SEKOLAH MENENGAH ATAS
LUAR BIASA
Buku Guru
MATEMATIKA
Tunanetra
KELAS X
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
Buku Guru
MATEMATIKA
SMALB/A - Tunanetra
Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan digunakan pada tahap
Hak Cipta pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang
Kontributor : ASNAH TAHAR
Penyunting materi : (tim pengarah)
Diterbitkan oleh : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Kotak katalog dalam terbitan (KDT)
Cetakan ke-1, 2014
Disusun dengan huruf Bookman Oldstyle , 12pt
Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. MATEMATIKA SMALB/A ~Tunanetra : Buku Guru/ Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. –Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.
x, 194 hl. : ilus.; 25 cm. Untuk SMALB Kelas X
ISBN 978-602-282-637-8 (jilid lengkap) ISBN 978-602-282-638-5 (jilid 1)
I. Matematika – Studi dan Pengajaran I. Judul Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
KATA PENGANTAR
Pemerintah Republik Indonesia telah menerbitkan Peraturan Pemerintah Nomor 32 Tahun 2013 tentang perubahan atas Peraturan Pemerintah Nomor 19 Tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan. Berdasarkan peraturan ini telah ditetapkan kebijakan baru pendidikan khususnya yang berkaitan dengan kurikulum yang berlanjut dengan penerapan kurikulum 2013. Menurut peraturan ini, struktur kurikulum merupakan pengorganisasian Kompetensi Inti, Kompetensi Dasar, Muatan Pembelajaran, Mata Pelajaran, dan Beban Belajar pada setiap satuan pendidikan dan program pendidikan. Khusus Struktur Kurikulum untuk satuan pendidikan menengah termasuk untuk SMALB di antaranya terdiri atas muatan umum dan muatan pilihan lintas minat atau pendalaman minat.
Pengembangan Kurikulum 2013 SMALB seperti juga pengembangan Kurikulum 2013 SMA dilaksanakan atas dasar beberapa prinsip utama. Pertama, Standar Kompetensi Lulusan (SKL) diturunkan dari kebutuhan. Kedua, Standar Isi (SI) diturunkan dari Standar Kompetensi Lulusan melalui Kompetensi Inti (KI) yang bebas mata pelajaran. Ketiga, semua mata pelajaran harus berkontribusi terhadap pembentukan sikap, keterampilan, dan pengetahuan peserta didik. Keempat, mata pelajaran diturunkan dari kompetensi yang ingin dicapai. Kelima, semua mata pelajaran diikat oleh kompetensi inti. Keenam, keselarasan tuntutan kompetensi lulusan, isi, proses pembelajaran, dan penilaian. Aplikasi yang taat asas dari prinsip-prinsip ini menjadi sangat esensial dalam mewujudkan keberhasilan implementasi Kurikulum 2013.
Khusus Direktorat Jenderal Pendidikan Menengah mengembangkan bahan ajar pendidikan khusus. Dari kegiatan pengembangan tersebut telah diterbitkan sebanyak 54 jenis bahan ajar pendidikan khusus untuk peserta didik/siswa SMALB kelas X Tunanetra, Tunarungu, Tunagrahita Ringan, Tunagrahita Sedang, Tunadaksa Ringan, Tunadaksa Sedang, dan Autis, yang terdiri atas 27 bahan ajar untuk peserta didik/siswa dan 27 bahan ajar untuk guru yang mencakup mata pelajaran Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, Pendidikan Kewarganegaraan, Matematika, dan Seni Budaya.
Akhirnya, saya menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang berperan dalam penyusunan bahan ajar ini khususnya kepada semua Penulis, Editor, dan Ilustrator serta team professional dari Dit. PPKLK Ditjen Pendidikan Menengah Kemendikbud di bawah koordinasi Direktur Dit. Pembinaan Pendidikan Khusus dan Layanan Khusus, dengan dibantu Kasubdit Pembelajaran, Kasi Pelaksanaan Kurikulum, Kasi Penilaian dan Akreditasi yang telah mengkoordinir penulis, penelaah/editor, illustrator, dan tim tehnis Dit. PPKLK serta staf subdit pembelajaran Dit. PPKLK sehingga atas kerja keras dan bekerja dengan penuh konsentrasi dapat dihasilkannya bahan ajar ini. Semoga ketersediaan bahan ajar ini akan mendorong semua guru dan Kepala Sekolah SMALB untuk meningkatkan kapasitasnya dalam memahami dan menerapkan prinsip-prinsip pembelajaran dalam mengelola kelas dan mengembangkan sekolah serta bagi guru diharapkan dapat menerapkan pendekatan saintifik dan penilaian otentik pada setiap kegiatan pembelajaran supaya dihasilkan lulusan SMALB yang kreatif, produktif, inovatif, dan mandiri serta memiliki sikap ilmiah.
Jakarta, Mei 2014.
Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
DAFTAR ISI
Kata Pengantar... iv
Daftar Isi... vi
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ... 1
B. Ruang Lingkup... 2
C. Karakteristik Ketunaan... 3
D. Karakteristik Mata Pelajaran... 6
E. Model Pembelajaran... 9
F. Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar... 11
G. Interaksi dengan Orang tua... 15
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL A. Peta Konsep ... 17
B. Pendahuluan ... 18
C. Materi dan Kegiatan Pembelajaran... 19
1.Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel 19 a.Contoh ... 21
b.Tugas ... 22
c.Latihan Soal ... 23
2.Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ... 23
a. Alternatif Penyelesaian ... 27
(1)Metode Grafik ... 31
(3)Metode Eliminasi ... 33
(4)Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi ... 34
b. Latihan Soal ... 35
D. Pengayaan ... 38
E. Penilaian Pembelajaran ... 41
1. Prosedur Penilaian... 42
2. Penilaian untuk Soal Uraian ... 44
3. Pedoman Penilaian ... 44
4. Lembar Pengamatan Penilaian Sikap... 45
5. Lembar Pengamatan Penilaian Keterampilan... 47
BAB III RELASI DAN FUNGSI A. Peta Konsep ... 49
B. Pendahuluan ... 49
C. Materi dan Kegiatan Pembelajaran ... 50
D. Pengayaan... 65
E. Penilaian Pembelajaran... 66
1. Tes Tertulis ... 68
2. Pedoman Penilaian ... 68
3. Lembar Pengamatan Penilaian Sikap ... 69
4. Lembar Pengamatan Penilaian Keterampilan 71 BAB IV POLA BARISAN BILANGAN DAN DERET A. Peta Konsep ... 73
B. Pendahuluan ... 73
1. Menemukan Konsep pola Barisan Bilangan 74
2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika ... 79
a. Barisan Aritmetika... 79
b. Deret Aritmetika... 86
D. Pengayaan ... 94
E. Penilaian Pembelajaran ... 101
1. Contoh Tes Tertulis... 103
2. Pedoman Penskoran... 104
3. Lembar Pengamatan Penilaian... 106
BAB V PENGUBINAN DAN LUAS BANGUN DATAR A. Peta Konsep ... 109
B. Pendahuluan ... 109
C. Materi dan Kegiatan Pembelajaran ... 110
1. Menemukan Konsep Pengubinan... 110
2. Latihan Soal ... 114
3. Masalah Kontekstual... 118
4. Latihan Soal... 122
a. Soal Uraian... 125
b. Penugasan Proyek... 127
D. Pengayaan... 131
E. Penilaian Pembelajaran... 133
1. Instrumen Penilaian Hasil Belajar... 133
2. Pedoman Penilaian... 133
3. Contoh Penugasan Proyek... 134
4. Pedoman Penilaian Penugasan Proyek... 135
6. Lembar Pengamatan Penilaian Keterampilan 139
BAB VI LOGIKA MATEMATIKA
A. Peta Konsep ... 141
B. Pendahuluan ... 141
C. Materi dan Kegiatan Pembelajaran ... 142
1. Menemukan Arti Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka... 142
2. Kalimat Terbuka... 148
3. Ingkaran Pernyataan... 153
4. Pernyataan Berkuantor... 157
D. Pengayaan ... 167
E. Penilaian Pembelajaran ... 169
1. Prosedur penilaian... 170
2. Instrumen Penilaian Hasil Belajar... 171
a.Tes Uraian ... 171
b.Pedoman Penilaian... 172
3. Lembar Pengamatan Penilaian Sikap... 174
4. Lembar Pengamatan Penilaian Keterampilan 176
Evaluasi ... 179
Glosarium... 191
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pembelajaran matematika dalam buku ini menggunakan masalah nyata sebagai titik tolak dalam belajar matematika. Pelaksanaan pembelajaran dikaitkan dengan realitas. Informasi yang didapat peserta didik berkembang ketika mereka menyelesaikan masalah pada situasi-situasi biasa yang telah diakrabinya, dan keadaan itu yang dijadikan titik awal pembelajaran.
Buku Guru dibuat sebagai panduan guru dalam mengimplementasikan materi pelajaran di kelas. Dalam pembelajaran matematika guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk memahami konsep matematika melalui suatu masalah dalam situasi yang nyata. Oleh karena itu, pembelajaran matematika diberikan dengan bertitik tolak pada paham kontruktivisme dan pendekatan kontekstual.
Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) matematika disusun sebagai landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan yang dimiliki peserta didik dengan tujuan agar mereka memperoleh bekal yang terandalkan.
Isi dari buku guru memberikan tuntunan agar pembelajaran dapat berjalan sesuai dengan harapan. Peserta didik di dalam kelas memperoleh pengetahuan, keterampilan, dan penanaman sikap melalui pembelajaran aktif, inovatif, kreatif, edukatif, dan menyenangkan.
B. Ruang Lingkup
Buku Guru merupakan pedoman yang digunakan guru di sekolah yang disusun untuk mempermudah guru dalam penggunaan Buku Siswa. Ruang lingkup buku ini terdiri atas dua bagian. Bagian pertama berisi tentang karakteristik ketunaan, karakteristik mata pelajaran, strategi pembelajaran, metode pembelajaran, teknik pembelajaran, dan format penilaian, serta interaksi dengan orang tua. Bagian kedua berisi tentang materi dan kegiatan pembelajaran, pengayaan, dan penilaian pembelajaran.
Hal-hal yang berkaitan dengan proses pembelajaran dapat di baca pada buku ini sehingga memudahkan guru dalam pelaksanaan kegiatan belajar di kelas, juga dapat dipergunakan sebagai bahan inspirasi guru dalam pembelajaran.
kepada evaluasi. Guru dengan susunan seperti tersebut diharapkan mendapat kemudahan dalam pemahaman terhadap materi ajar, cara membelajarkannya, dan dalam melakukan penilaian.
C. Karakteristik Ketunaan
Mereka yang digolongkan tunanetra adalah mereka yang secara fisik mengalami gangguan penglihatan, di mana kelainannya tersebut tidak dapat ditolong oleh alat apapun, sehingga dalam proses memperoleh informasi mereka membutuhkan layanan yang berbeda. Berdasarkan berat ringannya kelainan yang dialami mereka dapat digolongkan menjadi: tunanetra dengan gangguan penglihatan ringan, tunanetra dengan gangguan penglihatan sedang, dan tunanetra yang tergolong buta total.
Mereka dengan kelainan yang dialaminya mengalami beberapa hambatan antara lain: mengalami hambatan dalam keanekaragaman pengalaman lingkungan, mengalami hambatan dalam orientasi dan interaksi lingkungan, dan mengalami hambatan mobilitas.
Hal yang perlu diperhatikan guru pada saat proses pembelajaran adalah memperhatikan karakteristik peserta didik, ini merupakan upaya agar proses pembelajaran menjadi berjalan sesuai dengan tujuan pembelajaran yang tertuang dalam Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP). Hal-hal yang harus diperhatikan guru dalam proses pembelajaran matematika adalah:
didik yang meliputi:
a. Penggunaan bahasa verbal yang jelas, yang bertujuan untuk menghindari kesalahan persepsi pada peserta didik saat penyampaian;
b. Penekanan intonasi bicara yang sesuai dengan kebutuhan dan konteks;
c. Memperhatikan kenyamanan peserta didik dalam memperoleh informasi, ada dua kemungkinan peserta didik nyaman memperoleh informasi melalui audio/MP3 (tape, digital talking book, note book) dan atau dengan membaca buku yang ditulis dengan huruf braille.
2.Faktor media pembelajaran yang digunakan harus
memenuhi kriteria bagi pembelajaran tunanetra, yakni: a.Media pembelajaran yang dapat diamati secara nyata,
dan dapat dijangkau oleh kedua tangan peserta didik untuk memudahkan pemahaman konsep pada media tersebut;
b.Media pembelajaran yang aman;
c. Media pembelajaran yang bervariasi guna memperjelas konsep yang diajarkan;
d.Media pembelajaran bagi peserta didik yang mengalami gangguan penglihatan ringan harus disesuaikan dengan kebutuhan penglihatannya berdasarkan hasil assesmen.
3.Teknik pembelajaran dalam baca tulis huruf braille, yaitu: a.Penulisan dan penggunaan simbol braille matematika
terkait dengan faktor keterbacaan materi, hal tersebut berhubungan dengan pemahaman konsep matematika; b.Sesegera mungkin mengontrol catatan peserta didik,
dengan cara memberi instruksi pada peserta didik untuk membacakan apa yang telah ditulisnya;
c. Menggunakan keseluruhan pancaindera yang masih dimiliki.
4.Strategi pembelajaran yang digunakan adalah:
a.Menggunakan pendekatan yang berpusat pada aktifitas peserta didik melalui pendekatan konstektual yang dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari.
b.Pendekatan pembelajaran yang digunakan adalah
pendekatan saintifik dapat berupa pembelajaran
kooperatif menggunakan kelompok diskusi yang
berbasis masalah.
2
Gambar 1.1: Gambaran pelaksanaan pembelajaran (Dok :PusKurbuk)
Teknikpelaksanaan
Metodeceramah, diskusi, dll Strategi kelompok, individu pendekatan
pendekatanpeser
D. Karakteristik Mata Pelajaran
Karakteristik matematika salah satu di antaranya adalah pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi. (bupulenambudi.blogspot.com/2011/12/karakteristik
matematika dan hakekat).
Prinsip yang digunakan dalam buku ini mengacu pada pendapat Van Den Heuvel-Panhuizen (1996) yang merumuskan sebagai berikut:
1. Prinsip aktivitas, yaitu bahwa matematika adalah
aktivitas manusia. Si pembelajar harus aktif baik secara mental maupun fisik dalam pembelajaran matematika. Si pembelajar bukan insan yang pasif menerima apa yang disampaikan oleh guru, tetapi aktif baik secara fisik, teristimewa secara mental mengolah dan menganalisis informasi, mengkonstruksi pengetahuan matematika.
2. Prinsip realitas, yaitu pembelajaran dimulai dengan masalah-masalah yang realistik bagi peserta didik, yaitu dapat dibayangkan oleh peserta didik. Masalah yang realistik lebih menarik bagi peserta didik dari masalah-masalah matematis formal tanpa makna. Jika pembelajaran dimulai dengan masalah yang bermakna bagi mereka, peserta didik akan tertarik untuk belajar. Secara gradual peserta didik kemudian dibimbing ke masalah-masalah matematis formal.
atau realistik secara informal, melalui skematisasi memperoleh insight tentang hal-hal yang mendasar sampai mampu menemukan solusi suatu masalah matematis secara formal.
4. Prinsip jalinan, artinya berbagai aspek atau topik
dalam matematika jangan dipandang dan dipelajari sebagai bagian-bagian yang terpisah, tetapi terjalin satu sama lain sehingga peserta didik dapat melihat hubungan antara materi-materi itu secara lebih baik. Konsep matematika adalah relasi-relasi. Secara psikologis, hal-hal yang berkaitan akan lebih mudah dipahami dan dipanggil kembali dari ingatan jangka panjang daripada hal-hal yang terpisah tanpa kaitan satu sama lain.
5. Prinsip interaksi, yaitu matematika dipandang
sebagai aktifitas sosial. Kepada peserta didik perlu dan harus diberikan kesempatan menyampaikan strateginya menyelesaikan suatu masalah kepada yang lain untuk ditanggapi, dan menyimak apa yang ditemukan orang lain. Melalui diskusi, pemahaman peserta didik tentang suatu masalah atau konsep menjadi lebih mendalam dan peserta didik terdorong untuk melakukan refleksi yang memungkinkan dia menemukan insight untuk memperbaiki strateginya atau menemukan solusi suatu masalah.
6. Prinsip bimbingan, yaitu peserta didik perlu
Berikut adalah karakteristik Pendekatan Matematika Realistik:
1. Peserta aktif, dan guru aktif (Matematika sebagai aktivitas manusia).
2. Pembelajaran sedapat mungkin dimulai dengan menyajikan masalah kontekstual/realistik.
3. Guru memberi kesempatan pada peserta didik menyelesaikan masalah dengan cara sendiri.
4. Guru menciptakan suasana pembelajaran yang menyenangkan.
5. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah dalam kelompok (kecil atau besar).
6. Pembelajaran tidak selalu di kelas (bisa di luar kelas, duduk di lantai, pergi ke luar sekolah untuk mengamati atau mengumpulkan data).
7. Guru mendorong terjadinya interaksi dan negosiasi, baik antara peserta didik dan peserta didik, juga antara peserta didik dan guru.
8. Peserta didik bebas memilih modus representasi yang sesuai dengan struktur kognitifnya sewaktu menyelesaikan suatu masalah (menggunakan model). 9. Guru bertindak sebagai fasilitator.
10.Kesalahan peserta didik dalam menyelesaikan masalah ditanggapi dengan baik dan dibantu melalui pertanyaan-pertanyaan.
E. Model Pembelajaran
Model pembelajaran yang diterapkan dalam pembelajaran matematika menganut paham kontruktivistik
yang menekankan pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah nyata yang berpengaruh pada aktivitas peserta didik dan perkembangan mental dan keterampilan peserta didik selama proses pembelajaran. Proses pembelajaran di kelas merupakan proses pembelajaran yang holistik dan bertujuan membantu peserta didik memahami makna materi ajar dengan mengaitkannya terhadap konteks kehidupan sehari-hari, sehingga peserta didik memiliki pengetahuan dan keterampilan yang dinamis dan fleksibel untuk mengkonstruksi sendiri secara aktif pemahamannya sesuai dengan kemampuan.
Melalui pengalaman yang didapat selama proses pembelajaran, peserta didik diharapkan memberi makna pada pengetahuan itu. Guru bertugas mengatur strategi belajar dan membantu menghubungkan pengetahuan lama dengan pengetahuan baru, kemudian memfasilitasi kegiatan belajar.
untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, dan aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran.
Penilaian hasil belajar dapat menggunakan berbagai
teknik penilaian sesuai dengan Kompetensi Dasar (KD) yang
harus dikuasai. Teknik penilaian yang digunakan dalam
pembelajaran matematika dapat berupa tes atau non tes.
Tes yang diberikan berupa tes uraian dan pilihan ganda,
sedangkan teknik penilaian non tes berupa tugas, observasi,
dan portofolio.
Tugas berupa latihan soal diberikan langsung apabila
peserta didik sudah mengalami pembelajaran, tugas dapat
didefinisikan sebagai kegiatan yang dilakukan secara
terstruktur di luar kegiatan kelas. Selama kegiatan belajar
mengajar, observasi dilakukan untuk memantau
sikap-sikap yang diharapkan muncul sesuai dengan indikator
pembelajaran yang dirumuskan guru dalam Rencana
Pelaksanaan Pembelajaran (RPP). Penilaian portofolio
dilakukan selama proses pembelajaran, sedangkan tes
diberikan untuk setiap peserta didik sesudah menyelesaikan
satu Kompetensi Dasar yang bertujuan untuk memantau
perkembangan pengetahuan, keterampilan dan sikap
peserta didik. Portofolio dapat juga dilakukan untuk
menggambarkan prestasi, kelebihan, dan kekurangan
kinerja peserta didik.
Media belajar yang digunakan saat proses dapat dibuat
guru, media tersebut dapat berupa model atau alat dan
umpamanya papan berpaku yang berfungsi sebagai
pengganti papan koordinat yang digunakan untuk
menjelaskan konsep pada materi sistem persamaan linear
dua variabel dengan metode grafik, atau bisa juga
digunakan untuk menerangkan konsep pada materi relasi
dan fungsi.
Sarana belajar yang digunakan dalam proses
pembelajaran adalah sarana yang ada di sekolah; bisa
berupa sarana yang ada di dalam kelas atau sarana di luar
kelas; umpamanya meja peserta didik, meja guru, ruang
kelas, sepatu peserta didik, dan kantin/warung yang berada
di sekitar halaman sekolah.
Pendekatan pembelajaran yang digunakan adalah
pendekatan saintifik yang meliputi mengamati, menanya,
mengumpulkan informasi, mengasosiasikan dan
mengomunikasikan.
F. Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar
KOMPETENSI INTI KOMPETENSI DASAR
2. Menghayati dan
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli
budaya, dan 3.3 Memprediksi pola barisan dan deret 3.5 Memahami aspek-
aspek sederhana
argumentasi logis yang digunakan dalam matematika yang sudah dipelajari.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak sesuai dengan kemampuan anak berkebutuhan khusus terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di
penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana.
4.4 Menggunakan bangun-bangun dalam berbagai pola untuk pengubinan dalam kehidupan nyata yang dikaitkan dengan perhitungan luas
bangun datar.
4. 5 Membuat deduksi logis dengan menggunakan argumentasi logis dalam kehidupan sehari-hari.
Perlu diketahui rumusan Kompetensi Inti (KI) dapat dijabarkan sebagai berikut: Kompetensi Inti-1 (KI-1) memuat sikap spiritual; Kompetensi Inti-2 (KI-2) memuat sikap emosi sosial; Kompetensi Inti-3 (KI-3) memuat pengetahuan terhadap materi ajar; dan Kompetensi Inti-4 (KI-4) memuat keterampilan yang berhubungan dengan KI-3 dan dikembangkan melalui proses pembelajaran. Kompetensi Dasar dikembangkan dengan memperhatikan karakteristik peserta didik, kemampuan awal, serta ciri dari suatu mata pelajaran.
kompetensi-kompetensi yang langsung diberikan dalam pelaksanaan pembelajaran.
G. Interaksi dengan Orang Tua
Keberagaman kemampuan peserta didik mungkin akan
ditemui guru dalam satu kelas yang sama. Hal ini tentu saja merupakan problem pada proses pembelajaran di kelas, oleh karena itu diperlukan waktu bagi guru untuk memikirkan pembuatan Program Pendidikan Individual (PPI). Program yang dibuat harus benar-benar relevan dengan kebutuhan peserta didik. Proses assesmen untuk kemampuan awal perlu diberikan bagi semua peserta didik. Berawal dari hasil
assesmen seorang guru berusaha membuat program yang
sesuai dengan kebutuhan peserta didik.
Pembuatan program pendidikan individual memerlukan kehadiran orang tua atau wali untuk membicarakan program yang akan disusun. Jadi program pendidikan individual dibuat bersama-sama orang tua/wali dari peserta didik, atas persetujuan orang tua/wali program tersebut dilaksanakan di kelas. Selanjutnya perkembangan peserta didik secara periodik dilaporkan pada orang tua/wali.
Program pengayaan bagi peserta didik yang kompetensinya melampaui standar minimal kurikulum perlu diketahui orang tua/wali, sehingga orang tua/wali dapat berperanserta dan memberikan dukungan terhadap anaknya untuk belajar lebih giat.
Masalah perubahan sikap dan perkembangan
BAB II
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA
VARIABEL
Linear Dua Variabel (PLDV)
Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel (PLDV)
B. Pendahuluan
Peserta didik pada bab ini akan memperoleh pengetahuan dan keterampilan dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel, pada akhir pembelajaran diharapkan peserta didik memperoleh pengalaman belajar sebagai berikut:
1. Menjelaskan pengertian persamaan linear dua variabel.
2. Membuat model matematika dari permasalahan otentik yang merupakan sistem persamaan linear dua variabel.
3. Menemukan ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel dari model matematika yang dibuat.
4. Menuliskan secara benar mengenai model matematika yang merupakan sistem persamaan dua variabel.
5. Menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi dari permasalahan yang diberikan dengan menggunakan berbagai metode. Bab ini akan menguraikan secara singkat mengenai materi dan kegiatan pembelajaran, pengayaan, dan penilaian pembelajaran.
Sebelum membahas sistem persamaan linear dua variabel,
pandulah peserta didik untuk memahami pengertian
C.Materi dan Kegiatan Pembelajaran
1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Masalah 2.1
Mintalah peserta didik untuk melakukan kegiatan berikut!
Mintalah bantuan pada peserta didik untuk membeli 3 bungkus mie instan dan 3 butir telur di warung dekat sekolah. Uang yang dibayar pada pembelian itu adalah Rp10.500,00.
Apa bila banyak peserta didik lebih dari satu mintalah peserta didik yang lain untuk membeli 2 bungkus mie instan, dan 2 butir telur, dan uang yang harus dibayarkan adalah Rp7.000,00 (jika banyak peserta didik hanya 1 orang, guru dapat meminta kembali peserta didik tersebut untuk melakukan kembali pembelian pada kegiatan kedua).
Tanyakan kepada peserta didik bagaimana cara untuk mengetahui harga 1 bungkus mie instan dan 1 butir telur! Peserta didik bisa menyelesaikan masalah 1.1 dengan menanyakan langsung kepada penjual mengenai harga masing-masing barang tadi. Akan tetapi, pada keadaan tertentu hal tersebut tidak bisa dilakukan, sehingga untuk menyelesaikan masalah yang memiliki kemiripan dengan masalah di atas, matematika memiliki solusi yang lebih mudah. Berikut cara penyelesaian matematikanya:
Pertama-tama tuliskan hasil pembelian pada kegiatan pertama, dan hasil pembelian pada kegiatan kedua.
Pembelian 2: 2 (harga mie) + 2 (harga telur) = Rp7.000,00
Berikanlah kesempatan kepada peserta didik untuk
berdiskusi!
Setelah peserta didik menemukan bentuk penulisan untuk Pembelian 1 dan Pembelian 2, mereka diberitahu bahwa apa yang telah dibuat disebut kalimat matematika.
Selanjutnya mintalah peserta didik untuk mengamati contoh
cerita berikut!
Masalah 2.2
Di tempat parkir terdapat 30 kendaraan bermotor beroda dua dan beroda empat. Jumlah ban dari seluruh kendaraan yang parkir ada 100. Tulislah kalimat matematika yang sesuai dengan masalah tersebut!
Alternatif jawaban
Misalkan: t = banyak motor. Motor memiliki 2 roda b = banyak mobil. Mobil memiliki 4 roda maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
Persamaan 1 (banyak kendaraan): t + b = 30 Persamaan 2 (banyak roda): 2t + 4b = 100
Untuk memotivasi peserta didik tanyalah apakah mereka
masih ingat dengan istilah variabel. Pertanyaan yang
diharapkan muncul adalah “Apa yang dimaksud dengan
variabel? “
Contoh: a, b, c, ...z
Ajukan kembali pertanyaan kepada peserta didik untuk
menggali pengetahuan yang sudah dimiliki sebagai jembatan
untuk mempelajari sistem persamaan linear dua variabel.
Masih ingat persamaan linear satu variabel? Coba perhatikan persamaan berikut ini! 3x + 6 = 12 ; y – 8 = 16 dan - z + 4 = 16
Dalam persamaan terdapat satu variabel yaitu x, y dan z.
a) Contoh:
2x + 6y = 12 ( Persamaan dua variabel ) 3y – 4z = 16 ( Persamaan dua variabel )
2a - 6b + 8c = 24 ( Bukan persamaan dua variabel
Dalam persamaan linear dua variabel nilai -6, -4, 2, 3, 6, dan 8 disebut koefisien sedangkan nilai 12 dan 16 disebut konstanta, dan x, y dan z disebut variabel.
Semua variabel, koefisien dan konstanta dalam Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) merupakan bilangan real.
Perhatikan persamaan-persamaan berikut! 1.10x + 7y = 360
2.3a + 2b = 16 3.5p + 2q = 27 4.t + 4s = 19
Pandu peserta didik dalam menyimpulkan materi.
Persamaan linear dua varabel adalah persamaan yang memuat 2 variabel dan pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah satu.
b)Tugas
Berikan masalah berikut untuk diselesaikan.
Andi kehilangan regelet dan pen kepunyaannya, maka ia membeli 1 regelet dan 1 pen dengan harga Rp30.000,00. Sedangkan Firman selain dia membutuhkan sepasang regelet dan pen ia juga ingin membantu Aldo yang pennya hilang, Firman membeli 1 regelet dan 2 pen dengan harga Rp35.000,00.
Buat persamaannya (Diskusikan dengan temanmu)!
Ubah persamaan tersebut dengan menggunakan lambang variabel yang kamu kehendaki!
Konfirmasikan kepada gurumu. Tanyakan kepada gurumu bagaimana hasil pekerjaanmu!
Penyelesaian
Misalkan: harga regelet = r, dan harga pen = p
c) Latihan soal
Tulislah masalah-masalah berikut dalam bentuk persamaan!
1.Deri membeli sebuah buku tulis dan 3 pensil seharga Rp3.000,00. Di toko yang sama, Indi membeli 2 buku tulis dan 2 pensil seharga Rp4.000,00.
2.Bondan membeli sepasang sepatu dan 2 pasang kaos kaki seharga Rp180.000,00. Sementara Amri membeli 2 pasang sepatu dan kaos kaki yang sama seharga Rp330.000,00.
3.Harga 3 blind fool dan 2 tongkat = Rp180.000,00. Harga 5
blind fool ditambah 8 tongkat = Rp650.000,00 Penyelesaian
1.Misal harga buku tulis = b, dan harga pensil = p
Persamaan 1 (Pembelian Deri): b + 3p = 3.000 Persamaan 2 (Pembelian Indi): 2b + 2p = 4.000
2.Misal harga sepatu = s, dan harga kaos kaki = k
Persamaan 1 (Pembelian Bondan): s + 2k = 180.000 Persamaan 2 (Pembelian Amri) : 2s + k = 330.000 3.Misal harga blind fool = x, dan harga tongkat = y
Persamaan 1: 3x + 2y = 180.000 Persamaan 2: 5x + 8y = 650.000
2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
SMP. Sekarang kita akan perdalam kajian, dan pemahaman tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang sudah dimiliki sebelumnya. Peserta didik diajak untuk menemukan ide-ide, dan kreatif dalam mencari strategi penyelesaian masalah, dan belajar untuk mengungkapkannya, kemudian berdiskusi dengan teman, dan mengajukan pertanyaan kepada guru.
Permasalahan-permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan kita jadikan bahan inspirasi, untuk menyusun model-model matematika. Model-model matematika tersebut, kita jadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear dua variabel.
Guru membantu peserta didik menemukan konsep
sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan
dengan cara memberikan beberapa masalah yang
keseharian dekat dengan peserta didik . Misalnya saja
Masalah 1.3 secara berkelanjutan untuk dipecahkan.
Langkah pertama adalah mengajak peserta didik untuk
berdiskusi dalam kelompok (bila peserta didik lebih dari
satu), dan mencari pemecahan masalah di dalam kelompok.
Guru memberikan stimulus pada peserta didik, agar
mereka sendiri dapat memecahkan masalah dan mampu
memahami masalah sesuai yang diharapkan.
Tugas peserta didik membuat model matematika berupa
sistem persamaan linear dua variabel. Langkah berikutnya
linear yang diperoleh dari langkah pemecahan masalah,
minta peserta didik secara individu untuk menuliskan
ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel.
Berdasarkan ciri-ciri tersebut mintalah peserta didik
menuliskan pengertian sistem persamaan linear dua
variabel dengan kata-katanya sendiri. Kemudian
mendiskusikan hasilnya dengan teman satu kelompok
dalam bimbingan guru.
Mintalah peserta didik untuk mencermati masalah berikut!
Masalah 2.3
Gambar 2.1 empat stoples plastik (Dok: PKLK. Dikmen.Dikbud)
dapat dijadikan bahan inspirasi menemukan konsep dan aturan yang terkait dengan sistem persamaan linear melalui masalah yang dirancang.
Peserta didik diminta menyediakan empat stoples plastik dan guru membawa dua jenis makanan ringan yang masing-masing berjumlah 10, permainan ini merupakan sarana agar peserta didik dapat menemukan konsep persamaan linear dua variabel. Langkah pertama adalah memberi nomor urut dan jumlah harga pada stoples plastik dengan huruf braille. Langkah kedua adalah memasukkan 3 roti dan 1 biskuit pada stoples A yang kemudian diberi label harga Rp7.000,00, pada stoples B masukkan 1 roti dan 3 biskuit dengan label harga Rp5.000,00, pada stoples C masukkan 2 roti dan 3 biskuit diberi label harga Rp7.000,00. Sisa makanan ringan dimasukkan ke stoples D yang belum diberi label harga. Tugas peserta didik adalah memberi label harga pada stoples D dengan cara mencari harga dari masing-masing makanan ringan.
Sebelum menyelesaikan masalah tersebut, bimbinglah
peserta didik untuk merenungkan dan memikirkan beberapa
pertanyaan berikut:
1) apa kamu dapat menemukan hubungan antara
jumlah dua jenis makanan ringan dengan label harga?
2) bagaimana cara kamu menemukan hubungan antara
jumlah dua jenis makanan ringan dan harga yang
3) apakah ada kesulitan yang harus didiskusikan dengan
teman atau bertanya kepada guru?
4) adakah sistem persamaan linear kamu temukan dari
rumusan hubungan antara jumlah dua jenis makanan
ringan dan harga yang tertera? Tanya pada guru bila
belum jelas.
5) dapatkah kamu menjawab berapa harga
masing-masing dari dua jenis makanan? Dapatkah kamu
menempelkan label harga pada stoples yang keempat?
Guru memberi instruksi agar 5 buah pertanyaan
tersebut dicatat dalam buku catatan masing-masing dan
disimpan baik-baik sebagai pengingat untuk mengikuti semua
proses pembelajaran dalam pembahasan sistem persamaan
linear dua variabel.
a) Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan Gambar 2.1 di atas dan deskripsinya, diperoleh informasi sebagai berikut.
Stoples A berisi 3 roti dan 1 biskuit, label harga Rp7.000,00. Stoples B berisi 1 roti dan 3 biskuit, label harga Rp5.000,00. Stoples C berisi 2 roti dan 3 biskuit, label harga Rp7.000,00. Stoples D berisi 4 roti dan 3 biskuit, tanpa label harga.
Ingatkan Kepada peserta didik bahwa tugas mereka
adalah memperoleh hubungan antara jumlah dua jenis
makanan ringan dan label harga, sehingga antara dua jenis
hubungan atau jumlah satu jenis makanan ringan dapat
dinyatakan dengan harga tertentu.
Minta peserta didik menemukan aturan untuk
memasangkan jumlah dari dua jenis makanan dengan label
harga.
Berikan kesempatan kepada peserta didik untuk
bertanya bila belum jelas. Diharapkan peserta didik
melakukan hal berikut:
Stoples No
Jumlah roti Jumlah biskuit Label harga
A. 3 1 Rp7.000,00
B. 1 3 Rp5.000,00
C. 2 3 Rp7.000,00
D. 4 3 ....
Tabel tersebut bisa dibuat guru dalam keadaan kosong,
dan peserta didik menempelkan: banyak roti, banyak biskuit,
dan label harga sesuai permasalahan.
Arahkan peserta didik melihat keterkaitan antara
jumlah dua jenis makanan ringan dengan label harga,
dengan mengumpamakan x (harga roti) dan y (harga biskuit)
yang akan dicarikan jawabannya terkait dengan dua jenis
makanan ringan dan label harga yang akan dinyatakan
dalam sebuah persamaan.
Untuk stoples A didapatkan 3x + y = 7.000 (persamaan 1) Untuk stoples B didapatkan x +3y = 5.000 (persamaan 2) Untuk stoples C didapatkan 2x+3y = 7.000(persamaan 3) Sedangkan untuk stoples D didapatkan 4x + 3y = ?
Mintalah peserta didik untuk menuliskan dua buah
persamaan di atas dengan cara menulis kedua persamaan
tersebut dalam dua baris, biasakan peserta didik untuk
menuliskan dua persamaan seperti yang dianjurkan, hal ini
bertujuan memudahkan peserta didik untuk membaca,
mengamati dan memahami dua persamaan tersebut.
Mintalah peserta didik mengamati kedua persamaan
tersebut.
Pandulah peserta didik agar peserta didik dapat
menyelesaikan persamaan tersebut dengan baik,
persamaan tersebut dapat diselesaikan melalui metode
grafik, metode eliminasi, substitusi, atau campuran
(eliminasi dan substitusi).
Catatan:
Metode grafik bisa digunakan oleh peserta didik yang mempunyai hambatan penglihatan ringan, tetapi dalam pelaksanaan pembelajaran metode grafik dikenalkan pada semua peserta didik melalui media yang akrab dengan peserta didik yaitu papan berpaku dan karet gelang yang bisa dilepas dan dipasang.
Langkahnya adalah nilai x dicari dengan cara mengeliminasi variabel y, sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeleminasi variabel x.
3x + y = 7. 000 × 3 9x + 3y = 21.000
x + 3y = 5.000 × 1 x + 3y = 5.000 - 8x = 16.000 x = 2.000 3x + y = 7.000 ×1 3x + y = 7.000
x + 3y = 5.000 × 3 3x + 9y = 15.000 - -8y = -8.000
y = 1.000
Dari penyelesaian tersebut didapatkan harga untuk masing-masing makanan ringan. Harga 1 roti Rp2.000,00, dan harga 1 biskuit Rp1.000,00.
Jadi untuk stoples D dapat ditulis label harga dengan cara metode substitusi yaitu mengganti x dan y dengan nilai yang didapatkan dalam perhitungan di atas.
Masing-masing peserta didik menyelesaikan persamaan yang tertera pada stoples D.
Perhatikan penyelesaian persamaan berikut!
Pajanglah hasil kerjamu di meja khusus untuk tempat pemajangan hasil karyamu!
Berikut adalah contoh soal dengan penyelesaian menggunakan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran:
Bimbinglah peserta didik untuk mencermati soal-soal
berikut!
Tentukan himpunan penyelesaian dari : 2x + y = 6, dan x – y = – 3
Jawab :
i. Metode grafik
Berdasarkan persamaan 2x + y = 6,
Bila x = 0, maka 2 x 0 + y = 6 sehingga y = 6. Bila y = 0, maka 2x + 0 = 6 sehingga x = 3.
Selanjutnya rajahlah beberapa titik sebagai berikut:
Sumbu X 0 1 2 3
Sumbu Y 6 4 2 0
Grafik persamaan 2x + y = 6 melalui ( 0, 6) dan ( 3, 0 ) Untuk x – y = – 3
Bila x = 0, maka 0 - y = –3 sehingga y = 3. Bila y = 0, maka x - 0 = –3 sehingga x = –3.
Selanjutnya rajahlah beberapa titik sebagai berikut: Sumbu X -3 -2 -1 0 1 2
Sumbu Y 0 1 2 3 4 5
Dari tabel pertama dan kedua diperoleh kolom yang nilainya sama di kedua tabel yaitu (1, 4). Titik inilah yang
merupakan himpunan penyelesaian dari permasalahan di atas.
Gambar 2.2 grafik sumbu X dan Y berpotongan di titik (1.4)
Jadi, himpunan penyelesaian dari 2x + y = 6 dan x – y = -3 adalah {(1, 4)}
ii. Metode substitusi
Metode substitusi dimulai dengan menyatakan sebuah variabel dari salah satu sistem persamaan linear dua variabel dalam variabel lain.
2x + y = 6 y = 6 – 2x ...(1)
x – y = -3 ...(2) substitusikan persamaan (1) ke (2), diperoleh :
x – y = -3
x = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan (1), diperoleh :
y = 6 – 2x
= 6 – 2(1) = 4
Jadi, himpunan penyelesaian dari 2x + y = 6 dan x – y = – 3 adalah {(1, 4)}
iii. Metode eliminasi
Metode ini adalah satu cara mendapatkan nilai pengganti suatu variabel melalui penghilangan variabel lain. Untuk mengeliminasi suatu variabel, langkah pertama yang
dilakukan adalah menyamakan koefisian variabel tersebut.
Mencari nilai x dengan mengeliminasi y. 2x + y = 6
x – y = – 3 + 3x + 0 = 3
x = 1
Mencari nilai y dengan mengeliminasi x
2x + y = 6 × 1 2x + y = 6 x – y = – 3 × 2 2x – 2y = – 6 – 3y = 12 y = 4
iv. Metode campuran eliminasi dan substitusi
Eliminasikan x atau y
2x + y = 6 ...(1) x – y = – 3 + ...(2) 3x + 0 = 3
x = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan (1) atau (2) 2x + y = 6
2(1) + y = 6 2 + y = 6 y = 4
Jadi, himpunan penyelesaian dari 2x + y = 6 dan x – y = – 3 adalah {(1, 4)}
Catatan :
1. Metode grafik, membutuhkan ketepatan dalam membuat skala grafik. Jika tidak, titik penyelesaian tidak tepat, oleh karena itu merajah beberapa titik menjadi penting.
2. Metode campuran dengan menggunakan eliminasi dan substitusi, akan mendapatkan himpunan
penyelesaian lebih cepat daripada menggunakan salah satu metode eliminasi atau substitusi.
b) Latihan Soal
1. Selesaikanlah masalah-masalah berikut!
a. Iwan membeli untuk acara pentas akhir tahun 6 kebaya seharga Rp480.000,00 dan 6 kerudung yang harga satuannya Rp10.000,00. Tentukan jumlah uang yang harus dikeluarkan Iwan.
b. Ibu Mirah pada acara arisan membeli 30 kue donat dan 40 kue lemper seharga
Rp125.000,00, karena persediaan kurang anaknya membeli tambahan 15 kue donat dan 15 kue lemper seharga Rp52.500,00 pada toko kue yang sama. Tentukan harga masing-masing. c. Harga 2 pensil dan 4 buku tulis Rp11.000,00.
Harga 6 pensil dan harga 2 buku tulis Rp13.000,00 Berapakah harga 2 pensil dan 3
buku tulis?
d. Harga 3 celana dan 2 kemeja Rp200.000,00. Jika harga celana lebih mahal Rp5.000,00 dari harga kemeja. Berapakah harga celana dan kemeja?
e. Kandang ternak Pak Muhtar berisi 80 ekor bebek dan kambing, jumlah kakinya ada 208. Berapa banyak kambing Pak Muhtar?
2. Penugasan Proyek
akhir tugas peserta didik membuat laporan hasil kerja mereka, selanjutnya mereka menyajikannya di depan kelas dan menempelkan hasilnya di dinding kelas.
Harga 2 kg terigu dan 1 kg gula pasir Rp27.000,00, harga 2 kg terigu dan 3 kg gula pasir Rp37.000,00. Dalam pembuatan 5 loyang kue bolu ukuran sedang diperlukan anggaran sebesar Rp16.000,00 untuk terigu dan gula pasir. Jika anggaran yang harus dikeluarkan Rp40.000,00 untuk biaya pembelian terigu dan gula pasir, berapa loyang kue bolu yang akan didapatkan?
Penyelesaian
a. Harga 1 kerudung Rp10.000,00 Harga 6 kerudung = 6 × Rp10.000,00
=Rp60.000,00 Harga 6 kebaya =Rp480.000,00
Jadi jumlah uang yang harus dikeluarkan Iwan adalah:
Rp480.000,00 + Rp60.000,00=Rp540.000,00
b. Misal: Harga donat = d
Harga Lemper = l
Persamaan 1: 30d + 40l = 125.000 Persamaan 2: 15d + 15l = 52.000
30d + 40l = 125.000 ×1 30d + 40l = 125.000 15d +15l = 52.000 ×2 30d + 30l = 105.000
l = 2.000 15d + 15(2000) = 52.500 15d = 52.500 – 30.000
d = 1.500 harga 1 lemper = Rp2.000,00 dan, harga 1 donat = Rp1.500,00
c. Misal: Harga pensil = p
Harga buku tulis = b
Persamaan 1: 2p + 4b = 11.000 Persamaan 2: 6p + 2b = 13.000
2p + 4b = 11.000 ×1 2p + 4b = 11.000 6p + 2b = 13.000 ×2 12p + 4b = 26.000 – 10 p = 15.000
p = 1.500 2(1.500) + 4b = 11.000
3.000 + 4b = 11.000
4b = 11.000 – 3.000
b = 2.000
Jadi, harga 2 pensil dan 3 buku tulis adalah: = 2(Rp1.500,00) + 3 (Rp2.000,00)
= Rp3.000,00 + Rp6.000,00 = Rp9.000,00
d. Misal: HargaKemeja = k
Harga celana (c) = k + 5.000
3c + 2k = 200.000
3(k + 5.000) + 2k = 200.000
3k + 15.000 + 2k = 200.000
K =
Harga celana = 37.000 + 5.000 = Rp42.000,00 e. Misal : jumlah bebek = b
jumlah kambing = k
Maka b + k = 80 × 2 2b + 2k = 160 2b + 4k = 208 × 1 2b + 4k = 208
– 2k = – 48 k = 24 Jadi, Kambing Pak Muhtar ada 24 ekor.
D. Pengayaan
Bagi peserta didik yang memperoleh hasil belajar kurang dari yang ditetapkan, wajib diberi pembelajaran remedial. Pembelajaran remedial pada hakikatnya adalah pemberian bantuan bagi peserta didik yang mengalami kesulitan atau kelambatan belajar dibandingkan kawan sekelasnya.
Bantuan dalam pembelajaran remedial mencakup (1) mengkaji ulang materi pada kompetensi dasar yang belum dicapai peserta didik, (2) pemberian tugas terstruktur yang dilakukan secara mandiri dan pemberian umpan balik atas hasil kerja peserta didik, (3) kerjasama sekolah dengan orang tua/wali peserta didik dalam mengatasi masalah belajar peserta didik.
Bagi peserta didik yang memperoleh hasil belajar lebih dari yang ditetapkan, wajib mengikuti pengayaan. Pembelajaran pengayaan adalah pembelajaran yang memberikan pengalaman lebih mendalam pada materi terkait.
Pendekatan pembelajaran dalam pelaksanaan pengayaan dilaksanakan melalui pembelajaran berbasis masalah untuk melatih peserta didik berpikir kreatif.
Soal-soal Pengayaan
Peserta didik yang memperoleh prestasi yang baik selama
proses pembelajaran diberikan soal pengayaan di bawah ini.
1. Panjang sisi sebuah persegi panjang 9 cm lebih dari lebarnya. Jika kelilingnya 74 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut!
Ingatkan pada peserta didik untuk mencari panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut, dengan cara
membuat model matematikanya (membuat bentuk
persamaan linear dua variabel) terlebih dulu.
Tanyakan pada peserta didik tentang rumus keliling dan luas persegi panjang.
Alternatif Pemecahan:
Panjang persegi panjang = p dan lebarnya = l
Persamaan 1: P = 9 + l atau p – l = 9
Keliling persegi panjang k = 2(p + l)
P – l = 9 p – l = 9
P + l = 37 p + l = 37
--- + --- – 2p = 46 - 2l = – 28
P = 23 l = 14 Jadi, luas persegi panjang tersebut = p x l
= (23 × 14)cm2
= 322 cm2
2. Jumlah dua bilangan cacah 128 dan selisih ke dua bilangan itu adalah 16. Tentukanlah bilangan-bilangan itu!
Alternatif Penyelesaian:
Beri kesempatan peserta didik untuk berpikir kreatif,
langkah apa yang harus mereka kerjakan dalam
menyelesaikan masalah tersebut.
Langkah pertama adalah menentukan variabel dengan memisalkan bilangan-bilangan cacah tersebut adalah
x dan y.
Langkah kedua adalah membentuk persamaan/model matematika
Jumlah dua bilangan cacah x + y = 128 ...(1) Selisih dua bilangan cacah x – y = 16 ...(2) Langkah ketiga adalah menyelesaikan persamaan tersebut.
Untuk menyelesaikannya bisa dengan cara subtitusi Persamaan (2) x – y = 16
x = 16 + y
16 +2y = 128 2y = 128 – 16 2y = 112 y = 56
untuk y = 56, maka x = 16 + 56 x = 72
Jadi, kedua bilangan cacah itu adalah 72 dan 56
3. Harga 2 jambu dan 5 sawo adalah Rp 6.400,00. Harga
5 jambu dan 3 sawo Rp 8.400,00. Tentukan uang
kembalian yang Ipak peroleh jika ia membayar
Rp 15.000,00 untuk 7 jambu dan 4 sawo!
Alternatif Penyelesaian
Langkah pertama membuat model matematika, dan menyelesaikannya dengan metode eliminasi: umpamakan j untuk jambu, dan s untuk sawo.
2j + 5s = 6.400...persamaan (1) 5j + 3s = 8.400...persamaan (2) 2j + 5s = 6.400 ×5 10j + 25s = 32.000 5j + 3s = 8.400 ×2 10j + 6s = 16.800 19s = 15.200 s = 800
Selanjutnya selesaikan dengan metode substitusi yaitu substitusikan s = 800 ke persamaan (1):
Jadi, harga sawo = Rp800,00 dan harga jambu + Rp1.200,00
Untuk harga 7 jambu dan 4 sawo adalah:
7j + 4s = 7(1.200) + 4(800) = 8.400 + 3.200 = 11.600 Jadi, jumlah uang kembalian Ipak adalah
Rp15.000,00 – Rp11.600,00 = Rp3.400,00
E.Penilaian Pembelajaran
Berikut akan diuraikan gambaran untuk penilaian pembelajaran mata pelajaran matematika. Pemberian skor pada tes hasil belajar bersifat holistik dan komprehensif, guru tidak saja memberi skor untuk jawaban akhir, tetapi juga proses pemecahan yang terutama meliputi pemahaman, komunikasi matematis (ketepatan penggunaan simbol dan istilah), penalaran (logis), serta ketepatan strategi memecahkan masalah.
Teknik penilaian yang digunakan dalam materi sistem persamaan linear dua variabel berupa tes tertulis soal uraian, dan pengamatan dalam sikap dan keterampilan.
1. Prosedur Penilaian
No Aspek yang dinilai Teknik
Penilaian
Waktu Penilaian
1. Sikap
a.Terlibat aktif dalam
No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian
Waktu Penilaian
lebih dari satu).
c. Toleran terhadap proses
pemecahan masalah minasi dan substitusi )
No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian
Waktu Penilaian
diskusi
2. Penilaian untuk Soal Uraian:
Harga 2 buku dan 3 pulpen adalah Rp10.200,00. Sedangkan harga 3 buku dan 4 pulpen Rp14.400,00. Tentukan harga masing-masing!
Alternatif Penyelesaian :
3. Pedoman Penilaian
No Aspek yang dinilai Penskoran
1 2 3 4 1. Misal :
Harga 1 buku = x Harga 1 pulpen = y 2. Membuat model matematika:
Harga 2 buku dan 3 pulpen Rp10.200,00 2x + 3y = 10.200
Harga 3 buku dan 4 pulpen Rp14.400,00 3x + 4y = 14.400
3. Memilih cara untuk menyelesaikan persamaan.
Eliminasi x:
y = 1.800
4. Menentukan metode yang tepat untuk menetukan nilai x
1 = apabila jawaban dan jalan pemecahan salah 2 = apabila jawaban benar tanpa jalan pemecahan 3 = apabila jalan pemecahan benar tetapi jawaban salah
4 = apabila jalan pemecahan, dan jawaban benar
Untuk penilaian sikap dalam pembelajaran dan keterampilan dapat dibuat lembar observasi.
4. Lembar Pengamatan Penilaian Sikap
Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester :
Tahun Pelajaran : Waktu Pengamatan :
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No Nama Peserta
didik
Sikap
Aktif Bekeja sama Toleran
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
TB 1 jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam pembelajaran
KB 2 jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam pembelajaran tetapi tidak konsisten
B 3 jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam pembelajaran tetapi belum konsisten
SB 4 jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam pembelajaran secara terus menerus dan konsisten
Bekerjasama dalam kegiatan kelompok
TB 1 jika sama sekali tidak berusaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok
KB 2 Jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok tetapi tidak konsisten
B 3 jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bekerjasama dalam kegiatan kelompok tetapi masih belum konsisten
toleran
TB 1 jika sama sekali tidak bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
KB 2 jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif tetapi tidak konsisten
B 3 jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif tetapi masih belum konsisten
SB 4 jika menunjukkan sudah ada usaha untuk bersikap toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif secara terus menerus dan konsisten.
5. Lembar Pengamatan Penilaian Keterampilan
Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester :
Tahun Pelajaran : Waktu Pengamatan :
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No Nama Peserta didik
Keterampilan
Menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah
KT CT T ST 1
Keterangan:
KT : Kurang terampil CT : Cukup terampil T : Terampil
ST : Sangat terampil
Indikator terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel
aktif dalam pembelajaran
KT 1 jika sama sekali tidak dapat menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel
CT 2 jika menunjukkan sudah ada usaha untuk menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan persamaan linear dua varibel tetapi belum tepat.
T 3 jika menunjukkan sudah ada usaha untuk menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan persamaan linear dua varibel hampir tepat. ST 4 jika menunjukkan adanya usaha
BAB III
RELASI DAN FUNGSI
A. Peta Konsep
B. Pendahuluan
Kita pada bab II akan bicara tentang relasi dan fungsi, melalui bab ini peserta didik akan memperoleh pengetahuan dan keterampilan dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan relasi dan fungsi. Peserta didik pada akhir pembelajaran diharapkan memperoleh pengalaman belajar sebagai berikut:
1.Menemukan konsep tentang relasi dan fungsi melalui pemecahan masalah yang otentik
3.Menjelaskan konsep daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi.
4.Mengenal sebuah relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk (diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan).
5.Menyatakan sebuah relasi dengan himpunan pasangan berurutan.
6.Menyatakan sebuah relasi dengan himpunan pasangan berurutan, menuliskan sifat-sifat relasi.
7.Menuliskan konsep relasi dengan kata-katanya sendiri berdasarkan sifat-sifat relasi.
8.Menjelaskan konsep daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu fungsi.
9.Menyatakan sebuah fungsi dengan himpunan pasangan berurutan.
10.Menggunakan konsep relasi dan fungsi dalam pemecahan masalah.
C. Materi dan Kegiatan Pembelajaran
1. Menemukan Konsep Relasi
peserta didik dan peserta didik ikut terlibat dalam pembelajaran yaitu mencatat kegemarannya dan kegemaran guru.
Berikut ini gambaran aktifitas peserta didik dalam penanaman konsep relasi misalnya dalam kelas X terdapat 3 orang peserta didik (Ali, Deri, dan Paulus), langkah pertama adalah meminta ketiga orang peserta didik tersebut untuk mencatat kegemarannya dan kegemaran kawannya. Dalam kegiatan tersebut ketiga peserta didik bisa saling bertanya dan mencatat pada buku catatan masing-masing.
Arahkan mereka mencatat kegemaran dalam olah
raga (misalnya lari, jalan cepat, catur, senam, dan tenis
meja) diharapkan peserta didik akan mencatat sebagai
berikut:
No. Nama Kegemaran
1. Ali Catur
Tenis meja
2. Deri Catur
Tenis meja Jalan cepat 3. Paulus Lari
Ajak peserta didik menemukan fakta-fakta dalam
catatan mereka. Tanyakan pada mereka apakah ada
persamaan kegemaran atau adakah perbedaannya?
Temukan fakta-fakta tersebut! Tugas guru kemudian
nama dan kegemaran, sedangkan tugas peserta didik
adalah mengguntingnya kemudian menempel pada
kertas yang sudah disediakan. Kertas pertama ditandai
dengan huruf P yang akan ditempel nama peserta didik
dan kertas kedua ditandai dengan huruf Q untuk
kegemaran.
Katakan pada peserta didik bahwa kertas pertama
merupakan himpunan P dan kertas kedua merupakan
himpunan Q. Arahkan peserta didik bahwa untuk
menyatakan hubungan kedua himpunan yang terbentuk
dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu: diagram panah,
diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Data yang ditulis tadi menunjukkan Ali dan Deri mempunyai kegemaran yang sama yaitu catur, “kata catur” ditempel hanya satu kali pada himpunan Q, tidak perlu dua kali. Peserta didik juga menempelkan jenis olah raga yang tidak dipilih oleh keduanya pada himpunan Q.
a. Alternatif Penyelesaian
(1) Dengan diagram panah
Gambar 3.1 Pasangan nama peserta didik dengan cabang olah raga yang digemari
(2) Dengan diagram Cartesius
Cara yang kedua menyajikan Fakta-fakta tersebut dalam bentuk diagram Cartesius dengan menggunakan papan berpaku dan karet gelang. Himpunan P yang berisi nama-nama dipasang pada sumbu mendatar
(sumbu X) dan himpunan Q berisi cabang olah raga
dipasang pada sumbu tegak (sumbu Y).
Mintalah peserta didik melakukan kegiatan berikut!
Berikan pengalaman untuk setiap peserta didik agar
memasangkan karet gelang sesuai relasi yang
dikehendaki.
Relasi yang menghubungkan antara himpunan P
Gambar 3.2 Deskripsi pasangan antara peserta didik dengan cabang olah raga yang digemari
(3) Dengan himpunan pasangan berurutan
Arahkan peserta didik untuk menuliskan himpunan
pasangan berurutan pada buku catatannya Diharapkan
peserta didik dapat menuliskan himpunan pasangan
berurutan sebagai berikut:
{(Ali, catur), (Ali, tenis meja), (Deri, catur), (Deri, tenis meja), (Deri, jalan cepat), (Paulus, lari)}
b. Contoh Soal
1 . Jika himpunan A = {9, 16, 25, 36} dan himpunan B =
{3, 4, 5, 6}, tentukan:
a. Relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B
b . Nyatakan relasi tersebut dalam diagram
2. Diketahui himpunan C = {Jakarta, Singapura, Manila,
Kuala Lumpur, Bandar Seri Begawan} dan himpunan D =
{Indonesia, Singapura, Brunei Darussalam, Filipina,
Malaysia}. Tentukan:
a. Relasi yang mungkin dari himpunan C ke
himpunan D
b. Nyatakan relasi tersebut dalam diagram panah, dan
himpunan berurutan!
3.Himpunan P = {2, 8, 14, 22} dan Q = {7, 11, 13, 25},
tentukan:
a. Relasi yang mungkin dari himpunan P ke himpunanQ
b. Nyatakan relasi tersebut dalam diagram panah, dan
himpunan pasangan berurutan!
Jawab
1. a. Relasi yang mungkin dari A ke B adalah ‘kuadrat dari’
b. -Diagram Panah
-Himpunan pasangan berurutan: {(9, 3), (16, 4), (25, 5), (36, 6)}
C D -Himpunan pasangan berurutan
{(Jakarta,Indonesia), (Singapura,Singapura), (Kualalumpur,Malaysia), (Bandar Seri
Begawan,Brunei Darussalam),(Manila,Filipina)} 3. a. Relasi yang mungkin adalah “tiga kurangnya dari”
c. -Diagram panah
-Dengan himpunan pasangan berurutan {(8,11), (22,25)}
Berdasarkan contoh dan alternatif penyelesaian masalah tersebut, peserta didik menyimpulkan bahwa relasi itu terjadi apabila ada hubungan antara dua himpunan dengan aturan pemasangan tertentu.
Peserta didik memberi nama hubungan yang mungkin
antara himpunan P dan Q. Mungkin akan ada jawaban
ada jawaban yang lain, arahkan supaya tidak terjadi salah
konsep.
c. Definisi Relasi
Misalnya P dan Q adalah himpunan. Relasi dari P ke Q
adalah aturan pemasangan anggota-anggota P dengan anggota-anggota Q.
Catatan:
1) Relasi terbentuk apabila terdapat dua buah atau lebih himpunan yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain. Pada masalah di atas ada dua himpunan yaitu himpunan nama peserta didik dan himpunan cabang olah raga.
2) Relasi dapat terbentuk apabila ada aturan yang mengaitkan antar anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain. Pada masalah di atas tercatat nama peserta didik terhubung dengan cabang olah raga yang digemari.
d. Latihan Soal
1. Coba tuliskan salah satu contoh lain yang menunjukkan relasi dalam kehidupan sehari-hari!
2. Terdapat 5 orang siswa menyatakan bidang studi kesukaan sebagai berikut:
Andi menyukai matematika, Rano menyukai bahasa Indonesia, Imas menyukai matematika, Diana menyukai IPA, dan Firdaus menyukai bahasa Inggris. Dari
Tentukanlah:
a. Himpunan-himpunan tersebut b. Relasinya.
3. Diberikan 2 himpunan D = {4, 6, 8, 10}, E = {8, 12,16, 20}. Jika 4 dikawankan dengan 8, 6 dikawankan dengan 12, 8 dikawankan dengan 16, dan 10 dikawankan dengan 20. Tulislah relasi yang mungkin dari hubungan tersebut!
4. Relasi dari anggota himpunan P ke anggota-anggota himpunan Q dinyatakan dengan {(3, 4), (7, 4), (10, 11)}. Jika x Є P dan y Є Q maka relasi dari P ke Q dapat dinyatakan dengan ....
5. Q = {Bandung, Semarang, Yogyakarta, Jakarta} R = {DKI Jakarta, Jawa Barat, Jawa Tengah, Jawa Timur}
Tulislah hubungan himpunan Q ke himpunan R dinyatakan dengan pasangan berurutan!
e. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil
Himpunan yang anggotanya akan dipasangkan pada himpunan yang lain disebut daerah asal (perhatikan himpunan P). Daerah kawan adalah himpunan cabang olah raga (himpunan Q). Himpunan yang anggotanya adalah anggota daerah kawan yang memiliki pasangan di daerah asal disebut daerah hasil atau range (catur, tenis meja, jalan cepat).
f. Definisi
Daerah asal disebut juga domain adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan.
(2)Definisi Daerah Kawan
Daerah kawan disebut juga kodomain adalah himpunan tidak kosong dimana anggota daerah asal memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.
(3)Definisi Daerah Hasil
Daerah hasil disebut juga range adalah himpunan bagian dari daerah kawan yang anggotanya adalah pasangan anggota daerah asal yang memenuhi relasi yang didefinisikan.
g. Latihan Soal
1. Diketahui himpunan pasangan berurutan dari suatu
pemetaan adalah {(1, 2), (2,5), (3, 4), (4, 6)}. Tentukan:
a. Daerah asal
b. Daerah kawan
c. Daerah hasil atau range
2. Diketahui himpunan pasangan berurutan dari suatu
pemetaan adalah {(1, 3), (2,5), (3, 7), (4, 9)}. Tentukan:
a. Daerah asal
b. Daerah kawan
c. Daerah hasil atau range
3. Kuncoro, Arman, dan Tiara senang bermain catur.
Kuncoro dilatih oleh pak Nardi, Arman dan Tiara dilatih
oleh Pak Karim. Jika relasi pada kegiatan tersebut
a. Daerah asal
b. Daerah kawan
c. Daerah hasil
2. Menemukan Konsep Fungsi atau Pemetaan
Menanamkan konsep sebuah fungsi pada peserta didik dapat dimulai dengan kegiatan bertanya. Guru menyediakan beberapa nama dalam bentuk kartu. Sebuah kegiatan yang dekat dengan keberadaan anak dan dapat dinikmati bersama tanpa paksaan, melalui pengoptimalan indera yang masih dimiliki, adalah salah satu bentuk upaya yang dilakukan guru untuk membangkitkan motivasi belajar para peserta didik.
Ajukan masalah berikut!
Hal yang dilakukan adalah menyediakan kartu nama
yang ditulis dengan huruf Braille berjumlah 5 buah. Untuk
memudahkan mengingat cobalah dengan cara berikut:
tuliskan nama-nama yang diawali dengan huruf A pada 3
buah kartu, misalnya: Alisa, Aira, dan Amri, sedangkan 2
buah kartu yang lain diisi nama-nama yang diawali dengan
huruf B, misalnya: Boris, dan Bondan. 5 kartu yang lain
berisi sederet nomor sepatu; 37, 38, 39,40, dan 41.
Beritahu peserta didik bahwa kartu yang berisi
“nama-nama” akan ditempel pada kertas Braille yang
bertuliskan A di pojok kiri kertas, dan kartu yang berisi
“ukuran sepatu” ditempel pada kertas Braille yang
Setelah menempel tanya kesimpulan mereka tentang
kertas yang bertuliskan huruf A dan B. Jawaban yang
diharapkan adalah mereka sudah mengerti tentang
himpunan, kertas A adalah himpunan A dan kertas B adalah
himpunan B.
Pada lembar kertas yang lain telah dituliskan beberapa
informasi sebagai berikut: Alisa bernomor sepatu 38, Aira
bernomor sepatu 40, Amri bernomor sepatu 39, Boris
bernomor sepatu 41, dan Bondan bernomor sepatu 39.
Karena fungsi merupakan bentuk relasi, maka cara
penyajian fungsi sama seperti cara penyajian relasi
sebelumnya. Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk
diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan
pasangan terurut.
a. Alternatif Penyelesaian:
Perhatikan fakta-fakta tersebut dalam diagram panah.
(1)Dengan Diagram Panah
