Tugas Kelompok 1
Pengantar Dasar Matematika Dosen Pengampu Nurmala R, M.Pd Lokal A2 Pendidikan Matematika
“Fungsi”
Disusun Oleh:
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Borneo Tarakan
2017/2018
1. Indah Cahyani 2. Nadya Meiditha Sari 3. Selvi Darlin Rombe 4. Faridhoh
5. Zaida Ainulfitri 6. Musdalifah
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Rumusan Masalah... 2
1.3 Tujuan penulisan... 2
BAB II PEMBAHASAN ... 5
2.1 Definisi Fungsi... 5
2.2 Cara menyatakan Fungsi... 5
2.3 Sifat-sifat Fungsi... 7
2.4 Jenis-jenis Fungsi ... 9
BAB III PENUTUP ...16
3.1 Kesimpulan ...16
3.2 Saran ...16
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan rahmat-Nya penyusun dapat menyelesaikan makalah yang bertemakan "Fungsi". Makalah ini disusun sebagai salah satu tugas mata kuliah Pengantar Dasar Matematika. Meskipun banyak hambatan yang penyusun alami dalam proses pengerjaannya, namun akhirnya kami berhasil menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya.
Makalah ini disusun agar pembaca dapat mengetahui definisi fungsi, sifat-sifat fungsi, dan jenis-jenis fungsi, kami sajikan makalah ini dari berbagai sumber.
Kami menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini masih jauh dari kata sempurna, untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun guna sempurnanya makalah ini. Penyusun berharap semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi penyusun khususnya dan bagi pembaca.
Tarakan, April 2018
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang sangat erat dengan suatu bilangan. Matematika juga merupakan bahasa, dimana bahasa pada matematika tidak memiliki makna ambigu (ganda) yaitu selalu pasti. Matematika banyak memegang peran penting dalam pemecahan masalah disetiap bidang kehidupan. Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam bahasa matematika sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang.
Hubungan antara satu elemen himpunan tepat dengan satu elemen pada himpunan yang lain disebut fungsi. Dalam fungsi ada yang dikenal dengan grafik, grafik fungsi ini menggambarkan hubungan matematik antara dua variabel atau lebih.
Pada dasarnya konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Dalam banyak hal fungsi diterapkan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang tehnik, ekonomi, dan bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel satu sama lainnya saling pengaruh mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak dan waktu dapat diiukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa definisi dari Fungsi?
1.2.2 Apa saja sifat-sifat yang ada pada fungsi? 1.2.3 Apa saja jenis-jenis yang ada pada fungsi?
1.3 Tujuan Penulisan
1.3.1 Mengetahui definisi fungsi.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi Fungsi
Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (codomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (range).
Jika ada dua himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B, maka suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang khusus, yaitu relasi dimana setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B.
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut. f : A → B
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik.
2.1.1 Syarat yang harus dipenuh supaya relasi tersebut dapat dikatakan sebagai fungsi
1. Pertama, setiap anggota A mempunyai pasangan di B. Jika ada salah satu anggota A tidak memiliki pasangan di B, maka relasi tersebut bukan fungsi. 2. Kedua, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Jika anggota
A memilik lebih dari satu pasangan maka relasi itu bukan fungsi. Syarat kedua ini tidak berlaku untuk sebaliknya, maksudnya jika syarat pertama dipenuhi anggota B boleh memiliki pasangan lebih dari satu di anggota A.
2.2 Cara Menyatakan Fungsi
Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A → B ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian :
f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram Panah
Gambar 2.1 1
2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
A B
Diagram Cartesius
Gambar 2.2
Himpunan Pasangan Berurutan {(1, 3), (2, 0), (3, -3)}
2.3 Sifat-sifat Fungsi
2.3.1 Fungsi Injektif
Fungsi Injektif disebut juga fungsi satu-satu. Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A→B adalah fungsi injektif apabila a≠b berakibat f(a)≠f(b) atau ekuivalen, jika f(a)=f(b) maka akibatnya a=b.
Contoh: f(x)= 3x
2.3.2 Fungsi Surjektif
Fungsi surjektif disebut juga fungsi kepada. Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari f adalah himpunan bagian dari B atau f(A) C B. Jika f(A) = B yang berarti setiap anggota di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu anggota di A maka dikatakan f adalah fungsi surjektif atau “f memetakan A onto B”. Fungsi surjektif f : A→B ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 2.4
Fungsi Surjektif (kepada) dapat didefinisikan, fungsi f : A → B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika range f = codomain atau f(A)= B.
2.3.3 Fungsi Bijektif
Fungsi bijektif disebut juga fungsi korespondensi satu-satu. Jika suatu fungsi f:A→B merupakan fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif, maka f adalah fungsi yang bijektif atau “A dan B berada dalam korespondensi satu-satu” seperti pada gambar berikut.
2.4 Jenis-jenis Fungsi 2.4.1 Fungsi Aljabar
1. Fungsi Rasional a. Fungsi Konstan
Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.
Contoh : f: R→R didefinisikan oleh f(x) = 3 dengan R = bilangan real. Grafik fungsi f(x) =3 adalah sebagai berikut :
Tabel 2.1
x 0 1 2 3
f(x) 3 3 3 3
Gambar 2.6 b. Fungsi Identitas
Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.
Gambar 2.7 c. Fungsi Linear
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear.
Contoh :
f: R→R didefinisikan oleh f(x) = x + 1 dengan R = bilangan real. Grafik fungsi f(x) = x + 1 adalah sebagai berikut :
Tabel 2.3
x 0 1 2 3
f(x) 1 3 3 4
1 2 3
1 2 3
f(x) =3 1
2
2 3
Gambar 2.8 d. Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c
dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat berbentuk parabola.
Gambar 2.9
Contoh :
f: R→R didefinisikan oleh f(x) = x2- 4x + 4 dengan R = bilangan real. Grafik fungsi f(x) = = x2- 4x + 4 adalah sebagai berikut :
Tabel 2.4
x 0 1 2 3 4
f(x) 4 1 0 1 4
11 4
1 2
2 3
1 3
Gambar 2.9 e. Fungsi Kubik
Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dengan a,b,c,d ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kubik.
Contoh:
Gambar 2.10
f. Fungsi Berderajat n
Fungsi derajat n dinyatakan dalam bentuk :
f(x) = anxn + an-1xn-1 +….+ a2x2 + a1x + a0, dengan an , an-1 , …,a2 , a1 , a0 adalah bilangan real an ≠ 0, a0=konstanta dan n bilangan bulat
g. Fungsi Pangkat n
Fungsi dengan variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan riil dalam persamaannya. Bentuk Umum dinyatakan dengan, y=f(x)=xn, dengan n ∈ bilangan asli.
1 2
2 3
1 3
2. Fungsi Irasional
Fungsi Irasional adalah fungsi yang pada variabel bebasnya terdapat penarikan akar.
Bentuk Umum : f(x)=m
√
an xn+an−1xn−1+…
2.4.2 Fungsi Non Aljabar 1. Fungsi Eksponen
Fungsi Eksponen adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa pangkat dari suatu konstanta dalam persamaan fungsi tersebut.
Bentuk umum : y= ax
Grafik fungsi eksponen tidak memiliki titik potong pada sumbu x dan tidakmemiliki nilai ekstrim.
Contoh :
Gambar 2.11 2. Fungsi Logaritma
Fungsi Logaritma adalah invers fungsi dari fungsi eksponen. Karena adanya hubungan kesetaraan sifat eksponen dan logaritma y =a log x = ax
Bentuk umum : y = a log x
Grafik fungsi logaritma tidak memiliki titik potong pada sumbu y
Gambar 2.12
3. Fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa bilangangeometris, variabel x biasanya dinyatakan dalam radian ( π radian = 180 0 ). diantaranya : y= sin x ; y= cos x ; y= tan x ; y=ctg x ; y=sec x ; dan y= cosec x
Gambar 2.13
2.4.3 Fungsi Tangga (Bertingkat)
2.4.4 Fungsi Modulus (Mutlak)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
f : x → | x | atau f : x → | ax + b | f(x) = | x | artinya:
Gambar 2.15 2.4.5 Fungsi invers
Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Suatu fungsi memiliki fungsi invers, tetapi tidak semua fungsi memilikinya. Berikut adalah syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi
Perhatikan fungsi g(x) berikut ini dengan g : A → B
Gambar 2.16
perhatikan fungsi f dengan f : A→ B pada gambar (ii). Apabila fungsi f dibalik, maka diperoleh relasi R2. Relasi R2merupakan invers fungsi f. Apakah relasi R2 merupakan fungsi.
Pada relasi R1, ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A. Sehingga relasi R1 bukan merupakan fungsi. Sedangkan pada relasi R2, semua anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A, sehingga relasi R2 merupakan fungsi. Fungsi R2 ini selanjutnya disebut sebagai fungsi invers dari f, atau f-1. Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa f-1 ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau f adalah bijektif.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (codomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (range).
Relasi khusus dua himpunan yang menghubungkan setiap anggota himpunan daerah asal dengan tepat satu anggota himpunan kawan disebut fungsi. Dalam fungsi terdapat grafik fungsi yang dapat menggambarkan hubungan variabel dalam persamaanfungsi. Dengan mengenal jenis-jenis fungsi sambil mempelajari bahwa fungsi biasa digunakan dalam bidang peternakan. Konsep fungsi ini digunakan untuk memberikan gambaran konkrit dari sebuah analisis dilihat dari segi perhitungan matematika
Sifat-sifat fungsi terbagi menjadi tiga yaitu : fungsi injektif, fungsi subjektif fungsi bijektif. Selain sfatnya fungsi juga memiliki jenis-jenis yakni fungsi aljabar, fungsi non aljabar, fungsi tangga, fungsi modulus dan fungsi invers.
3.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Alewoh. 2015. Konsep dasar pemetaan pengertian sifat jenis fungsi
https://alewoh.com/konsep-dasar-pemetaan-pengertian-sifat-jenis-fungsi.php
Anonim. 2014. Makalah Fungsi. https://www.scribd.com/doc/238940575/1-makalah-fungsi. Diunggah pada 15 April 2018.
_______. 2015. Relasi dan Fungsi. https://smilematch.wordpress.com/relasi-dan-fungsi/.
_______. 2015. Jenis-jenis Fungsi dan Sifat-sifat. http://www.madematika.net/2015/08/jenis-jenis-fungsi-dan-sifat-sifat.html. Diunggah 23 April 2018.
_______. 2018. Jenis-jenis Fungsi Matematika https://id.scribd.com/doc/61927952/Jenis-jenis-Fungsi-Matematika.
_______. 2016. Makalah Fungsi. https://id.scribd.com/doc/238940575/1-makalah-fungsi
Deasy Dwi. 2018. Pengertian Fungsi Dalam Matematika.
https://dwideasy.wordpress.com/2014/05/18/pengertian-fungsi-dalam-matematika/. Diunggah
pada 15 April 2018.
Matematika Wiki. 2017. Makalah Fungsi Pemetaan. http://wikimatematika.blogspot.co.id/
