3) D 4) A 5) C

Tes Formatif 2

1) B 2) A 3) C 4) A 5) D

Tes Formatif 3

1) B 2) A 3) D 4) C 5) A

Tes Formatif 4

(56)

Daftar Pustaka

Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.

Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,

Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.

Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited,

Jacques, Ian, (1995). Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company.

Silberberg, Eugene and Wing Suen, (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.