S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)

S1- MATEMATIKA I

BAHAN 6



LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS)

Bahan 6.1.

LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS)

A. BARISAN (SEQUENCES) VS.

LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh :

Sequence :

f(n) = 2 + 1/10n _{→ 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, …, 2 + 1/10}n

maka :

Limit dari fungsi f(x) = x2_,

dimana variabel x bergerak diatas sequence itu menuju 2 atau x→2, sehingga f(x) = x2 _{menuju 4, yaitu :}

4,41, 4,0401, 4,004001, …, {(2 + 1/10n₎2 _{= 4} pada x menjadi 2}

untuk x = 2 + 1/10n _{dengan n→∞}

jadi 2 4

2

lim





x x

B. LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) : DEFINISI & PEMBUKTIANNYA,

1. Definisi

A x

f a x





) (

lim

→ apabila untuk setiap bilangan positif  sekecil apapun, maka dapat diperoleh bilangan positif  (besarnya tergantung

)

sehingga f(x)A  jika 0 < xa < , berarti :

Jadi x→a (variabel x bergerak menuju dan hanya dekat ke titik atau angka a di atas sequence), maka fungsi f(x) menuju dan hanya dekat ke nilai atau angka A.

2. Pembuktian Definisi Limit Fungsi

Contoh :



2

2 0

2

)

( 



 x jikajikaxx x

f sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi

4

2

2

lim





x x

Bukti

Pilih 1, maka

0 < xa <  menjadi 0 < x2 < ₁ yang berarti 1< x < 3 untuk x

≠ 2

Karena 2 4 ( 2)( 2) 2 2

     

 x x x x

x x25.

Dengan pilih 1 atau /5 atau mana yang terkecil, sehingga

f(x)A  menjadi _x2 4 

jika 0 < x2 < (=1), jadi

terbukti.

Misal, ingin _x2 4 

(=0,05), jadi = 5 = 0,01, jadi jika

0 < x2 <_(=0,01), maka 1,99 < x < 2,01 (x ≠ 2), sehingga

3,9601 < x2 _{< 4,0401 atau ─ 0,0399 < x}2 _{─ 4 < 0,0401}

berarti |x2 _{─ 4| < 0,05 dimana (x}2 _{≠ 4)}

Misal, ingin _x2 4 

(=6) dan pilih 1, juga terbukti, coba!

3. Limit Fungsi Unik

Pada f x A

a x





) (

lim

, variable x menuju titik atau angka a bisa dari kiri atau x→a─_{, atau dari kanan yaitu x→a}+_{, sehingga}

lim

f(x) A1

a x

 

 (left hand limit) dan

2

) (

lim

f x A a

x

 

 (right hand

limit)

Maka f x A

a x





) (

lim

(unik atau hanya satu-satunya) hanya apabila benar2 (if and only if)

{

lim

f(x) A1

a x

 

 } = {

2

) (

lim

f x A a

x

 

Bukti :

Untuk 0, maka bisa diperoleh 0, sehingga 2

/ )

(x A1 

f jika 0 < xa < _ dan f(x)A2 /2 jika 0 < xa <



2 1 A

A  = A1 f(x) f(x)A2 < A1 f(x) + f(x)A2 </2/2

Karena  sangat kecil dan bahkan menjadi 0, maka A1=A2, jadi terbukti.

4. Infinity

 Infinite limits

 



) (

lim

f x a

x (infinite) :

apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat bilangan positif  sehingga f(x) M jika 0 < xa < .

Juga, 



) (

lim

f x a

x (infinite) :

apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat bilangan positif  sehingga f(x) M jika 0 < xa <  .

Juga berlaku untuk notasi dengan x→a+ _{dan x→a}─_.

 x→∞

f x A

x



 

) (

lim

→ apabila untuk setiap bilangan positif  sekecil apapun, maka dapat diperoleh bilangan positif 

(besarnya tergantung _{) sehingga} f(x)A 

jika x > M → bandingkan dengan definisi di

atas.

 

 

) (

lim

f x

x (infinite) :

apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat bilangan positif P sehingga f(x) M jika x > P.

5. Teori Limit Fungsi

Dengan f x A

a x





) (

lim

dan f x B

a x





) (

lim

1). f x A

a x





) (

2). k f x k A a x . ) ( .

lim

  3).   n a x x f( )

lim

n

lim

f(x)

a

x =

n _A → (bilangan riil)

4).  



) ( ) (

lim

f x g x

a x   ) (

lim

f x a x   ) (

lim

g x a

x A  B

5).   ) ( . ) (

lim

f x g x

a x

) (

lim

f x a

x .





) (

lim

g x a

x A . B

6). 0 ) ( lim ) ( lim ) ( ) (

lim

  

   B dan B A x g x f x g x f a x a x a x Catatan :

Konsep dari limit (the concept of limit) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 129-135).

Teori limit (limit theorems) → Lihat C&W (Book 1) Ch.6 hal. 139-141). 6. Contoh

1). 

  x x x 1

lim

1

2). 

  2 1 1 1

lim

_x x

3).  

  ) 5 ( 2

lim

x x

4).  

  ) 2 ( 2

lim

x x

5).

 

 

2

2 1 1 1 1

lim

    _x x x

x (buktikan dan bandingkan dengan contoh di atas)

6).

lim

( 2 5)(2 2)7

 

x x

x (bandingkan dengan contoh di atas)

 e x x        _   1 1

lim dan



x



x e

x     / 1 0 1

lim



lim

1 1

0    x ex x  1 ln 1

lim

₁  

 x

x

x 7. Soal Latihan

1). 8

1

3 6

2 4 3 2

1

lim



     x x x x x

2). 

 

4 1 ( 1)

1

lim

_x

x Mm

3). _  _  _{, 3}

3 0 3 3 ) ( x x x x x f

a). Cari

lim

( )

3 x f x 

b). Cari

lim

( )

3 x f x 

c). Cari

lim

( )

3 x f x

4). 2 4_{12 7}1

1

lim



 



 x x

x x 5). 6 5 3 4 3 3 2

lim

     x x x 6). 0 1 4 2 3 2

lim

      x x x x

7). 

  1 2 3 3 1

Bahan 6.2.

KONTINUITAS FUNGSI

(FUNCTION CONTINUITY OR

CONTINUOUS FUNCTIONS)

1. Tiga syarat untuk fungsi kontinyu (continuous functions)

Fungsi f(x) dinyatakan kontinyu pada titik atau angka x = x0, apabila 3

syarat dipenuhi :

1). f(x) pada x = x0, atau f(x0), diperoleh (defined).

2).

lim

( ) ( )

0

diperoleh angka

x f x x





3).

lim

( ) ( 0)

0

x f x f x x





 Fungsi dinyatakan continuous pada suatu interval (open or closed), apabila continuous di setiap titik pada suatu interval.

 f(x) = x2 _{+ 1 continuous pada x = 2 karena}

) 2 ( )

( ₀

lim

0

 



x f x f x

x = 5 → tiga syarat di atas dipenuhi.

 f(x) = _{4 x}2

 tidak continuous pada x = 3 karena f(x=3) = 5 1

 adalah angka imaginer → tiga syarat di atas tidak dipenuhi.

 Maka f(x) = x + 1 (serta semua fungsi polynomial pada x, juga demikian untuk fungsi rasional sepanjang fungsi pada penyebut tidak nol) adalah continuous function.

 Hanya di atas an open interval a < x < b pada domain fungsinya, karena :

lim

f(x) f(a)

a x





 dan

) ( ) (

lim

f x f b

b x







Sedangkan dua limit itu tidak diperoleh apabila di atas a closed interval a ≤ x ≤ b.

 Kanan dan kiri kontinuitas (right and left hand continuity)

Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≥ x0,

maka f(x) continuous (on the right) pada x = x0, jika :

lim

( ) ( 0)

0

x f x f

x x





 yaitu f(x0

+_{) = f(x} 0)

Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≤ x0,

maka f(x) continuous (on the left) pada x = x0, jika :

lim

( ) ( 0)

0

x f x f

x x





 yaitu f(x0

─_{) = f(x} 0)

2. Contoh Continuous Functions dan Discontinuous Functions

1).



2

2 0

2

)

( 



 x jikajikaxx x

f sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi

4

2

2

lim





x x

Jadi f(x) continuousselain pada x = 2. Tapi f(x) = x2 _{untuk semua x, maka} 2 4

2

lim





x

x , jadi continuous

pada semua titik termasuk x =2.

f(x) 2). f(x) = _x1_2

discontinuous pada x = 2 0 2 x karena f(2) dan

lim

( )

2 x f

x

infinite discontinuous. 3). f(x) = 2 ₂4

 

x

x _f(x)

4 ○ discontinuous pada x =2

karena terdapat lubang (a hole) sehingga f(2) tidak diperoleh (defined) yaitu 0/0, walaupun

lim

( ) 4

2





x f

x (defined). 0 2 x

Discontinuity dimaksud dapat dihilangkan (removable) dengan meredefinisi fungsi menjadi :

f(x) = 2 ₂4

 

x

x _{; x ≠ 2}

Catatan grafik atau kurva f(x) = 2 ₂4

 

x

x _{dan g(x) = x + 2 sama,}

Kecuali pada fungsi rasional itu terdapat lubang ( a hole).

Catatan :