SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

(1)

MATEMATIKA EKONOMI

ADI MUSHARIANTO, SE., MM.

PROGRAM STUDI S1 MNJ/AK STIE AHMAD DAHLAN JAKARTA

BAB 1 SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Josep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Edisi Kedua, Tahun 2011

(2)

SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

• Matematika murni dengan matematika ekonomi

& bisnis sebenarnya tidak terlalu banyak perbedaan.

• Mempelajari dan memahami matematika ekonomi & bisnis tidak bisa dilakukan tanpa memahami matematika murni yang menjadi

dasar pemahaman matematika ekonomi &bisnis

• Topik-topik yang biasa dipakai oleh matematika ekonomi dan bisnis adalah konsep matematika murni seperti fungsi, kalkulus, deret, matriks, dll.

(3)

• Penggunaan simbol dalam variabel matematika murni pada umumnya digunakan huruf akhir dari abjat seperti X, Y dan Z.

• Sedangkan penggunaan simbol dalam variabel matematika ekonomi dan bisnis digunakan oleh ahli ekonomi sesuai

dengan nama variabel ekonominya seperti harga/price (P), biaya/cost (C), jumlah yang diminta/quantity (Q) dan

sebagainya.

• Dalam matematika ekonomi & bisnis penggambaran sumbu harga (P) dalam bidang Cartesius digambarkan pada sumbu vertikal, sementara pada matematika murni sumbu P

seharusnya ada pada sumbu horizontal karena variabel P merupakan variabel bebas.

(4)

• Dalam teori ekonomi biasanya pernyataan

disebutkan dalam bentuk kualitatif, misalkan jika harga suatu barang naik maka permintaan akan turun dan sebaliknya.

• Oleh ahli matematika ekonomi pernyataan kualitatif tersebut bisa

diterjemahkan/disederhanakan dalam bentuk

matematis/kuantitatif berupa fungsi Q=f(P)

yang diperjelas lagi dengan persamaan linear

Q = a – bP.

(5)

• Teori ekonomi yang menyatakan hubungan negatif/positif (terbalik/searah) dalam

matematis bisa dinyatakan oleh parameter b yang bernilai negatif/positif

• Besarnya nilai parameter a dan b pada persamaan diatas dapat ditaksir oleh ahli ekonometrika yang harus mengikuti teori

ekonominya namun dalam proses pencarian nilai parameter a dan b harus menggunakan aturan matematika ekonomi.

(6)

• Ahli ekonometri membutuhkan data dalam menentukan nilai a dan b, yang data tersebut biasa dilakukan oleh ahli statistik ekonomi dengan pengetahuan matematika

ekonomi terkait dengan penumpulan, pemrosesan dan penyajian data ekonomi dalam bentuk tabel/grafik.

• Walaupun ekonometrika, statistik ekonomi dan matematika ekonomi dipelajari secara terpisah namun semuanya

mempunyai ketertaitan yang erat.

• Matematika ekonomi dan matematika murni merupakan faktor utama untuk memahami ekonometrika dan statistik ekonomi. Ketiga bidang studi ini bisa membuktikan secara empiris teori ekonomi dan selanjutnya dapat

mengembangkan teori ekonomi tersebut.

(7)

MATEMATIKA EKONOMI

BAB 2 KONSEP DASAR MATEMATIKA DAN EKONOMI BISNIS

Josep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Edisi Kedua, Tahun 2011

(8)

KONSEP DASAR MATEMATIKA DAN EKONOMI BISNIS

MODEL EKONOMI

• Model ekonomi adalah upaya penyederhanaan hubungan antara variabel-variabel ekonomi yang terdapat dalam dunia nyata suatu perekonomian tertentu.

• Model ekonomi dapat berbentuk model matematika dan non matematika.

• Model ekonomi dalam bentuk matematika terdiri dari satu atau sekumpulan persamaan yang terdiri dari sejumlah

variabel, konstanta, koefisien dan atau parameter.

• Model ekonomi matematika secara umum yang digunakan adalah variabel, konstanta, koefisien, dan parameter;

persamaan dan pertidakpersamaan; sistem bilangan nyata;

konsep dan teori himpunan; relasi dan fungsi; aturan-aturan pemangkatan dan pemfaktoran; pecahan, desimal dan

persentase

(9)

VARIABEL, KONSTANTA, KOEFISIEN, DAN PARAMETER

• Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu.

Variabel dalam matematika murni sering dilambangkan dengan huruf terakhir abjad

sedangkan variabel dalam matematika ekonomi dan bisnis biasa digunakan adalah P (price), Q (quantity), C (cost), R (revenue), I (investment), i (interest rate) dan lain-lain.

(10)

KONSTANTA

• Suatu bilangan nyatau tunggal yang nilainya tidak berubah- ubah dalam suatu masalah tertentu. Jika angka konstanta digabung dengan variabel maka angka konstanta tersebut disebut koefisien yaitu angka pengkali konstan terhadap variabelnya, contoh 5R, 4P, 0,3C dan lain-lain.

• Adakalanya nilai konstanta belum ditentukan nilainya yang masih bersifat variabel (berubah-ubah). Nilai konstanta

tersebut disebut sebagai konstanta parameter. Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lainnya. Parameter dilambangkan dengan huruf awal abjad Yunani atau Arab misalnya α, β, χ, atau a, b, dan c.

(11)

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

• Pernyataan matematika yang mengandung elemen berupa suku (term), faktor (factor) yang menjelaskan adanya

bagian-bagian pernyataan tersebut mempunyai nilai positif dan negatif, misalkan pernyataan matematika 3XYZ + XY – 5XZ.

• Pernyataan matematika diatas adalah terdiri dari bilangan (3 & 5), variabel (XYZ), suku (+3XYZ, +XY dan -5XZ) dan

faktor (+3,X,Y,Z dan +X,Y dan -5,X,Z

• lambang tersebut (variabel & konstanta) sangat penting untuk membangun model matematika dan akan lebih berarti jika ditata sedemikian rupa menjadi persamaan atau pertidaksamaan.

(12)

• Persamaan adalah suatu pernyataan bahwa dua lambang adalah sama, sedangkan pertidaksamaan suatu pernyataan yang melambangkan bahwa dua lambang adalah tidak sama.

• Persamaan biasa dilambangkan dengan “=“ sedangkan pertidaksamaan biasa dilambangkan dengan simbol

“<“ (lebih kecil), “>” (lebih besar) dan “≠” (tidak sama dengan)

• Dalam matematika ekonomi & bisnis ada 3 macam

persamaan yaitu (1) persamaan definisi, (2) persamaan perilaku, dan (3) kondisi keseimbangan.

(13)

• Persamaan definisi (odentity, =) adalah suatu bentuk persamaan diantara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama. Seperti contoh Penerimaan Total (TR) adalah perkalian antara harga (P) per unit dengan

jumlah barang (Q) yang terjual  TR = P X Q

• Persamaan perilaku (behavioral equation) adalah suatu persamaan yang menunjukkan bahwa perubahan

perilaku suatu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya. Misal, perubahan perilaku pola

konsumsi secara keseluruhan sebagai akibat dari

perubahan pendapatan nasional. Perubahan biaya total perusahaan sebagai akibat dari perubahan dalam

jumlah produksi.  TC = 100 +25Q atau TC = 150 + Q

(14)

• Kondisi Keseimbangan adalah suatu persamaan yang menggambarkan prasyarat untuk mencapai keseimbangan (equilibrium). Misalkan

• Model Kondisi Keseimbangan Pasar: yaitu

persamaan antara barang yang diminta dengan jumlah barang yang ditawarkan atau Qd = Qs.

• Model kondisi keseimbangan pendapatan nasional yaitu persamaan antara jumlah tabungan dengan jumlah investasi S = I

(15)

MATEMATIKA EKONOMI

BAB 3 FUNGSI

(16)

FUNGSI & HUBUNGAN

• Dalam mempelajari fungsi dan hubungan harus memahami tentang konsep himpunan khususnya himpunan pasangan urut (ordered pairs)

• Contoh: ada hubungan diantara variabel X dan variabel Y. Setiap nilai X tertentu yang

berhubungan dengan satu dan hanya satu nilai Y, maka Y dikatakan sebagai fungsi dari X atau Y = f(X) dibaca “Y adalah sama dengan fungsi dari X”.

(17)

FUNGSI & HUBUNGAN

• Fungsi mengharuskan adanya satu nilai Y yang unik

untuk setiap nilai X. Beberapa nilai X bisa dihubungkan dengan nilai Y yang sama. Sebaliknya, beberapa nilai Y tidak bisa dihubungkan dengan nilai X yang sama.

• Fungsi dapat juga disebut pemetaan/transformasi yaitu tindakan yang menghubungkan satu dengan yang

lainnya.

• Y=f(X)  suatu aturan dimana himpunan X

dipetakan/ditransformasikan ke dalam himpunan Y, atau dituliskan menjadi  f:X  Y, dimana tanda panah menyatakan pemetaan dan huruf f

melambangkan aturan dalam pemetaan.

(18)

FUNGSI & HUBUNGAN

• Pernyataan Y = f(X) nilai X disebut sebagai wilayah (domain) dari fungsi, nilai Y disebut sebagai jangkauan/kisaran/rentang (range) fungsi.

• Wilayah dari fungsi bisa merupakan himpunan

bagian dari semua himpunan bilangan nyata,

sedangkan jangkauan dari fungsi merupakan

hasil dari semua nilai X yang diberikan.

(19)

FUNGSI & HUBUNGAN

• Fungsi adalah suatu hubungan dimana setiap elemen dari wilayah (domain) saling

berhubungan dengan satu dan hanya satu elemen dari jangkauan (range).

• Jadi, dapat disimpulkan bahwa suatu fungsi adalah suatu hubungan (relasi), tetapi suatu hubungan belum tentu merupakan suatu

fungsi.

(20)

VARIABEL BEBAS DAN TERIKAT

• Dalam Y=f(X), variabel yang mewakili nilai-nilai domain disebut sebagai variabel bebas

(independent variable), dan variabel yang

mewakili nilai-nilai range disebut variabel terikat (dependent variable).

• Jika P (harga) sebagai variabel bebas dan Q

(barang yang diminta) sebagai variabel terikat, maka Q=f(P).

• Jika Q (barang yang diminta) sebagai variabel

bebas dan P(harga) sebagai variabel terikat, maka P=f(Q). Model ini disebut model simultan.

(21)

SISTEM CORDINAT CARTESIIUS

• Suatu bidang datar jika dibuat sebuah garis lurus vertikal dan horisontal maka akan membentuk bidang koordinat atau bidang cartesian.

• Garis lurus horisontal mewakili mewakili nilai domain atau sumbu absis X.

• Garis lurus vertikal mewakili nilai-nilai range atau sumbu ordinat Y.

• Perpotongan antara sumbu absis X dan sumbu

ordinat Y akan menghasilkan titik (0,0) disebut titik asal atau origin.

• Perpotongan antara sumbu absis X dan sumbu

ordinat Y yang diukur dari titik nol disebut sebagai titik kordinat atau sumbu kordinat

(22)

GAMBAR BIDANG KORDINAT / BIDANG

CARTESIAN DENGAN 4 KUADRAN

(23)

SISTEM CORDINAT CARTESIIUS

• Kuadran I: himpunan pasangan urut dengan nilai positif untuk sumbu X dan Y

• Kuadran II: hubungan pasangan urut dengan nilai positif nilai sumbu Y nilai negatif nilai

sumbu X

• Kuadran III: hubungan pasangan urut dengan nilai negatif sumbu X dan sumbu Y

• Kuadran IV: hubungan pasangan urut dengan nilai negatif nilai sumbu Y dan positif nilai

sumbu X

(24)

FUNGSI DENGAN

SATU VARIABEL BEBAS

• Fungsi dengan satu variabel bebas berarti hanya ada satu variabel bebas yang

mempengaruhi pada satu variabel terikatnya.

• Jenis fungsi yang biasa digunakan dalam ekonomi dan bisnis hanya terbatas pada fungsi polinom (fungsi aljabar), fungsi

eksponen (fungsi non aljabar) dan fungsi logaritma (fungsi non aljabar).

• Bentuk fungsi Polinom

(25)

FUNGSI DENGAN

SATU VARIABEL BEBAS

• Bentuk umum fungsi polinom

• Y = a₀ + a₁ X + a₂ X₂ + . . . + a_n Xⁿ

• Dimana:

• Y = Variabel terikat (dependent)

• X = Variabel bebas (independent)

• a_0,a_1, a_2, . . . a_n= Konstanta

• Konstanta tidak sama dengan nol dan nonnegatif.

Sedangkan n menyatakan pangkat dari variabel X dan merupakan bilangan bulat positif.

(26)

JENIS-JENIS FUNGSI

Fungsi

F.Pangkat F. Polinom

F. Linier F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat

Fungsi rasional Fungsi

irrasional

Fungsi non-aljabar (transenden) Fungsi aljabar

F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik

(27)

FUNGSI DENGAN DUA ATAU LEBIH VARIABEL BEBAS

• Bentuk umum fungsi dari dua atau lebih variabel bebas adalah

• Y = f(X₁, X₂, . . . .X_n)

• Dimana: Y = Variabel Terikat

X = Variabel bebas (i= 1, 2, …, n) n = dua atau lebih

Fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas adalah

fungsi yang menyatakan bahwa terdapat dua atau lebih variabel bebas yang mempengaruhi pada satu variabel terikatnya dan biasa disebut fungsi multivariat.

(28)

MATEMATIKA EKONOMI

BAB 4 FUNGSI LINEAR

(29)

PENDAHULUAN

• Fungsi linear adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas atau

berpangkat satu pada variabel tersebut.

• Pada bab sebelumnya bentuk fungsi polinom dengan satu variabel bebas telah didefinisikan dalam bentuk umum sbb:

• Y = a₀ + a₁ X ₁+ a₂ X₂ + . . . + a_k X^k

• Nilai k diatas adalah 1 maka fungsinya akan menjadi: Y = a₀ + a₁X dimana a₁ ≠ 0.

• Maka fungsi linear dapat dikatakan sebagai turunan dari fungsi polinomial apabila k = 1 dan a₁ ≠ 0.

(30)

KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU

• Bentuk grafik fungsi linear dalam bidang Cartesius adalah berbentuk garis lurus.

Kemiringan pada setiap titik yang terletak

pada garis lurus tersebut nilainya sama yang

ditunjukkan dengan nilai a1 yaitu mengukur

nilai perubahan variabel terikat (Y) sebagai

akibat dari perubahan variabel bebas (X)

sebesar 1 unit.

(31)

KEMIRINGAN/SLOPE

• Kemiringan/slope dari fungsi linear dengan satu variabel X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (Y) dibagi dengan perubahan

dalam variabel bebas (X) dan biasanya dilambangkan dengan huruf “m”

• Kemiringan = m = ∆Y/∆X atau Y₂ – Y₁ /X₂ – X₁

• Contoh: Y = 15 – 2X, kemiringannya adalah -2.

Artinya untuk kenaikan setiap satu unit variabel X akan menurunkan 2 unit variabel Y sebaliknya,

penurunan setiap satu unit variabel X akan menaikan 2 unit variabel Y.

(32)

CONTOH KEMIRINGAN/SLOPE POSITIF

a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0

b: lereng garis, yakni pada x = 0,

pada x = 1, pada x = 2,

lereng fungsi linear selalu konstan

a

1 2 3 4 5 x

y

∆x ∆y=b

b b

b

(33)

EMPAT MACAM KEMIRINGAN GARIS LURUS

(34)

BENTUK UMUM FUNGSI LINEAR

• Fungsi linear yang mencakup satu variabel bebas mempunyai bentuk umum sbb:

• Y = a₀ + a₁X, dimana a₁tidak sama dengan nol

• Bentuk ini disebut kemiringan titik potong (slope-intercept) atau bentuk eksplisit.

• Dalam fungsi linear nilai kemiringannya adalah a₁ dan titik potong sumbu Y nya adalah (0, a₀).

• Sebagai contoh, Y = 5 + 3X, maka nilai

kemiringannya adalah 3 dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,5).

(35)

BENTUK UMUM FUNGSI LINEAR

• Fungsi linear dapat juga berbentuk implisit, yaitu kedua varibael berada di ruas kiri sementara di ruas kanan terdapat nilai nol. Contohnya sebagai berikut:

• AX + BY + C = 0

• Kemiringannya adalah –A/B dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,B)

• Contoh 4X + 5Y – 20 = 0, maka nilai

kemiringannya adalah -4/5 = -0,8 dan titik potong sumbu Y nya adalah (0,5)

(36)

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

• Pada prinsipnya persamaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsur. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya, atau

koordinat titik- titik yang memenuhi persamaannya.

• Empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear

1. cara dwi- koordinat 2. cara koordinat- lereng 3. cara penggal- lereng 4. cara dwi- penggal

(37)

Cara Dwi- Koordinat

• Apabila diketahui dua buah titik A dan B

dengan koordinat masing- masing (x

₁

, y

₁

) dan (x

₂

, y

₂

), maka rumus persamaan linearnya

adalah:

1 2

1

y y



=

1 2

1

x x



y

0 x

A (x₁, y₁)

B (x₂, y₂)

(38)

CONTOH KASUS DWI KUADRAT

Diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan linearnya adalah:

Y1 = 3 X1 = 2

Y2 = 5 X2 = 6

1 2

1

y y



1 2

1

x x



= 

Y – 3 x – 2 --- = ---

5 – 3 6 – 2 Y – 3 x – 2 --- = ---

2 4

4y – 12 = 2x – 4 4y = 2x + 8

y = 2 + 0,5x

(39)

Cara Koordinat- Lereng

 Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x

₁

, y

₁

) dan

lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya

adalah:

b = lereng garis

y – y

₁

= b (x – x

₁

)

(40)

CONTOH KASUS KORDINAT LERENG Diketahui bahwa titik A (2,3) da lereng

garisnya adalah 0,5, maka persamaan linear yang memenuhi kedua data ini adalah

y – y1 = b(x – x1) y – 3 = 0,5(x – 2)

y – 3 = 0,5x – 1  y = 2 + 0,5x

(41)

Cara Penggal- Lereng

• Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi

persamaan tersebut.

• y = a + bx

(a= penggal, b= lereng)

(42)

CONTOH KASUS LERENG PENGGAL

Diketahui bahwa nilai penggal dan lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka permasaan linearnya adalah

y = a + bx  Y = 2 + 0,5x

(43)

Cara Dwi-Penggal

• Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu,

o penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0)

o penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0).

• Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah :

c x a a

y  

a = penggal vertikal c = penggal horizontal

y

x

0

A P

b

B

c

1 2 3 4 5 6

1 a

2

(44)

CONTOH KASUS DWI-PENGGAL

• Diketahui penggal pada garis sumbu vertikal

dan sumbu horizontal masing-masing adalah 2 dan -4. Persamaan linearnya adalah sebagai

berikut:

•  

c x a a

y  

2

y = 2 – --- x (-4)

y = 2 + 0,5x

(45)

• Garis lurus dari persamaan linear yang dibentuk berdasarkan keempat cara diatas tadi dapat