KOMISI, DISKON, PAJAK, RASIO DAN PROPORSI
A. Komisi
Komisi adalah pendapatan yang diperoleh berdasarkan tingkat penjualan yang dilakukan. Komisi biasanya dihitung sebagai presentasi dari nilai penjualan
Komisi (K) = Penjualan (J) x prosentasi komisi (r)
Contoh :
Jika nilai penjualan sebesar Rp 100.000,- atas dasar komisi 7% maka komisi yang diperoleh adalah
K = J x R
= Rp 100.000 x 7% = Rp 100.000,-x (7/100) = Rp
7.000,-Seringkali juga penjual menerima upah tetap ditambah dengan komisi. Dalam beberapa kasus seorAng penjual (konsumen) biasanya diharuskan memilih bekerja berdasarkan dasar komisi atau berdasarkan upah tetapi namun dengan ditambah komisi yang lebih kecil daripada di atas. Kedua pilihan tersebut harus dipertimbangkan mana yang lebih menguntungkan. Untuk menghitung Nilai Upah yang ditambah dengan komisi tertentu adalah:
Upah (U) = Penjualan (J) x prosentasi komisi ( r ) + Upah Tetap
Contoh :
Seseorang harus memutuskan pilihan untuk mendapatkan upah berdasarkan komisi penuh (12%) atau dengan berdasarkan upah tetap Rp 80.000,-/bulan ditambah dengan komisi 5% dari hasil penjualan. Misalkan penjualan rata-rata tiap bulan Rp 1.500.000,-. Mana yang dipilih oleh orang tersebut agar memperoleh pendapatan yang lebih banyak?
1. Jika dia memilih berdasarkan komisi penuh (12%), pendapatan yang diperoleh adalah:
K = J x r
= Rp 1.500.000,- x 12%
= Rp 1.500.000,- x (12/100) = Rp
180.000,-2. Jika dia memilih berdasarkan upah tetap ditambah dengan komisi (5%), maka pendapatan yang diperoleh adalah:
U = (J x r) + Upah Tetap
= Rp 75.000 + Rp 80.000,-= Rp
155.000,-B. Diskon
Diskon adalah suatu cara yang di lakukan pengelola usaha untuk menarik para konsumen (pembeli) dalam membeli barangnya dengan cara memberikan potongan (diskon). Pemberian potongan dengan mengunakan sejumlah presentase tertentu di sebut juga dengan reduksi harga atau dikenal sebagai potongan (discount).
Diskon=
harga sebelum−harga sesudah
harga sebel um
Suku Potongan=
Potongan
(
p)
Harga Daftar
(
D)
Contoh:
Seseorang membeli baju seharga Rp 50.000,- dan setelah mendapat potongan dia hanya membayar sebesar Rp 35.000,- Berapakah besar potongan yang diperolehnya ?
D =harga sebelum - harga sesudah
D =Rp 50.000,- - Rp 35.000,- = Rp
15.000,-Maka besar potongan (diskon)nya adalah
15.000
50.000
X
100
=
30
C. Pajak Penjualan
Pajak penjualan adalah pertambahan persentase kepada harga penjualan barang yang dikenakan kepada harga eceran. Dasar perhitungan pajak penjualan dikenakan pada saat penyerahan barang, pemaukan barang atau harga jual impor. Dalam pajak penjualan, berlaku tarif yaitu tariff pajak dengan persentase yang tetap.
Pajak Penjualan = Harga Eceran – Harga Jual
Contoh 1:
Sejenis coklat dikenakan pajak 20%. Berapa harga jual atas sejenis coklat yang diecer Rp 530,- jika pajak ditiadakan:
Misalkan harga jual = x
Harga eceran Rp 530,- = Harga jual (x) + 20% dari x Rp 530,- = x + 0,20x
Rp 530 = 1,20 x Rp 530/1,2 = x x = Rp 441,7
Contoh 2: Setiap kendaraan yang diimpor ke Indonesia dikenakan bea masuk 57,5% sedangkan pajak penjualan 20%.
a. Berapa harga eceran sebuah Toyota buatan jepang yang di daerah pabean Indonesia seharga Rp 12.500.000,- jika Importir menghendaki laba 25%.
b. Hitung persentase total kenaikan harga. Jawab:
a. Bea masuk = Harga Pabean x % bea masuk
= Rp 12.500.000,- x 57,5 % = Rp
Biaya Import = Rp 12.500.000,- + Rp 7.187.500,-= Rp
19.687.500,-20% pajak penjualan terhadap biaya import: = Biaya Total x suku pajak penjualan = Rp 19.687.500,- x 20%
= Rp 3.937.500,-Biaya Total Import:
= Biaya Import + Pajak Penjualan = Rp 19.687.500,- + Rp 3.937.500,-= Rp
23.626.000,-Dengan mengharapkan laba 25% terhadap biaya total = Biaya Total x suku laba
= Rp 23.625.000,- x 25% = Rp 5.096.250
Harga Eceran = Biaya Total + laba
= Rp 23.625.000,- + Rp 5.096.250,-= Rp
29.531.750,-b. Persentase total kenaikan harga kendaraan adalah:
Persentase kenaikan = (Harga Eceran – Harga Awal) / Harga Awal
= (Rp 29.531.750,- - Rp ) / Rp = Rp 17.031.750,- / Rp
12.500.000,-= 136,25% D. Rasio
Hubungan antar dua bilangan dapat dijelaskan dengan pernyataan rasio.Misalnya, sebuah SMU mempunyai guru sebanyak 40 orang dengan siswa 720 orang; Sebuah SMK mempunyai guru sebanyak 36 orang dengan siswa 504 orang; Sebuah MA mempunyai guru sebanyak 32 orang dengan siswa sebanyak 480 orang. Suku rasio jumlah guru terhadap jumlah murid, berturut-turut:
Di SMU =
720
40
= 1 orang guru : 18 orang siswa
Di SMK =
504
36
Di MA =
32
480
= 1 orang guru : 15 orang siswaApa manfaatnya pernyataan angka rasio ini ? Dalam contoh rasio jumlah guru terhadap jumlah siswa di atas, kita akan dapat menaksir dengan cepat banyaknya guru jika diketahui jumlah siswa. Selain itu, di dalam proyeksi, kita dapat memperoleh segera keperluan guru, jika proyeksi siswa diketahui. Angka rasio lebih mudah dimengerti jika dinyatakan dalam bentuk pecahan, daripada bentuk desimal.
Rasio juga banyak dipakai, misalnya:
Besar keluarga : 2 anak / keluarga
Pemakaian bensin kendaraan : 12 km/ liter
a) Rasio tunggal
Rasio 1:2 berarti sama sebagai pecahan ½ dan rasio berarti sama dengan pecahan ¾. Secara umum a:b berati sama seperti a/b.Pecahan dapat di artikan sebagai rasio yang menjelaskan hubungan antara kuantitas yang sejenis yang di nyatakan dalam satuan yang sama. Oleh karena itu pecahan adalah rasio, maka rasio tidak berubah harga jika kedua bilangan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, misalnya:
10 : 12 = 20 : 24 = 5 : 6 = 40 : 48 dsb
Contoh 1:
Tentukan rasio gr terhadap kg. 1 kg = 1000gr
rasio 1/1000 =1:1000
contoh 2:
Sebuah toko menaikkan harga barang-barang dalam rasio 5:4. Tentukan: Harga baru atas barang yang semula seharga Rp
800,-Harga semula atas barang yang baru Rp
2000,-a. Harga baru =Rp. 800,- x (5/4) = Rp .1000
b. Harga baru =Harga lama x (5/4)
4/5 x harga = harga lama
4/5 x Rp 2000,- = harga lama
Rp 1600,- = harga lama
Harga semula = Rp
1.600,-b) Rasio majemuk
Jika kita mengalikan serentak dua atau lebih terhadap rasio yang terpisah,kita peroleh rasio majemuk. Sebagai contoh x : y dikalikan dengan a : b sama dengan
x
y
.a
b
=x
.
a
Contoh:
Sebuah mengalikan harga beberapa barangnya dalam rasio 5:2, sebulan kemudian diadakan penjualan obral dengan menurunkan dalam rasio 3:4.
Tentukan:
Harga jual barang yang semula seharga Rp
20.000,-Harga semula barang yang di tawarkan pada obral Rp 35.000,-Jawab:
Rasio harga semula terhadap modal
=5/2 x ¾ =15/8 atau 15:8
Harga obral yang semula Rp 20.000,-=Rp 20.000 x 15/8 20.000,-=Rp 37.500,-Harga semula x 15/ 8 =harga obral Harga semula =harga obral x 8/15
=Rp 35.000 X 8/15 =Rp 65.625,-E. Proporsi
Proposi adalah merupakan suatu pernyataan antara dua rasio yang sama, misalnya 2:7 = 6:21. Proporsi juga menyatakan perbandingan sebagian terhadap keseluruhan biasanya di pakai dalam bentuk pecahan.
a) Proporsi yang menunjukan dua rasio yang sama Contoh
Jika dalam UAN di suatu SMK, biasanya yang gagal ujian sebanyak 5 orang siswa tiap 100 orang. Berapa yang gagal ujian UAN jika jumlah mahasiswa yang mengikuti ujian sebanyak 340 orang ?
Misalnya jumlah siswa yang gagal =x.jadi,dalam proporsi di tulis sebagai 5:100 = x:340
5/100 = x/340 Diperoleh :
100 . x = 5 x 340 =1700
x =1700/100 = 17
Jadi siswa yang gagal UAN sebanyak 17 orang siswa.
b) Proposi yang dinyatakan sebagai bandingan sebagian terhadap keseluruhan.
Proposri digunakan juga untuk menunjukkan hubungan antara sebagian terhadap keseluruhan, biasanya disajikan dalam bentuk pecahan. Sebagai contoh, dalam sebuah kompetisi sepakbola: dari seluruh keuntungan yang diperoleh 4/9 untuk pemain, 3/9 untuk sponsor dan 2/9 untuk panitia (yakni 4/9 + 3/9 + 2/9 = 9/9 = 1). Pembagian laba atau rugi pada sebuah persekutuan dilakukan dalam berbagai cara, di antaranya sebagai berikut:
3) Pembagian dengan memperhitungkan bunga modal dan jasa kerja, dengan sisanya dibagi menurut persetujuan.
APLIKASI FUNGSI MATEMATIKA DALAM EKONOMI
fungsi linear dalam teori ekonomi makro antara lain dalam fungsi konsumsi, fungsi tabungan, fungsi pajak, fungsi investasi, fungsi impor dan pendapatan nasional.
G.
A. Fungsi dan Kurva Permintaan
H. Dalam ilmu ekonomi diketahui bahwa permintaan adalah berbagai jumlah barang yang diminta pada berbagai tingkatan harga. Hukum permintaan berbunyi: jika harga barang naik maka jumlah yang diminta akan berkurang, dan sebaliknya jika harga barang turun, maka jumlah yang diminta akan bertambah.
Y (harga)
y2
y0
y1 D
x2 x0 x1 X (jumlah atau kuantitas)
I. Fungsi permintaan adalah hubungan antara variable yang mempengaruhi jumlah yang diminta yaitu harga (variabel bebas) dengan variabel jumlah yang diminta (variabel tidak bebas).
J.
K. 1. Fungsi dan Kurva Permintaan Linier
L. Di dalam kasus permintaan, maka gradien kurva adalah negatif di mana harga meningkat, kuantitas yang diminta akan menurun, dan saat harga menurun kuantitas yang diminta meningkat.
M.Kurvanya: Y
X
N. Bentuk umum fungsi permintaan: y = -mx + n
O. Kurva permintaan umumnya bergerak dari kiri atas ke kanan bawah dan variabel kuantitas maupun harga selalu bernilai positif (kuadran I)
P.
B. Fungsi dan Kurva Penawaran
Q. Hukum penawaran: Jika harga naik, maka jumlah yang ditawarkan akan naik, dan sebaliknya jika harga turun, maka jumlah yang ditawarkan akan turun.
R. Fungsi penawaran adalah hubungan antara variabel yang menentukan jumlah yang ditawarkan yaitu harga (variabel bebas) dengan variabel jumlah (komoditi) yang ditawarkan (variabel tidak bebas)
Y (harga)
y0
y2
X (kuantitas)
x2 x0 x1
Fungsi dan Kurva Penawaran Linier Bentuk umum fungsi: Y=mx+n
Kurva penawaran umumnya mempunyai karakteristik dari kiri bawah ke kanan atas di mana variabel-variabel kuantitas maupun harga sellau bernilai positif (kuadran I).
C. Keseimbangan Pasar
Harga pasar adalah harga yang terjadi pada titik keseimbangan pasar yaitu titik pertemuan antara permintaan dan penawaran. Oleh karena itu titik keseimbangan pasar (market equilibrium) ditentukan oleh titik perpotongan antara kurva permintaan dan kurva penawaran. Dengan kata lain keseimbangan pasar terjadi pada titik (harga) dimana kuantitas suatu barang/komoditi yang diminta sama dengan kuantitas yang ditawarkan.
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh kesamaan Qd=Qs, yakni pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada
posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan jumlah keseimbangan (equilibrium quantity).
Y
D S
y1
yE E
y2
x1 xE x2 X
0
Jika harga barang lebih kecil dari pada harga keseimbangan, maka jumlah barang yang diminta lebih besar daripada jumlah keseimbangan atau jika y2<YE maka x2 > xE. Sebaliknya, jika harga barang lebih tinggi daripada harga keseimbangan, maka barang yang diminta lebih kecil daripada jumlah keseimbangan, atau jika y1>YE maka x1<XE.
D. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada konsumen, yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Akibatnya harga keseimbangan yang tercipta di pasar menjadi lebih tinggi daripada harga keseimbangan sebelum pajak, di lain pihak jumlah keseimbangannya menjadi lebih sedikit. Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar (lebih tinggi) pada sumbu harga. Jika sebelum pajak, persamaan penawarannya Y=a+bX, maka sesudah pajak ia akan menjadi Y=a+bX+t =(a+t) + bX. Dengan kurva penawaran yang lebih tinggi, ceteris paribus, titik keseimbangan pun akan bergeser menjadi lebih tinggi.
E. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi yang diberikan atas produksi / penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih murah. Akibatnya harga keseimbangan yang tercipta di pasar lebih rendah daripada harga keseimbangan sebelum atau tanpa subsidi, dan jumlah keseimbangannya menjadi lebih banyak.
Dengan subsidi spesifik sebesar s kurva penawaran bergeser sejajar ke bawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada sumbu harga. Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya Y=a+bX maka sesudah subsidi ia akan menjadi Y’ = a + bX –s = (a-s) + bX. Dengan kurva penawaran yang lebih rendah, ceteris paribus, titik keseimbangan pun akan bergeser menjadi lebih rendah.
F. Fungsi Biaya
Biaya total (total cost) yang dikeluatkan oelh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (Fixed Cost/FC) dan biaya variabel (Variabel Cost/VC).
Sedangkan biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan (output). Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya variabelnya. Secara matematik, biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan, kurvanya berupa sebuah garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.
G. Fungsi Penerimaan
Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan. Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual semakin besar pula penerimaannya. Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. Secara matematik, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.
R= Q x P = f (Q)
H. Analisis Titik Impas (Break Event Point/BEP)
Penerimaan dan biaya merupakan variabel-variabel penting untuk mengetahui kondisi bisnis suatu perusahaan. Dengan mengetahui penerimaan total R yang diperoleh dan biaya total C yang dikeluarkan, maka dapat dianalisis apakah perusahaan mendapat keuntungan atau mengalami kerugian.
Keuntungan (profit positif, p >0) akan didapat apabila R>C, secara grafik hal ini terlihat pada area dimana kurva R terletak di atas kurva C.
Kerugian (profit negatif, p<0) akan dialami apabila R < C, secara grafik hal ini terlihat pada area dimana kurva R terletak di bawah kurva C.
Konsep ‘pulang pokok’ (break even) adalah suatu konsep yang digunakn untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, p=0) terjadi apabila R=C; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini dapat ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.
LINIER PROGGRAMMING DALAM EKONOMI
1) Pengertian Programa linier
biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier.
2) Formulasi Model LP
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumberdaya yang langka. Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumberdaya itu. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimisasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimisasi seperti pada biaya, waktu dan jarak
Setelah masalah dildentifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematika yang meliputi tiga tahap seperti berikut:
1. Tentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematika.
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan.
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam per-samaan atau pertidakper-samaan yang juga merupakan hubungan linier dan variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu.
Hampir semua aplikasi LP memiliki kendala nonnegatif. Tetapi, prosedur solusi LP dapat menangani nilai variabel negatif, jika karena beberapa alasan masalah itu menghendakinya dan modelnya dirumuskan dengan tepat. Nilai variabel negatif sering terjadi jika variabel itu merupakan suatu “tingkat” seperti tingkat pertumbuhan dan tingkat inflasi yang dapat naik atau turun. Penurunannya ditunjukkan oleh nilai negatif. Mungkin timbul pertanyaan mengapa kendala dituliskan sebagai pertidaksamaan (≤) dan bukan persamaan (=). Persamaan secara tak langsung mengatakan bahwa seluruh kapasitas produksi digunakan, sementara pertidaksamaan memperbolehkan penggunaan kapasitas secara penuh maupun penggunaan sebagian kapasitas. Dalam beberapa kasus suatu solusi dengan mengizinkan adanya kapasitas produksi yang tak terpakai akan memberikan solusi yang lebih baik, yang berarti keuntungan Iebih besar, daripada solusi yang membutuhkan penggunaan semua sumberdaya. Jadi, pertidaksamaan menunjukkan adanya keluwesan.
3) Bentuk Umum Model LP
Membentuk suatu model matematika dari dunia nyata Bentuk umum model LP itu adalah
Maksimumkan (minimumkan)
Z
=
∑
j=1 nCj Xi
)dengan syarat: aij xj (≤, = , ≥ _)bi, untuk semua i(i =1, 2,... m) semua xj≥ 0 Keterangan:
Xj : banyaknya kegiatan j, di mana j = 1, 2,... n. berarti di sini terdapat n variabel keputusan.
Z : nilai fungsi tujuan
Cj : sumbangan per unit kegiatan j, untuk masalah maksimisasi cj menunjukkan
keuntungan atau penerimaan per unit, sementara dalam kasus minimisasi ia menunjukkan biaya per unit.
bi : jumlah sumberdaya 1(1 = 1, 2,..., m), berarti terdapat m jenis sumberdaya. a,3: banyaknya sumberdaya i yang dikonsumsi sumberdaya j.
Ingat bahwa tanda pertidaksamaan tidak perlu sama untuk setiap kendala.
Agar diperhatikan bahwa “harga” suatu kegiatan tak dapat hanya dinilai berdasarkan koefisien fungsi tujuan cj, konsumsi sumberdaya dan kegiatan yang bersangkutan juga merupakan faktor penting. Karena semua kegiatan dalam model saling berebut akan sumberdaya yang terbatas, sehingga sumbangan relatif dan setiap kegiatan tergantung baik pada koefisien fungsi tujuan cj maupun konsumsinya terhadap sumberdaya aij. ini berarti suatu kegiatan dengan keuntungan per unit yang tinggi mungkin tak jadi dijalankan karena penggunaannya akan sumberdaya langka yang berlebihan.
4) Asumsi Model LP
Model LP mengandung asumsi-asumsi implisit tertentu yang harus dipenuhi agar definisinya sebagai suatu masalah LP menjadi absah. Asumsi itu menuntut bahwa hubungan fungsional dalam masalah itu adalah linier dan aditif, dapat dibagi dan deterministik Berikut ini akan diterangkan lebih rinci
a) Linierity dan Additivity
Syarat utama dan LP adalah bahwa fungsi tujuan dan semua kendala harus linier. Dengan kata lain, jika suatu kendala melibatkan dua variabel keputusan, dalam diagram dimensi dua ia akan berupa suatu garis lurus. Begitu juga, suàtu kendala yang melibatkan tiga variabel akan menghasilkan suatu bidang datar dan kendala yang melibatkan n variabel akan menghasilkan hyperplane (bentuk geometris yang rata) dalam ruang berdimensi n.
LP juga mensyaratkan bahwa jumlah variabel kriteria dan jumlah penggunaan sumberdaya harus bersifat aditif. Contohnya, keuntungan total Z, yang merupakan variabel kriteria, sama dengan jumlah keuntungan yang diperoleh dan masing-masing kegiatan, cixj. Juga, seluruh sumberdaya yang digunakan untuk semua kegiatan, harus sama dengan jumlah sumberdaya yang digunakan untuk masing-masing kegiatan
b) Divisibility
Asumsi ini berarti bahwa nilai solusi yang diperoleh, Xj,, tidak harus berupa bilangan bulat. ini berarti nilal Xj dapat terjadi pada nilal pecah manapun. Karena itu variabel keputusan merupakan vaniabel kontinu, sebagai lawan dan variabel diskrit atau bilangan bulat.
Pada contoh masalah kombinasi produk, akan tidak masuk akal jika harus memproduksi produk 1 (katakan kapal), misalnya saja sebanyak 2,75. Akibatnya, jika nilal-nilal bulat mutlak diperlukan suatu model LP alternatif, yaitu Integer Programming harus digunakan.
c) Deterministic
Dalam LP, semua parameter model (cij, aij, dan bij) diasumsikan diketahui konstan. LP secara tak langsung mengasumsikan suatu masalah keputusan dalam suatu kerangka statis di mana semua parameter diketahui dengan kepastian. Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministik, karena mereka mencerminkan kondisi masa depan maupun sekarang, dan keadaan masa depan jarang diketahui dengan pasti.
Ada beberapa cara untuk mengatasi ketidakpastian parameter dalam model LP. Analisis sensitivitas adalah suatu teknik yang dikembangkan untuk menguji nilai solusi, bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter.
5) Kasus Khusus Model LP a) Solusi Optimum Berganda
Solusi optimum berganda akan terjadi dalam suatu masalah LP jika fungsi tujuan terletak pada lebih dari satu titik optimum. Situasi ini terjadi jika kemiringan fungsi tujuan dan salah satu persamaan kendala adalah sama. Masalah berikut ini memberikan solusi optimal berganda yang ditunjukkan dengan grafik pada Gambar 7.4.
Maksimumkan Z = 4X1 + 4X2
dengan syarat: X1 + 2X2 ≤ 10
6X1+6X2 ≤ 36 X1 ≤ 4
X1 + X2 ≥ 0
b) Masalah Tak Layak
sini tak ada ruang solusi yang Iayak. Sehingga fungsi tujuan tidak melewati satu titik pun yang memenuhi ketiga kendala.
c) Masalah Tak Terbatas
Dalam beberapa masalah ruang solusi yang layak dibentuk oleh kendala-kendala yang tidak dibatasi dalam suatu batas yang tertutup. Dalam hal ini, fungsi tujuan dapat meningkat tak terbatas tanpa pernah mencapai batas maksimumnya karena tak pernah mencapai batas kendala.
Karena masalah ini menghasilkan nilai fungsi tujuan yang dapat meningkat tanpa batas, maka jelàs bahwa masalah ini tidak realistik. Masalah maksimisasi yang realistik memiliki keterbatasan sumberdaya yang mengakibatkan nilai fungsi tujuan besar tak terhingga adalah tak mungkin. jadi masalah maksimisasi tak terbatas akan terjadi hanya jika terisi kesalahan dalam perumusan model LP atau jika suatu kendala tetap dihilangkan karena kurang hati-hati. Ingat, dalam masalah minimisasi, jika semua variabel dibatasi pada nilai-nilal nonnegatif, solusinya akan terjadi pada titik asal.
Variabel Keputusan
Masalah ini terdiri dan tiga variabel yang menunjukkan jumlah masing-masing jenis makanan yang ditempatkan dalam menu, yaitu
X1 = jumlah sayur
X2 = jumlah daging
X3 = jumlah susu
Fungsi Tujuan
Tujuan masalah ini adalah meminimumkan biaya total menu per hari. Biaya total dalam konteks ini adalah jumlah biaya dari masing-masing jenis makanan yang disajikan dalam menu.
Sistem Kendala
NILAI WAKTU PADA UANG.
A. Nilai Waktu dari Uang (Time Value of Money)
Dalam kegiatan investasi, pengertian bunga uang sangat penting. Bunga jika dilihat dari sisi perusahaan ataupun individu dapat dipandang sebagai biaya atas sewa uang. Sebagai contoh, apabila seseorang memiliki sejumlah uang tertentu dan uang tersebut digunakan sebagai modal usaha, maka orang tersebut memiliki keinginan agar usaha tersebut dapat memberikan keuntungan baginya. Dengan demikian ‘penyewaan’ uang yang digunakan untuk usaha tersebut dapat memberikan ‘ biaya sewa’.
Jika seseorang memiliki sejumlah uang sebesar Rp 1.000.000,- dan disimpan di tabanas dengan suku bunga 12% setahun, maka setelah 5 tahun uang tersebut akan menjadi Rp 2.488.000,-. Tetapi, apabila tingkat bunga adalah 12% per tahun dan disimpan selama 7 tahun, maka uang tersebut akan menjadi Rp 2.211.000,-. Dari contoh tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa nilai sejumlah uang akan dipengaruhi oleh tingkat bunga dan periode waktu. Dengan demikian nilai Rp 1.000.000,- pada saat ini tidak sama dengan nilai Rp 1.000.000,- pada saat yang akan datang. Hal ini dikenal dengan konsep nilai waktu dari uang.
1. Bunga Tunggal
Bunga tunggal yaitu bunga yang diterima hanya atas modal saja. Bunga tunggal atau suku bunga “tetap” digunakan untuk pinjaman jangka pendek (misalkan pinjaman pribadi). Dengan menyebut jumlah modal (principil) yang dipinjamkan P, suku bunga dinyatakan sebagai presentasi R, dan jangka waktu (time) pinjaman (T) , maka bunga (interest) secara matematika dapat didefinisikan sebagai:
Jumlah bunga = Modal x Suku Bunga x Waktu
I = P.i.n Contoh :
Seorang pedagang kecil meminjam uang sebesar Rp 100.000,- untuk masa 3 bulan dengan suku bunga 6% pertahun. Berapa banyak bunga yang harus dibayarnya? P = Rp
100.000,-I = 6% = 0,06 n = 3/12 = ¼ Diperoleh,
I = P x i x n
=100.000 x
100
6
Jumlah semua uang yang harus dibayar pada akhir periode waktu dinamakan jumlah. Pada bunga tunggal, jumlah ini biasanya ditandai dengan F, jadi dapat ditentukan dengan formula.
F = P + I
Untuk contoh di atas, jumlah yang harus dibayar oleh koperasi pada akhir bulan ketiga adalah:
F = Rp 100.000,- + Rp 1.500,- = Rp
101.500,-Jumlah pada bunga tunggal dapat dipeoleh langsung dengan menggabungkan kedua rumus di atas.
F = P + I = P + Pin
Bentuk umum yang digunakan untuk mencari jumlah yang dibayar pada bunga tunggal adalah:
F = P (1 + in)
Untuk contoh di atas, jumlah dapat ditemukan sebagai berikut:
F = P (1+ in)
= 100.000 [1 + (0,06)(1/4)] = 100.000 (1,015)
=101.500
Bunga tunggal digunakan untuk pinjaman jangka pendek, dinamakan waktu dapat dinyatakan dalam hari, bulan atau tahun. Biasanya, bilangan hari dalam setahun digunakan sebagai dasar perhitungan 360 atau 365, harus dinyatakan dalam perjanjian. Dalam satu tahun, terdiri dari 12 bulan, masing-masing 30 hari atau total 360 hari dalam hal 30 hari sinonim dengan satu bulan. Dalam prakteknya kecuali dikatakan lain, dipakai dasar 365 hari dalam setahun. Angka dasar ini digunakan sebagai dasar perhitungan.
Sekarang (P) Nanti (F)
F = P (1 + in)
Modal Jumlah
2. Bunga Majemuk
Dalam persoalan bunga majemuk atau bunga berbunga (compound interest), nilai bunga yang dihasilkan pada akhir setiap periode ditambahkan kembali pada pokok pinjaman semula. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada contoh berikut:
Jika sejumlah uang sebesar Rp 1.000,- disimpan dengan tingkat bunga sebesar 5% setahun, maka pada akhir tahun ketiga nilai uang tersebut menjadi,
Tahun Jumlah uang yang Bunga ( 5% ) Jumlah uang Ke disimpan pada selama thn pada akhir Awal thn . ybs ybs. Thn ybs
1 Rp 1000,00 0,05 x Rp 1000 = Rp 50 Rp 1050,00 2 Rp 1050,00 0,05x Rp 1050 = Rp 52,50 Rp 1102,50 3 Rp 1102,50 0,05 x Rp 1102,50 = Rp 55,10 Rp 1157,60
Untuk medapatkan formualsi secara umum, maka misalkan P adalah jumlah uang yang disimpan pada saat awal, i adalah tingkat bunga per satuan waktu, sehingga jumlah nilai uang pada akhir periode, adalah:
F = P (1 + i)n Dengan
F = Nilai uang pada akhir periode penelaahan
P = Nilai awal
i = Tingkat bunga per periode
n = Lamanya periode penelaahan
Contoh 2:
Nilai uang yang disimpan pada awal tahun Rp 1000,00 . Tingkat bunga 5% pertahun Lama penyimpanan 3 tahun. Tentukanlah uang yang akan diterima setelah 3 tahun.
P =Rp 1000,00 i = 5% n = 3
Nilai uang pada akhir tahun ke 3 adalah:
F = 1000 ( 1+ 0,05 )
3
= 1000(1,158) = Rp 1158,00 atau dengan menggunakan table bunga
F = P (
F
P ,i %,n )
F = 1000 (
F
P , 5 , 3 )
F = I000 (1,1576 ) F = Rp 1158,00
3. Nilai Sekarang (Present Value)
P = F (1 + i )-n Contoh :
Berapakah modal yang digunakan untuk mendapatkan sejumlah uang Rp 1158,00 dalam waktu 3 tahun dengan suku bunga 5% per tahun
Jawab :
P = 1158( 1 + 0,05) −3 = 1158(0,8638) = Rp 1000,00
Atau dengan menggunakan table bunga
P = F (
P
F , i %, n )
P = 1158 (
P
F , 5 , 3 ) P = 1158 (O,86384 ) P = Rp 1000,00
4. Pembayaran Uniform ( Uniform Series Payment )
Apabila pada setiap periode dilakukan pembayaran dengan jumlah yang sama untuk setiap periode (A), maka nilai uang pada akhir periode penelaahan dengan tingkat suku bunga i dan dalam waktu n periode adalah:
i i A F n 1 1
1 1 n i i F AKasus ini misalkan untuk cicilan rumah, kredit mobil, dsb. Contoh lengkapnya pada latihan soal.
5. Penerimaan Teratur (Capital recovery)
Apabila pada saat awal disimpan uang sejumlah P, dengan tingkat suku bunga i dan lamanya n periode, maka penerimaan pada setiap periodenya adalah:
A=
P
(
i
(
1
+i
)
n
(
1
+i
)
n−
1
)
Contoh kasusnya, jumlah asuransi yang diterima secara periodik setelah melakukan pembayaran premi sebelumnya. Contoh lengkapnya pada latihan soal.
6. Nilai Sekarang Pembayaran Uniform
n ni
i
i
A
P
1
1
1
Perhitungan nilai P, F dan A di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan tabel bunga dengan rumus perhitungan sebagai berikut:
PERUMUSAN TABEL BUNGA
1. 1.
PembayaranTunggal Bunga Majemuk (Compound Amount Faktor)
F=
P
1
I
n F=P(F/P,i,n)2. Pembayaran Tunggal Nilai
Sekarang (Present Value Factor) P=F
n
I
1
P=F(P/F,i,n)3 Pembayaran Uniform (Series
Compound Amount Factor)
i i A F n 1
1 F=A(F/A,i ,n)
4 Simpanan Teratur (Sinking Fund
Factor)
1
1
i
ni
F
A
A=F(A/F,i,n)5 Penerimaan Teratur (Capital
Recoverry Factor)
A
=
P
(
i
(
1
+
i
)
n
(
1
+
i
)
n−
1
)
A=P(A/P,i,n)
6 Nilai Sekarang Pembayaran
Uniform (Series Present Value)
n ni
i
i
A
P
1
1
1
P=A(P/A,i,n)7 Gradient Present Value
1
1
1
1
))
1
((
1
ni
i
G
