LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 1
LKS - 1
BILANGAN BULAT DAN PECAHAN
Indikator :
Menghitung hasil operasi campuran bilangan bulat melibatkan operasi (+, -, :,)
Menyelesaikan/ menjelaskan (memecahkan) masalah yang berkaitan operasi hitung bilangan bulat
Menghitung hasil operasi campuran bilangan pecahan
Menyelesaikan / menjelaskan (memecahkan) masalah yang berkaitan operasi hitung bilangan pecahan A. Operasi Hitung pada Bilangan
1. Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif, yang dinotasikan dengan B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
1) Penjumlahan
Penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat-sifat: tertutup, komutatif, asosiatif, dan bilangan 0 adalah unsure identitas atau bersifat netral.
2) Pengurangan
Jika a dan b bilangan bulat, maka berlaku: a – b = a + (－b) Pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
3) Perkalian
Perkalian bilangan bulat berlaku sifat-sifat: tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan bilangan 1 adalah unsure identitas perkalian.
Jika a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku: a × b = a × b
(－a) × b = －(a × b) a × (－b) = －(a × b) (－a) × (－b) = a × b 4) Pembagian
Jika a dan b bilanganbulat positif, maka berlaku: a : b = a : b
(－a) : b = －(a : b) a : (－b) = －(a : b) (－a) : (－b) = a : b 5) Operasi Hitung Campuran
Dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terdapat dua hal yang perlu diperhatikan yaitu:
Tanda kurung
Apabila ada operasi hitung campuran bilangan bula tterdapat tanda kurung, maka
pengerjaan pengoperasian bilangan yang ada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu
Tanda operasi hitung
Apabila dalam operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, maka pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung
2. Bilangan Pecahan
Jika a dan b bilangan bulat, b bukan factor dari a, dan b
0, makab a
merupakan bilangan pecahan, dengan a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Operasi hitung bilangan bulat meliputi : 1) Penjumlahan dan pengurangan
Jika memiliki penyebut yang sama, maka
c b a c b c a
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 2 c b a c b c a
Jika memiliki penyebut yang berbeda, maka
cd bc ad d b c a cd bc ad d b c a 2) Perkalian
Perkalian pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara
d c b a d b c a 3) Pembagian
Pembagian bilangan pecahan artinya mengalikan dengan kebalikannya.Pembagian pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara
b d c a d b c a :
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hasil dari (– 20) + 8×5 – 18: (– 3) adalah….A. -26 B. 14 C. -14 D. 26 Kunci Jawaban : D Pembahasan (– 20) + 8 × 5 – 18 : (– 3) =－20 + 40 + 6 = 26
2. Suatu permainan mempunyai aturan sebagai berikut :
Jika menang mendapat skor 3 ,kalah mendapat skor－2, dan seri mendapat skor－1. Suatu regu bermain 37 kali dengan hasil 21 kali menang dan 3 kali seri. Skor regu tersebut adalah .... A. -40 B. -34 C. 34 D. 60 Kunci Jawaban : C Pembahasan : Menang 21, skor = 21 × 3 = 6 Kalah 13, skor = 13 × (－2) =－26 Seri 3, skor = 3 ×(－1) = －3 Skor total = 63 + (－26) + (－3) = 34
3. Jika “#” berarti kalikan bilangan pertama dan kedua, kemudian jumlahkan hasilnya dengan bilangan pertama. Hasil dari－4 # 3 adalah ....
A. 16 B. – 8 C. 8 D. 16
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 3 Kunci Jawaban : A Pembahasan: －4#3 = (
4
3
) + (－4) =
12
4
16
4. Hasil dari 5 1 2 : 5 1 1 － 4 1 1 adalah ....(UN 2011) A. 7 5 1 B. 7 5 C. 12 7 D. 12 5 Kunci Jawaban : C Pembahasan 5 1 2 : 5 1 1 － 4 1 1 = 5 11 : 5 6 － 4 5 = 5 11 × 6 5 － 4 5 = 6 11 － 4 5 = 12 22 － 12 15 = 12 75. Saskia ingin membuat hiasan bunga dan membungkus kado menggunakan pita. Ia mempunyai
2 1 7 m pita. Ia membeli lagi
3 1
2 m pita.. Pita tersebut digunakan untuk membungkus kado
4 3 3 dan membuat hiasan bunga 6 1
4 m. Sisa pita Saskia adalah .... A. 11 10 m B. 12 11 m C. 11 1 1 m D. 12 11 1 Kunci Jawaban : D Pembahasan : 2 1 7 + 3 1 2 － 4 3 3 － 6 1 4 = (7+2－3－4) + 6 1 4 3 3 1 2 1 = 2 + 12 2 9 4 6
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 4 = 2 12 1 = 12 23 = 12 11 1
Jadi sisa pita saskia adalah
12 11 1 6. Hasil dari .... p 81 1 27 1 9 1 3 1 , nilai
p
adalah .... A. 2 1 B. 3 1 C. 3 2 D. 2 3 Kunci Jawaban : A Pembahasan p .... 81 1 27 1 9 1 3 1 3 1 3 1 ( ... 27 1 9 1 3 1 ) =p
Misal ( ... 27 1 9 1 3 1 ) = p, maka p p 3 1 3 1 3 1 p p 3 1 3 1 = p 3 3 － p 3 1 3 1 = p 3 2 ( dikali 3) p 2 1p
2 1Jadi nilai
p
adalah2 1
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 5
LKS - 2
PERBANDINGAN
Indikator :
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan senilai
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan berbalik nilaI
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan
Menyelesaikan / menjelaskan (memecahkan) masalah yang berkaitan dengan perbandingan
Menentukan jarak peta, jarak sebenarnya atau skala
Membedakan (memecahkan) masalah berkaitan dengan jarak peta, sebenarnya atau skala PERBANDINGAN DAN SKALA
1. Perbandingan
Perbandingan ada dua macam yaitu perbandingan senilai/seharga dan perbandingan berbalik nilai/berbalik harga
1) Perbandingan senilai/seharga Besaran 1 Besaran 2
a b
c d
Dapat dirumuskan sebagai:
d b c a
2) Perbandingan berbalik nilai/berbalik harga Besaran 1 Besaran 2
a b
c d
Dapat dirumuskan sebagai:
b d c a 2. Skala
Skala adalah perbandingan objek pada gambar dengan ukuran objek sebenarnya. sebenarnya jarak gambar pada jarak Skala
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Perbandingan panjang dan lebar persegipanjang 4 : 3. Jika keliling persegipanjang tersebut 84 cm, maka luasnya adalah ....(UN 2015)
A. 325 cm2
B. 382 cm2
C. 416 cm2
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 6 Kunci Jawaban : D
Pembahasan : Panjang : lebar
Misal : panjang =
4
x
; Lebar =3
x
Keliling = K K = 2(pl) K = 2(4x3x) 84 =8
x
6
x
84
14
x
14
:
84
x
6
x
Jadi panjang =4
x
= 4(6)= 24 cm =3
x
= 3(6)= 18 cmLuas persegi panjang = pl = 24 × 18
= 432 cm2
2. Perbandingan uang Dina dan Dono 2 : 5. Jumlah uang mereka Rp560.000,00. Selisih uang mereka adalah .... A.Rp400.000,00 B. Rp320.000,00 C. Rp240.000,00 D.Rp160.000,00 Kunci Jawaban : C Pembahasan :
selisih uang Dina dan Dono adalah :
7
2
5
× Rp560.000,007
3
× Rp560.000,00= Rp240.000,003. Pak kardi merencanakan memperbaiki rumah oleh 28 pekerja akan selesai selama 24 hari. Jika pak Kardi menginginkan pekerjaan selesai selama 16 hari, banyaknya pekerja tambahan yang diperlukan adalah ....(UN 2014) A.14 orang B. 16 orang C. 42 orang D.48 orang Kunci Jawaban : C Pembahasan :
Perbandingan berbalik nilai
28
16
24
x
16
24
28
x
42
x
pekerja’Waktu Banyak pekerja
24 hari 28 pekerja 16 hari x pekerja
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 7 Jadi tambahan pekerja adalah = 42 －28 = 14 pekerja
LKS - 3
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
Indikator :
Menghitung hasil perpangkatan dengan eksponen bilangan negatif atau pecahan yang melibatkan operasi (+, －, : , ×)
Menentukan hasil perkalian atau pembagian bilangan bentuk akar
Menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan bentuk akar
Menyederhanakan bilangan dengan penyebut bentuk akar
A. BILANGAN BERPANGKAT
1. Bilangan Berpangkat
Pangkat merupakan perkalian berulang an = a a a ... a
2. Sifat-sifat bilangan berpangkat 1) am an = am + n 2) am : an = am – n 3) (am)n = am n 4) (an bn) = (a b)n 5) n b n a n b a 6) a0 = 1 7) an = n a 1 B. BENTUK AKAR
Sifat-sifat bentuk akar : 1. n an b n ab 2. n a:n b n a:b 3. n n m m
a
a
4. m m m a c b a c a b ( ) 5. m m m a c b a c a b ( )CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hasil dari 45－3 80 adalah ....(soal UN 2016)A. 15 5 B. 9 5
C. 3 5 D. 4 5
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 8 Kunci Jawaban : B Pembahasan : 45－3 80= 95－3 165 = 3 5－34 5 = 3 5－12 5 = 9 5 2. Hasil dari
5
3
1
adalah .... A.8
5
3
B.4
5
3
C.4
5
3
D.2
5
3
Kunci Jawaban : C Pembahasan :5
3
1
×3
5
5
3
=5
9
5
3
=4
5
3
3. Hasil dari 3 2 2 127
adalah ....(soal UN 2016) A. 9 1 B. 3 1 C. 3 D. 9 Kunci Jawaban : C Pembahasan : 3 2 2 127
=
3 2 2 1 3 3 =
3 1 3 34. Bentuk sederhana dari
2
3
5
adalah …. A.32
+ 2 3 B. 32
- 2 3 C. 5 3- 52
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 9 D.5 3+ 5
2
Kunci Jawaban : Pembahasan :2
5
3
5
)
2
3
(
5
1
)
2
3
(
5
2
3
)
2
3
(
5
2
3
2
3
2
3
5
2
3
5
x
5. Jika bentuk7
5
3
disederhanakan maka hasilnya adalah ….A.– ( 5 7) 2 3 B. – ( 7 5) 3 2 C. ( 5 7) 2 3 D. 3( 7 5) 2 Kunci Jawaban : A Pembahasan :
)
7
5
(
2
3
2
)
7
5
(
3
7
5
)
7
5
(
3
7
5
7
5
7
5
3
7
5
3
x
LKS - 4
ARITMATIKA SOSIAL
Indikator : Menentukan besar tabungan awal
Menentukan waktu atau lama menabung dalam perbankan
Menentukan persentase bunga dalam perbankan
Menentukan besar angsuran setiap bulan pada koperasi
Menghitung harga pembelian
Menghitung harga penjualan
Menentukan persentase untung dan rugi
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan jual beli
Menyelesaikan masalah aritmatika sosial yang berkaitan dengan potongan harga
A. KOPERASI DAN PERBANKAN
Misal M = Modal awal P% = Bunga pertahun Bunga 1 tahun = P .M 100 Bunga b bulan = b P .M 100 . 12 Bunga h hari = h P .M 100 . 365
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 10
B. PERSENTASE UNTUNG DAN RUGI
1. persentase untung =
%
100
pembelian
untung
2. Persentase rugi =%
100
pembelian
rugi
C. HARGA JUAL DAN HARGA BELI
Misal persentase untung = p Harga jual = harga beli + untung Harga jual = harga beli － rugi
penjualan
p
beli
a
H
100
100
arg
penjualan
p
beli
a
H
100
100
arg
D. PINJAMANJumlah pinjaman = bunga + pinjaman awal
pinjaman
lama
pinjaman
jumlah
angsuran
Besar
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Perhatikan tabel daftar harga buku dan besar diskon di empat toko buku berikut !
Daffa akan membeli kamus dan novel di toko yang sama. Di toko mana Daffa berbelanja agar di peroleh harga yang paling murah ?
A. Toko A B. Toko B C. Toko C D. Toko D Kunci Jawaban : A Pembahasan :
Jenis buku Harga Diskon
Toko A Toko B Toko C Toko D
Kamus Rp120.000,00 25% 20% 15% 10%
Novel Rp70.000,00 10% 15% 20% 25%
Jenis buku
Diskon
Toko A Toko B Toko C Toko D
Kamus Diskon 25% Bayar 75% 75% ×120.000 =Rp90.000,00 20% Bayar 80% 80%×120.000=Rp 96.000,00 15% Bayar 85% 85%×120.000,00 =Rp102.000,00 10% Bayar 90% 90%×120.000,00 Rp108.000,00 Novel 10% 15% 20% 25%
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 11 2. Andi menabung di bank sebesar Rp250.000,00 dengan suku bunga 18% pertahun. Jika tabungannya
Andi sekarang Rp280.000,00, lama Andi menabung adalah ….(UN 2015) A. 5 bulan B. 6 bulan C. 7 bulan D. 8 bulan Kunci Jawaban : D Pembahasan : Bunga = 280.000－250.000 = 30.000 Bunga b bulan = b p M 100 12 30.000= 12 b 000 . 250 100 18 30.000= 12 b ×45.000 30 = 12 b ×45 30 = b 12 45
b
= 30× 45 12b
= 30× 15 4b
= 83. Hasil penjualan 2 kaleng biskuit adalah Rp120.000,00. Jika dari hasil penjualan 2 kaleng biskuit tersebut pedagang mendapat untung sebesar 20 %, maka harga beli 2 kaleng biskuit adalah ....
A. Rp110.000,00 B. Rp100.000,00 C. Rp95.000,00 D. Rp90.000,00 Kunci Jawaban : B Pembahasan :
p
= 20 % ; harga jual Rp120.000,00 Harga beli =
p
100
100
harga jual = 20 100 100 × Rp120.000,00 = 120 100 × 120.000,00 = Rp100.000,004. Empat lusin mainan anak dibeli dengan Rp 284.000,00 kemudian dijual dan ternyata mengalami kerugian sebesar Rp 20.000,00. Harga penjualan tiap mainan tersebut adalah ….
A. Rp3.500,00 B. Rp4.800,00 Bayar 90% 90%×70.000,00 Rp63.000,00 Bayar 85% 85%×Rp70.000 Rp59.5000,00 Bayar 80% 80%×Rp70.000 Rp56.000,00 Bayar 75% 75% ×Rp70.000 Rp52.500,00 Jumlah total Rp153.000,00 Rp155.500,00 Rp158.000,00 Rp160.500,00
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 12 C. Rp5.500,00
D. Rp5.750,00 Kunci Jawaban : C Pembahasan :
Harga penjualan = harga pembelian – rugi = Rp284.000,00 – Rp20.000,00 = Rp264.000,00
Harga penjualan tiap mainan = 5.500,00 48 00 , 000 . 264 Rp
5. Sebuah toko memberikan diskon 20% untuk baju dan 15% untuk lainnya. Anita membeli sebuah baju seharga Rp95.000,00 dan sebuah tas seharga Rp100.000,00. Jumlah uang yang harus dibayar Ana untuk pembelian baju dan tas tersebut adalah ….
A. Rp85.500,00 B. Rp93.500,00 C. Rp161.000,00 D. Rp165.000,00 Kunci Jawaban : C Pembahasan :
Diskon pembelian baju = 95.000,00 19.000,00 100 20 Rp Rp x Pembelian baju = Rp95.000,00 – Rp19.000,00 = Rp76.000,00 Diskon pembelian tas = 100.000,00 15.000,00
100 15 Rp Rp x Pembelian tas = Rp100.000,00 – Rp15.000,00 = Rp85.000,00
Uang yang harus dibayar Anita = Rp76.000,00 + RP85.000,00 = Rp161.000,00
LKS - 5
POLA DAN BARISAN BILANGAN
Indikator :
Memprediksi suku berikutnya dari pola bilangan yang diberikan Menginterprestasi tentang gambar berpola
Menentukan / Menyimpulkan suku ke-n , jika unsur yang diperlukan diketahui dari barisan bilangan
Menyimpulkan rumus Un, jika diketahui dari barisan bilangan
Menentukan Un, jika rumus suku ke-n diketahui
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan bilangan
A. POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN
1. Pola bilangan :
a) Pola bilangan dengan beda tetap : Contoh : 2, 6, 10, 14,….
Urutan pertama U1 = a = 2, beda= b= U2U1= 6 – 2 = 4
Urutan ke n = Un = a + (n1)b
Urutan ke 15 = U15 = 2 +(15 1) 4 = 2 + 56 = 58
b) Pola bilangan dengan beda tidak tetap Contoh :
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 13 2. Barisan Bilangan :
a) Suku ke n barisan Aritmatika Un = a+(n1)b
a = U1 = Suku pertama
b = Un-1Un = beda atau selisih dua suku berurutan
b) Suku ke n barisan Geometri Un = a.rn-1 r = 1 n n
U
U
= rasio dua suku berurutan
B. DERET BILANGAN 1. Deret Aritmatika Sn = (2 ( 1) ) 2 a n b n Sn = ( ) 2 a Un n
Sn = jumlah n suku pertama deret aritmatika
2. Deret Geometri
r r a S n n 1 1 untuk r < 1
1 1 r r a S n n untuk r > 1 nS = jumlah n suku pertama deret geometri
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Tiga bilangan berikutnya dari pola bilangan 1, 3, 6, 10, 15, ... adalah ....A. 23, 27, 32 B. 21, 28, 36 C. 15, 20, 26 D. 16, 20, 25 Kunci Jawaban : B Pembahasan :
Dari pola bilangan : 1, 3, 6, 10, 15, ... b1 = 2 b2 = 3
b3 = 4 b4 = 5
Bilangan berikutnya : 15 + 6 = 21
21 + 7 = 28
28 + 8 = 36
2. Tiga bilanganberikutnya dari pola bilangan 2, 6, 10, 14,….adalah .... A. 10, 14, 18
B. 14, 18, 22 C. 18, 22, 26 D. 22, 26, 30
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 14 Kunci Jawaban : C
Pembahasan :
Dari barisan bilangan : 2, 6, 10, 14,…. Bedanya tetap yaitu b = 4
Tiga suku berikutnya : 18, 22, 26
3. Suku ke-12dari barisan bilangan 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, .… adalah …. A. 1 16 B. 1 8 C. 1 4 D. 1 2 Kunci Jawaban : C Pembahasan :
Dari barisan bilangan 512, 256, 128, 64, 32, … Diketahui rasio r = 2 1 Suku ke-10 = 1 Suku ke-11 = 2 1 Suku ke-12 = 4 1
4. Perhatikan gambar pola berikut :
Pola di atas dibuat dari batang lidi. Banyak batang lidi pada pola ke- 10 adalah …. A.31 B. 30 C. 29 D.28 Kunci Jawaban : A Pembahasan :
Gambar pola-1 banyak batang lidi = 4 Gambar pola-2 banyak batang lidi = 7 Gambar pola-3 banyak batang lidi = 10 Gambar pola-4 banyak batang lidi = 13 .
. .
Gambar pola-4 banyak batang lidi = 3(10) + 1= 30 + 1 = 31
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 15 Banyak titik pada pola ke-8 adalah….
A. 15 B. 21 C. 28 D. 36 Kunci Jawaban : D Pembahasan :
Banyak titik pada pola-1 = 1 Banyak titik pada pola-2 = 3 Banyak titik pada pola-3 = 6 Banyak titik pada pola-4 = 10 .
. .
Banyak titik pada pola-8 = ( ) 2 1 2 n n = (8 8) 2 1 2 = (72) 2 1 = 36
6. Diketahui suku ke-3 dan ke-6 dari barisan aritmatika masing-masing adalah 8 dan 17. Suku ke-20 adalah…. A. 65 B. 59 C. 55 D. 48 Kunci Jawaban : B Pembahasan Un= a + (n – 1)b U6= a + 5b = 17 U3= a + 2b = 8 - 3b = 9 b = 3 a + 2b = 8 a + 2.3 = 8 a + 6 = 8 a = 2 U20= 2 + (19.3) = 2 + 57 = 59
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 16 7. Selisih suku ke-50 dan ke-51 dari barisan bilangan yang rumus suku ke-n = 7 – 2n adalah ….
A. –5 B. –2 C. 2 D. 5 Kunci Jawaban : C Pembahasan Un = 7 – 2n U50 = 7 –100 = –93 U51 = 7 – 102 = –95 U50 – U51 = –93–(–95) = –93 + 95 = 2
8. Dari suatu deret geometri diketahui suku ke-2 dan ke-4 nya 6 dan 24 , maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah.... A. 3052 B. 3062 C. 3072 D. 3092 Kunci Jawaban : C Pembahasan Un= arn1 U4= ar3= 24 U2= ar =6 r2= 4 r =
4
r = 2 a x 2 = 6 a = 3 Suku ke-11 = 3 x 210 = 3 x 1024 = 30729. Dalam suatu pertemuan terdapat 30 kursi pada baris pertama , 36 kursi pada baris kedua , 42kursi pada baris ketiga dan seterusnya.Jika terdapat 15 baris kursi pada pertemuan itu maka banyaknya kursi padabaris terakhir adalah ....
A. 142 B. 135 C. 128 D. 114 Kunci Jawaban : D Pembahasan :
Kursi pada baris ke-1 sebanyak = 30 Kursi pada baris ke-2 sebanyak = 36 Kursi pada baris ke-3 sebanyak = 42
. . .
Kursi pada baris ke-n sebanyak Un= a + (n – 1)b a = 30
b = 6
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 17 = 30 + 84
Kursi pada baris ke-51 sebanyak = 114
10. Pada tumpukan kardus, banyak kardus paling atas ada 6 buah dan setiap tumpukan di bawahnya selalu lebih banyak 4 buah dari tumpukan di atasnya. Jika ada 16 tumpukan kardus, banyak kardus pada tumpukan paling bawah adalah ....
A.66 buah B. 58 buah C. 51 buah D.42 buah Kunci Jawaban : A Pembahasan
Barisan Aritmetika dengan a = 5 dan b = 3. un = a + (n – 1) b
u12 = 6 + (16 – 1) 4
= 6 + 60 = 66
LKS - 6
OPERASI BENTUK ALJABAR
Indikator :
Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Perkalian suku dua aljabar
Kuadrat suku dua
Penfaktoran
A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.
Contoh :
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut. 1) –4ax + 7ax
2) (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1)
3) (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) Penyelesaian:
1) –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax 2) (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) = (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) = 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1 = 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1 = (2 + 4)x2 + (–3 – 5)x + (2 + 1) = 6x2 – 8x + 3 3) (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2 = 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2 = (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2) = –a2 + 3a + 3
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 18 Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a(b+c) = (ab)+(ac) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a (b – c) = (ab) – (a c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
1.
Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabarPerkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut:
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb Contoh soal:
Sederhanakan bentuk aljabar 4(p + q) Penyelesaian:
4(p + q) = 4p + 4q
2.
Perkalian antara dua bentuk aljabarUntuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut :
(nx+b)(mx+d) = nx (mx+d)+b(mx+d) = nmx2 + ndx + mbx + bd
=nmx2 + (nd+mb)x + bd
C. KUADRAT SUKU DUA
Perhatikan bahwa bentuk ( a + b )2 merupakan perkalian ( a + b ) dengan ( a + b ) sehingga,
( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b )
= a2 + ba + ab + b2
= a2 + ab + ab + b2 ( ba = ab adalah sifat komutatif terhadap perkalian )
= a2 + 2ab + b2
Jadi : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Contoh :
Uraikan bentuk aljabar ( 3p + 2 )2
Penyelesaian :
( 3p + 2 )2 = ( 3p + 2 ) ( 3p + 2 )
= 9p2 + 6p + 6p + 4
= 9p2 + 12p + 4
D. PEMFAKTORAN
1. Pemfaktoran dengan sifat Distributif
Bentuk ax+ay dapat difaktorkan menjadi a(x+y), dimana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay.
Contoh :
a) 2x + 8y = 2(x + 4y) b) 5xx2y = x(5xy)
c) 3a2b2+18ab = 3ab(ab 6)
2. Selisih Dua Kuadrat a2 b2 :
(a+b)(ab) = a(ab)+b(a b) = a2ab+abb2
= a2b2
Jadi a2b2= (a+b)(ab)
3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat a) Dengan a=1
Perhatikan :
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 19 = x2+qx+px+pq
= x2+(q+p)x+pq
Jadi faktor dari x2 + (q+p)x + pq = (x+p)(x+q)
Misal x2 + (q+p)x + pq = ax2 + bx + c maka a = 1, b = q+p, c = pq
Contoh : x2 + 6x + 8, Faktor dari 8 adalah 1, 2,4, 8
x2 + 6x + 8 = x2 + (2+4)x + (2.4) = (x+2)(x+4)
b) Dengan a≠1
Bentuk pemfaktoran ax2 + bx + c , diselesaikan dengan mengalikan nilai a atau koefisien
x2dengan c. Kemudian tentukan dua bilangan yang apabila dikalikan menghasilkan ac dan
apabila dijumlahkan menghasilkan b. Contoh : 2x2 + x – 6 = 0, Faktor dari -12 2 . (-6) = -12 2x2 + x 6 = 2x2 + (-3+4)x6 = 2x23x+4x6 = x(2x3)+2(2x3) = (x+2)(2x3)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hasil penjumlahan dari 2a – 7b + 4c dan 5a + 3b – 6c adalah ….A. 3a + 5b – 6c B. 7a – 4b – 2c C. 5a + 2b – 8c D. 3a – 3b – 6c Kunci Jawaban : B Pembahasan : 2a – 7b + 4c + 5a + 3b – 6c = 2a + 5a – 7b +3b + 4c – 6c= 7a – 4b – 2c 2. Jika –7x + 5y dikurangkan dari 5x + 7y, hasilnya adalah ….
A. –12x – 5y B. –12x + 5y C. 12x + 2y D. 12x – 2y Kunci Jawaban : C Pembahasan : 5x + 7y – (–7x + 5y ) = 5x + 7y +7x – 5y = 5x + 7x + 7y – 5y = 12x + 2y
3. Hasil kali (3x – 4y)(4x + 3y) adalah …. A. 12x2 – 7xy – 12y2 B. 12x2 – xy – 12y2 C. 12x2 + xy – 12y2 D. 12x2 + 7xy – 12y2 Kunci Jawaban : A Pembahasan :
(3x – 4y)(4x + 3y) = 3x(4x + 3y) – 4y(4x + 3y) = 12x2 + 9xy – 16xy –12y2
= 12x2 – 7xy – 12y2
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 20 A. -9x2 – 24xy – 16y2 B. -9x2 + 24xy – 16y2 C. 9x2 – 24xy + 16y2 D. 9x2 + 24xy + 16y2 Kunci Jawaban : D Pembahasan :
(–3x – 4y)2 = (–3x – 4y)(–3x – 4y)
= –3x((–3x – 4y) – 4y(–3x – 4y) = 9x2 + 12xy + 12xy + 16y2
= 9x2 + 24xy + 16y2
5. Salah satu faktor dari: 2x2 – 5xy – 12y2 adalah ….
A. (2x + 3y) B. (2x + 4y) C. (x – 2y) D. (2x – 12y) Kunci Jawaban : A Pembahasan :
2x2 – 5xy – 12y2 = (2x + 3y) (x –4y)
Salah satu faktornya : (2x + 3y)
LKS - 7
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
LINEAR SATU VARIABEL
Indikator :
Menyelesaikan persamaan linier satu variabel
Menyelesaikan persamaan linier satu variabel pecahan
Menyelesaikan pertidaksamaan linier satu variabel
Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel
Mengkonstruksi kalimat matematika dari kehidupan sehari-hari
A. PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
Adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan “=” dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat 1. Bentuk umum persamaan linier satu variabel ax+b=0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3(3x+4) = 6(x1) Penyelesaian : 3(3x+4) = 6(x1) 9x+12 = 6x 6 3x = -18 x=
3
18
= - 6Jadi Himpunan penyelesaianya {-6}
B. PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
Suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variabel berderajad satu dan dihubungkan dengan lambang <,>,≤ dan ≥
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 21 Tentukan himpunan penyelesaian dari 6x + 5 ≤ 4x-5
Penyelesaian : 6x + 5 ≤ 4x5 6x 4x ≤ 55 2 x ≤ 10 x ≤ 5
Himpunan Penyelesaiannya adalah {..., -7, -6, -5}
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Penyelesaian dari persamaan : 3x+2 = 7x–10 adalah ….A. –7 B. –3 C. 3 D. 7 Kunci Jawaban : C Pembahasan : 3x+2 = 7x–10
3x – 7x = –10–-2
–4x = –-12
x = 3 2. Penyelesaian dari 3 2 ( x – 2 ) = 4 1 ( 4x + 8 ) adalah …. A. –12 B. –10 C. 7 D. 12 Kunci Jawaban : B Pembahasan : 3 2 ( x – 2 ) = 4 1 ( 4x + 8 )
12. 3 2 ( x – 2 ) = 12. 4 1 ( 4x + 8 )
8 ( x – 2 ) = 3 ( 4x + 8 )
8x – 16 = 12x + 24
8x – 12x = 24 + 16
– 4x = 40
x = – 103. Bilangan berikut yang bukan penyelesaian dari pertidaksamaan 9x – 3
8x + 4 adalah …. A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 Kunci Jawaban : D Pembahasan : 9x – 3
8x + 4
9x – 8x
4 + 3
x
74. Jika x A, maka himpunan penyelesaian dari
2 1 ( 3x + 1) > 3 1 (5x – 1 ) adalah …..
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 22 A.{1, 2, 3, 4} B.{2, 3, 4} C.{3, 4} D.{4} Kunci Jawaban : A Pembahasan : 2 1 ( 3x + 1) > 3 1 (5x – 1 )
6. 2 1 ( 3x + 1) > 6. 3 1 (5x – 1)
3(3x + 1) > 2(5x – 1 )
9x + 3 > 10x – 2
9x – 10x > – 2 –3
–-x > – 5
x < 5Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3, 4}
5. Sebuah persegi panjang diketahui panjang (x + 9 ) cm dan lebarnya x cm . Jika kelilingnya lebih dari 36 cm tetapi kurang dari 42 cm, maka batas-batas nilai x adalah ….
A. 6 2 1 4 x B. 2 1 4 x atau
x
6
C. 4 2 1
x
6 D. 6 2 1 4 x Kunci Jawaban : A Pembahasan : Persegi panjang : panjang = ( x + 9 ) cm lebar = x cm Keliling = 2( x + 9 ) + 2.x > 36
2x + 18 + 2x > 36
4x + 18 > 36
4x > 18
x > 4 2 1 Keliling = 2( x + 9 ) + 2.x < 42
2x + 18 + 2x< 42
4x + 18 < 42
4x < 42 - 18
4x < 24
x < 6Jadi batas-batas nilai x adalah 4
2 1
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 23 6. Ayah mengendarai mobil pergi ke luar kota. Mula-mula berjalan selama
4 3
jam dengan kecepatan ( 3x + 15 ) km/jam, kemudian selama 3 jam dengan kecepatan ( 4x + 10 ) km/jam. Jika jarak yang ditempuh seluruhnya 255 km, maka kecepatan rata-rata selama 3 jam kedua perjalanan adalah ... A. 60 km/jam B. 70 km/jam C. 75 km/jam D. 80 km/jam Kunci Jawaban : B Pembahasan : 4 3 ( 3x + 15 ) + 3(4x + 10 ) = 255
12. 4 3 ( 3x + 15 ) + 12.3(4x + 10 ) = 12 x 255
9( 3x + 15 ) + 36(4x + 10 ) = 3060
27x + 135 + 144x + 360 = 3060
27x + 144x = 3060 – 495
171x = 2565
x = 171 2565 = 15Kecepatan rata-rata selama 3 jam kedua = ( 4x + 10 ) km/jam = 4.15 + 10 = 60 + 10 = 70 km/jam
LKS - 8
HIMPUNAN
Indikator :
Menentukan himpunan bagian dari suatu himpinan
Menentukan, pengurangan , irisan atau gabungan dua himpunan
Menentukan komplemen dua himpunan
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan himpunan.
A. HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas atau segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.
Contoh:
Kumpulan alat tulis
Yang merupakan anggota: pensil, bolpoit, penggaris
B. NOTASI HIMPUNAN
Himpunan ditulis menggunakan huruf besar,misalnya S, A,atau B sementara anggota (elemen) himpunan ditulis menggunakan huruf kecil a, c, z atau angka 1, 2, 3, ...
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam himpunan adalah:
Simbol Arti
atau Himpunan kosong
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 24 Operasi irisan dua himpunan
Ac Komplemen
, Elemen= anggota , bukan anggota
C. HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan, biasanya dilambangkan dengan huruf S
Contoh :
A = { a, b, c, d, e } semestanya dapat berupa huruf abjad B = { 1, 2, 3, 4 } semestanya dapat berupa bilangan Asli
D. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN
1. Mendaftar semua anggota himpunan, contoh N = { 1, 2, 3, 4,....} 2. Notasi pembentuk himpunan, contoh O = { x/x adalah bilangan ganjil } 3. Dengan kalimat atau kata-kata, contoh P= Himpunan bilangan prima genap
E. HIMPUNAN KOSONG
Himpunan {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Sedangkan himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun disebut sebagai himpunan kosongditulis = { }
F. RELASI ANTAR HIMPUNAN
1. Himpunan bagian
Jika A = {1, 2, 3, 4, 5}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggota-anggotanya diambil dari himpunan tersebut, misalnya:
P = {1, 3, 5} Q = {2, 4}
Kedua himpunan di atas memiliki sifat setiap anggota himpunan P, Q adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut himpunan bagian dari A.
Jadi himpunan P, Q adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggotaP,Q menjadi angotaA. Kalimat di atas tetap benar untuk P, Q himpunan kosong.
Maka = { } merupakan himpunan bagian dari A. 2. Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
Contoh :
Banyak anggota pada himpunan A = {1, 2, 3} ada 3. Himpunan B = {a, b, c} banyak anggota 3. Berarti kedua himpunan dikatakan memiliki angota yang sama atau ekuivalen.
Dua buah himpunan A dan B memiliki anggota yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A ke B. Himpunan yang diperoleh {(1, a),( 2, b), (3, c)} maka kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang sama.
3. Himpunan bagian
Himpunan bagian dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah P(A)
Jika A = {1, 2, 3}, maka P(A) adalah : { },{1}, {2}, {3},
{1, 2},{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},
Banyaknya anggota himpunan bagian dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A. P(A) = 2A
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui P = {x | 1 ≤ x < 9, x bilangan prima}. Banyak himpunan bagian P adalah …. A. 8
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 25 C. 32 D. 64 Kunci Jawaban : B Pembahasan : P = {x | 1 ≤ x < 9, x bilangan prima}. P = {2, 3, 5, 7,}. n(P) = 4
Banyak himpunan bagian P = 24= 16
2. Diketahui : P = { x | 2
x < 6, x bilangan Asli } Q = { x | 3 < x
7, x bilangan Cacah }Dengan mendaftar anggotanya maka P – Q adalah .... A. {2, 3} B. {2, 3, 4} C. {3, 4, 5, 6} D. {3, 4, 5, 6, 7 } Kunci Jawaban : A Pembahasan :
P = { x | 2
x < 6, x bilangan Asli } , maka P = { 2, 3, 4, 5 } Q = { x | 3 < x
7, x bilangan Cacah } , maka Q = { 4, 5, 6, 7 } Jadi P – Q = {2, 3}3. Diketahui : A = { faktor dari 21 }
B = { bilangan prima kurang dari 13} Maka A B adalah …. A. { 1, 3, 5, 7, 9, 11} B. { 3, 5, 7, 11, 13} C. { 2, 3, 5, 7 } D. { 3, 7 } Kunci Jawaban : D Pembahasan :
A = { faktor dari 21 } maka A = { 1, 3, 7, 21 }
B = { bilangan prima kurang dari 13} maka B = { 2, 3, 5, 7, 11} Jadi A B = { 3, 7 }
4. Diketahui : S = { x | 3
x < 10, x bilangan Asli } B = { x | 5 < x
9, x bilangan Asli }Maka komplemen dari B dengan mendaftar anggotanya adalah …. A. {3, 4, 5, 6, 7, 8} B. {3, 4, 5, 10} C. {4, 5, 6, 7} D. {5, 6,7} Kunci Jawaban : B Pembahasan : S = { x | 3
x < 10, x bilangan Asli }B = { x | 5 < x
9, x bilangan Asli } , maka B = {6, 7, 8, 9} Jadi B’ = {3, 4, 5, 10}5. Dari 128 siswa, diketahui 90 siswa menyukai Matematika , 84 siswa menyukai IPA, dan 76 siswa suka keduanya. Banyak siswa yang tidak menyukaiMatematika maupun IPA adalah ….
A. 30 siswa B. 38 siswa C. 44 siswa D. 52 siswa Kunci Jawaban : A
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 26 Pembahasan :
Misal : siswa yang menyukai Matematika adalah A, dan yang menyukai IPA adalah B, maka: n(S) = n(A) + n(B) – n(AB) + n(AB)C
128 = 90 + 84 – 76 + n(AB)C
128 = 98 + n(AB)C
n(AB)C = 128 – 98
n(AB)C = 30
Jadi, siswa yang tidak menyukai Matematika maupun IPA adalah 30 siswa.
LKS - 9
RELASI DAN FUNGSI
Indikator :
Menentukan Relasi dua himpunan
Menentukan fungsi dari suatu relasi dua himpunan
Menentukan f (ax+b), jika rumus fungsi diketahui
Menentukan nilai c,dan n, jika nilai f(c)=m, f(b) =n dan rumus fungsi diketahui
Menentukan nilai f(c) jika rumus f diketahui
Menentukan nilai fungsi f( c ) , jika f (a ), f ( b ) dan rumus fungsi diketahui
Menentukan grafik fungsi
Menjelaskan (memecahkan masalah) berkaitan fungsi
A. RELASI DAN FUNGSI
1. Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasanganatau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Relasi dapat dinyatakan dengan : a) Himpunan pasangan berurutan
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan, Contoh:{(1,a), (2,b), (3,c)} b) Diagram Panah c) Diagram Cartesius Y X 1 2 3 3 2 1 O
A B
1• 2• 3• 4• •a •b •c •dLKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 27 d) Dengan Rumus
f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}
2. Fungsi
Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain) , himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil ( Range) dan untuk memberi nama suatu fungsi digunakan huruf f, g, h. Contoh: f(x): di baca “ fungsi dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh fpada x. misalkan : f(x) = x + 5, jika x = 3 maka f(3) = 3 + 5.
B. KORESPONDENSI SATU-SATU
Korespondensi satu satu, Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut korespondensi satu satu, maka jumlah anggota kedua himpunan harus sama n(A) = n(B).
Banyak korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B, jika n(A) = n(B) = n adalah n (n-1)
C. MERUMUSKAN FUNGSI
Fungsi linier adalah fungsi yang memiiki bentuk f (x) = ax + b dengan a,b Q atau R, a ≠ 0 Contoh : f(x) = x – 2, f(x) = 3x + 2
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Relasi yang digambarkan dengan diagram panah di bawah ini adalah ….A. kurang dari B. lebih dari C. faktor dari D. kuadrat dari Kunci Jawaban : C Pembahasan : Dari diagram di atas 2 merupakan faktor dari 6 2 merupakan faktor dari 8 2 merupakan faktor dari 10
2. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = 7 x
2 1
dengan x{-2, 0, 2, 4}. Daerah hasil fungsi tersebut adalah ….
1• 2• 3• 4• •a •b •c •d
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 28 A. {6, 7, 8, 9} B. {4, 6, 7, 8} C. {2, 4, 6, 8} D. {5, 6, 7, 8} Kunci Jawaban : D Pembahasan : x 2 0 2 4 f(X) 8 7 6 5 Daerah hasil/range = {5, 6, 7, 8}
3. Suatu fungsi linear didefinisikan dengan f(x) = ax + b dengan xR. Jika pada fungsi tersebut diketahui f(2) = 8 dan f(5) = 13, maka nilai a dan b berturut-turut adalah ….
A.3 dan 2 B.3 dan 2 C.2 dan 3 D.3 dan 2 Jawaban : B Pembahasan : f(x) = ax + b f(2) = –2a + b = 8 f(5) = 5a + b = 13 – –7a = –21 a = 3 –2(3) + b = –8 –6 + b = –8 b = –8 + 6 = –2
Jadi a dan b berturut-turut 3 dan –2
4. Diketahui
f
x
4
x
3
. Jikaf
a
= 17, maka nilai a adalah ... A. 5 B. 10 C. 18 D. 65 Kunci Jawaban : A Pembahasan :
x
4
x
3
f
a
4
a
3
17
f
4a = 17 + 3 = 20 a = 55. Diberikan fungsi f(x) = ax + b. Diketahui f(4) = 5 dan f(–2) = –7, maka nilai a2 – b2 adalah ….
A. 5 B. 2 C. -2 D. -5 Kunci Jawaban : D Pembahasan : f(x) = ax + b f(4) = 4a + b = 5 f(–2) = –2a + b = –7 – 6a = 12
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 29 a = 2 4(2) + b = 5 8 + b = 5 b = 5 – 8 = –3 Jadi a2 – b2 = 4 – 9 = –5
LKS - 10
PERSAMAAN GARIS
Indikator : Menentukan gradien persamaan garis
Menentukan gradien dari gambar
Menentukan persamaan garis melalui dua titik
Menentukan persamaan garis yang melalui satu titik dan sejajar atau tegak lurus garis lain
Menentukan grafik dari persamaan garis atau sebaliknya
A. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
y = mx jika melalui O(0,0)
y = mx + c melalui titik (0, c) dengan m dan c suatu konstanta m = kemiringan garis = gradien
B. LANGKAH-ANGKAH MENGGAMBAR GRAFIK PERSAMAAN
Langkah-langkah menggambar grafik persamaan y = mx atau y = mx + c sebagai berikut:
1. Tentukan dua titik yang memenuhi persamaan garis tersebut dengan membuat tabel untuk menentukan koordinatnya.
2. Gambar dua titik tersebut pada bidang koordinat Cartesius.
3. Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garis lurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.
Contoh: 3x + 2y = 6, didapat pasangan koordinat (0,3) dan (2,0) x y
0 3 2 0
C. GRADIEN
1. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m dan melalui titik (0, 0). 2. Garis dengan persamaany = mx + c memiliki gradien m dan melalui titik (0, c). 3. Garis dengan persamaan ax + by + c = 0 memiliki gradien m = −𝑎
𝑏 4. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah
1 2 1 2
x
x
y
y
5. Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol.
6. Gradien garis yang sejajar sumbu Y tidak didefinisikan. Y l X O 3 2
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 30 7. Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
8. Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah –1.
D. PERSAMAAN GARIS LURUS
1. Persamaan garis yang melalui titik(x1, y1) dan bergradien m adalah :
y – y1 = m(x – x1).
2. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan sejajar garis y = mx + c adalah :
y – y1 = m(x – x1)
3. Persamaan garis yang melalui titik(x1, y1) dan tegak lurus garis y = mx + c adalah :
y – y1 = (-1/m)(x – x1)
4. Persamaan garis yang melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah : 1 2 1 1 2 1
x
x
x
x
y
y
y
y
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Gradien garis CD yang melalui C(–2,–5) dan D(2, 3) adalah ....A. – 2 B. – 1 C. 1 D. 2 Kunci Jawaban : D Pembahasan :
Gradien garis CD adalah mCD =
−5−3 −2−2= 2
2. Gradien dari persamaan garis 2x – 3y + 6 = 0 adalah... A. 2 B. – 2 C.
3
2
D. −3
2
Kunci Jawaban : C Pembahasan : Koefisien x= 2 ; koefisieny
= －3b
a
m
= －3
2
=3
2
3. Persamaan garis yang melalui titik M(1,－5) dan N(3,2) adalah.... (UN 2013) A. 7x2y17 B. 7x2y17 C. 2x7y3 D. 2x7y3 Kunci Jawaban : A Pembahasan :
persamaan garis yang melalui dua titik (x1,y1)
dan (x2,y2) adalah 2 1 1 1 2 1 x x x x y y y y
3
1
1
5
2
5
x
y
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 31
7
5
y
=2
1
x
2(y5)=7(x1)
2y107x7
7x2y174. Diketahui titik K(－2,3), L(1,－3), dan M(4,a). Jika titik K, L, dan M terletak pada satu garis lurus, maka nilai a adalah ....(UN 2014)
A. －7 B. －8 C. －9 D. －10 Kunci Jawaban : C Pembahasan :
Gunakan rumus persamaan garis melalui dua titik 2 1 1 1 2 1 x x x x y y y y
, ambil titik K dan L sehingga :
1
(
2
)
)
2
(
3
3
3
x
y
3
2
6
3
x
y
Karena titik K, L, dan M terletak pada satu garis lurus, maka titik M(4,
a
) terletak pada persamaan garis yang dibentuk oleh K dan L yaitu : 32 6 3 x y Jadi , 3 2 6 3 x y
3 2 4 6 3 a 3 6 3 3 a 2 6 3 a (dikali silang)12
3
a
3
12
a
9
a
5. Persamaan garis pada gambar di samping adalah .... A. 5y – 3x + 15 = 0 B. 3x – 5y + 15 = 0 C. 5x + 3y – 15 = 0 D. 5y – 3x + 15 = 0 Kunci Jawaban : B Pembahasan :
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 32 1 2 1
y
y
y
y
= 1 2 1x
x
x
x
0 3 0 y = 5 0 5 x 5 5 3 x y 3x + 15 = 5y 3x–5y + 15 =0LKS - 11
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Indikator :
Menentukan penyelesaian dari SPLDV
Menentukan penyelesaian dari SPLDV pecahan
Menyelesaikan / menjelaskan (memecahkan) masalah soal cerita yang berkaitandengan SPLDV
A. SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Persamaan linier dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua variabel tunggal dan memiliki pangkat satu.
Bentuk persamaan umumnya adalah : ax + bx = c, x dan y merupakan variabel , b, dan c adalah konstanta.
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) digunakan untuk memecahkan permasalahan Contoh :
Dita akan membeli baju dan kaos. Ia akan membeli 5 potong, berapa banyak masing-masing baju dan kaos yang mungkin dibeli oleh Dita?
Untuk mendaftar semua kemungkinannya dapat menggunakan tabel seperti berikut.
Baju 5 4 3 2 1 0
Kaos 0 1 2 3 4 5
Permasalahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:
b + k = 5, dengan b dan k secara berturut-turut merupakan banyaknya baju dan kaos yang akan dibeli oleh Dita.
Jika uang yang dibawa Dita untuk membeli baju dan kaos Rp350.000,00, harga baju dan kaos masing-masing Rp80.000,00 dan Rp55.000,00 berapa banyak baju dan kaos yang diperoleh Dita?
Permasalahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut: 80.000b + 55.000k = 350.000
B. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
1. Metode Eliminasi
Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode elminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel.
Contoh:
Dengan metode eliminasi tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut :
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 33
2
6
y
x
y
x
Penyelesaian:
2
6
y
x
y
x
Langkah I (eliminasivariabel x)Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama
2
6
y
x
y
x
2y4 y2Langkah II (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama 2 6 y x y x
2
x
8
x
4
Jadi, himpunanpenyelesaiannyaadalah {(4,2)} 2. Metode SubstitusiUntuk menyelesaikan system persamaan linear dua variable dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita nyatakan variabel yang satu kedalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menggantikan variable itu dalam persamaan yang lainnya.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dua variable berikut
2
6
y
x
y
x
Penyelesaian:Langkah I. Mengubah persamaanx y6 Persamaanxy 6x6y
Langkah II.Mensubstitusikan persamaanx6 yke persamaanxy2 diperoleh :
2
4
2
6
2
2
2
2
6
2
6
2
y
y
y
y
y
y
y
x
Langkah III.Mensubstitusikan persamaan 𝑦 = 2 ke persamaan 𝑥 = 6 − 𝑦 diperoleh :
4
2
6
6
x
x
y
x
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 34 3. Metode Gabungan
Untuk menyelesaikan system persamaan linear duavariabel dengan metode gabungan, dengan menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dua variable berikut
2
6
y
x
y
x
Penyelesaian:Langkah I (dengan metode eliminasi salah satu variabel), diperoleh: Eliminasivariabel x 2 6 y x y x 4 2y 2 y
Langkah II ( dengan metode substitusi )
Substitusikan nilai persamaany 2ke persamaanxy 6ataux y2, diperoleh :
4
2
6
6
6
x
x
y
x
y
x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4,2)} 4. MetodeGrafik
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variable dengan metode grafik dilakukan dengan cara membuat grafik dari kedua persamaan yang diketahui dalam satu diagram. Koordinat titik potong kedua garis yang telah dibuat merupakan penyelesaian daris sistem persamaan.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dua variable berikut dengan metode grafik
2
6
y
x
y
x
Penyelesaian : 1 2 3 4 5 6 1 6 5 4 3 2 7 y x 0 x + y = 6 x – y = 2 ( 4, 2 ) -2 -1 -1 -2Pada grafik kedua gari sberpotongan pada titik( 4, 2 ) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4,2)}
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Penyelesaian sistem persamaan x – y = 12 dan x + y = 6 adalah…A. (3, -9) B. (9,-3)
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 35 C. (3, 9) D. (-9, 3) Kunci Jawaban : B Pembahasan : x – y = 12 x + y = 6 + 2x= 18 x = = 9 Substitusinilai x = 9, ke: x + y = 6 9 + y = 6 y = 6 – 9 y = –3 Penyelesaiannya = (9, -3)
2. Nilai y yang merupakan penyelesaian dari 3x – y = 12 dan x + 4y = 17 adalah… A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 Kunci Jawaban: A Pembahasan : 3x – y = 12 × 1 3x – y = 12 x + 4y = 17 × 3 3x + 12y = 51– –13y = –39 y = y = 3
3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah… A. {(–2, –4)} B. {(–2,4)} C. {(2, –4)} D. {(2,4)} Kunci Jawaban: C Pembahasan : x – 2y = 10 3x + 2y = –2 + 4x= 8 x = = 2
Substitusi nilai x = 2 ke: x – 2y = 10 2 – 2y = 10 –2y = 10 – 2 –2y = 8 y = = –4
Jadi himpunan penyelesaian = {(2, –4)}
4. Nilai x yang merupakan penyelesaian dari 2x – 5y = 2 dan 5x + 2y = 34 adalah… A.2 2 18 13 39 4 8 2 8
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 36 B. 4 C. 6 D.8 Kunci Jawaban: C Pembahasan : 2x – 5y = 2 × 2 4x–10y= 4 5x + 2y = 34 × 5 25x +10y=170+ 29x= 174 x = x = 6
5. Penyelesaian sistem persamaan 3x – 2y = 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai dari 4p + 3q adalah… A. 17 B. -1 C. -10 D. -17 Kunci Jawaban: B Pembahasan : 3x – 2y = 12 ×1 3x – 2y = 12 5x + y = 7 × 2 10x + 2y = 14 + 13x= 26 x = x = 2 x = p = 2 Substitusi nilai x = 2, ke:
5x + y = 7 5.(2) + y = 7 10 + y = 7 y = 7 – 10 y= –3 y = q = –3 Nilai dari 4p + 3q = 4.(2) + 3.(–3) = 8 – 9 = –1
6. Dari sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x – 5y = –37, nilai 6x + 4y adalah… A. –30 B. -6 C. 16 D. 30 Kunci Jawaban: C Pembahasan : 3x + 2y = 8 × 1 3x + 2y = 8 x – 5y = –37 × 3 3x – 15y = –111– 17y= 119 29 174 13 26
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 37 y =
y = 7 Substitusi nilai x = 7,ke:
3x + 2y = 8 3x + 2.(7)= 8 3x + 14= 8 3x = 8 – 14 3x = – 6 x = = –2 Nilai dari 6x + 4y = 6.(–2) + 4.(7) = –12+ 28 = 16
7. Penyelesaian sistem persamaan dari 2x + 3y = 26 dan 3x + 4y = 37 adalah x dan y. Nilai x – y adalah… A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Kunci Jawaban: A Pembahasan : 2x + 3y = 26 × 3 6x + 9y = 78 3x + 4y = 37 × 2 6x + 8y = 74– y = 4 Substitusi nilai y = 4, ke:
2x + 3y = 26 2x + 3(4) = 26 2x + 12= 26 2x = 26 – 12 2x = 14 x = = 7 Nilai dari x – y= 7 – 4 = 3
8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 19 danx – y = –8 adalah {(x,y)}. Nilai x – 7y =… A. –50 B. -40 C. 40 D. 50 Kunci Jawaban: A Pembahasan : 2x + 3y = 19 × 1 2x + 3y = 19 x – y = –8 × 2 2x – 2y = –16– 5y= 35 y = y = 7 Substitusi nilai y = 7, ke:
x – y = –8 17 119 3 6 2 14 5 35
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 38 x – 7 = –8
x = –8 + 7 x = –1
Nilai x – 7y = –1 – 7(7)= –1 – 49= –50
9. Diketahui persamaan y = ax + b. Jika y = –3 untuk x = 1 dan y = 9 untuk x = 3, maka nilai 3a + 2b adalah… A. –9 B. -3 C. 0 D. 6 Kunci Jawaban: C Pembahasan : y = ax + b –3 = a + b a + b = –3 9 = 3a + b 3a + b = 9 Eliminasi kedua persamaan diatas. a + b = –3
3a + b = 9 – –2a = –12 a = = 6
Substitusi nilai a = 6, ke: a + b = –3 6 + b = –3 b = –3 – 6 = – 9 Nilai 3a + 2b = 3.(6)+ 2.(–9) = 18 – 18 = 0
10. Diketahui sistem persamaan 2x + y = 13 dan 3x – 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah… A. 47 B. 43 C. 35 D. 19 Kunci Jawaban: B Pembahasan : 2x + y = 13 ×3 6x + 3y = 39 3x – 2y = 2 ×2 6x – 4y = 4– 7y = 35 y = = 5 Substitusi nilai y = 5, ke: 3x – 2y = 2 3x – 2.(5) = 2 3x – 10 = 2 3x – 10 = 2 3x = 2 + 10 3x = 12 x = = 4 Nilai dari 7x + 3y = 7x + 3y = 7.(4) + 3.(5) = 28 + 15 = 43 2 12 7 35 3 12
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 39
LKS - 12
TEOREMA PYTHAGORAS
Indikator :
Menghitung panjang sisi pada segitiga siku-siku .
Menentukan bilangan-bilangan yang merupakan Tripel Pythagoras .
Mengklarifikasi sisi-sisi segitiga yang merupakan segitiga siku-siku .
Menyelesaikan soal dengan menggunakan konsepTeorema Pythagoras. A. TEOREMA PYTHAGORAS
Pada segitiga siku-siku dibawah berlaku a2 = b2 + c2.
Atau b2 = a2 - c2 c2 = a2 - b2
B. TRIPLE PYTHAGORAS
Suatu bilangan bulat sembarang dapat ditentukan sebagai berikut :
Jika m dan n sembarang bilangan bulat positif dengan m > n maka bilangan – bilangan m2 + n2, 2mn ,
dan m2 – n2 adalah bentuk dari tripel pythagoras.
Contoh Tripel Pokok :
(1) 3 ,4, 5 (4) 8, 15, 17 (2) 5, 12, 13 (5) 9, 40, 41 (3) 7, 24, 25 (6) 20, 21, 29
Untuk mendapatkan tripel lain dengan cara melipatkan tripel misalkan 3, 4, 5 dilipatkan menjadi 6, 8, 10. Tripel 5, 12, 13 menjadi 10, 24 26 dan seterusnya.
C. KEBALIKAN TEOREMA PYTHAGORAS UNTUK MENENTUKAN JENIS SEGITIGA Jika suatu segitiga memiliki panjang sisi a, b, c dan c adalah sisi terpanjang sehingga
(1) c2 = a2 + b2, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
(2) c2> a2 + b2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
(3) c2< a2 + b2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Perhatikan gambar dibawah ini!Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar untuk segitiga siku-siku ABC adalah… A. c2 + a2 = b2 C. c2 + b2 = a2
B. c2 – b2 = a2 D. a2 + b2 = c2
a
b c
LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 40 Kunci Jawaban: C
Pembahasan : CukupJelas
2. Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR adalah… A. 3 cm C. 16 cm B. 9 cm D. 20 cm Kunci Jawaban: A Pembahasan : QR2 = PR2– PQ2 QR = QR = QR = QR = 3 cm
3. Panjang hipotenusa segitiga siku-siku adalah 30 cm, jika panjang salah satu sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya adalah…
A. 6 cm C. 24 cm B. 8 cm D. 35 cm Kunci Jawaban: C
Pembahasan :
Misalkan panjang sisi yang lain = x x2 = 302 – 182
x = x = x= 24 cm
4. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku sama kaki dengan panjang sisi siku-siku 5 cm adalah…
A. cm C. cm B. cm D. cm Kunci Jawaban: C Pembahasan : 2 2
4
5
16
25
9
324
900
576
5
75
50
125
R Q P 5 cm 4 cm 30 cm x 18 cm x 5 cm 5 cmLKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 41 Misalkan panjang hipotenusa = x
x2 = 52+52
x = x =
5. Perhatikan gambar dibawah ini!
Nilai x pada gambar di bawah adalah…
A. cm C. cm B. cm D. cm Kunci Jawaban: D Pembahasan : ML2 = KL2 + KM2 = (2x)2 + x2 200 = 4x2 + x2 200 = 5x2 5x2 = 200 x2 = x2 = 40 x = cm.
6. Perhatikan gambar dibawah ini!
Dalil Pythagoras pada gambar di atas adalah… A. a2 = b2 + c2 C. b2 = a2 + c2 B. a2 = c2 – b2 D. b2 = a2 – c2 Kunci Jawaban: C Pembahasan :
25
25
50
10
20
12
40
2200
5
200
40
b2 = a2 + c2LKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 42 7. Perhatikan gambar dibawah ini!
Panjang BD pada gambar di bawah ini adalah… A. 10 cm C. 34 cm B. 26 cm D. 36 cm Kunci Jawaban: B Pembahasan : BC2 = AC2 + AB2 BC = BC = BC = BC = 10 cm
Selanjutnya cari panjang BD
BD2 = CB2 + CD2 BD = BD = BD = BD = 26 cm 2 2
6
8
36
64
100
2 224
10
576
100
676
C A B 8 cm 6 cm B C D 10 cm 24 cmLKS MATEMATIKA SMP TAHUN 2017 43
LKS 13
LUAS DAN KELILING BANGUN DATAR
Indikator :
Menghitung luas gabungan dua bangun datar
Menghitung luas gabungan bangun datar
Menyelesaikan/ menjelaskan (memecahkan) masalah yang berkaitan dengan luas bangun datar
Menghitung keliling gabungan dua bangun datar
Menghitung keliling luas gabungan dua bangun datar
Menyelesaikan / menjelaskan (memecahkan) masalah yang berkaitan dengan keliling bangun datar LUAS DAN KELILING BANGUN DATAR
No. Bangun Datar Rumus Luas dan Keliling
a. Persegi Persegi adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi yang panjangnya sama. Misalkan AB = BC = CD = AD = s = sisi Luas = s2 Keliling = 4s Keterangan: s = sisi persegi
b. Persegi panjang Persegi panjang adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi dengan sisi- sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar, serta sisi- sisi yang bersebelahan saling tegak lurus. Misalkan AB = CD = panjang = p dan BC = AD = lebar = L
Luas = p x l Keliling = 2(p + l) Keterangan:
p = panjang persegi panjang l = lebar persegi panjang
c. Jajar genjang Jajar genjang adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi, dengan sisi- sisi yang saling berhadapan sama panjang dan sejajar. Sisi yang saling bersebelahan tidak saling tegak lurus Luas = a x t (AB x AE)
Keliling = 2(AB + AD) Keterangan:
a = alas jajar genjang t = tinggi jajar genjang
d. Belah ketupat Belah ketupat adalah bangun datar yang dibatasi oleh 4 buah sisi yang panjangnya sama, sisi- sisi yang saling berhadapan saling sejajar, dan sisi- sisinya tidak saling tegak lurus.
Misalkan: AB = BC = CD = AD = s,
d1 = diagonal 1 = AC dan d2 = diagonal 2 = BD
Luas =
