MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI KELOMPOK 8.do

MAKALAH

MASALAH OPTIMISASI

Di susun untuk memenuhii tugas Mata Kuliah

Matematika Ekonomi

KELOMPOK VIII (Kelas A2):

Sahriani

Latifa

M. Panji Purnomo

Rifkah Chaerunnisa

Program Studi Pendidikan Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

PENDAHULUAN

Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber daya, telah menyebabkan individu dan masyarakat terpaksa untuk memilih kebutuhan yang menjadi prioritas pertama. Sebagai manusia ekonomi, individu dan masyarakat berusaha untuk memenuhi kebutuhannya secara optimal berdasarkan sumber daya yang dimilikinya. Rumah tangga pengkonsumsi mendorong kekuatan permintaan, dan perusahaan-perusahaan yang mendorong kekuatan penawaran, masing-masing berusaha untuk menempati posisi yang optimal dalam suatu kondisi tertentu.

Dalam ekonomi manajerial, pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna). Efektif jika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan input yang telah ditetapkan. Efisien ketika tingkat output produksi telah mencapai tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal.

PEMBAHASAN A. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrim

Ilmu ekonomi adalah ilmu untuk memilih. Bila suatu proyek ekonomi harus diselesaikan, maka biasanya ada sejumlah cara alternatif untuk mencapainya. Akan tetapi, beberapa alternatif tersebut lebih baik daripada yang lain ditinjau dari segi kriteria dan inti dari optimisasi adalah memilih alternatif terbaik berdasarkan kriteria tertentu yang tersedia.

Kriteria untuk memilih alternatif-alternatif ekonomi adalah tujuan untuk memaksimumkan sesuatu atau meminimumkan sesuatu. Secara ekonomi, istilah maksimisasi dan minimisasi dapat dikategorikan dengan istilah umum optimisasi yang berarti “mencari yang terbaik”. Tetapi dari sudut matematika murni,istilah maksimum dan minimum tidak memiliki kaitan dengan optimilitas. Oleh karena itu istilah kolektif untuk maksimum dan minimum sebagai konsep matematik adalah ekstremum yang berarti nilai ekstrem.

Dalam memformulasikan persoalan optimisasi, tugas pertama bagi dunia usaha adalah menggambarkan secara rinci fungsi tujuan dimana variabel tak-bebas mewakili objek maksimisasi atau minimisasi dan himpunan variabel bebas mengindikasikan objek-objek yang besarnya dapat diambil serta dipilih oleh unit ekonomi itu, dengan tujuan optimisasi. Variabel bebas biasa juga disebut variabel-variabel pilihan atau variabel keputusan/kebijakan. Esensi dari proses optimisasi adalah memperoleh himpunan nilai-nilai variabel pilihan yang akan memberikan ekstrem yang diinginkan dari fungsi tujuan.

Sebagai contoh, sebuah perusahaan ingin memaksimumkan laba π , yaitu memaksimumkan perbedaan antara pendapatan total R dan biaya total C. Karena dalam kerangka kerja dari suatu teknologi tertentu dan permintaan pasar tertentu untuk produk perusahaan tersebut, R dan C adalah dua fungsi dari tingkat output Q, yang berarti bahwa πjuga dapat dinyatakan sebagai fungsi Q:

π(Q)=R(Q)−C(Q)

adalah pemilihan tingkat Q yang akan memaksimumkan π . Perhatikan bahwa tingkat optimal dari πmenurut definisi adalah tingkat maksimal, tetapi tingkat optimal dari variabel Q sendiri tak perlu maksimum dan minimum.

B. Maksimum dan Minimum Relatif: Uji Derivatif-Pertama 1. Ekstrem Relatif vs Absolut

Jika fungsi tujuan merupakan fungsi konstan seperti pada gambar 9.1a, maka semua nilai dari variabel pilihan x akan menghasilkan nilai y yang sama dan tinggi pada setiap titik pada grafik tersebut dapat dipandang sebagai maksimum, atau mungkin juga minimum – atau bisa tidak kedua-duanya. Dalam kasus ini, tidak ada pengaruh yang signifikan dalam memilih nilai x untuk memaksimumkan atau meminimumkan nilai y.

Dalam gambar 9.1b fungsi ini naik sempurna dan tidak ada maksimum terhingga bila domainnya adalah himpunan bilangan real nonnegatif. Namun titik akhir D disebelah kiri (yang berpotongan dengan y ) sebagai suatu minimum; kenyataannya dalam kasus ini titik tersebut merupakan minim absolut (minimum global) dalam rentang fungsi ini.

fungsi dapat mempunyai beberapa ekstrem relatif yang sebagian mungkin maksimum dan sebagian lainnya minimum.

Dalam memecahkan sebagian besar masalah ekonomi, yang perlu diperhatikan adalah nilai ekstrem buka nilai titik-akhir (end-point), karena untuk sebagian besar masalah tersebut, domain fungsi tujuan dibatasi pada himpunan bilangan real nonnegatif, sedangkan titik akhir (yang terletak disebelah kiri) menggambarkan nilai nol dari variabel pilihan yang biasanya tidak penting dalam praktek. Untuk menentukan maksimum absolut jika semua maksimum relatif diketahui, maka cukup dengan memilih nilai maksimum relatif yang terbesar dan membandingkannya dengan titik akhir. Minimum absolut dari suatu fungsi juga dapat ditentukan dengan cara yang sama.

2. Uji Derivatif Pertama

Jika diketahui fungsi y=f(x), maka derivatif pertama (derivatif

orde-pertama) f '(x) memegang peranan yang besar dalam mencari nilai

ekstremnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bila ekstrem relatif dari fungsi

berada x=x0,maka f'(x0) tidak ada atau f '

(x0)=0. Kemungkinan yang

pertama ditunjukkan pada grafik 9.2a dimana baik titik A maupun B menggambarkan nilai ekstrem relatif dari y, tetapi belum ada derivatif yang didefinisikan pada titik-titik tajam ini. Akan tetapi, karena fungsi y=f(x)

relatif dapat terjadi hanya bila derivatif pertama nilainya nol. Hal ini ditunjukkan oleh titik C dan D dalam gambar 9.2b dimana keduanya menggambarkan nilai-nilai ekstrem dan keduanya dicirikan dengan

kemiringan (slope) nol- f'(x1)=0 dan f'(x2)=0.Jika kemiringannya tidak nol,

maka fungsi halus tersebut tidak memiliki minimum relatif (di dasar lembah) dan maksimum relatif (di puncak bukit). Sehingga dapat disimpulkan bahwa f'(x)=0sebagai syarat perlu untuk ektrem relatif.

Namun perlu ditambhakan bahwa kemiringan nol meskipun merupakan syarat perlu, tetapi tidak mencukupi untuk menetapkan ekstrem relatif. Akan tetapi dengan menambahkan kondisi tertentu untuk syarat kemiringan nol maka dapat diperoleh suatu uji penentu untuk ekstrem relatif.

Jika derivatif pertama dari suatu fungsi f(x) pada x=x0 adalah f'(x0)=0,

maka nilai fungsi pada x0, f '

(x0) akan merupakan:

a. Maksimum relatif jika derivatif f'(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya.

b. Minimum relatif jika f'

(x) berubah tanda dari negatif ke positif dari

sebelah kiri x0 ke sebelah kanannya.

c. Tidak maksimum relatif maupun minimum relatif jika f'(x) mempunyai tanda yang sama baik disebelah kiri maupun di sebelah kanan titik x0.

Nilai x0disebut sebagai nilai kritis dari x bila f'(x0)=0, dan f(x0)disebut

nilai stasioner dari y (atau dari fungsi f). Dengan demikian, titik dengan koordinat x0 dan f(x0) dapat disebut sebagai titik stasioner. Sehingga bila

syarat perlu f'(x)=0terpenuhi, maka perubahan tanda derivatif untuk

sementara dapat berperan sebagai syarat cukup bagi maksimum atau minimum relatif, tergantung pada arah perubahan tandanya.

itu, untuk mendapatkan makimum atau minimu relatif dari fungsi tertentu, maka langkah pertamanya adalah menentukan nilai stasioner dari fungsi tersebut dimana syarat f'(x)=0terpenuhi dan kemudian mnggunakan uji

derivatif pertama untuk menentukan apakah setiap nilai stasioner tersebut merupakan maksimum relatif, minimum relatif, atau bukan kedua-duanya.

Contoh 1

Tentukan ektrem relatif dari fungsi y=f(x)=x3−12x2+36x+8

Jawab

Pertama, tentukan fungsi derivatifnya yaitu: f'(x)=3x2−24x+36

Untuk memperoleh nilai kritis, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi syarat f'

(x)=0,maka:

C. Derivatif Kedua dan Derivatif yang Lebih Tinggi 1. Derivatif dari suatu derivatif

Karena derivatif pertama f'(x) adalah suatu fungsi dari x, maka f'(x)

dapat diturunkan (didiferensiasikan) terhadap x, asalkan merupakan fungsi yang kontinu dan halus. Hasil diferensiasi ini yang kemudian dikenal sebagai derivatif kedua dari fungsi f yang biasa disimbolkan dengan f''(x)

atau d

2_y

d x2. Jika derivatif kedua f ''

(x) untuk semua nilai xdalam domain

tersebut bisa ditentukan, maka f(x) disebut sebagai dapat didiferensiasikan

dua kali; selanjutnya jika f''(x) kontinu maka fungsi f(x) disebut sebagai

dapat didiferensiasikan dua kali dengan kontinu. Seperti halnya notasi f∈C(1)

atau f∈C ' sering digunakan untuk menunjukkan bahwa fungsi f dpat didiferensiasikan secara kontinu, notasi serupa f∈C(2)

atau f∈C ' ' dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa f dapat didiferensiasikan dua kali secara kontinu. Sebagai fungsi dari x, derivatif kedua kembali dapat Dengan mencari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, maka diperoleh:

x1=6→ f'(6)=0dan f(6)=8

x2=2→ f'(2)=0dan f(2)=40

Sehingga dapat disimpulkan bahwa 2 dan 6 merupakan nilai kritis dari fungsi f(x)=x3−12x2+36x+8.

Contoh 2

Carilah ekstrem relatif dari fungsi biaya rata-rata AC=f(Q)=Q2−5Q+8

Jawab

f'(Q)=2Q−5 merupakan suatu fungsi linear. Dengan menetapkan f'(Q)=0,

sehingga diperoleh 2Q−5=0 _{yang mempunyai satu akar yaitu} Q=5₂.

didiferensiasikan terhadap x untuk mendapatkan derivatif ketiga, dan seterusnya sampai tak berhingga asalkan syarat-syarat diferensiabilitas terpenuhi. Derivatif-derivatif orde yang lebih tinggi ini dilambangkan dengan cara yang sama seperti derivatif kedua yaitu f''(x), f(4)(x), … , f(n)(x)

atau d

3

y d x3,d

4

y d x4 ,… ,d

n y d xn . 2. Interpretasi derivatif kedua

Fungsi derivatif f'(x) mengukur tingkat perubahan fungsi f. Begitu juga

fungsi derivatif kedua f''(x) adalah ukuran tingkat perubahan derivatif pertama f'

(x) atau dengan kata lain derivatif kedua mengukur tingkat

perubahan dari tingkat perubahan fungsi f semula. Dengan kata lain, dengan peningkatan yang kecil sekali (infinitesimal) pada variabel bebas x dari titik x=x0, f '(x0)>0 berarti nilai fungsi cenderung untuk naik dan f'(x0)<0

berarti nilai fungsi cenderung untuk turun. Sedangkan dalam hal derivatif keduaf''

(x)>0 artinya kemiringan kurva cenderung untuk naik dan f''(x)<0

artinya kemiringan kurva cenderung untuk turun.

Jadi, derivatif pertama yang positif dan derivatif kedua yang positif pada x=x0 memiliki arti kemiringan kurva pada titik tersebut positif dan

Jika derivatif kedua f''

(x) negatif untuk semua nilai x maka fungsi primitifnya f(x) pasti merupakan fungsi cekung sempurna. Demikian juga, f(x) pasti cembung sempurna jika f''(x) positif untuk semua nilai x. Namun hal ini tak berlaku bagi kebalikan pernyataan tersebut yang menyatakan jika f(x) cekung sempurna maka f''(x) negatif untuk semua nilai x. Hal ini disebabkan dalam kasus tertentu derivtif kedua mungkin bernilai nol pada titik stasioner pada kurva tersebut.

Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu: y=a x2+bx+c , a ≠0

Untuk menentukan apakah fungsi kuadrat tertentu akan mempunyai grafik yang cembung sempurna (bentuk U) atau grafik yang cekung sempurna (bentuk U terbalik), maka perhatikan derivatif kedua dari fungsi

kuadrat tersebut yaitud

2_y

d x2=2a , derivatif ini akan selalu memiliki tanda aljabar yang sama dengan koefisien a. Perhatikan bahwa jika derivatif kedua yang positif menghasilkan kurva cembung sempurna maka dapat disimpulkan bahwa koefisien a yang positif pada fungsi kuadrat tersebut memberikan grafik berbentuk U. Sebaliknya koefisien a yang negatif pada fungsi kuadrat tersebut memberikan grafik berbentuk U terbalik (cekung sempurna). derivatif pertama karena tidak perlu lagi memeriksa tanda derivatif yang berada di sebelah kiri dan kanan x0. Salah satu kelemahan dari penggunaan

uji derivatif kedua adalah jika ditemukan kasus f''(x0)=0. Bila kasus ini

terjadi, maka selesaikan dengan menggunakan uji derivatif pertama aatau uji derivatif yang lebih tinggi. Akan tetapi, untuk sebagian besar persoalan ekonomi, uji derivatif kedua biasanya mencukupi untuk menentukan suatu maksimum atau minimum relatif.

Contoh 3

Carilah ekstrem relatif dari fungsi: y=g(x)=x3−3x2+2

Jawab

2. Syarat perlu versus syarat cukup

Syarat kemiringan nol f'(x)=0 merupakan syarat perlu dalam uji

derivatif kedua karena syarat ini didasarkan pada uji derivatif pertama. Bila diperoleh syarat orde pertama terpenuhi di x=x0, tanda negatif (positif) dari

f''(x0) adalah cukup untuk menentukan nilai stasioner yang dicari sebagai

suatu maksimum (minimum) relatif. Syarat cukup ini yang didasarkan pada derivatif orde kedua, sering disebut syarat orde kedua. Syarat orde pertama, perlu tetapi tidak cukup untuk maksimum dan minimum relatif. Sebaliknya, syarat orde kedua bahwa f''(x) negatif (positif) di titik x0cukup untuk

maksimum (minimum) relatif, tetapi tidak perlu. Suatu maksimum (minimum) dapat terjadi tidak hanya bila f''

(x0) negatif (positif), tetapi juga

jika f''

(x0)=0. Konsekuensinya syarat perlu orde kedua agar nilai stasioner

f(x0) menjadi maksimum relatif diperlukan bahwa f''(x0)≤0 dan agar nilai

stasioner f(x0) menjadi minimum relatif diperlukan bahwa f''(x0)≥0. 3. Syarat-syarat untuk maksimisasi laba

Hal pertama yang perlu diketahui adalah agar laba maksimum, yaitu perusahaan harus menyamakan biaya marjinal dan pendapatan marjinal. Diketahui fungsi pendapatan total R=R(Q) dan fungsi biaya total C=C(Q), keduanya merupakan fungsi dari variabel tunggal Q. Selanjutnya, fungsi laba dapat diformulasikan dalam bentuk Q:

π=π(Q)=R(Q)−C(Q)

Untuk memperoleh tingkat keluaran (output) yang memaksimumkan laba, maka persamaan tersebut harus memenuhi syarat perlu orde pertama

untuk suatu maksimum: _dQdπ =0_{. Kemudian diferensiasikan persamaan}

tersebut terhadap Q den menetapkan derivatif yang dihasilkan sama dengan nol. Hasilnya adalah

dπ

dQ ≡ π'(Q)=R'(Q)−C'(Q)=0maka R'(Q)=C'(Q)

Dengan menetapkan g'(x)=0 dan memecahkan persamaan kuadrat yang

dihasilkan 3x2

−6x=0 diperoleh nilai kritis x1=2dan x2=0yang

menghasilkan dua nilai stasioner yaitu:

g(2)=−2(suatuminimum karena g ' '(2)=6>0)

Jadi, output optimum Q¿ _{harus memenuhi persamaan R}'

(Q¿)=C'(Q¿) atau

MR=MC. Syarat ini merupakan syarat orde pertama untuk maksimisasi laba.

Akan tetapi, syarat orde pertama bisa menimbulkan minimum dan bukan maksimum. Oleh karena itu, syarat orde kedua perlu dicek. Derivatif kedua dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan derivatif pertama terhadap Q, sehingga:

d2π

d Q2≡ π(Q)=R(Q)−C(Q)≤0 atau R(Q)≤C(Q

R(Q)≤ C(Q merupakan syarat perlu orde kedua untuk maksimisasi. Jika pertidaksamaan tersebut tidak dipenuhi, maka Q¿ _{tidak mungkin}

memamksimumkan laba; dalam kenyataannya ini meminimumkan laba. Secara ekonomi, hal ini berarti bahwa bila tingkat perubahan MR lebih kecil daripada tingkat perubahan MC pada output dimana MR=MC_{, maka output}

tersebut akan memaksimumkan laba.

Contoh 4

Misalkan fungsi R(Q) dan C(Q) adalah: R(Q)=1200Q−2Q2

C(Q)=Q3−61,25Q2+1528,5Q+2000

Jadi fungsi laba adalah:

π(Q)=−Q3+59,25Q2−328,5Q−2000

Dimana R, C, dan π semuanya dalam satuan dolar dan Q dalam satuan ton/minggu. Fungsi laba ini mempunyai dua nilai kritis, yaitu Q=3danQ=36,5 _karena:

dπ

dQ=−3Q2+118,5Q−328,5=0,Q=3dan Q=36,5

tetapi karena derivatif kedua adalah: d2π

d Q2=−6Q+118,5;π(Q)>0 bila Q=3 dan π(Q)<0bila Q=36,5

maka output yang memaksimumkan laba adalah Q¿

=36,5

1. Koefisien fungsi biaya total pangkat tiga

Fungsi pangkat tiga biasa digunakan untuk menggambarkan fungsi biaya total. Fungsi pangkat tiga mungkin dapat menghasilkan segmen yang miring ke bawah dalam grafiknya, sedangkan fungsi biaya total, secara ekonomi akan miring ke atas di mana saja (output yang lebih besar selalu memerlukan biaya total yang lebih tinggi), sehingga jika ingin menggunakan fungsi pangkat tiga seperti:

C=C(Q)=a Q3+b Q2+cQ+d maka perlu untuk membuat batasan-batasan

parameter yang sesuai sehingga mencegah kurva C agar tidak pernah melekuk ke bawah dengan cara fungsi MC harus selalu positif dan hal ini daat dijamin hanya jika minimum absolut dari fungsi MC berubah menjadi positif. Dengan mendiferensiasikan C=C(Q)=a Q3+b Q2+cQ+d terhadap

Q maka diperoleh fungsi MC:

MC=C '(Q)=3aQ2+2bQ+c yang berbentuk parabola. Agar kurva MC

tetap positif dimana saja, maka parabola perlu berbentuk U. Oleh karena itu, koefisien Q2 _{dalam C '(Q}

) harus positif dengan cara menentukan batasan untuk a>0_{. Tetapi batasan ini tidak berarti cukup, karena nilai minimum}

dari kurva MC berbentuk U-misalkan disebut MCmin (suatu minimum relatif

yang juga merupakan minimum absolut)bisa tetap ada di bawah sumbu horizontal. Jadi berikutnya harus diperoleh MCmin dan memastikan batasan

parameter yang akan membuatnya positif. Minimum MC akan terjadi jika: d

dQ MC=6aQ+2b=0 tingkat output yang memenuhi syarat orde

pertama adalah Q¿

=−₆2_ab=−_3ab_.

Ini memaksimumkan MC karena derivatif kedua d

2

d Q2MC=6a dijamin

positif mengingat batasan a>0. _{Lebih lanjut, karena hukum hasil yang}

berkurang diasumsikan berlaku pada tingkat output positif, Q¿_{pasti positif.}

Akibatnya harus ditetapkan batasan b<0. _{Sekarang subsititusi output Q}¿

biaya tetap bagi perusahaan dan batasan yang sesuai adalah d>0. _Sehingga

batasannya menjadi: a , c , d>0,b<0,b2<3ac

2. Kurva pendapatan marjinal miring ke atas

Dengan fungsi pendapatan AR=f(Q), fungsi pendapatan marginal dapat dinyatakan sebagai:

MR=f(Q)+Qf '(Q)

Jadi kemiringan kurva MR dapat ditentukan dari derivatif :

d

dQ MR=f '(Q)+f '(Q)+Qf(Q)=2 f'(Q)+Qf(Q)

selama kurva AR miring ke bawah, suku 2f '(Q) dijamin negatif. Tetapi

suku Qf(Q dapat negatif, nol atau positif tergantung pada tanda derivatif kedua fungsi AR, artinya tergantung pada apakah kurva AR cekung sempurna, linear, atau cembung sempurna. Jika kurva AR cembung sempurna baik secara keseluruhan atau sepanjang segmen tertentu, akan ada kemungkinan bahwa suku (positif) Qf(Q bisa mempunyai nilai yang lebih besar daripada suku (negatif) 2f'_(Q

), sehingga menyebabkan kurva MR seluruhnya atau sebagian miring ke atas.

Contoh 5

Misalkan fungsi pendapatan rata-rata adalah:

AR=f (Q)=8000−23Q+1,1Q2−0,018Q3

fungsi ini menghasilkan kurva AR yang miring ke bawah, yang sesuai untuk perusahaan dalam persaingan yang tidak sempurna. Karena

MR=f(Q)+Q f'(Q)=8000−46Q+3,3Q2−0,072Q3selanjutnya

kemiringan MR adalah d

dQ MR=−46+6,6Q−0,216Q2

Karena ini merupakan fungsi kuadrat dan karena koefisien Q2 _{negatif, maka}

d

dQ MR harus digambarkan sebagai kurva berbentuk U terbalik terhadap Q. Jika suatu segmen dari kurva ini terletak di atas sumbu horizontal, kemiringan MR akan mempunyai nilai positif.

Dengan menetapkan _{dQ MR}d =0 dan menggunakan rumus kuadrat maka akan diperoleh dua nilai nol pada fungsi kuadrat = nol menjadi Q1 = 10,76

dan Q2 = 19,79. Hal ini berarti bahwa, untuk nilai Q dalam interval terbuka

(Q1, Q2), kurva _{dQ MR}d terletak diatas sumbu horizontal. Jadi, sesungguhnya

E. Deret Maclaurin dan Deret Taylor

Sekarang tiba waktuya untuk mengembangkan uji bagi ekstrem relatif yang dapat digunakan meskipun ketika derivatif kedua ternyata mempunyai nilai nol di titik stasioner. Akan tetapi, sebelum kita dapat mengerjakannya, pertama-tama perlu kita bahas apa yaang disebut “ekspansi” dari fungsi y=f(x) ke dalam apa yang kita ketahui sebagai deret Maclaurin (Maclaurin Series) (ekspansi sekita titik x=0) dan deret taylor (ekspansi sekitar titik x=x0).

Untuk mengekspansi (expand) fungsi y=f(x) sekita titik x0, dalam konteks sekarang ini, berarti mentransformasikan fungsi tersebut menjadi bentuk polinom, dimana koefisien-koefisien berbagai suku dinyatakan dalam bentuk nilai derivatif f ’(x0), f ’’(x0)¸ dan seterusnya---semuanya dihitung di titik

ekspansi x0. Dalam deret Maclaurin, ini akan dihitung di x=0; jadi kita peroleh f’(0), f’’(0), dan seterusnya, dalam koefisien-koefisien tersebut. Hasil ekspansi merupakan suatu deret pangkat (power series) karena, sebagai suatu polinom, terdiri dari jumlah fungsi-fungsi pangkat (sum of power functions).

1. Deret Maclaurin dari Fungsi Polinom

Mula-mula mari kita pertimbangkan ekspansi a0 +fungsi polinom dengan

derajat n.

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+anxn ... (9.6)

Menjadi polinom derajat n yang ekuivalen di mana koefisien-koefisien ( a0,a1, dan seterusnya) dinyatakan dalam bentuk nilai derivatif f '(0),f ' '(0),

dan seterusnya. Karena melibatkan transformasi dan suatu polinom ke polinom yang lainnya yang mempunyai derajat yang sama, hal ini mungkin terlihat sebagai suatu latihan yang sia-sia dan tak bertujua, tetapi sebenarnya ini akan memberi banyak pemahaman mengenai ide ekspansi secara keseluruhan.

Karena deret pangkat sesuudah ekspansi akan melibatkan derivatif dari fungsi f dengan berbagai orde, mari kita cari terlebih dahulu. Dengan mendiferensiasikan (9.6) secara berurutan, kita akan mendapatkan derivatif-derivatif sebagai berikut :

f '(x)=a1+2a2x

❑

+3a₃x2+4a₄x3+…+n a_nxn−1

f ' '(x)=2a₂+3(2)a₃x❑+4¿ f ' ' '(x)=3(2)a₃+4¿

f ' ' ' '(x)=4¿

. . .

f(n)

Perhatikan bahwa setiap diferensiasi berturut-turut mengurangi banyaknya suku dengan satu suku konstanta tambahan di depan dihilangkan – sampai, pada derivatif yang ke-n, yang tinggal hanya sebuah suku konstan (suku hasil kali). Derivatif-derivatif ini dapat dihitung pada berbagai nilai x; di sini kita akan menghitungnya pada x=0, dengan hasil bahwa semua suku yang mengandung x akan hilang. Kemudian kita tinggal memperoleh nilai-nilai derivatif: (dengan 0! Ditentukan sama dengan 1), maka hasil dari (9.7) dapat ditulis kembali sebagai dinyatakan dalam bentuk derivatif yang dihitung pada x=0 :

f(x)=f₀(0_!)+f '₁(_{! x}0) +f ' '₂(_{! x}0) 2+f ' ' '_3!(0)x3+…+f (n)

(n)

n ! xn (Rumus Maclauri) (9.8)

Polinom baru ini, yang disebut deret Maclaurin dari fungsi polinom f(x)

menggambarkan ekspansi fungsi f(x) sekitar nol (x=0). Perhatikan bahwa

titik ekspansi hanya (di sini, 0) merupakan nilai x yang akan digunakan untuk menghitung f(x) dan semua derivatifnya.

Contoh 6

2. Deret Taylor dari Fungsi Polinom

Secara lebih umum, fungsi polinom dalam (9.6) dapat diekspansi sekitar titik x0,tidak perlu nol. Secara sederhana, kita akan menjeleaskannya dengan

menggunakan fungsi kuadrat tertentu dalam (9.9) dan hasilnya akan dibahas kemudian.

Untuk tujuan ekspansi di sekitar titik x0 tertentu, pertama-tama kita bisa

menginterpretasikan nilai x yang diketahui sebagai deviasi dari x0. Lebih

khusus lagi, kita akan memisalkan x=x0+δ, dimana δ menggambarkan

deviasi dari nilai x0. Pada interpretas ini, fungsi (9.9) dan derivatifnya

sekrang akan menjadi

f(x)=2+4(x0+δ)+3(x0+δ) 2

f'(x)=4+6(x0+δ) ...(9.10)

f'' (x)=6

Kita tahu bahwa ekspansi (x+δ)=x adalah suatu variabel dalam fungsi tersebut, tetapi karena x0 dalam konteks sekarang adalah angka (pilihan)

yang tetap, maka hanya δ yang secara tepat dapat dianggap sebagai suatu variabel dalam (9.10). Akibatnya, f(x) adalah fungsi δ, katakan g(δ) :

g(δ)=2+4(x0+δ)+3(x0+δ) 2

[≡ f(x)] Dengan derivatif-derivatif

g '(δ)=4+6(x0+δ)

❑

[≡ f '(x)]

g ' '(δ)=6 [≡ f ' '(x)]

Kita telah mengetahui bagaimana mengekspansi g(δ) di sekitar nol (δ=0) . Menurut (9.8), ekspansi seperti ini akan menghasilkan deret Maclaurin sebagai berikut:

Tetapi karena kita telah menentukan x=x₀+δ_{, kenyataan bahwa} δ=0

mrngimplikasikan x=x0; jadi , berdasarkan identitas g(δ)≡f (x), untuk

kasus δ=0_{kita dapat menulis:}

g(0)=f(x₀) g '(0)=f '(x₀) g ' '(0)=f ' '(x₀)

Bila ini disubtutitusikan kedalam (9.11), kita akan mendapakna hasil untuk menggambarkan ekspansi (perluasan) f(x) di sekitar titik x0, karena

koefisien-koefisien sekarang melibatkan derivatif f'(x0), f

Anda bisa membandingkan hasil ini – polinom Taylor dari f(x) – dengan

polinom Maclaurindari g(δ) dalam (9.11).

Karena untuk fungsi khusus, yaitu (9.9), kita mempunyai f(x0)=2+4x0+3x02 f '(x0)=4+6x0 f ' '(x0)=6

Maka polinom Talylor dalam (9.12) akan menjadi f(x)=2+4x0+3x02+(4+6x0) (x−x0)+6₂(x−x0)2

Ini membuktikan bahwa polinom Taylor tepat menggambarkan fungsi yang diketahui.

disebelah kanan (9.13), kita pilih sebarang nilai x0 , kemudian kita hitung

dan kita tambahkan

Contoh 7

Misalkan x0 = 3 sebagai titik ekspansi, kita dapat menulis ulang (9.6) secara

eekuivalen sebagai

f (x)=f(3)=f'(3) (x−3)+f ' '₂(3)(x−3)2+…+f

(n) (3)

3. Ekspansi Sembarang Fungsi

Sampai kini , kita telah memperlihatkan bilamana fungsi polinom derajat n dapat dinyatakan dalam bentuk polinom derjat n lainnya yang ekuivalen. Ketika ini dilakukan, ternyata juga mungkin untuk menyatakan sembarang fungsi Φ(x) – yang tidak harus merupakan suatu polinom – dalam bentuk

polinom yang serupa dengan (9.13) asalkan Φ(x) mempunyai derivatif

kontinu terhingga sampai orde yang dikehendaki di titik ekspansi x0.

Menurut proposisi matematis yang dikenal sebagai dalil Taylor (Taylor’s theorem), jika diketahui sembarang fungsi Φ(x), bilamkita tahu nilai fungsi

di x=x0 [ yaituΦ(x0)] dan nilai derivatif-derivatifnya x0 (yaitu Φ '(x0),

di mana Pn menunjukkan polinom derajat n (dalam kurung) [ bentuk (n=1)] suku pertama di sebelah kanan] dan Rn melambangkan sisa, yang akan dijelaskan pada halaman 242.1 _Adanya R

n membedakan (9.14) dari rumus Taylor (9.13), dan karena alasan ini (9.14) disebut rumus Taylor dengan sisa (Taylor’s formula with reminder).Bentuk polinom Pn, dan besarnya sisa Rn; akan bergantung pada nilai n yang kita pilih. Semakin besar n, semakin banyak suku yang ada pada Pn; oleh karena itu; secar umum Rn mempunyai nilai yang berlainan untuk setiap n yang berbeda. Kenyataan ini menerangkan kebutuhan akan indeks n pada kedua lambang itu . Untuk membantu mengingatnya, kita dapat mengidentifikasi n sebagai orde derivatif tertinggi dalam Pn. (Dalam kasus khusus n = 0 , tidak ada derivatif sama sekali yang akan terdapatdalam Pn¿.

Adanya Rn dalam (9.14) adalah karena kenyataan bahwa kita di sini sedang berhadapan dengan sembarang fungsi Φ yang tidak selalu dapat ditransformasikan dengan tepat menjadi, tetapi hanya dapat diaproksimasikan oleh, bentuk polinom yang terlihat dalam (9.13). Oleh karena itu, suku sisa dimasukkan sebagai suplemen pada bagian Pn, untuk menunjukkan perbedaan antara Φ(x) dan polinom Pn. Jadi ,Pn merupakan perkiraan(aproksimasi) polinom untuk Φ(x), dengan suku Rn sebagai ukuran kesalahan aproksimasi. Bila kita pilih n = 1, misalnya kita peroleh Φ(x)=

_[

Φ(x0)+Φ

'

(x0) (x−x0)

]

+R1=P1+R1

1 _{Simbol R}

Di mana P1 terdiri dari n+1=2 suku, merupakan aproksimasi linear untuk

Φ(x). Bila kita pilin n= 2, suku pangkat dua akan timbul, sehingga

Φ(x)=

[

Φ(x0)+Φ '

(x0) (x−x0)+

Φ''(x0)

2! (x−x0)

2

]

+R₂=P₂+R₂

di mana P2 , yang terdiri dari n +1=3 suku, merupakan aproksimasi kuadrat

untuk Φ(x). Dan seterusnya. Kenyataan bahwa kita dapat membuat aproksimasi polinom untuk sembarang fungsi (asalkan fungsi tersebut memiliki derivatif kontinu terhingga) merupakan hal yang sangat penting. Fungsi polinom – bahkan yang berderajat tinggi – relatif mudah dikerjakan, dan jika fungsi tersebut dapat berfungsi sebagai aproksimasi yang baik untuk beberapa fungsi yang sulit, banyak keuntungan yang akan kita dapatkan, seperti yang diilustrasikanpada dua contoh berikutnya.

Harus kita sebutkan bahwa fungsi sembarang Φ(x) secara jelas kan memuat polinom derajat n dari (9.6) sebagai suatu kasus khusus. Untuk kasus yang belakangan ini, bila ekspansi adalah ke dalam polinom derajat ke-n lainnya, hasil dari (9.13) akan tepat sama, dengan kata lain, kita menggunakan hasil dalam (9.14), dengan Rn≡0. Akan tetapi, bila polinom derajat nf(x) akan diekspansi ke dalam polinom berderajat lebih rendah,

maka polinom berderajat lebih rendah ini hanya dapat dianggap aproksimasi untuk f(x) dan dengan demikian akan ada sisa dalam kasus ini; hasil dalam (9.14) dapat dipakai dengan sisa bukan nol. Jadi rumus Taylordalam bentuk (9.14) benar-benar umum.

Contoh 8

Ekspansilah fungsi non-polinom

ϕ(x)=₁₊1_x

disekitar titik x0 = 1, dengan n = 4. Kita akan memerlukan empat derivatif pertama

dari ϕ(x), yaitu

ϕ'(x)=−(1+x)−2 ϕ'(1)=−(2)−2=−₄1 ϕ''(x)=2(1+x)−3 ϕ''(1)=2(2)−3=1₄ ϕ'' '(x)=−6(1+x)−4 ϕ'' '(1)=−6(2)−4=−₈3 ϕ'' ''

(x)=24(1+x)−5 ϕ'' ' '(1)=24(2)−5=3₄

Juga, kita lihat bahwa ϕ❑

(1) = 1₂ . Jadi, dengan menetapkan x0 = 1 dalam (9.14) dan

Dalam Gambar 9.8, ϕ(x) digambarkan sebagai suatu parabola, dan akproksimasi linearnya merupakan garis lurus yang menyinggung kurva ϕ(x) di

titik (1,8). Adanya titik singgung di x = 1 bukan merupakan kejadian yang kebetulan; ini memberik kesan bahwa bila fungsi sebarang ϕ(x) diaproksimasikan

dengan polinom, ini akan memberikan nilai eksakϕ(x)di (dan hanya di) titik

ekspansi, dengan kesalahan aproksimasi (R1=0) sebesar nol. Di tempat lain, R1

adalah benar-benar bukan nol dan, dalam kenyataanny, menunjukkan kesalahan aproksimasi yang lebih besar, kalau kita mencoba mengaproksimasi ϕ(x) untuk

nilai x yang makin menjauh dari titik ekspansi x0. Jadi, ketika kita berupaya mengakproksimasi fungsi ϕ(x) dengan polinom, dan jika kita sangat ingin

memperoleh akproksimasi yang akurat di daerah sekitar (neighborhood) nilai spesisfik x, katakan x0, maka kita harus memilih x0 sebagai titik ekspansi.

Gambar.9.8

ϕ=1₂−1₄(x−1)+1₈(x−1)2−₁₆1 (x−1)3+₃₂1 (x−1)4+R4

¿31₃₂−13₁₆ x+1₂x2−₁₆3 x3+₃₂1 x4+R4

Tentu saja, juga mungkin untuk memilih x0 = 0 sebagai titik ekspansi di sini.

Dalam kasus ini, jika x0 ditetapkan sama dengan nol dalam(9.14), maka

ekspansi ini akan menghasilkan deret Maclaurin dengan sisa (Maclaurin series with remainder).

Contoh 9

Ekspansilah fungsi kuadrat

ϕ(x)=5+2x+x2

di sekitar x0 = 1 , dengan n = 1. Fungsi ini, seperti (9.9) dalam Contoh 1,

merupakan polinom derajat dua. Tetapi karena n = 1, maka tugas kita adalah mengekspansinya ke dalam polinom derajat pertama, artinya untuk mendapatkan aproksimasi linear untuk fungsi kuadrat tertentu; jadi suku sisa harus ada. Karena itu, ϕ(x) dapat dianggap sebagai fungsi “sembarang” untuk tujuan ekspansi Taylor

ini.

Untuk melakukan ekspansi ini, kita hanya memerlukan derivatif pertama

ϕ'(x)=2+2x❑. Dengan menghitung di x0 = 1, fungsi dan derivatifnya

menghasilkan

ϕ(x0)=ϕ(1)=8 ϕ'(x0)=ϕ'

(1) =4

Jadi rumus Taylor dengan sisa menghasilkan

ϕ(x❑)=ϕ(x0)+ϕ '(x0)

(x−x₀)+R₁ ¿8+4(x−1)+R1=4+4x+R1

Konstruksi Gambar 9.8 mengingatkan kita dengan Gambar 8.1. Kedua gambar itu berkaitan dengan “akproksimasi”. Tetapi ada perbedaan dalam lingkup aproksimasi. Pada Gambar 8.1, kita mencoba mengaproksimasi ∆ y dengan diferensial dy dengan bantuan garis singgung yang dibuat di x0,

yaitu nilai awal x. Di sisi lain, dalam Gambar 9.8, kita mencoba mengaproksimasi keseluruhan kurva dengan garis lurus tertentu, yaitu dengan mengakproksimasi tinggi kurva pada sebarang nilai x, katakanlah x1,

dengan menghubungkan tinggi garis lurus di x1 . Perhatikan bahwa, dalam

kedua kasus, kesalahan aproksimasi bervariasi dengan nilai x . Dalam Gambar 8.1, kesalahan tersebut (perbedaan atau selisih antara dy dan ∆ y) semakin mengecil jika ∆ x juga semakin mengecil, atau jika x mendekati x0, dimana garis singgung dibuat. Dalam Gambar 9.8, kesalahan (perbedaan vertikal antara garis lurus dan kurva) semakin mengecil jika x mendekati x0, yaitu titik ekspansi yang dipilih.

4. Bentuk Lagrange dari Sisa

Sekarang kita harus memberi komentar lebih lanjut tentang suku sis. Sesuai dengan bentuk Lagrange dari sisa (Langrange form of the remainder), kita dapat menyatakan Rn sebagai :

Rn= ϕ(n+1)

(p)

(n+1)! (x−x0)

n+1 _(9.15)

dimana p adalah sejumlah angka antara x (titik dimana kita ingin menghitung fungsi sebarang ϕ) dan x0 (titik dimana kita mengekspansi

fungsi ϕ). Perhatikan bahwa pernyataan ini sangat mirip dengan suku yang secara logis akan mengikuti suku terakhir Pn dalam (9.14), kecuali bahwa derivatif yang terlihat disini akan dihitung di titik p bukan x0. Sayangnya,

meskipun kita hanya dapat membuatnya dalam kasus yang sangat sederhana n = 0.

Bila n = 0 , tidak ada derivatifnya yang akan terjadi dalam bagian polinom P0; karenanya (9.14) berkurang menjadi :

ϕ(x)=P0+R0=ϕ(x0)+ϕ'

(p)

(x−x0)

atau ϕ(x)−ϕ(x0)=ϕ '

(p)(x−x0)

Hasil ini, yang merupakan versi sederhna dari dalil-nilai rata-rata, menyatakan bahwa selisih (perbedaan) antara nilai fungsi ϕdi x0 dan di nilai

x lainnya dapat dinyatakan sebagai hasil kali selisih (x−x0) dan derivatif ϕ'

yang dihitung di p (dengan p adalah titik antara x dan x0). Mari kita simak

Gambar 9.9, dimana fungsi ϕ(x)ditunjukkan sebagai kurva kontinu dengan nilai derivatif yang didefinisikan di semua titik. Misalkan x0 merupakan titik

ekspansi yang dipilih, dan x adalah sembarang titik pada aksis (sumbu) horisontal. Jika kita mencoba mengakproksimasi

GAMBAR 9.9

ϕ(x),atau jarak xB, dengan ϕ(x0) , atau jarak x0A, ini akan melibatkan suatu

kesalahan yang sama dengan ϕ(x)−ϕ(x0), atau jarak CB. Apa yang

dikatakan dalil nilai rata-rata adalah bahwa kesalahan CB – yang merupakan nilai suku sisa R0 dalam ekspansi – dapat dinyatakan sebagai ϕ'(p)(x−x0),

di mana p adalah titik antara x dan x0. Pertama kita letakkan, pada kurva

antara titik A dan B, sebuah titik D sedemikian rupa sehingga garis singgung di D sejajar dengan garis AB, titik D tersebut harus ada, karena kurva tersebut melintas dari A ke B dalam keadaan kontinu dan halus. Jadi suku sisanya akan menjadi:

R0=CB=CB_{AC AC}=(kemiringan AB). AC

¿(kemiringan garis singgungdi D). AC

¿(kemiringan kurva di x=p). AC

di mana titik p ada diantara x dan x0seperti yang dikehendak. Ini

menunjukkan dasar pemikiran untuk bentuk Lagrange dari sisa untuk kasus n = 0 . Kita akan selalu menyatakan R0sebagai ϕ'(p)(x−x0)karena, meskipun

p tidak dapat digunakan untuk suatu nilai spesifik, kita dapat memastikan bahwa titik tersebut ada.

Persamaan (9.15) memberikan cara untuk menyatakan suku sisa Rn,,

tetapi tidak mengurangi Rn sebagai sumber perbedaan antara ϕ(x) dan polinom Pn, Akan tetapi, jika ini terjadi ketika kita menaikkan n (sehingga

meningkatkan derajat polinom) secar tak terbatas, kita dapatkan bahwa Rn→0 bila n → ∞ sehingga Pn→ϕ(x) bila n → ∞ maka deret Taylor tersbut akan konvergen ke ϕ(x)di titik ekspans, dan deret Taylor tersebut dapat ditulis sebagai deret tak terhingga konvergen (convergen infinty series) sebagai berikut:

ϕ(x)=ϕ(₀x_!0)+ϕ'₁(x_!0)(x−x0)+

ϕ' '(x0)

2! (x−x0)2+… (9.16)

Perhatikan bahwa suku Rn tidak lagi diperlihatkan; suku itu telah dihilangkan yang menunjukkan bahwa polinom mengandung sejumlah suku selanjutnya yang tak terhingga yang terstruktur matematisnya mengikuti pola yang diperlihatkan oleh suku-suku sebelumnya. Dalam kasus ini, akan dimungkinkan unntuk membuat Pn menjadi aproksimasi untuk ϕ❑(x) seakurat yang kita inginkan dengan memilih nilai yang cukup besar untuk n, yaitu dengan memasukkan cukup banyak suku dalam polinom Pn. Contoh yang penting akan dibahas pada Bagian 10.2

F. Uji Derivatif ke-n untuk Ekstrrem Relatif suatu Fungsi Satu Variabel

Ekspansi dari suatu fungsi ke dalam deret Taylor (atau Maclaurin) berguna sebagai sarana aproksimasi dalam keadaan Rn→0 bila n → ∞, tetapi perhatian kita sekarang adalah menggunakannya dalam mengembangkan pengujian umum untuk nilai ekstrem relatif.

1. Ekpansi Taylor dan Ekstrem Relatif

Sebagai langkah pertama untuk tugas ini, mari kita definisikan kembali arti ekstrem relatif sebagai berikut:

Fungsi f(x) akan mencapai nilai maksimum (minimum) relatif dix0 bila

f(x)−f(x0) adalah negatif (positif) untuk nilai x yang ada disekitar

(immediate neighborhood) x0, baik disebelah kiri maupun sebelah

kanannya.

Ini dapat diperjelas dengan mengacu pada Gambar 9.10, di mana x1

adalah nilai x di sebelah kiri x0, dan x2 adalah nilai x di sebelah kanan x0.

baik f(x1) maupun f(x2). Singkatnya f(x❑)−f(x0) adalah negatif untuk

sembarang x di sekitar x0. Sebaliknya pada Gambar.9.10b , f(x₀) adalah

minimum relatif sehingga f(x)−f(x0)>0.

Dengan mengasumsikan bahwa f(x) mempunyai derivatif-derivatif kontinu terhingga sampai orde yang dikehendaki di titik x=x0, fungsi f(x) –

tidak perlu polinom – dapat diekspansi di sekitar titik x0 sebagai deret

Taylor. Berdasarkan (9.14) (sesudah mengubah ϕ menjadi f) dan menggunakan bentuk Langrange dari sisa, kita dapat menulis

f(x)−f(x0)=f'(x0) (x−x0)+

f' '(x0)

2! (x−x0)2+…+

f(n) (x0)

n! (x−x0)n+

f(n+1)

(p)

(n+1)! (x−x0) n+1

(9.17)

Jika kita dapat menentukan tanda dari ekspresi f(x)−f(x0) untuk nilai x

tepat di sebelah kiri atau kanan x0 , kita dapat dengan mudah menyimpulkan

apakah f(x0)adalah suatu ekstrem, dan bila ya, apakaha merupakan suatu

maksimum atau minimum. Untuk hal ini kita perlu memeriksa jumlah di sebelah kanan (9.17). Jadi, ada (n+1) suku dalam jumlah ini – n suku dari Pn , GAMBAR 9.10

Ditambah suku sisa yang berada dalam derajat (n+1) – jadi banyaknya suku sebenarnya tidak bisa ditentukan dengan pasti (indefinit), akan tergantung pada nilai n yang kita pilih . Akan tetapi, dengan memilih n secara tepat, kita selalu dapat memastikan bahwa hanya akan ada satu suku di sebelah kanan. Ini secara drastis menyederhanakan tugas menilai tanda f(x❑)−f(x0)

dan menentukan apakah f(x0) adalah suatu ekstrem, dan bila ya, jenis yang

mana.

2. Beberapa Kasus Khusus a. Kasus 1

Jika derivatif pertama di x0 bukan nol, misalkan kita pilin n = 0,

sehingga suku sisa akan berada dalam derajat pertama. Jadi hanya akan ada n + 1 =1 suku di sebelah kanan, yang berarti bahwa hanya susku sisa R0 yang ada disana. Jadi kita peroleh

f(x)−f(x0)=

f' (p)

1! (x−x0)=f '(p)(x−x0)

di mana p adalah suatu angka antara x0 dan nilai x di sekitar x0 .

Perhatikan bahwa p harus benar-benar sangat dekat dengan x0.

Apakah tanda ekspansi (pernyataan) yang ada di sebelah kanan? Karean kontinuita derivatif, f '(p) akan mempunyai tanda yang samma

seperti f '(x₀) karena, seperti dijelaskan sebelumnya, p sangat dekat

dengan x0. Dalam kasus ini, f '(p) pasti bukan nol; dalam kenyataannya,

haruslah merupakan angka yang positif atau negatif. Tetapi bagaimana dengan (x−x0)? Bila kita bergerak dari kiri x0 ke kanan x bergeser dari

Dalam kasus ini, kita pilih n = 1, sehingga sisa akan ada dalam derajat kedua. Pada awalnya akan ada n + 1 = 2 sukudi sebelah kanan. Tetapi salah satu suku akan hilang karenaf'

Seperti sebelumnya, f''(p) akan mempunyai tanda yang sama seperti f''(x0), yaitu tanda tertentu da tidak berubah; sedangkan bagian (x−x0)2,

karena suatu kuadrat, akan tetap positif. Jadi ekspresi f(x)−f(x0) akan

mempunyai tanda yanng sama seperti f''

(x0) dan. Sesuai dengan definisi

ekstrem relatif sebelumnya, akan menentukan

Suatu maksimum relatif dari f(x) bila f ' '(x0)< 0

Suatu minimum relatif dari f(x) bila f ' '(x₀)> 0 [dengan f’(x0) = 0]

Anda akan mengetahuibahwa hal ini merupakan uji derivatif kedua yang diperkenalkan sebelumnya.

f'

(x0)=f''(x0)=0,tetapi f ' ' '(x0)≠0

Disini kita berhadapan dengan situasi dimana uji derivatif kedua tidak berlaku, karena f ' '(x0) sekarang sama dengan nol. Tetapi dengan bantua

deret Taylor, hasilnya dapat dipecahkan tanpa kesulitan.

Misalkan kira misalkan n = 2; jadi tiga suku pada mulanya akan ada di sebelah kanan. Tetapi dia di antarana akan hilang karenaf '(x0) =f ' '(x0)

= 0, sehingga kita sekali hanya mempunyai satu suku untuk dinilai: f(x)−f''(x0)=f'(x0) (x−x0)+₂1_{! f}''(x0) (x−x0)2+₃1_{! f}'''(p)(x−x0)3❑

¿₃1_{! f}'''(p)(x−x0)3❑ [karena f '(x0)= 0, f ''

(x0)=0]

Seperti sebelumnya, tanda f ' ' '(p) identik dengan tanda f ' ' '(x0)

karena adanya kontinuitas derivatif dan karenap sangat dekat dengan x0.

Tetapi (x−x₀)3 mempunyai tanda yang berubah-ubah. Secara khusus, karena (x−x0) negatif di sebelah kiri x0, maka (x−x0)3 juga negatif; bila

di sebelah kanan x0, (x−x0)3 akan positif. Jadi ada perubahan tanda

f(x)−f¿_{) bila kita melewati} x0, yang menyalahi definisi ekstrem relatif.

Akan tetapi, kitabtahu bahwa x0 adalah nilai kritis [f'(x0)=1], dan dengan

demikian harus merupakan titik belok (inflection point) sepanjang hal ini tidak menghasilkan ekstrem relatif. dapat memperoleh hasil umum darinya. Perhatikan bahwa di sini semua nilai derivatif adalah nol sampai kita tiba pada derivatif ke-N.

Sesuai dengan tiga kasus sebelumnya, deret Taylor untuk Kasus 4 akan berkurang menjadi

kita lewati titik x0 , sehingga menyalahi definisi ekstrem relatif (yang

berarti bahwa x0harus merupakan titik belok kurva). Tetapi bila N adalah

genap, f(x)−f(x0) tidak akan berubah tandanya dari sebelah kiri x0 ke

sebelah kanannya, dan ini akan memberikan nilai stasioner f(x0¿ sebagai

suatu maksimum atau minimum relatif, tergantung pada apakah f(N) (x0)

adalah negatif atau positif.

Jika derivatif pertama dari fungsi f(x) di x0 adalah f'(x0)=0 dan jika

nilai derivatif bukan nol pertama di x0 yang dijumpai pada derivatif yang

berurutan adalah nilai derivatif ke-N , f(N)

(x0)≠0, maka nilai stasioner f(x0)

akan menjadi

a. Maksimum relatif bila N bilangan genap dan f(N)

(x0)< 0.

b. Minimum relatif bila N bilangan genap tetapi f(N)

(x0)> 0.

c. Titik belok bila N ganjil.

Jadi jelas dari pernyataan di atas bahwa uji derivatif ke-N dapat bekerja jika dan hanya jika fungsi f(x), cepat atau lambat, dapat menghasilkan nilai

derivatif bukan nol di nilai kritis x0. Meskipun ada fungsi-fungsi dalam

pengecualian gagal memenuhi syarat ini, sebagian besar fungsi-fungsi yang akan kita jumpai sesungguhnyaakan menghasilkan f(N)

(x0) yang bukan nol

dalam diferensiasi-diferensiasi yang berurutan.2 _{Jadi uji ini akan dapat}

berfungsi pada banyak situasi.

2 _{Jika f(x) adalah fungsi konstan, maka jelas f’(x)=f’’(x)=...= 0 , sehingga tidak}

ada nilai derivatif bukan nol yang dapat ditemukan. Tetapi hal ini merupakan suatu kasus yang ak penting karena fungsi konstan tidak membutuhkan uji untuk ekstrem. Sebagai contoh penting, perhatikan fungsi didefinisikan). Akan tetapi, karena lim_{x →0} y=0 , kita dapat mengisi kesenjangan dalam domain dan oleh karena itu mendapatkan fungsi kontinu dengan menambahkan syarat y = 0 untuk x = 0. Grafik fungsi ini menunjukkan bahwa grafik tersebut mencapai minimum di x = 0. Tetapi ternyata di x = 0 semua derivatif (sampai sembarang orde) mempunyai nilai nol. Jadi kita dapat menggunakan uji derivatif ke-N untuk menetapkan kenyataan yang dapat ditentukan secara grafis bahwa fungsi tersebut mempunyai minimum di x = 0 . Untuk pembahasan lebih lanjut mengenai kasus pengecualian lihat R. Courant, Diffrential andf Interral Calullli (diterjemahkan oleh E.J McShane), Interscience, New York, vol.1, 2d. Ed.,1937, hal.196,197, dan 336.

Contoh 11

Periksalah fungsi y=(7−x)4 untuk ekstrem relatifnnya. Karena f’(x) =

-4(7-x)3 _{adalah nol bila x = 7, kita ambil x = 7 sebagai nilai kritis untuk pengujian,}

dengan y = 0 sebagai nilai stasioner fungsi. Dengan derivatif-derivatif yang

berurutan (terus sampai kita mendapatkan nilai derivatif bukan nol di titik x

= 7), kita akan memperoleh

f''(x)=12(7−x)2 sehingga f''(7)=0 f ' '(−24)(7−x) f'' '(7)=0

f(4)

(x)=24 f(4)(x)=24

Karena 4 merupakan angka genap dan karena f(4)

(7) positif, kita simpulkan

Seperti dengan mudah dibuktikan, fungsi ini digambarkan sebagai kurva cembung sempurna. Selama derivatif kedua di x = 7 adalah nol (bukan positif), contoh ini memberikan gambaran pernyataan kita terdahulu tentang derivatif kedua dan kelengkungan suatu kurva (Bagian 9.3) begitu rupa sehingga, meskipun f ' '(x) yang positif untuk semua x mengimplikasi

cembung sempurna f(x), suatu fungsi yang cembung sempurna tidak

mengimplikasikan f ' '(x) positif untuk semua x. Yang lebih penting, contoh