“Pentingnya persepsi awal definisi matematika yang eksistensional yang memiliki esensi tak hingga” dalam pembelajaran Matematika sehingga dapat mengembangkan strategi
pembelajaran matematika “Islami”
Didalam dunia yang terus berubah , mereka yang memahami dan dapat mengerjakan matematika akan memiliki kesempatan dan pilihan yang lebih banyak dalam menentukan masa depannya . Kemampuan dalam matematika akan membuka pintu untuk masa depan yang produktif . lemah dalam matematika membiarkan pintu tersebut tertutup .. semua siswa harus memiliki kesempatan dan dukungan yang diperlukan untuk belajar matematika secara mendalam dan dengan pemahaman , tidak ada pertentangan antara kesetaraan dan keunggulan . ( NCTM (2000,hlm.50)).
Dari pernyataan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa kemampuan matematika sangat penting dimiliki oleh seseorang yang dapat menentukan masa depannya , memang terasa mainstream jika dan hanya jika matematika saja yang dilihat sebagai penentu masa depan seseorang tanpa melihat aspek lainnya . sebenarnya apa sih yang dimaksud matematika ? mengapa matematika itu sangat penting dalam kehidupan ini sehingga muncul pernyataan diatas ? bagaimana peran kita sebagai guru dalam mengembangkan pembelajaran matematika ditengah modernisasi terutama dalam lembaga pendidikan islam yang bernar-benar “Islami” dalam menyajikan pembelajaran matematika, dapatkah kita kembali menjadi kiblat pengetahuan dunia seperti pada masa peradaban kejayaan islam berabad – abad yang lalu ? mari kita renungkan dan action kan melalui kontribusi dalam mengembangkan pembelajaran matematika dan menjadi pelopor dalam pembelajaran matematika yang islami , yang tidak hanya sekedar mencantumkan ayat alquran dalam pembelajaran tetapi menerapkan dan mengembangkan teori yang telah Al – khawarizmi Ibn Al Haytham , Al biruni dan Omar khayam yang telah diwariskan kepada kita .
Pengetahuan Dasar : Apa itu Matematika ?Eksistensi yang beresensi dalam suatu himpunan yang tergantung pada objek yang terdefinisi
Langkah awal : Pandangan dan persepsi (kemampuan berfilsafat ) seorang pendidik matematika (individu) berdampak pada bagaimana matematika diajarkan kepada peserta didik.
Sebelum melangkah jauh , mari kita tinjau pertanyaan yang mendasar tentang apa itu matematika , eksistensi matematika sangat terasa selama ini tetapi apakah matematika itu ada ? seperti apa matematika itu hadir dalam kehidupan kita ?
Eksistensi matematika itu ada dan bersifat sintetik apriori yaitu keberadaannya tergantung dari pancaindera dan adanya matematika itu tidak tergantung terhadap sesuatu yang sudah ada tetapi saling kohern dengan yang sebelumnya (imanuel Kant ) .
Pertanyaan – pertanyaan diatas dapat digolongkan kedalam pertanyaan filsafat , The Liang Gie memberikan pengertian filsafat matematika dengan menyatakan bahwa filsafat matematika merupakan sudut pandang yang menyusun dan mempersatukan berbagai bagian dan kepingan matematik berdasarkan beberapa asas dasar (Gie, 1985: 32). Persoalan dalam filsafat matematika dapat diperinci menjadi tujuh persoalan, sebagai berikut (Gie, 1985: 53 -57) :
1. Epistemologi matematik, yang menelaah matematika berdasarkan berbagai segi pengetahuan seperti kemungkinan, asal-mula, sifat alami, batas, asumsi dan landasan; 2. Ontologi matematik, yang mempersoalkan cakupan pernyataan matematik sebagai
dunia yang nyata atau bukan;
3. Metodologi matematik, yang menelaah metode khusus yang dipergunakan dalam matematika;
4. Struktur logis matematik, yang membahas matematika sebagai struktur yang bercorak logis, yaitu struktur yang tunduk pada kaidah logika (laws of logic), yang mensyaratkan standard tinggi dalam ketelitian logis (logical precision), dan yang mencapai kesimpulan logis (logical conclusions) tanpa menghiraukan keadaan dunia empirik;
5. Implikasi etis matematis, yang berkaitan dengan dampak yang ditimbulkan oleh penggunaan matematika dalam berbagai bidangkehidupan, yang dipandang dari sudut pandang etis;
6. Aspek estetis matematik, yang berkaitan dengan ciri seni dan keindahan matematika, yang diukur berdasarkan orisinalitas ide, kesederhanaan dalil, dan kecemerlangan pemikiran; dan
7. Peranan matematik dalam sejarah peradaban, yang meliputi analisis, deskripsi, evaluasi, dan interpretasi tentang peranan matematik dalam peradaban sejak zaman kuno hingga abad modern.
Beberapa Definisi Matematika menurut para Ahli
“A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.” - G. H. Hardy
“Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit.” - Stefan Banach
Mathematics is the music of reason.” - James Joseph Sylvester
“Mathematics is the art of giving the same name to different things.” - Henri Poincare
“Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.” - Albert Einstein
“All Mathematics is Symbolic Logic” - Bertrand Russell
“Mathematics is the classification and study of all possible patterns.” Walter Warwick Sawyer
“Sebagai sesuatu yang sifatnya praktis , matematika merupakan ilmu tentang pola dan urutan . Matematika tidakn membahas tentang molekul sel , tetapi membahas tentang bilangan , probabilitas , bentuk , algoritma dan perubahan . Sebagai ilmu dengan objek yang abstrak matematika bergantung pada logika , bukanpada pengamatan sebagai standar kebenarannya. Meskipun menggunakan pengamatan simulasi , dan bahkan percobaan sebagai alat untuk menemukan kebenaran” ( Mathematical Sciences Education Board (1989 , hal 51)
Johnson dan Rishing (1972) mengatakan bahwa matematika adalah pola berfikir pola mengorganisasikan pembuktian yang logis matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat refresentasinya dengan simbol , berupa bahasa simbol . Kemudian Kline (1973) mendefinisikan matematika itu bukanlah pengetahuan yang menyendiri yang dapat sempuran karena dirinya sendiri tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam . Dari uraian diatas mengenai berbagai pandangan tentang matematika menurut para ahli yang semuanya mempunyai nilai kebenaran tersendiri , tergantung pada persepsi dan sudut pandang seseorang yang terpenting adalah melalui aturan – aturan logika yang valid. Menurut nalar saya dari himpunan pengetahuan yang diperoleh dari SD hingga bangku kuliah matematika adalah sebuah alat yang memiliki multifungsi , dapat digunakan dalam hal apapun , tergantung pada kebutuhan dan problem yang dihadapi , matematika juga dapat berupa sikap yang disebut disposisi matematika yaitu cara berfikir seseorang yang terefleksi melalui sikap yang positif mempunyai kepercayaan diri, rasa keingintahuan yang tinggi , ketekunan, antusias dalam belajar, gigih menghadapi permasalahan, fleksibel, mau berbagi dengan orang lain, mungkin itu cukup untuk mengartikan matematika yang sampai saat ini saya pun masih mencari makna mengenai matematika sendiri.Siapapun dapat mendefinsikan matematika berdasarkan tingakat pemahaman pengetahuannya tergatung tingkat validitas yang diterima asas logika , dan yang pada akhirnya matematika hanyalah sebuah himpunan yang terdiri dari elemen – elemen (objek) yang terdefinsi .
Esensi dari sebuah himpunan adalah elemen yang ada didalamnya jika matematika diartikan dalam definisi himpunan ilmu pengetahuan maka objek keanggotaan dari himpunan tersebut adalah memuat bahwa matematika itu termasuk dalam ilmu pegetahuan .
Kebanyakan para ahli sepakat bahwa suatu pengetahuan disebut ilmu apabila ia lahir dari suatu kegiatan ilmiah yang langkah – langkah utamanya membuat hipotesis , mengumpulkan data , melakukan percobaan (untuk menguji hipotesis) dan membuat kesimpulan . apabila kita berketetapan suatu ilmu harus lahir dari metode ilmiah , maka matematika bukanlah ilmu . matematika merupakan buah pikir manusia yang keberadaannya bersifat umum . kebenarannya tidak tergantung pada metode ilmiah yang mengandung pada proses induktif . kebenaran matematika yang lebih dikenal sebagai kebenaran yang kohern dikenal dalam dunia ilmu, terdapat tiga macam jenis kebenaran:
(1) kebenaran koherensi atau konsistensi, yaitu kebenaran yang didasarkan pada kebenaran- kebenaran yang telah diterima sebelumnya, (2) kebenaran korelasional, yaitu kebenaran yang didasarkan pada “kecocokan” dengan realitas atau kenyataan yang ada, serta (3) kebenaran pragmatis, yaitu kebenaran yang didasarkan atas manfaat atau kegunaannya.
Contoh ilustrasi dari pernyataan kebenaran matematika
Pernyataan matematika 5 + 3 = 8 , pernyataan tersebut bernilai benar , karena berdasarkan logika bahwa misal ada sebuah kotak kosong kemudian kita isi kotak tersebut dengan 5 kelereng kemudian dimasukkan lagi 3 kelereng maka jumlah semua kelereng yang ada didalam kotak tersebut berjumlah 8 kelereng . maka siapapun pasti yakin bahwa jumlah seluruh kelereng yang ada pada kotak tersebut adalah 8 .
Atas dasar itulah para ahli matematika sangat berhati-hati mendefinisikan matmatika adalah ilmu , yang ada matematika merupakan hasil dari sebuah pengetahuan yang didapatkan manusia berdasarkan daya logika pikiran manusia.
Walaupun matematika bukan produk metode ilmiah, tetapi kebenaran
matematika bersifat universal (tentu dalam semesta yang dibicarakan). Keuniversalan kebenaran matematika menjadikannya lebih “tinggi” dari produk ilmiah yang mana pun juga; matematika menjadi ratunya ilmu sebab ia lebih penting dari logika (mengutip pendapat Bertrand Russel) dan menjadi pelayan ilmu sebab dengan matematika maka ilmu dapat berkembang jauh bahkan melebihi perkiraan manusia.
tapi itulah matematika! Perkembagan matematika bukannya semakin memperjelas maknanya, namun malah mendestruksi jati dirinya sendiri. Matematika semakin mengabur dalam bentuk yang hanya bisa dirasakan secara intuitif. Pada titik inilah matematika melampaui logika, landasannya sendiri, menjadi suatu bentuk spiritualitas.1 Dengan demikian untuk dapat memahami matematika itu yang harus dilakukan adalah mempelajari , mengkaji dan mengerjakannya . Termasuk pegkajian sejauh mana perkembangan matematika itu terjadi.
Persepsi atau pandangan seorang guru terhadap matematika dapat menentukan bagaimana ia mengajarkan pembelajaran matematika kepada peserta didik , maka sebelum ke aspek yang lebih dalam para guru hendaknya mempunyai pengetahuan yang memadai mengenai dasar dari keilmuannya , jelas disini guru matematika harus tahu mengenai pemahaman matematika yang utuh , mulai arti dari matematika itu sendiri objek matematika , anggota himpunan dari matematika dan unsur yang lainnya, jangan sampai seorang guru tidak mengetahui esensi dari apa yang dia akan ajarkan kepada pesrta didik , pemahaman guru matematika yang tidak utuh sering memunculkan sikap yang kurang tepat dalam pembelajaran , lebih parah lagi dari sikap guru tersebut dapat membuat sikap negatif siswa terhadap matematika . Dengan pemahaman yang utuh dan pengetahuan yang luas mengenai filsafat matematika diharapkan dapat mewujudkan proses pembelajaran yang bermakna , jangan sampai guru menyajikan pembelajaran matematika hanya sekedar kumpulan rumus belaka , hanya sekedar proses algoritma dalam menyelesaikan berbagai operasi dan taraf proses berpikir tingkat rendah saja . Sempitnya arah pemahaman terhadap matematika ini membuat eksistensi matematika bagaikan hantu: tidak terlihat, terkadang membuat orang begitu takut untuk sekedar melihatnya, terkadang juga membuat orang begitu penasaran hingga terus berusaha agar bisa melihatnya. Pemahaman yang komprehensif tentang matematika akan memungkinkan guru menyelenggarakan pembelajaran matematika yang lebih baik yang dapat memanfaatkan matematika sebagai ratu pengetahuan , kita analogikan jika seseorang telah menguasai “ratu” maka sangat mudah sekali dalam memahami seisi kerajaan sekalipun , seseorang yang ahli dalam matematika sangat mudah dalam memahami ilmu – ilmu lainnya , sehingga dapat menyelenggarakan pembelajaran matematika yang “Islami” menghasilkan siswa yang mempunyai kecerdasan kognitif dan kecerdasan spiritual sebagai penyeimbang dan kontrol akal yang terlalu rasional.
Langkah ke dua : Strategi Pengembangan Pembelajaran Matematika “ Islami “
Bagaimana Pembelajaran Matematika yang “Islami” diterapkan dalam lembaga pendidikan islam sehingga menghasilkan output siswa yang mempunyai kecerdasan Kognitif dan
spiritual yang tinggi?
Setelah guru mempunyai pengertian dan pemahaman yang luas dalam mendefinsikan matematika yang beresensi, dipastikan guru tersebut dapat menyajikan pembelajaran matematika yang bermakna dan berhasil dalam mencapai tujuan pembelajaran , yang tidak hanya berhasil dalam aspek kognitif pegetahuan tetapi juga dalam aspek yang lain yaitu mampu mengembangkan sikap positif dan spiritual yang tinggi .
Kita sebagai muslim sangat dianjurkan dalam mengembangkan pengetahuan , selama pengetahuan itu sejalan dengan Alquran dan Alhadist , bukankah ayat pertama yang diturunkan kepada Rasulalloh SAW , adalah perintah untuk membaca dan menulis yang merupakan kunci dari ilmu pengetahuan ?
1. Bacalah dengan (menyebut) nama Tuhanmu yang Menciptakan,
2. Dia Telah menciptakan manusia dari segumpal darah.
3. Bacalah, dan Tuhanmulah yang Maha pemurah,
4. Yang mengajar (manusia) dengan perantaran kalam[1589],
5. Dia mengajar kepada manusia apa yang tidak diketahuinya.
6. Ketahuilah! Sesungguhnya manusia benar-benar melampaui batas,
[1589] Maksudnya: Allah mengajar manusia dengan perantaraan tulis baca.
Hukum menuntut ilmu pun diwajibkan bagi setiap muslim ,
Menuntut ilmu wajib atas tiap muslim (baik muslimin maupun muslimah). (HR. Ibnu Majah) Alasan apa lagi yang membuat kita mangkir dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dalam hal ini adalah mengembangkan pembelajaran matematika yang “Islami” ditengah modernisasi dan minimnya tokoh muslim yang dijadikan landasan utama teori dalam pembelajaran matematika masa kini .
Suatu masyarakat dapat berhasil memberantas kebutaan huruf dalam bidang matematika jika dan hanya jika semua keteraturannya dapat mengembangkan seluruh potensi mereka. Jika keturunannya dapat menjadi pekerja yang kompeten , menjadi konsumen yang memilih dengan bijaksana , dan menjadi warga pemikir yang dapat berperan sebagai kontributor dalam dunia kuantitatif yang supersimbolik yang akan mereka warisi , maka masyarakat itu dapat mengatakan “Kemenangan adalah milik kita” (Elliot dan Garnett (1994 , hlm.15).
Sayangnya hal itu belum terjadi di indonesia , kemampuan matematika siswa masih sangat rendah terlihat dalam tabel dibawah ini.
Tabel diatas merupakan tabel rata rata presetase dimensi konten dan kognitif matematika yang di keluarkan oleh TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study ). Keberadaan TIMSS adalah sebagai studi yang berlanjut dilakukan setiap empat tahun sekali dan merupakan rangkaian panjang dari studi yang dilakukan oleh International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA), yaitu sebuah asosiasi internasional untuk menilai prestasi dalam pendidikan. TIMSS dirancang untuk meneliti pengetahuan dan kemampuan matematika dan sain anak-anak berusia 14 tahun beserta informasi yang berasal dari peserta didik, guru, dan kepala sekolah. Salah satu tujuan keikutsertaan Indonesia di dalam studi ini adalah untuk mendapat informasi mengenai kemampuan peserta didik Indonesia di bidang matematika dan sain berdasar benckmark Internasional.
memberlakukan kurikulum yang harus sesuai dengan karakteristik bangsa dan fleksibel menyesuaikan dengan kemajuan IPTEK dari masa ke masa.
Perubahan Paradigma mengajar ke pembelajaran matematika
Paradigma mengajar sering diartikan hanya sebagai proses penyampaian informasi dari guru ke siswa , tanpa mementingkan interaksi anatra keduanya hanya bersifat rangkaian seri . Perubahan pandangan mengajar menjadi pembelajaran matematika terjadi karena 3 alasan utama yaitu pertama siswa bukan orang dewasa mini mereka adalah organisme yang berkembang , baik itu aspek kognitif , apektif bahkan psikomotoriknya , sehingga kehadiran guru sebagai orang dewasa diperlukan dalam membimbing dan mengarahkan potensi – potensi perkembangan siswa kearah yang lebih optimal.
Kedua : bahwa belajar bukan hanya menghapal informasi , menghapal rumus – rumusakan tetapi bagaimana menggunakan informasi dan pengetahuan itu untuk mengasah kemampuan berpikir.
Ketiga : Anggapan manusia menurut aliran Behavioristika adalah manusia sebagai organisme pasif yang dipengaruhi oleh lingkungan mulai ditinggalkan , pada masa sekarang cenderung mempercayai aliran kognitif holistik konstruktifis yang menyatakan bahwa manusia adalah makhluk yang mempunyai potensi . Karena dalam proses pendidikan tidak hanya dijadikan sebagai stimulus tetapi lebih dikembangkan pada pengembangan potensi siswa. Siswa menjadi subjek dalam proses belajar yaitu harus mencari dan mengkonstruksi pengetahuannya . ( wina sanjaya , 2007 ).
Matematika merupakan sebuah objek , menurut teori yang dikembangkan oleh Gagne objek belajar matematika terdiri dari objek langsung dan objek tak langsung. Objek langsung adalah transfer belajar, kemampuan menyelidiki, kemampuan memecahkan masalah, disiplin pribadi dan apresiasi pada struktur matematika. Sedangkan objek langsung belajar matematika adalah fakta, konsep , prinsip , dan keterampilan
Fakta adalah sebuah konvensi (kesepakatan) yang berupa lambang, notasi maupun aturan dalam matematika. Contohnya adalah Lambang “1” untuk menyatakan banyaknya sesuatu yang tunggal . Kita dapat mengaitkan Fakta matematika dengan fakta yang bersifat pengetahuan agama yaitu dengan memberikan contoh bahwa jumlah seluruh shalat wajib 5 waktu adalah 17 rakaat , jumlah 17 rakaat merupakan fakta dari jumlah rakaat ( shalat isya + shalat subuh + shalat Dzuhur + Shalat Ashar + shalat Maghrib ) = 4 + 2 + 4 + 4 + 3 = 17 rakaat . Seorang siswa dinyatakan telah menguasai fakta jika ia dapat menuliskan fakta tersebut dan menggunakannya dengan benar. Karenanya, cara mengajarkan fakta adalah dengan menghafal, drill, ataupun peragaan yang berulang-ulang.
abstrak yang memungkinkan seseorang untuk mengklasifikasi suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Kosep tersebut bisa kita sajikan misalnya pendahuluan mengenai bertanya kepada siswa apa yang dimaksud dengan sikap yang amanah , contohnya seperti apa ? dan perbuatan apa saja yang bukan termasuk sikap amanah ? maka siswa dalam lingkungan pendidikan islam cenderung akan lebih paham jika disajikan sesuai dengan lingkungannya . Maka untuk memahami konsep matematikanya akan lebih mudah .
Prinsip adalah suatu pernyataan yang memuat hubungan antara dua konsep atau lebih. Contohnya adalah perpangkatan yang merupakan hubungan antara konsep dari perkalian dan penjumlahan , 42
=4×4=4+4+4+4=16 . contoh yang lainnya yaitu dalam konteks sehari hari misalnya seseorang yang menafkahkan rezekinya dijalan Alloh akan dibalas berkali kali lipat seperti pada ayat berikut ini
menafkahkan hartanya di jalan Allah[166] adalah serupa dengan sebutir benih yang menumbuhkan tujuh bulir, pada tiap-tiap bulir seratus biji. Allah melipat gandakan (ganjaran) bagi siapa yang dia kehendaki. dan Allah Maha luas (karunia-Nya) lagi Maha Mengetahui. ( Qs. Al-Baqarah 2: 261)[166] pengertian menafkahkan harta di jalan Allah meliputi belanja untuk kepentingan jihad, pembangunan perguruan, rumah sakit, usaha penyelidikan ilmiah dan lain-lain.
Kita umpamakan seseorang siswa mempunyai uang Rp.10.000,00 kemudaian ia memberikan semua uangnya tersebut kepada temannya yang sedang tertimpa musibah , kemudian sesuai dengan ayat tersebut Alloh SWT melipat gandakan pahalanya ia memberi
10000dan dilipat gandakan sebanyak7bulir disetiap bulir terdapat100biji
Maka didapat pemodelannya sebagai berikut : Rp.10 .000×7×100=Rp.7000.000,00 . wawlohualam bishawab , Alloh menghendaki bagi siapa yang dia kehendaki.
254 45 1270 916
11430 Ataupun dengan cara 254 = 200 + 50 + 4
45 = 40 + 5
254 ×45=(200+50+4)×(40+5)=40(200+50+4)+5(200+50+4)
¿8000+2000+160+1000+250+20
¿ 10000 + 1000 + 150 + 250 + 10 + 20
= 11430
Contoh masalah dalam objek keterampilan dalam lingkungan pendidikan islam dapat dengan menjelaskan tentang hukum Zakat( Qs. Al Baqaraah 2:110)
110. Dan dirikanlah shalat dan tunaikanlah zakat. Dan kebaikan apa saja yang kamu usahakan bagi dirimu, tentu kamu akan mendapat pahala nya pada sisi Allah. Sesungguhnya Alah Maha Melihat apa-apa yang kamu kerjakan.
Misalnya zakat hasil ternak , contoh kasus Pak haji sulaeman peternak kambing memiliki 900 kambing yang diternakkan sendiri dan diberimakan secara teratur oleh pemiliknya , maka berapa ekor kambing zakat yang harus dikeluarkan oleh pak haji sulaeman ?
Penyelesaiannya yaitu :
Mengacu pada hadist ke-2 bab zakat pada kitab Bhulughul Maram min Adillati Ahkam yaitu.... Jika lebih dari 300 ekor kambing, maka setiap 100 ekor zakatnya seekor kambing.... . Maka zakat yang harus dikeluarkan oleh pak haji sulaeman adalah
Pak haji memiliki 900 kambing setiap 100 kambing zakatnya seekor kambing , maka zakat yang dikeluarkan pak haji adalah
900 100 1
=900×1
100 =9kambing . Seorang siswa dinyatakan telah menguasai suatu keterampilan jika ia dapat menggunakan dengan tepat suatu prosedur atau aturan dan dapat menghasilkan suatu penyelesaian yang benar. Yang
×
perlu diperhatikan guru, penguasaan keterampilan para siswa harus berlandaskan pada pengertian dan tidak hanya pada hafalan semata-mata, dalam arti siswa harus mengetahui dan memiliki alasan mengapa ia harus melakukan hal seperti itu.
Implikasinya pada Pembelajaran : Pembagian objek langsung matematika oleh Gagne menjadi fakta, konsep, prinsip, dan keterampilan dapat dimanfaatkan dalam proses pembelajaran matematika di kelas dengan alasan bahwa materi matematika memang terkategori seperti itu.Pada pembelajaran konsep, penekanannya adalah pada pemahaman siswa sehingga mereka dapat membedakan bangun datar yang termasuk segitiga dari yang bukan segitiga. Hal ini menunjukkan bahwa proses pembelajaran untuk konsep akan sangat berbeda dari proses pembelajaran fakta, dan akan berbeda dengan proses pembelajaran untuk keterampilan karena penekanan keterampilan adalah pada urut-urutan prosedur atau aturan pengerjaannya. Pada proses pembelajaran prinsip, penekanannya adalah pada kemampuan untuk mengingat rumus atau prinsip yang ada, memahami konsep yang ada pada prinsip tersebut, serta penggunaan yang tepat dari rumus tersebut. Pada akhirnya, pembagian materi matematika menjadi 4 macam olehGagne ini dapat dimanfaatkan selama proses pembelajaran sehingga proses pembelajaran matematika di kelas menjadi lebih efektif dan efisien apalagi disajikan dalam bentuk yang dinamis disesuaikan dengan keadaan lingkunagan pendidikan islam dengan mennyajikan matematika yang aplikatif serta dapat lebih memotivasi siswa dalam belajar karena mampu menumbuhkan sikap Religius dalam matematika yang sangat rasionalitas dan logis .
Aku Bangga menjadi Muslim Tokoh Matematika favorit saya adalah Alkhawarizmi
Setelah kita tahu mengenai objek – objek yang terhimpun dalam teori belajar Gagne , maka selanjutnya ditekankan pada penyampaian pembelajaran matematika di kelas secara menarik dan bermakna.
“Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit.” - Stefan Banach
Matematika itu adalah sesuatu yang lebih dari keindahan dan ciptaan yang sangat kuat dari semangat jiwa manusia , kurang lebih seperti itu Stefan Banach mendefinisikan matematika , tidak berlebihan memang matematika adalah suatu yang lebih dari keindahan , dalam matematika terdapat seni yang tinggi , seni tersebut memberi warna tersendiri dalam keindahan matematika . Seperti halnya kita sebagai seorang muslim yang mencintai sesuatu yang indah layaknya matematika yang telah diwariskan oleh Alkhawarizmi kepada kita , keindahan Aljabar yang dikembangkan oleh Alkhawarizmi adalah membuat konsepsi yang abstrak menjadi lebih konkret berkaitan dengan pertanyaan tentang kehidupan manusia membuat pendekatan matematika dengan argumentasi – argumentasi yang jelas dan sistematis .
Selain itu guru harus mengetahui bagaimana mengajar secara menarik 2 Memulai pelajaran dengan Cara yang menarik
Menggunakan Topik Sejarah
Banyak sekali siswa yang mungkin berpikir bahwa matematika itu sebagai sesuatu yang membosankan , mereka menggambarkan para matematikawan sebagai sosok pertapa yang hanya berkutat dengan angka – angka . Suatu cara untuk memutus anggapan tersebut adalah dengan menyampaikan sekilas sejarah matematikawan terutama matematikawan muslim , menceritakan bagaimana kehebatan para matematikawan muslim pada masa kejayaan peradaban islam , mereka tidak hanya pandai dalam satu disiplin ilmu saja melainkan menguasai berbagai ilmu pengetahuan dan sesibuk apapun para matematikawan muslim mereka tidak pernah lupa esensi dari hidup mereka yaitu untuk beribadah kepada Allah menghamba kepada Nya melalui pengembangan Ilmu pengetahuan sehingga mereka sangat disegani tidak hanya oleh sesama muslim tetapi juga non muslim dalam buku A History of Mathematics, Victor Katz menulis bahwa:
“Sejarah matematika Islam abad pertengahan tidak dapat ditulis dengan lengkap, karena banyak manuskrip Arab yang belum dipelajari... Tetap saja, garis besarnya... sudah diketahui. Matematikawan Islam mengembangkan sistem numeralia letak-nilai desimal yang mencakup pecahan desimal, menyusun studi aljabar dan mulai mempertimbangkan hubungan antara aljabar dan geometri, mempelajari dan memajukan teori geometri Yunani yang dicetuskan Euklides, Archimedes, dan Apollonius, dan membuat kemajuan besar dalam geometri bidang dan bola”.
Penerjemahan dan studi matematika Yunani yang menjadi rute utama distribusi teks-teks tersebut ke Eropa Barat turut memainkan peran penting. Smith menulis bahwa:
“Dunia berutang besar kepada para ilmuwan Arab karena melindungi dan mengirimkan karya klasik matematika Yunani... mereka lebih banyak mengirimkan teks tetapi mereka juga membuat kemajuan besar dalam bidang aljabar dan menunjukkan kejeniusan karya mereka dalam bidang trigonometri”.
Sungguh luar biasa sekali konstribusi para ilmuan muslim dalam membangun peradaban dunia , bayangkan jika pada masa itu peradaban kejayaan muslim tidak ada mungkin kita sampai sekarang terjebak dalam abstraksi konsep yang sulit terdefinisi . Kita ambil salah satu tokoh yang sangat fenomenal , tanpanya mungkin Aljabar hanya himpunan dari objek yang abstrak , bermain diranah variabel x yang tak terdefinisi , ya siapa lagi kalau bukan Al – Khawarizmi , sebelum memulai pembelajaran mengenai aljabar (pembahasan pemfaktoran aljabar ) akan lebih menarik membahas biografi al khawarizmi terlebih dahulu .
Biografi Al – Khawarizmi
Mu ammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: ḥ يمزراوخلا ىسوم نب دمحم ) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografiyang berasal dari Persia. Lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad . Sedikit yang dapat diketahui dari hidup dia, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama dia mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar dia adalah Abū ‘Abdu llāh (Arab: هللا دبع وبأ) atau Abū Ja’far. Konstribusi Al Khawarizmi
Alkhawarizmi adalah ilmuan muslim modern paling berpengaruh dalam perkembagan peradaban dunia melalui matematika , yaitu dalam Aritmatika , penemuan notasi nol , menemukan nilai π (phi) , menyusun daftar logaritma , meletakkan dasar – dasar Aljabar , menemukan metode aljabar untuk menghitung tingi segitiga , trigonometri , penemu Algoritma dan karya terbesarnya yaitu dalam penemuan di bidang Aljabar . Tak hanya dalam matematika ia juga sangat ahli dibidang Astronomi , dan geografi .
Dalam uraian pemaparan diatas sungguh luar biasa kostribusi alkhawarizmi dalam perkembangan peradaban dunia melalui berbagai bidang ilmu yang dia kuasai , tidak hanya satu , dua bahkan kesemuanya saling keterkaitan satu sama lain.Dengan ditampilkannya sejarah tokoh ilmuan muslim ini dapat semakin membakar motivasi mereka supaya kelak nanti dapat menjadi seperti mereka , mempunyai semangat dalam belajar matematika , serta memmbuka wawasan mereka bahwa ilmuan muslim pun tidak kalah hebatnya dari ilmuan barat , mungin mereka lebih mengenal Fibonaci , Euleur , Karl Gauss , Reimmand dll yang merupakan tokoh ilmuan matematikawan barat yang lebih “dikenal” mereka dari pada Al-khawarizmi , Ibn Al –Haytham , Albiruni dan Al Tusi , padahal jika mereka tahu bahwa faktanya perkembangan pengetahuan dunia merupakan catatan kaki dari peningalan pengetahuan pada masa kejayaan islam.
Setelah menyampaikan sejarah mengenai matematikawan muslim selanjutnya yaitu menyajikan materi pemfaktoran bentuk aljabar , yang pertama dilakukan adalah mengarahkan siswa pada metode konvensional yang telah mereka kenal sehari – hari yaitu
Apabila anak diminta memfaktorkan bentuk x2 + x + 6 pada umumnya tidak mengalami kesulitan, namun untuk
memfaktorkan 2x2 + 13 x – 24 mereka masih sering menemui hambatan, bagaimana tindakan Anda?
12 = 1 × 12, maka 1 dan 12 masing-masing adalah faktor bilangan 12. 12 = 2 × 6, maka 2 dan 6 masing-masing adalah faktor bilangan 12. 12 = 3 × 4, maka 3 dan 4 masing-masing adalah faktor bilangan 12.
Telah diketahui bahwa faktor bulat positif bilangan 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,dan 24. Mendaftar faktor bulat positif dapat dilakukan dengan cara yang memudahkan dalam penyusunannya yaitu menentukan pembagi bulat dan hasilnya ( yang sekaligus juga faktor ) secara berdampingan
1 24
2 12
Bentuk aljabar pun dapat difaktorkan. Keterampilan memfaktorkan merupakan salah satu keterampilan yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah dalam bentuk aljabar .
Terkait dengan pemfaktoran bentuk aljabar, Marsigit (2009) menyebutkan beberapa bentuk aljabar yang difaktorkan .
beberapa bentuk aljabar yang difaktorkan: 1. Faktorisasi bentuk ax + b atau ax – b Contoh: 4a + 6
2. Faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2 Contoh: 9x2 – 30x + 25
3. Faktorisasi bentuk x2 – y2 Contoh : 9m2 – 64
4. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c Contoh : 6x2 + x– 15
1. Faktorisasi bentuk ax + b atau ax – b
Bagaimanakah cara melakukan pemfaktoran pada bentuk aljabar ax + b atau ax – b? Cara untuk memfaktorkan atau faktorisasi betuk aljabar ini adalah sebagai berikut.
1. Carilah faktor persekutuan setiap suku.
2. Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan terbesar dari setiap sukunya.
Contoh: a). 4a + 6 Penyelesaiaan :
3 8
a. Perhatikan faktor persekutuan dari 4a dan 6 adalah 2. Telah juga diketahui bahwa FPB dari 4 dan 6 adalah 2 sehingga masing-masing suku dibagi dengan 2 diperoleh:
Pemfaktoran bentuk x2 + 2xy + y2 dapat dilakukan dengan mengarahkan sisw dengan cara sebagai berikut: dan suku ketiga (y2) dari hasil pengkuadratan suku dua merupakan bentuk kuadrat . Adapun suku kedua merupakan dua kali akar kuadrat dari suku pertama dan akar kuadrat dari kuadrat dari kuadrat suku ketiga .
−y2 dinamakan bentuk selisih dua kuadrat. Faktorisasi bentuk x2 −y2 adalah sebagai (x + y) (x – y) atau x2
−y2 = (x + y) (x – y) . Pemfaktoran bentuk x2−y2 dapat dilakukan dengan mengarahkan siswa dengan cara sebagai berikut:
x2−y2 = x2+¿ xy – xy −y2
= (x + y) x + (x + y) (-y) = (x + y) (x – y)
9m2 – 64 = (3m)2 – 82 = (3m + 8) (3m – 8) 4. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c
Untuk faktorisasi bentuk ini ada baiknya dimulai dari perkalian tentang suku sejenis terlebih dahulu. Pembahasan tentang suku sejenis dan perkalian bentuk aljabar di atas, apabila siswa telah cukup menguasai akan membantu pada pemfaktoran. Terkait dengan masalah pemfaktoran sebagai trigger di atas, beberapa langkah alternatif yang bisa dilakukan adalah
1.The ”splitting method” (x + 3)(x + 2) = x (x + 2) + 3 (x + 2 ) = x 3x + 6 = x 2 + 5x + 6 2 +2x +
2. FOIL
FOIL : a mnemonic for ” first,outer, inner,last”, the four pairs of terms that need to be multiplied
(x+3)(x+2)=(x+3)x+(x+3)2=x2
+3x+2x+6=x2
+5x+6
3. The “smiley face method”
(x+3)(x+2)=x(x)+3(2)+3(x)+2(x)=x2+6+3x+5x ¿x2+5x+6
4. The “grid method”
(x+3)(x+2)=x2
+3x+2x+6=x2
Perhatikan bahwa proses
pengubahan bentuk (1) di atas dari kiri ke kanan secara aljabar disebut menjabarkan,
sedangkan dari kanan ke kiri disebut memfaktorkan. Pertanyaan yang kita ajukan ke siswa adalah “bagaimana kita dapat mengubah bentuk di atas (dari kiri ke kanan dan sebaliknya dari kanan ke kiri) jika gambar geometrinya tidak ada?”. Itulah yang dalam topik aljabar disebut menjabarkan dan memfaktorkan.
Agar 9 dan 10 mempunyai jumlah sama dengan 1 maka yang 9 kita tandai negatif dan yang 10 kita tandai positif, sehingga menjadi –9 dan 10.Maka nilai sukudua bagian tengah yaitu 1x pecah menjadi –9xdan 10x.Sehingga
Aljabar (pemulihan atau pelengkapan) berarti mengembalikan sesuatu kepada keadaannya yang pertama seperti menguraikan angka pecahan. Sedangkan artinya dalam istilah matematika adalah menambah sejumlah angka tertentu untuk dua tambahan dengan tujuan memudahkan penyelesaian. Menurut sumber dari wikipedia aljabar merupakan proses memindahkan unit negatif, akar dan kuadrat dari notasi dengan menggunakan nilai yang sama di kedua sisi. Contohnya, x2
=40x−4x2 disederhanakan menjadi 5x2
=40x . Al muqabalah (penyetimbangan atau persesuaian) artinya menyamakan antara satu angka dengan angka yang lain dan menghasilkan suatu nilai. Contohnya, x2+14=x+5 disederhanakan menjadi x2+9x=x
Di dalam kitab tersebut terdapat dalil – dalil penyelesaian persamaan linear dan kuadrat dengan menyederhanakan persamaan menjadi salah satu dari enam bentuk standar (di sini b dan c merupakan bilangan bulat positif)
Kudrat sama dengan akar ( ax2 =bx¿
Kuadrat sama dengan bilangan konstanta ( ax2
=¿ c) Akar sama dengan konstanta ( bx=c¿
Kuadrat dan akar sama dengan konstanta ( ax2
+bx=c¿
Dan perubahan pertamanya didapat dengan cara sebagai berikut :
(
x2Al khawarizmi menjelaskan Kuantitas : saya mengalikan bilangan penyebut tiga dan variabel bebas / dirham dengan bilangan penyebut empat dan varibel bebas , hasilnya akan menjadi dua puluh . Hasil perhitungan adalah kita mengalikan bilangan penyebut ketiga dengan bilangan penyebut ke empat , hasilnya akan menjadi setengah dari akar bilangan enam . Jika variabel bebas dikalikan dengan penyebut tiga hasilnya adalah peyebut itu sendiri . dan hasil kali variabel bebas dengan penyebut empat akan didapat bilangan itu sendiri , kemudian lakukan perkalian diantara variabel bebas satu yang kemudian dijumlahkan , setengah dari akar pangkat ditambah dengan sepertiga ditambah dengan seperempat ditambah variabel bebas satu sehingga hasilnya sama dengan variabel bebas dua puluh . 3
Contoh penyelesaian al – Khawarizmi bentuk ketiga yang digabung dengan persamaan kuadrat
x2+10=39
Penyelesaian mengggunakan prosedural al – Khawarizmi akan terlihat sebagai berikut : (x+5)2=39+25=64
x+5=
√
64=8 x=8−5=3x2
=9
Metode Pertama : x2+10=39
Misalkan ABCD merupakan sebuah bujur sangkar dengan sisi x ( gambar 1 ) pada setiap sisi bujur sangkar dibuat satu persegi panjang dengan sisi 104 =5
2(gambar2) . Ini mewakili sisi bagian kiri dari persamaan yaitu x2
+4
(
5 2)
x=x2
+10x . Sekarang bujur sangkar besar yang lengkap terdapat pada gambar 3 . Kita harus menjumlahkan keempat daerah bujur sangkar yang total daerahnya adalah 4
(
254)
, setelah ini didapat luas bujur sangkar yang besar yaitu : 39+25=¿64 , Maka panjang sisi bujur sangkar yang besar adalah 8 . karenax+5 2+
5
Gambar 1
Metode kedua : x2+10x=3
Buat sebuah bujursangkar ABCD dengan sisi x ( gambar 4 ) . jika ditarik garis dari AD ke titik E dan garis AB ke titik F sedemikian hingga DE = BF = 12 (10) = 5 . Lengakapi bujursangkar AFKE dan perluas DC ke G dan BC ke H . Daerah AFKE dapat diekspresikan sebagai : x2+10x+25, namun persamaan yang diselesaikan adalah
x2
+10x=39,
Lalu 24 harus ditambahkan ppada masing – masing bagian dari persamaan ini untuk mendapatkan x2+10x+25=39+25
Gambar 2
Sederhanakan menjadi x2
+10x+25=64 ini akan membuat persamaan kuadrat ( x+5 ¿ ¿2 Dimana hasilnya akan sama dengan 64 . Dimensi dari AFKE akan menjdai 8 × 8 tetapi , tetapi AF = x+5=8maka x=3sehingga x2=9
Kuadrat sama dengan akar kuadrat ditambah suatu bilangan
Metode = buat sebuah bujur sangkar ABCD dengan sisi –sisi x . ambil sebuah titik E pada garis AB sedemikian sehingga BE = 3 satuan sehingga didapat persegi empat AEFD . Seluruh bidang ABCD memiliki luas daerah x2 yag diwakili oleh 3x+4 dengan asumsi bahwa
x2=3x+4 , Misalkan H membagi garis EB , dan membentuk bujur sangkar EHKM yang memiliki sisi 3
2 . Jika garis HK dilanjutkan dengan mencapai titik S sedemikian sehingga KS = AE = DF dan buat titik SW tegak lurus terhadap DA bidang MKSN dan WNDF ( daerah arsiran pada gambar 6 ) memiliki luas daerah yang sama . Kesamaan ini berasal dari DW = HB = HE = KM.
Jadi luas daerah AHSW = (AENW+MKSN)+EHKM = (AENW+WNFD)+EHKM = AEFD + EHKM
Selanjutnya luas daerah BCFE adalah 3x sehingga luas daerah AEFD adalah 4 = 4 + 9
4 = 25
AH
merupakan salahsatu sisi bujursangkar AHSW yang luasnya 254 sisi AH adalah 52
Gambar 6 Tetapi AB = AH + 3
2 = 5 2+
3
2=4maka x=4sehingga x 2
=16 Kuadrat ditambah satu bilangan sama dengan hasil pengakaran
Gambar 7
Gambar 8 AB = x BC = 10
BE = BA = x
Gambar 7 dapat di presentasikan menjadi x2+21, sisi kiri dari persamaan. CN = CH = 5 ⟺Luas HCNM=25(gambar8)
IS = IF = 5 – x ⟺Luas MISW=(5−x)2
DS = x maka bidang persegi WSDN = x(5−x)=FEHI(gambar8) HCDI + EHIF = HCDI + SDNW
HCDI + SDNW = 21
Luas bujursangkar HCNM = Luas CDFE + Luas bujursangkar ISWM = 21+(5−x)2 Tetapi HCNM = 25
Sehigga, 21 + (5−x)2=25⇒(5−x)2=4maka x=3sehingg a x2=9
persamaan . Persamaan x2+21=10x memiliki dua akar positif yang jumlahnya10 koefisien dari x . Alkhawarizmi hanya melakukan perhitungan pada nilai akar positif yaitu 5 . Meskipun dengan metode diatas , nilai akar yang lebih besar dari 5 akan dapat ditemukan. Dengan cara sebagai berikut :
Gambar 9 Persegi empat ABCD
AB = x BC = 10
Luas ABCD = 10 x
BE = BA = x sehingga membentuk persegi empat ABEF
CN = CH = 5 membentuk bidang HCNM dengan luas = 25 . Juga membentuk bujur sangkar kecil MWFI yang luasnya = (5−x)2
⟺ NM = MH = 5 dan IM = WM = x – 5 ⟹ Luas MNDI = Luas HEWM ( gambar 9)
⟺Luas MNDI+luas ECNW=luas ECNW+luas HEWN ⟺Luas ECDF+luas MWFI=luas HCNM
21+(5−x)2=25
21−21+(5−x)2=25−21 (5−x)2=4
x−5=2 ⟺x−5+5=2+5⟺x=7
Maka x = 7 adalah nilai akar yang lain dari persamaan
Setelah guru menyajikan dan menjelaskan aljabar dasar alkhawarizmi kemudian berikan soal dengan menyelesaikannya melalui cara yang biasa umum digunakan (konvensional) dan cara penyelesaian yang mengacu pada aljabar yang dikembangkan oleh Alkhawarizmi.
Contoh soal
1. Jabarkan bentuk(2x+3)(x+7) yang merupakan faktorisasi dari suatu suku aljabar ! ( gunakan cara biasa dan pendekatan cara alkhawarizmi)
2. Tentukan nilai faktorisasi2x2+2x−12 , carilah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut . ( cara biasa )
Penyelesaian Alternatif Jawaban
1. Jabarkan bentuk(2x+3)(x+7) yang merupakan faktorisasi dari suatu suku aljabar ! ( gunakan cara biasa dan pendekatan cara alkhawarizmi)
Cara biasa menjabarkan(2x+3)(x+7) dapat menggunakan ”splitting method” (2x+3)(x+7)=2x(x+7)+3(x+7)=2x2+14x+3x+21=2x2+17x+21
Gambar 10
Luas persegi panjang ABCD = Luas 1 + Luas 2 + Luas 3 + Luas 4
(2x+3)(x+7) = Luas JHID + Luas AFHJ + Luas GHCI + Luas FBGH = (2x ×7)+(2x × x)+(3×7)+(3× x)
= 14x+2x2
+21+3x
= 2x2+17x+21
2. Tentukan nilai faktorisasi2x2
+2x−12 , carilah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut .
Alternatif penyelesaian
faktorisasi dari adalah2x2+2x−12 2x2+2x−12=¿
ax2 + bx + c = ( a
1 x( a2 x + b1 ) + b1 ( a2 x + b2 ) ) = ( a1 x + b1 ) ( a2 x + b2 )
Dengan a1×a2 = a dan (a1×b2) + ( a2×b1 ) = b Maka faktorisasi dari2x2
+2x−12adalah
2x2+2x−12=2x2+4x+6x−12
2x2+2x−12=2x(x+3)−4(x+3) 2x2+2x−12=(2x−4)(x+3)
Tulisan Al khawarizmi tentang aljabar sangat lengkap dan jelas , menurut Carra De Vaux , menyebutkan bahwa karya Al khawarizmi itu “ Good Secondary of University Textbooks”. A.B. Arndt berpendapat tentang buku aljabar al – Khawarizmi sebagai : “Sesuatu yang sangat menggetarkan , ketika saya memperhatikan terjemahan kitab aljabar wa’l muqabah , bahwa ini merupakan ibu dari buku wajib aljabar , yang ditulis lebih dari satu abad yang lalu dan merupakan karya yang sangat jelas dan berguna yang pernah saya saksikan . Dituliskan dengan kata –kata yang sederhana dan efektif , disertai dengan beragam contoh soal , seperti yang dijanjikan al khawarizmi pada dirinya sendiri . Ini merupakan sebuah buku wajib dimana saya tidak mendapat kesulitan dalam pengajaran semenjak ada buku ini 4
Penyajian pembelajaran matematika yang menarik sesuai dengan karakteristik dan lingkungan siswa khususnya dalam lembaga pendidikan islam akan lebih efektif dan memberikan kesan bermakna kepada siswa , contoh penyampaian pembelajaran matematika diatas merupakan satu dari 1000 alternatif yang dapat dikembangkan oleh guru matematika , terlebih kita yang hidup pada era modernisasi dan globalisasi ini , kita dituntut untuk memberikan pengajaran terbaik kepada siswa , tidak hanya dapat meningkatkan kemampuan kognitif siswa tetapi aspek psikomotorik dan afektif pun harus dikembangkan melalui matematika terutama dalam pembentukan akhlak siswa. Hal tersebut akan terjadi jika seorang guru tersebut memiliki persepsi awal yang “baik dan benar ” terhadap matematika , memahami apa itu matematika . Ketika persepsi definisi telah terbangun dengan baik maka pembelajaran matematika yang baik dan bermakna akan terlaksana , sehingga kita dapat di sebut sebagai guru yang paripurna profesional . Pada akhirnya tantangan sebesar apapun termasuk dalam persaingan AEC , kita mampu bertahan menjadi guru di negri sendiri dan bahkan menjadi pelopor pembelajaran matematika Islami ditingkat ASEAN .
Referensi :
John A van De Walle . Pengembangan Pembelajaran Matematika SD dan Menengah jilid 1 edisi keenam . Jakarta : Erlangga . 2008
Max A sobel dan Evan Mmaletsky , alih bahasa Dr. Suyono M Sc. Mengajar matematika : sebuah buku sumber alat peraga aktivitas dan strategi edisi 3. Jakarta: Erlangga . 2004 Mohamed Mohaini . Matematikawan Muslim Terkemuka. Jakarta: Salemba Teknika . 2001 R. Rosnawati . Kemampuan Penalaran Matematika Siswa Smp Indonesia Pada Timss 2011. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013.
