LKS Matematika Kelas XI

NAMA : ………

KELAS : ………

Matematika itu mudah

dan menyenangkan!

SEMANGAT!!!

Lembar Kerja Siswa 1

Topik :

-

Penyajian Data Tunggal dalam Bentuk Tabel dan Diagram

-

Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok

A. Penyajian Data Tunggal dalam Bentuk Tabel dan Diagram

Diskusikanlah dan jawablah pertanyan berikut bersama teman dalam kelompokmu.

Hasil pengukuruan berat badan 40 orang siswa di kelas X 4 SMA Pertiwi adalah sebagai berikut:

35 39 37 37 35 38 35 36

37 37 37 35 35 39 36 37

37 38 39 37 37 38 36 38

38 35 39 37 36 37 38 39

39 35 39 37 38 36 39 38

Sajikan data tersebut dalam bentuk: a. Tabel

Berat Badan (kg) Turus Frekuensi

Jumlah

Berat Badan (kg) Frekuensi

Jumlah b. Diagram Garis

35 36 37 38 39 _{Berat Badan (kg)} Frekuensi

35 36 37 38 39 Berat Badan (kg) Frekuensi

c. Diagram Batang

d. Diagram Lingkaran Lengkapi tabel berikut!

Berat Badan (kg) Frekuensi Derajat

35 7 7

40×360

°

=…

Jumlah 40

Buatlah diagram lingkarannya!

B. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut. Panjang Benda(cm) Frekuens

i

71 – 80 2

81 – 90 4

91 – 100 25 101 – 110 47 111 – 120 18

121 – 130 4

Jumlah ... 1. Kelas

Data tersebut dikelompokkan menjadi ... kelas. Kelas pertama : ... - ...

Batas bawah kelas adalah nilai di ujung bawah kelas. Batas atas kelas adalah nilai di ujung atas kelas. Misal kelas pertama: 71 – 80

Batas bawah : ... dan batas atas : ... 3. Tepi Kelas

Tepi Bawah = batas bawah – 0, 5 Tepi Atas = batas atas + 0, 5 Misal kelas pertama: 71 – 80 Tepi bawah : ... Tepi atas : ...

4. Panjang Kelas = Tepi atas – tepi bawah 5. Titik tengah kelas = 1

2 (batas bawah + batass atas)

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI BERKELOMPOK

Suatu data tinggi badan diperoleh dari 40 siswa.

157 149 125 144 132 156 164 138 144 152 148 136 147 140 158 146 165 154 119 163 176 138 126 168 135 140 153 135 147 142 173 146 162 145 135 142 150 150 145 128

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok untuk data tersebut. Ikuti langkah-langkah berikut.

Jawab:

Langkah 1:

Tentukan

x

maks = ... dan

x

min = ...

Rentang (range) = R =

x

maks –

x

min= ... - ... = ...

Langkah 2:

Banyak data = n = ....

Banyak kelas = k =

1 + 3,3 log n = 1 + 3, 3 log ... = 1 + ... = ...

Banyak kelas dapat dibulatkan menjadi =...

Catatan:

Menentukan banyakkelas dengan aturan Sturgess, nilai k bukan bilangan bulat.

Nilai k dapat dibulatkan ke bawah atau ke atas sedemikian sehingga panjang

kelas yang diperoleh merupakan bilangan ganjil dan tidak terlalu besar.

Langkah 3:

Panjang kelas = p = R : k = ... : ... = ... P = ... (dibulatkan)

Langkah 4:

Tetapkan kelas-kelasnya Kelas pertama : 119 - ... Kelas kedua : ... - ... Kelas ketiga : ... - ... Kelas keempat: ... - ... Kelas kelima : ... - ... Kelas keenam : ... - ... Kelas ketujuh : ... - ...

Langkah 5:

Tentukan frekuensi setiap kelasnya. Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok

Tepi Atas 119 – 127

Jumlah 40

Lembar Kerja Siswa 2

Topik :

-

Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

-

Menggambar Histogram, Poligon dan Ogive

A. Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif 1. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Frekuensi Kumulatif Kurang Dari ( fk kurang dari) jumlah frekuensi semua nilai amatan

yang ... Dan dilambangkan dengan ...

2. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari

Frekuensi Kumulatif Lebih Dari ( fk lebih dari) jumlah frekuensi semua nilai amatan

yang ... Dan dilambangkan dengan ...

Salin kembali tabel frekuensi berkelompok pada LKS 1

Tinggi badan (cm) Frekuensi (f) 119 – 127

Jumlah 40

Hasil Pengukuran (cm)

Frekuensi kumulatif (fk ≤)

≤ 127,5 3

≤ 136,5 9

≤... ≤... ≤... ≤... ≤...

Jumlah 40

Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 6 Hasil Pengukuran

(cm)

Frekuensi kumulatif (fk ≥)

≥ 118,5 40

≥ 127,5 37

0 2 4 6 8 10 12

118,5 _{127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5}

B. Menggambar Histogram, Poligon dan Ogive

Sajian tabel distribusi frekuensi dengan menggunakan gambar berbentuk persegi panjang yang berimpit disebut ...

Apabila titik-titik tengah dari bagian atas persegi panjang pada histogram tersebut dihubungkan, akan diperoleh diagram garis yang disebut ...

Titik-titik yang merupakan pasangan nilai tepi keas dengan nilai frekuensi kumulatif kemudian dihubungkan menjadi kurva mulus disebut...

Kurva untuk tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari disebut ... Kurva untuk tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari disebut ...

Tugas

Gambarkan histogram, poligon, ogive positif dan ogive negatif dari tabel frekuensi yang telah kalian lengkapi di bagian A.

Topik :

Menentukan Mean, Median dan Modus Data Tunggal A. Menentukan Rata-Rata (Mean) Data Tunggal

(1) Nilai ulangan harian matematika 4 orang siswa sebagai berikut;

76 80 50 95

Berapa nilai rata-ratanya? Penyelesaian:

´

x=∑ X

n =

…+…+…+…

… = ...

(2) Nilai ulangan harian kimia 5 orang siswa sebagai berikut: 50 40 45 60 75

Berapakah nilai rata-rata? Penyelesaian:

´

x=∑ X

n =

…+…+…+…+…

… = ...

(3) Nilai ulangan harian fisika 6 orang siswa sebagai berikut; 70 80 75 45 50 60

Berapakah nilai rata-rata? Penyelesaian:

´

x=∑ X

n =

…+…+…+…+…+…

… = ...

Kesimpulan:

 Nilai rata – rata = Jumlah semua data

banyaknya data

(4) Perhatikan tabel data tunggal pada LKS 1 BeratBadan (kg) Frekuens

i

Jumlah

Menentukan mean data tunggal yang memiliki frekuensi

x f F . x

Jumlah

 ´x=∑f . X

n = ...

(1) Nilai ulangan harian kimia 3 orang siswa sebagai berikut: 72 53 60

Berapakah nilai tengah (median)? Penyelesaian:

Urutkan data tersebut dari yang terkecil: ….. ….. …..

Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = ….. (2) Nilai ulangan harian fisika 4 orang siswa sebagai berikut;

76 80 56 93 Berapakah nilai tengahnya? Penyelesaian:

Urutkan data tersebut dari yang terkecil:

….. ….. ….. ….. Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = …..

(3) Nilai ulangan harian kimia 5 orang siswa sebagai berikut: 50 40 45 60 75

Berapakah nilai tengah (median)? Penyelesaian:

Urutkan data tersebut dari yang terkecil:

…. . ….. ….. ….. …..

Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = ….. (4) Nilai ulangan harian fisika 6 orang siswa sebagai berikut;

70 80 75 45 50 60 Berapakah nilai tengahnya? Penyelesaian:

Urutkan data tersebut dari yang terkecil:

…. . ….. ….. ….. ….. …..

Nilai tengahnya (median) adalah datum ke ….. = …..

Kesimpulan:

 Jika ukuran data n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum yang di tengah yaitu datum ke …………..

Me = datum ke (…+…) 2

 Jika ukuran data n genap, maka mediannya adalah nilai rataan dari datum ke ….. dan ke …………..

Me = datum ke(…)+datum ke(…) 2

datum ke-1 datum ke-... datum ke-...

datum ke-… datum ke-… datum ke-… datum ke-…

datum ke-1 datum ke-2 datum ke-3 datum ke-4 datum ke-5

C. Menentukan Modus Data Tunggal

(1) Nilai ulangan harian matematika 10 orang siswa sebagai berikut: 72 53 60 75 80 75 80 80 85 90

Berapakah nilai modus? Penyelesaian:

Tuliskan data yang sering muncul adalah: N ilai Modus adalah …..

(2) Nilai ulangan harian fisika 6 orang siswa sebagai berikut; 76 80 56 93 76 80

Berapakah nilai modus? Penyelesaian:

Tuliskan data yang sering muncul: ……. Nilai modus adalah = …..

(3) Nilai ulangan harian kimia 8 orang siswa sebagai berikut: 50 70 45 75 75 85 85 70

Berapakah nilai modus? Penyelesaian:

Tuliskan data yang sering muncul: ... Nilai modus adalah = …..

Kesimpulan:

Jadi nilai modus adalah nilai yang ...

Lembar Kerja Siswa 4

Topik :

Menentukan Mean dan Modus Data Berkelompok

A. Menentukan Mean Data Berkelompok

Lengkapilah tabel berikut

Tinggi Badan (cm) Titik Tengah (xi) Frekuensi (fi) Fi . xi

150 – 152 151 2 302

153 – 155 9

156 – 158 14

159 – 161 8

162 – 164 5

165 – 167 2

Jumlah

´

x=∑f . X

n = ...

Menentukan Mean Gabungan

´

x_Gab=f1.´x1+f2.x´2+… …+fn.x´n

f1+f2+…+fn

Soal

1. Jika 30 siswa kelas XI Ipa 1 memiliki nilai rata-rata 6,5 ; 25 siswa kelas XI Ipa 2 memiliki nilai rata-rata 7 dan 20 siswa kelas XI Ipa 3 memiliki nilai rata-rata 8,

Q1 Q2 Q3

xAiga siswa bernama Ani (A), Bayu(B) dan Dina (D) mengelilingi meja bundar...ranAiga siswa bernama Ani (A), Bayu(B) dan Dina (D) mengelilingi meja bundar...ranmaxxmin 2. Nilai rata-rata ujian matematika dari 43 siswa adalah 56. Jika nilai ujian Tuti

dan Tono digabung dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-rata ujiannya menjadi 55. Apabila Tuti mendapat nilai 25, maka berapa nilai Tono?

B. Menentukan Modus Data Berkelompok

Nilai F

55 – 59 6

60 – 64 8

65 – 69 16

70 – 74 10

75 – 7 6

80 - 84 4

Jumlah Tentukan:

Kelas modus = ... - ... karena frekuensinya tertinggi L = tepi bawah kelas modus = ... – 0, 5 = ...

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya = ... - ... = ...

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya = ... - ... = ...

p = panjang kelas = .... Mo = L +

(

d1

d₁+d₂

)

. p

= ...

Lembar Kerja Siswa 5

Topik :

Menentukan Kuartil dan Desil Data Tunggal

A. Kuartil

Untuk statistik jajaran (data yang berurutan) dengan ukuran data n > 4 dapat ditentukan 3 buah nilai yang membagi statistik jajaran menjadi 4 bagian yang sama, yaitu:

a. Q1 adalah kuartil pertama atau kuartil bawah

b. Q2 adalah kuartil kedua atau kuartil tengah

c. Q3 adalah kuartil ketiga atau kuartil atas

Skemanya sebagai berikut:

Cara 1:

Langkah-langkah mencari kuartil data tunggal:

1. Urutkan data dari yang terkecil jika data belum terurut 2. Tentukan median atau Q2

3. Tentukan Q1 sebagai median dari semua nilai yang kurang dari median

4. Tentukan Q3 sebagai median dari semua nilai yang lebih dari median

Soal:

Tentukan Q1, Q2, dan Q3:

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 _D9 xmax

b) 10 9 10 4 5 6

Urutkan data dari yang terkecil:

...

Cara 2: Dengan rumus Statistik Lima Serangkai

Q1 =

{

x₁

4(n+1)

, untuk n ganjil

x₁

4(n+2)

, untuk n genap

Q2 =

{

x1

2(n+1)

,untuk n ganjil

1 2

(

xn

2

+x

(n 2+1)

)

,untuk n genap

Q3 =

{

x₃

4(n+1)

, untuk n ganjil

x₁

4(3n+2)

, untuk n genap

B. Desil

Untuk statistik jajaran (data yang berurutan) dengan ukuran data n > 10 dapat ditentukan 9 buah nilai yang membagi statistik jajaran menjadi 10 bagian yang sama, yaitu: D1, D2,

D3, D4, D5, D6, D7, D9

Di = x i

10(n+1) (data ke

i

10 ( n + 1) ) Dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Jika nilai urutan yang diperoleh bukan bilangan asli, maka menghitungnya menggunakan pendekata interpolasi linear.

Dk = xk + d(x k+1 - xk)

d = bagian desimal dari nilai urutan Contoh:

9 6 5 5 6 4 8 10 4

10 8 8 10 10 9 6 4 2

Carilah nilai D2 dan D7

Jawab: banyak data = n = 18 Data diurutkan

2 4 4 4 5 5 6 6 6

8 8 8 9 9 10 10 10 10

D2 = x2

10(18+1)

=x₃₈

10

=x_3,8

= x3 + 0,8(x4 – x3) = 4 + 0,8(4 - 4) = 4 + 0 = 4

D7 = x…… ……

10 (18+1)

=x_{…… … ….}

10

=x_{…… …..}

= x... + ...(x... – x...) = .... + 0,3 (.... - ....) = .... + .... = ....

Soal:

Q2

xmin

Q1 Q3

1. Dari pengukuran 40 ekor ikan diperoleh data:

Panjang (cm) 48 50 51 53 54 55 57 58

f 3 5 2 4 4 6 7 9

Tentukan statistik lima serangkainya

2. Carilah nilai D3 dan D9

Nila i

5 6 7 8 9 f 6 8 1

2 1 5

4

Lembar Kerja Siswa 6

A.

Topik :

Menentukan Kuartil dan Desil Data Berkelompok

Menentukan Kuartil Data Berkelompok

Qi = LQi +

(

i

4.n−f_kQi

f_Qi

)

. p

i = 1, 2, 3 Qi = kuartil ke – i

LQi = tepi bawah klas kuartil ke – i

n = banyak data

fkQi = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

fQi = frekuensi kelas kuartil

p = panjang kelas

Nilai F

145 – 149 2

150 – 154 9

155 – 159 14

160 – 164 8

165 – 169 5

170 – 174 2

Jumlah

Banyak data = n = ... Panjang kelas = p = ... a. Kuartil pertama / kuartil bawah

1

4. n

=

1

4

. .... = ...

Letak Q1 pada kelas interval ...

LQ1 = fkQ1 = fQ1 =

Q1 = LQ1 +

(

1

4.n−f_kQ1

b. Kuartil kedua / kuartil tengah / Median 2

4. n

=

2

4

. .... = ...

Letak Q1 pada kelas interval ...

LQ2 = fkQ2 = fQ2 =

Q2 = LQ2 +

(

2

4.n−f_kQ2

f_Q2

)

. p

= ...

... ... c. Kuartil ketiga / Kuartil atas

3

4. n

=

3

4

. .... = ...

Letak Q1 pada kelas interval ...

LQ3 = fkQ3 = fQ3 =

Q3 = LQ3 +

(

3

4.n−f_kQ3

f_Q3

)

. p

= ...

... ...

B. Menentukan Desil Data Berkelompok

Di = LDi +

(

i

10.n−f_kDi

fDi

)

. p

i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Di = kuartil ke – i

LDi = tepi bawah klas kuartil ke – i

n = banyak data

fkDi = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

fDi = frekuensi kelas kuartil

p = panjang kelas a. Desil pertama

1

10. n

=

1

10

. .... = ...

Letak D1 pada kelas interval ...

LD1 = fkD1 = fD1 =

D1 = LD1 +

(

1

10.n−f_kD1

f_D1

)

. p

= ...

... ... b. Desil Ketiga

3

10. n

=

3

10

. .... = ...

LD3 = fkD3 = fD3 =

D3 = LD3 +

(

3

10.n−f_kD3

f_D3

)

. p

= ...

... ...

Lembar Kerja Siswa 7

Topik :

Ukuran Penyebaran Data Materi

Ukuran penyebaran menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda.

a) Rentang (jangkauan/range) : R = = x maks – x min

b) Rentang Antar Kuartil : H = Q3 – Q1

c) Simpangan Kuartil : Qd = 1₂ H = 1₂ (Q3 – Q1)

d) Langkah : L = 3

2 H = 3

2 (Q3 – Q1) e) Pagar dalam : Pd = Q1 – L

f) Pagar luar : Pl = Q3 + L

Soal:

7 7 7,5 7,5 8 8 8 8,5 9 9,5

Tentukan:

a) Rentang (jangkauan/range) b) Rentang Antar Kuartil c) Simpangan Kuartil d) Langkah

e) Pagar dalam f) Pagar luar

Ragam dan Simpangan Baku

a. Data tunggal

S

2

=

1

n

∑

(

xi−´x

)

2

S =

√

1

n

∑

(

xi−´x

)

2

b. Data Berkelompok

S

2

=

1

n

∑

fi

(

xi− ´x

)

2

S =

√

1

n

∑

fi

(

xi−´x

)

2

Soal

1) Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut

´

x=∑f . X

n

= ...

Lengkapilah

xi fi xi

-´

x

(

xi−´x

)

2 _F

i .

(

x_i−´x

)

2

7 2 -1 1 2

7,5 8 8,5

9 9,5

Jumlah ... ....

Ragam = S

2

=

1

n

∑

fi

(

xi− ´x

)

2

= ...

Simpangan baku = S =

√

1

n

∑

fi

(

xi−´x

)

2

= ...

2)

Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut Panjang (mm) fi

35 – 39 1

40 – 44 4

45 – 49 12 50 – 54 23

55 – 59 7

60 – 64 3

Jumlah 50

Lengkapilah

Panjang (mm)

fi xi (Titik

tengah)

fi . xi xi - ´x

(

x

i−´x

)

2 _{Fi .}

(

x_i−´x

)

2

35 – 39 1 40 – 44 4 45 – 49 12 50 – 54 23 55 – 59 7 60 – 64 3

Jumlah ... ... _....

Rata- rata =

´x=∑f . X

n

= ...

Ragam = S

2

=

1

n

∑

fi

(

xi− ´x

)

2

= ...

Simpangan baku = S =

√

1

n

∑

fi

(

xi−´x

)

2

= ...

Celana Kaos

S

R

=

∑ fi

|

xi− ´X

|

n

Lengkapilah

xi fi xi - ´x │xi - ´x

│

Fi │xi - ´x │

7 2 -1 _{1 2}

7,5 2

8 3

8,5 1

9 1

9,5 1

Jumlah ... ....

´

x=∑f . X

n

= ...

S

R

=

∑ fi

|

xi− ´X

|

n

= ...

Lembar Kerja Siswa 1

Topik : Aturan Perkalian

A. RINGKASAN MATERI

ATURAN PERKALIAN Misalkan,

• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;

• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;

....

• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.

Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah

Contoh

Tim kesebelasan SMA Pertiwi mempunyai seragam kesebelasan yang terdiri dari 3 kaos, warna merah, hijau, dan putih. Serta 2 celana berwarna putih dan kuning. Tentukan berapa banyak cara kesebelasan SMA Pertiwi memakai seragam kesebelasannya?

a. Dengan Tabel

Putih (P) Kuning (K) Merah (M) (M, P) ...

. Hijau (H) ... ...

M

H

...

(M, P)

...

...

...

...

...

Huruf Pertama

Huruf Kedua

Huruf Ketiga

Huruf Keempat

Huruf Kelima

x x x x =

x x x x =

. .

Putih (P) ... .

... .

b. Dengan Diagram Pohon Baju Celana

c. Dengan Aturan Perkalian

Banyak kaos = .... dan banyak celana = ...

Banyak pasangan kaos dan celana yang dapat dipakai = ... x ... = ...

B. SOAL

1. Dari huruf-huruf E, T, I, K, dan A akan dibentuk susunan huruf sehingga dalam susunan itu tidak terdapat huruf yang sama. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf itu, jika:

a) Huruf pertama dimulai dengan huruf vokal? Jawab:

Isilah masing-masing kotak dengan banyak cara memilih huruf. Gunakan aturan perkalian untuk menentukan banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut.

ruf pertama dapat dipilih dengan … cara, yaitu huruf ...

Huruf kedua dapat dipilih dengan … cara. Misal, huruf pertama dipilih huruf A, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah ...

Huruf ketiga dapat dipilih dengan … cara Huruf keempat dapat dipilih dengan … cara Huruf kelima dapat dipilih dengan … cara

Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf E, T, I, K, dan A dengan huruf pertama dimulai dengan huruf vokal = … x … x … x … x … = … cara

b) Huruf pertama dimulai dengan huruf mati? Jawab:

Huruf pertama dapat dipilih dengan … cara, yaitu huruf ... Huruf

Pertama

Huruf Kedua

Huruf Ketiga

Huruf Keempat

Huruf Kelima P

thousands hundreds tens units

x x x =

thousands hundreds tens units

x x x =

thousands hundreds tens units

x x x =

Huruf kedua dapat dipilih dengan … cara. Misal, huruf pertama dipilih huruf T, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah ...

Huruf ketiga dapat dipilih dengan … cara Huruf keempat dapat dipilih dengan … cara Huruf kelima dapat dipilih dengan … cara

Jadi, banyak cara menyusun huruf-huruf E, T, I, K, dan A dengan huruf pertama dimulai dengan huruf mati = … x … x … x … x … = … cara

2. From the digits 0, 1, 2, 3, dan 4 shall be formed a number that contains four digits. How many numbers can be formed if:

a) The four digits may equal? Jawab:

There are … possible digits to fill in box thousands. There are … possible digits to fill in box hundreds. There are … possible digits to fill in box tens. There are … possible digits to fill in box units. So, there are … x … x … x … = … numbers. b) The four digits are different?

There are … possible digits to fill in box thousands. There are … possible digits to fill in box hundreds. There are … possible digits to fill in box tens. There are … possible digits to fill in box units. So, there are … x … x … x … = … numbers.

c) That are greater than 2000 and the digits may equal?

There are … possible digits to fill in box thousands. There are … possible digits to fill in box hundreds. There are … possible digits to fill in box tens. There are … possible digits to fill in box units. So, there are … x … x … x … = … numbers.

3. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukan banyak cara menyusun bilangan tiga angka jika:

a. Bilangan tersebut lebih dari 200 dan kurang dari 500 (angkanya boleh sama)? Angka ratusan dapat dipilih dengan … cara

Jadi banyak cara menyusun bilangan ratusan yang lebih dari 200 dan kurang dari 500 ada … x … x … = … cara.

b. Bernilai genap dengan angka-angka yang berbeda? Angka satuan dapat dipilih dengan … cara

Angka puluhan dapat dipilih dengan … cara Angka ratusan dapat dipilih dengan … cara

Jadi banyak cara menyusun bilangan tiga angka yang bernilai genap dengan angka-angka yang berbeda ada … x … x … = … cara.

4. Suatu tim sepakbola terdiri dari 11 orang. Dalam tim itu akan dipilih seorang kapten dan penjaga gawang. Berapa banyak cara yang mungkin, jika:

a. Kapten tim boleh merangkap sebagai penjaga gawang? Banyak cara memilih kapten ada … cara.

Banyak cara memilih penjaga gawang ada … cara.

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk memilih kapten dan penjaga gawang jika boleh merangkap adalah … x … = … cara

b. Kapten tim tidak boleh merangkap sebagai penjaga gawang? Banyak cara memilih kapten ada … cara.

Banyak cara memilih penjaga gawang ada … cara.

Jadi, banyak cara yang mungkin untuk memilih kapten dan penjaga gawang jika tidak boleh merangkap adalah … x … = … cara

5. Jalur penerbangan sebuah pesawat dari bali ke Jakarta dapat melalui 3 jalur, dari Jakarta ke Medan ada 2 jalur, dan dari Medan ke London ada 4 jalur. Berapa banyak jalur penerbangan yang dapat dipilih untuk penerbangan:

a. dari Bali ke Medan melalui Jakarta

Bali Jakarta Medan

… cara … cara … x … = … cara

b. dari Jakarta ke London melalui Medan

Jakarta Medan London

… cara … cara … x … = … cara

c. dari Bali ke London melalui Jakarta dan Medan

Bali Jakarta Medan London

… cara … cara … cara … x … x … = … cara

Lembar Kerja Siswa 2

Topik : Faktorial dan Permutasi unsur yang berbeda A. Ringkasan Materi

1. Faktorial

1! = ... 0! = ... n! = n x (n - 1)!

n! = n x (n – 1) x (n - 2)! dan seterusnya

2. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda Definisi:

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.

Permutasi dari r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r ≤ n)

Permutasi r unsur dari n unsur dinotasikan nPr , nPr , Prn, P(n ,r), Pn ,r

n

P

r

=

n !

(…..−…… .)!

Penting!

Dalam permutasi, urutan diperhatikan! Contoh:

Susunlah bilangan-bilangan yang berbeda dari angka 1, 2, dan 3 sebanyak mungkin yanng kamu bisa!

... ... ... Ada berapa banyak bilangan berbeda yang dapat disusun? ....

Dengan menggunakan rumus permutasi, Permutasi 3 unsur dari ... unsur = 3P...

3

P....

=

… . !

(…..−…… .)!

= ...

B. SOAL

1. Hitunglah hasilnya a. 4 ! = 4 x … x … x … = …

b.

₃6_!2!_!=… … … …… … …… … ……..

… … … …… … …… .

2. Nyatakan dalam notasi faktorial a. 5 x 4 x 3

Jawab:

5 x 4 x 3 = 5 x 4 x 3 x ₂2x_x1₁ = 5x4₂x3_x1x2x1 = …!_…!

b.

7₁x_x6_2xx5₃

Jawab: 7x6x5 1x2x3=

7x6x5 1x2x3x

…!

…!

=

7x6x5x … !

(1x2x3)x …!=

…..! … .! …. !

3. There are 7 executives, where there executives shall be chosen as marketing manager, sales manager, and human resources manager. Find the number of possibilities.

Answer: n = … ; r = … …P… = … … … .

… … … . =

… … … .

… … … .=…

4. Pada suatu pameran karya seni, lukisan ditempatkan dalam suatu baris. Dengan berapa cara penempatan lukisan itu dapat dilakukan jika ada 8 lukisan dan yang harus disusun hanya 6 lukisan?

n = … ; r = …

…P… = … … … ._{… … … .} = … … … ._{… … … .}=…

5. Berapa banyak urutan yang dapat terjadi jika 5 bendera yang berwarna putih, merah, kuning, hijau, dan biru dipasang pada tiang-tiang yang berdiri dalam satu baris sehingga bendera putih:

a. berada di tengah c. harus berdampingan dengan bendera merah

b. di salah satu ujung Jawab:

a. Bendera putih harus berada di tengah, maka banyak bendera yang akan disusun hanya ada … bendera. Jadi, n = … , r = …

…P… = … … … .

… … … . =

… … … .

… … … .=…

b. Bendera putih dapat berada di ujung dalam … cara. Bendera lain ada … buah dapat disusun dengan …P… cara.

Sehingga, banyak cara seluruhnya = … x ...P… = … x … … … … .

… … … …

= …………...

c. Bendera putih dan merah dianggap sebagai 1 unsur, maka banyak unsur yang akan disusun menjadi …. Banyak cara menyusun … unsur itu ada …P… cara. Bendera merah dan putih itu sendiri dapat disusun dengan …P… cara

Maka, banyak cara seluruhnya = …P… x ...P…

= … … … … .

… … …… x

……… …. …………

= ………

Lembar Kerja Siswa 3

Topik : Permutasi unsur yang sama dan Permutasi Siklis A. Ringkasan Materi

1. Permutasi dari unsur-unsur yang sama

A

B C

Misalkan huruf A diberi indeks A1 dan A2

A1DA2 A1DA2

... ... Banyak permutasi yang berbeda adalah ....

Dengan demikian, permutasi dari .... unsur yang memuat .... unsur ynag sama adalah P = 3 = _{… … x … …}3x … x … . = …!_…!

Kesimpulan:

n : banyak unsur yang tersedia k1 : banyak unsur pertama yang sama

k2 : banyak unsur kedua yang sama

kn : banyak unsur ke-n yang sama

P

=

_k n !

1! ……! ………!

2. Permutasi Siklis

Perhatikan susunan tiga siswa bernama Ani (A), Bayu(B) dan Dina (D) mengelilingi meja bundar. Carilah kemungkinan posisi duduk mereka yang berbeda!

Terdapat .... susunan yang berbeda. Kesimpulan:

Apabila unsur-unsur disusun melingkar

P = (n - ...)!

n : banyak unsur yang tersedia

B. SOAL

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf : a. M, A, K, A, S, S, A, R

b. M, A, T, E, M, A, T, I, K, A Jawab:

a. P = … !

…! …!=

… … … …

… … … …=

… … … .

… … … .=…

b. P =

…!

…! …! … !=

… … … …..… … … …

… … … …..… … …=

…… … …… … ….

…… … …… … ….=…

2. Ira punya 5 kotak kuning, 3 kotak merah, dan 2 kotak biru. Ira ingin menjajarkan semua kotak. Ada berapa cara yang dapat dilakukan Ira?

P =

…!

…! …! … !=

… … … …

… … … …=

…… … …… … ….

3. Tujuh orang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyaknya susunan duduk yang berbeda dari tujuh orang tersebut?

n = …

P = (n – 1)! = (… - 1)! = …! = ……….

4. Suatu rapat dihadiri oleh ketua, sekretaris dan tiga orang anggota. Mereka duduk mengelilingi meja bundar. Jika ketua dan sekretaris selalu duduk berdampingan, berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk?

Jawab:

Ketua dan sekretaris selalu berdampingan dianggap satu unsur jadi banyak unsur sekarang adalah n = …

Ketua dan sekretaris selalu berdampingan dapat disusun dengan …P… cara Jadi, permutasi ynag dapat dibentuk adalah

P = (n - 1)! 2P2 = (… - 1)! ……. = ………..

Lembar Kerja Siswa 4

Topik : Kombinasi A. Ringkasan Materi

 Definisi:

Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah cara menyusun r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r ≤ n)

n

C

r

=

n !

… … …!(……−……..)!

n = banyak unsur yang tersedia r = banyak unsur yang dipilih

 Hubungan Permutasi dan Kombinasi

n

C

r

=

P_r

n

❑

r !

 Perbedaan Kombinasi dengan Permutasi

Permutasi : menentukan banyak cara menyusun, urutan diperhatikan

Contoh : bilangan 12 ≠ 21

Kombinasi : menentukan banyak cara memilih, urutan tidak diperhatikan

Contoh : memilah A dan B untuk mewakili sekolah sama saja dengan memilih B dan A

B. SOAL

1. Sebelum rapat dimulai, 10 orang pesertanya saling berjabat tangan. Berapa kalikah jabat tangan yang terjadi?

Jawab:

Satu jabat tangan terjadi antara … orang. A menjabat tangan B sama saja dengan B menjabat tangan A. Karena urutan tidak diperhatikan, maka permasalahan ini sama artinya dengan kombinasi … orang dari … orang.

Trik Mengerjakan Soal:

…C… =

… !

…!(…−…)!

=

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …

…… … …… … …… … …… … …=… … … … …… … …

2. Suatu tim bulu tangkis beranggotakan 8 pemain putra dan 6 pemain putri. Berapa banyak pasangan ganda yang dapat dibentuk untuk:

a. Ganda putra? b. Ganda putri? c.

Ganda campuran? Jawab:

a. Ganda putra berarti memilih … orang dari … orang pemain putra

…C… =

… !

…!(…−…)!

=

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …

…… … …… … …… … …… … …=… … … … …… …..

b. Ganda putri berarti memilih … orang dari … orang pemain putri

…C… =

… !

…!(…−…)!

=

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …

…… … …… … …… … …… … …=… … … … …… …..

c. Ganda campuran berarti memilih … orang dari … orang pemain putra dan … orang dari … orang pemain putri.

…C… x …C… =

…! …!(…−…)! x

…! … !(…−…)! ¿ … !

…! … .!

x

…! …! …!

¿ … … … …

…… … ……..… … … … …..x

… … … …...… … … … …..…

… … … .…..… ……..

= … x … = …

3. Dalam suatu kotak terdapat 5 bola merah dan 4 bola hijau. Akan diambil 2 bola sekaligus. Berapa banyak cara yang dapat terjadi untuk mengambil 2 bola merah atau 2 bola hijau? Cara mengambil 2 bola merah adalah …C… dan cara mengambil 2 bola hijau adalah …C…

Cara mengambil 2 bola merah atau 2 bola hijau adalah penjumlahan kedua cara yaitu: …C… + …C… =

…! …!(…−…)!+

…!

…!(…−…)!=¿

…!

…! … .!

+

…! …! …!

¿…… … ……..… …

…… … …… … …..+

… …..… …… … …..…

… …… … …..… ……..

= … + … = …

4. Sebuah kelompok seni tari terdiri dari 6 pria dan 5 wanita. Kelompok ini akan mengirim 3 pria dan 2 wanita untuk ikut festival. Hitunglah banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih 5 wakil tersebut itu bila:

a. Setiap anggota berhak dipilih? b. Seorang wanita sudah pasti dipilih?

a. Karena setiap orang berhak dipilih, maka akan dipilih 3 pria dari … pria dan 2 wanita dari … wanita.

…C… x …C… =

…! …!(…−…)! x

…! … !(…−…)!=

… !

… !… . !

x

…! …! …!

¿… … … …

… … … …..… .x

… … … …..… … … … …..…

… … … …..… … …..

= … x

… = …

b. Karena seorang wanita sudah pasti dipilih, maka akan dipilih 3 pria dari … pria dan

… wanita dari … wanita. …C… x …C… =

…! …!(…−…)! x

…! … !(…−…)!=

… !

… !… . !

x

…! …! …!

¿… … … …

… … … …..… .x

… … … …..… … … … …..…

… … … …..… … …..

= … x

… = …

c. Karena 2 pria sakit dan tidak dapat dipilih, maka akan dipilih 3 pria dari … pria dan

… wanita dari … wanita. …C… x …C… =

… ! …!(…−…)!x

…!

… !(…−…)!=¿

…!

…! … .!

x

…! …! …!

¿… … … …

… … … …..… .x

… … … …..… … … … …..…

… … … …..… … …..

= … x

… = …

5. Diketahui 10 buah titik pada suatu bidang dengan tidak ada 3 titik yang segaris.

a) Tentukan banyaknya garis lurus yang dapat ditarik melalui dua titik dari titik-titik tersebut

...

C... = _…!(…… !_−…)!

=

_{…! …!}…! =…… … … …..

…… … … …..=

…

…=…

b) Tentukan banyaknya segitiga yang dapat dibuat apabila titik sudutnya anggota titik-titik tersebut.

...

C... = _…!(…… !_−…)!

=

_{…! …!}…! =…… … … …..

…… … … …..=

…

…=…

Lembar Kerja Siswa 5

Topik : Binomial Newton

A. Ringkasan Materi

Binomial Newton

Jika a dan b adalah variabel real yang tidak nol, maka bentuk aljabar (a + b) disebut suku dua (binom) dalam a dan b. Binom (a + b) dipangkat n ditulis (a + b)n

n = 0 → (a + b)0 _{= 1}

n = 2 → (a + b)2 _{= a}2_{+ 2ab + b}2

n = 3 → (a + b)3 _{= a}3 _{+ 3a}2_{b + 3ab}2 _{+ b}3

Jika penjabaran binom tersebut dituliskan koefisiennya saja akan diperoleh susunan bilangan yang disebut Segitiga Pascal seperti berikut

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

dan seterusnya

Koefisien tersebut dapat ditulis dengan notasi kombinasi sehingga menjadi

0C0

1C0 1C1

2C0 2C1 2C2

3C0 3C1 3C2 3C3

……….

nC0 nC1 nC2 ………. nCn

(a + b)n ₌

nC0 an b0+ nC1 an-1 b1 + nC2 an-2 b2 + ……..+ nCn a0 bn

(a+b)n=

∑

r=0

n

Cra n−r

br

n

❑

B. Lembar Kerja

Dengan Binomial Newton, jabarkan binom-binom berikut a) (x + y )6 _{b) (x - 2y)}3 _{c) (x + 3y)}5

Jawab:

a. (x + y )6 ₌

∑

r=0 6

C_rx….−r_yr … .

❑

= ....C…. x… y… + ....C…. x… y… + ....C…. x… y… + ....C…. x… y… + ....C…. x… y… + ....C…. x… y… + ....C…. x… y…

= ……….. b. (x - 2y)3 ₌

∑

r=0 3

C_rx…−r

(−2y)r

3

❑

= 3C0 x… (….)0 + 3C1 x… (….)1 + 3C2 x…(….)2 + 3C3 x… (….)3

= ……… c. (x + 3y)5 ₌

∑

r=0 5

C_rx…−r

(…..)r

5

❑

= 5C0 x… (….)… + 5C1 x… (….)… + 5C2 x… (….)… + 5C3 x… (….)… +

5C4 x… (….)… + 5C5 x… (….)…

= ……….

LEMBAR KERJA SISWA 6

Topik : Ruang sampel, Titik sampel, Peluang A. Ringkasan Materi

Dadu Kedua

Dadu Pertama

A

A

A A

G

G

… … … …

… …

AAA

Dituliskan dengan huruf ... Titik sampel : anggota ... Peluang

P(A) =

… … … …… ._{… … … … …}

n(A) : banyak anggota ... n(S) : banyak anggota ...

B. Soal

1. Pada suatu percobaan, dua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. a) Tentukan ruang sampel dan banyak titik sampel

Ruang sampel pada percobaan ini dapat dituliskan dalam tabel berikut. Lengkapilah

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1)

2 (2, 3)

3

4 (4, 5)

5

6 (6, 4)

Banyak titik sampel : n(S) = …

b) Tulislah kejadian-kejadian berikut dengan notasi himpunan dan tentukan banyak anggotanya

A = kejadian muncul kedua mata dadu angka yang sama

A = {(1, 1) , (2, 2) ,……….} n(A) = … B = kejadian muncul jumlah mata dadu sama dengan 10

B = {………} n(B) = …

c) Tentukan P(A) dan P(B) P(A) = n(A)

n(S)=

…

… P(B) = …. n(S)=

…

…

2. Pada percobaan melempar sekeping uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan, tentukan

a) Tentukan ruang sampel dan banyak titik sampel Lengkapilah tabel berikut.

1 2 3 4 5 6

A (A, 1)

G (G, 4)

n(S) = …

b) Tulislah kejadian berikut dalam notasi himpunan dan tentukan banyak anggotanya D = kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan angka prima pada dadu

D = {………} n(D) = …

c) Tentukan P(D) P(D) = ……

……=

… …

3. Tiga buah uang logam dilempar bersamaan.

a) Tentukan ruang sampel dan banyak titik sampel

Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 28 Dadu Uang

S = {AAA, ………..………} n(S) = …

b) Tuliskan dengan notasi himpunan kejadian berikut dan tentukan P(E) E = kejadian muncul satu gambar dan dua angka

E = {……….} n(E) = …

P(E) = ……_……=…

…

4. Sebuah kotak berisi 10 bola yang terdiri dari 6 bola putih dan 4 bola merah. Dari kotak tersebut akan diambil 3 bola sekaligus.

a) Tentukan banyak hasil yang mungkin n(S) = 10C… = … !

… .!… !=

… … … …

… … … …=

… …

b) A = kejadian terambil 2 bola putih dan 1 bola merah. Tentukan P(A) n(A) = 6C… x 4C… = … !

… .!… ! x … ! … . !…!=

… … … …

… … … … x

… … … …

… … … …=

…

…

P(A) = n(A)

n(S)=

… …

Lembar Kerja Siswa 7

Topik : Frekuensi Harapan dan Komplemen Suatu Kejadian A. Ringkasan Materi

Frekuensi Harapan

Jika sekeping uang logam dilempar satu kali, maka peluang munculnya sisi gambar adalah ½. Jika percobaan tersebut dilakukan 50 kali maka banyak munculnya sisi gambar yang diharapkan adalah 25 kali. angka 25 tersebut menyatakan frekuensi harapan kejadian munculnya sisi angka.

25 = ½ x 50 Simpulkanlah:

Misalkan sebuah percobaan dilakukan n kali dan P(A) adalah peluang kejadian A, maka frekuensi harapan kejadian A adalah:

Fh = ... x ...

Peluang komplemen suatu kejadian:

Pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. A = kejadian muncul mata dadu 1, maka A = { 1 }

Fh = frekuensi harapan kejadian A n = banyak percobaan

A’ = kejadian muncul mata dadu bukan angka 1, maka A’ = {2,...} n(A) = 1, n(A’) = ..., dan n(S) = ..., sehingga diperoleh hubungan n(A) + n(A’) = n(S)

Masing-masing ruas dibagi n(S)

n(A)

n(S)+

n(A ')

n(S) =

n(S)

n(S)

P(A) + P(A’) = ... Simpulkan:

A’ adalah komplemen kejadian A. Peluang komplemen kejadian A’ ditulis P(A’) P(A’) = ... – ...

B. SOAL

1. Dua buah dadu dilempar bersamaaan sebanyak 72 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 5?

Jawab:

A adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 5

A = {… … … …… … … …} n(A) = … n(S) = …

P(A)=n(A)

n(S)=

…

… Fh = n x P(A) = … x … = …

Jadi, frekuensi harapan munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 5 adalah … 2. Peluang keseblasan Indonesia memnangkan pertandingan melawan Malaysia adalah

0, 75. Berapa peluang kesebelasan Indonesia kalah? Jawab:

P (A) = … P(A’) = 1 – P(A) = ………

3. Pada percobaan melempar dua buah dadu. Berapa peluang muncul mata dadu jumlahnya tidak sama dengan 12?

Jawab:

A : kejadian muncul jumlah sama dengan 12 A’ : kejadian muncul jumlah tidak sama dengan 12 P(A) = n(A)

n(S)=

…

… P(A’) = …

4. Dua keping uang logam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan a. Peluang kejadian munculnya paling sedikit satu gambar

b. Peluang kejadian munculnya tidak ada gambar Jawab:

a. Misal A adalah kejadian munculnya paling sedikit satu gambar

A = {… … … …} n(A) = …

S = {… … … …} n(S) = …

P(A)=n(A)

n(S)=

… …

b. Karena A adalah kejadian munculnya paling sedikit satu gambar, maka A’ adalah kejadian munculnya tidak ada gambar

P(A’) = 1 – P(A) = 1 - ... = ...

5. Sebuah kotak berisi 10 bola yang terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola putih. Dilakukan percobaan dengan pengambilan 2 bola sekaligus dari kotak. Tentukan

a. Peluang kejadian terambil bola putih semua

Jawab:

n(S) = …C… =

… !

…!(…−…)! =

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …

…… … …… … …… … …… … …=… … … … …… … …

a. A adalah kejadian terambil bola putih semua

n(A) = …C… =

… !

…!(…−…)! =

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …

…… … …… … …… … …… … …=… … … … …… … …

P(A)=n(A)

n(S)=

… …

b. A’ adalah kejadian terambil keduanya bukan bola putih. P(A’) = 1 – P(A) = 1 - … = …

Lembar Kerja Siswa 8

Topik : Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Tidak Saling Lepas dan Saling Lepas

A. Ringkasan Materi

Peluang gabungan dua kejadian A atau B ditulis P(A ∪ B)

1. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Tidak Saling Lepas

P(A ∪ B) = ... + ... - ...

2. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

P(A ∪ B) = ... + ...

B. SOAL

1. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu. Berapa peluang terambil kartu hati

atau kartu As? Jawab:

A = kejadian terambil kartu hati n(A) = ... P(A) = … 52=¿

… …

B = kejadian terambil kartu As n(B) = ... P(B) = … 52=

… …

Kejadian tidak saling lepas jika

ada irisan dari kedua himpunan

Kejadian saling lepas jika tidak ada irisan dari kedua himpunan

A B

A B

S

n(A ∩ B) = ... n(S) = 52 P(A ∩

B) = …_…

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = …

…+

…

…−

…

…=

… …

2. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Berapa peluang muncul jumlah kedua dadu sama dengan 6 atau 9?

Jawab:

A = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 6 = {(1, 5), (2, 4), (...), (...), (...)}

B = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 9 = {...}

A ∩ B = {... } maka A dan B dua kejadian yang saling lepas n(A) = ... n(B) = ... n(S) = ...

P(A) = …_… P(B) = …_… P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …

…+

…

…=

…

…=

… …

3. Dalam sebuah kantong berisi 7 kelereng merah, 5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru. Diambil sebuah kelereng secara acak. Berapa peluang terambil kelereng merah atau

hijau? Jawab:

A = kejadian terambil kelereng merah n(A) = 7 B = kejadian terambil kelereng hijau n(B) = ...

C = kejadian terambil kelereng biru n(C) = ... n(S) = ... P(A) = …

… P(B) = … …

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …_…+…

…=

…

…=

… …

4. Dari 100 orang siswa, 30 orang suka belajar komputer, 30 orang suka bahasa Inggris dan 20 orang suka keduanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang siswa tersebut suka belajar komputer atau bahasa Inggris?

Jawab:

A = siswa suka belajar komputer B = siswa suka belajar bahasa Inggris A ∩ B = siswa suka belajar keduanya

n(A) = ... n(B) = ... n(A ∩ B) = ... n(S) = ...

P(A) = …

… P(B) = …

… P(A ∩ B) = … …

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = …_…+…

…−

…

…=

…

…=

… …

5. Sebuah kantong berisi 12 bola kuning, 4 bola hijau dan 8 bola biru. Diambil secara acak sebuah bola dari kantong tersebut. Tentukan peluang terambil 1 bola kuning atau

Jawab:

A = kejadian terambil bola kuning n(A) = ... P(A) =

… …

B = kejadian terambil bola hijau n(B) = ... P(B) =

… …

C = kejadian terambil bola biru n(C) = ... n(S) = ... P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …_…+…

…=

…

…=

… …

6. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya jumlah kedua dadu sama dengan 4 atau 7!

Jawab:

A = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 4 n(A) = ... = {...}

B = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 7 n(B) = ... = {...}

A ∩ B = { } maka A dan B dua kejadian saling lepas n(S) = ...

P(A) = …

… P(B) = … …

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = …_…+…

…=

…

…=

… …

LEMBAR KERJA SISWA 9

Topik : Peluang Dua Kejadian Saling Bebas dan Bersyarat A. Ringkasan Materi

Peluang Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A tidak terpengaruh oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B tidak terpengaruh oleh kejadian A.

Jika kejadian A dan B saling bebas, maka berlaku

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Jika P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B) maka kejadian A dan B tidak saling bebas. INGAT!

peluang A atau B → P(A ∪ B)

peluang A dan B → P(A ∩ B) Peluang Kejadian Bersyarat

(1).Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu ditentukan dengan aturan:

P

(

A|B

)

=P(A ∩ B)

P(B) , P(B)≠0

P

(

B|A

)

=P(A ∩ B)

P(A) , P(A)≠0

B. SOAL

1. Peluang Ani lulus ujian adalah 0,8. Peluang Budi lulus ujian adalah 0, 75. Berapakah peluang Ani dan Budi lulus ujian?

Jawab: Kelulusan Ani tidak mempengaruhi kelulusan Budi, begitu pula sebaliknya, maka A = kejadian Ani lulus dan B = kejadian Budi lulus adalah kejadian yang ……….

P(A) = … P(B) = …

P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = … x … = … Jadi, peluang Ani dan Budi lulus ujian adalah …

[image:34.595.68.527.284.771.2]

2. Satu keping uang logam dan satu buah dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang muncul gambar pada uang logam dan mata dadu 1 pada dadu?

Jawab: A = kejadian muncul gambar pada uang logam B = kejadian muncul mata dadu 1 pada dadu

Kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B, begitu pula sebaliknya, maka A dan B kejadian yang ………

P(A) = …

… P(B) =

…

… P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = …

… x

…

… =

… …

3. Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak satu kali. A = kejadian muncul angka 4 pada dadu pertama

B = kejadian muncul jumlah kedua dadu sama dengan 9 Selidiki apakah A dan B kejadian saling bebas?

Jawab:

A = {………...} n(A) = … P(A) = … .

… .

B = {………...} n(B) = … P(B) = … .

… .

A ∩ B = {………..} n(A ∩ B) = … P(A

∩ B) = … ._{… .}

n(S) = … P(A ∩ B) … P(A) x P(B)

Jadi, kejadian A dan B ………. 4. Peluang kota A kebanjiran adalah P(A) = 5

7

Peluang kota B kebanjiran adalah P(B) = 4₉ Peluang kota C kebanjiran adalah P(C) = 7

10

Tentukan peluang dari: a. kota A dan B kebanjiran b. kota A dan C kebanjiran c. kota B dan C kebanjiran

a. Peluang kota A dan B kebanjiran P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = … .

… . x … . … . =

… . … .

b. Peluang kota A dan B kebanjiran

P(A ∩ C) = P(A) x P(C) = … ._{… .} x … ._{… .} = … ._{… .} c. Peluang kota B dan C kebanjiran

P(B ∩ C) = P(B) x P(C) = … ._{… .} x … ._{… .} = … ._{… .}

5. Sebuah dadu dilempar satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap dengan syarat kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi lebih dulu. Jawab:

A = kejadian munculnya mata dadu angka genap = {………...} n(A) = … B = kejadian munculnya mata dadu angka prima = {……….} n(B) = …

A ∩B = {……….} n( A ∩B ) = … n(S) = …

P(A) = … .

… . P(B) =

… .

… . P( A ∩B ) =

… . … . P

(

A|B

)

=P(A ∩ B)

P(B) =

… . … . =

… . … .

6. Sebuah toples berisi 4 permen strawberry dan 6 permen coklat.

a. Dari toples tersebut diambil satu permen, dikembalikan, kemudian diambil satu permen lagi. Tentukan peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua?

Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = … n(S2) = …

A1 = kejadian terambil permen strawberry A2 = kejadian terambil permen

strawberry n(A1) = … P(A1) = … .

… . n( A2

|

A1 ) = … P(

A₂

|

A₁ ) = … ._{… .}

P

(

A₂

|

A₁

)

=P

(

A1∩ A2

)

P

(

A₁

)

Peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua adalah P

(

A₁∩ A₂

)

= P(A1) x P

(

A2

|

A1

)

= … ._{… .} x … ._{… .} = … ._{… .}

b. Dari toples tersebut diambil satu permen, tapi tidak dikembalikan, kemudian diambil satu permen lagi. Tentukan peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua?

Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = … n(S2) = …

A1 = kejadian terambil permen strawberry A2 = kejadian terambil permen

n(A1) = … P(A1) = … ._{… .} n( A2

|

A1 ) = … P(

A₂

|

A₁ ) = … .

… .

Peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua adalah P

(

A1∩ A2

)

= P(A1) x P

(

A2

|

A1

)

= … ._{… .} x … ._{… .} = … ._{… .}

c. Dari toples tersebut diambil satu permen, tapi tidak dikembalikan, kemudian diambil satu permen lagi. Tentukan peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan permen coklat pada pengambilan kedua?

Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = … n(S2) = …

A = kejadian terambil permen strawberry B = kejadian terambil permen coklat

n(A) = … n(B |A ) = …

P(A) = … .

… . P(B |A ) =

… . … .

Peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan permen coklat pada pengambilan kedua adalah

P(A ∩ B) = P(A) x P

(

B|A

)

= … ._{… .} x … ._{… .} = … ._{… .}

LEMBAR KERJA SISWA 10

PENGAYAAN

1. Dalam suatu kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih.

Diambil 2 bola sekaligus. Berapa peluang terambil bukan kedua-duanya bola putih?

n(S) = 7C2 =

…!

…!(…−…)! =

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …… … …… … …… .

… … … … =…

A = kejadian terambil bola putih keduanya

n(A) = 4C2 =

…!

…!(…−…)! =

…!

…! …!=

…… … …… … …… … …… … …… … …… … …… .

… … … … =…

P(A)=n(A)

n(S)=

… . … .=

…. ….

A B S

… 10 ..

…

S

25 - x x 23 - x

A B

P(A’) = 1 – P(A) = 1 - … ._{… .} = … ._{… .}

2. Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua?

A = kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama

= {………..} n (A) = …

B = kejadian munculnya angka genap pada dadu kedua

={……… ……...} n (B) = …

P(A) = … ._{… .}=1

6 P(B) =

… . … .=

1

…

P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = … .

… .x … . … .=

… . … .

Cara lain:

A ∩ B = {(3, 2), (………), (……….)} n(A ∩

B) = …

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)

n(S) =

… . … .=

…. ….

3. Dari 60 siswa, terdiri dari 30 orang suka belajar matematika, 25 suka belajar fisika, dan 10 orang suka keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, berapa peluang siswa yang

tidak suka belajar matematika maupun fisika?

A = siswa suka belajar matematika n(A) = … P(A) = … ._{… .} B = siswa suka belajar fisika n(B) = … P(B) = … .

… .

A ∩ B = siswa suka belajar matematika dan fisika n(A ∩ B) = … P(A

∩ B) = … .

… .

n(S) = 60

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = … .

… .+ … . … .−

… . … .=

… . … .=

… . … .

P(A ∪ B)’ = 1 - P(A ∪ B) = 1- … ._{… .} = … ._{… .} Cara lain: Gambarlah Diagram Venn

P(A ∪ B)’ = n(A∪B)'

n(S) =

… . … .=

… . … .

4. Dari 50 siswa, 25 orang gemar membaca, 23 orang gemar melukis, dan 7 orang tidak gemar keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang terpilih siswa yang gemar membaca dan melukis?

A = siswa yang gemar membaca B = siswa yang gemar melukis Misalkan n(A ∩ B ) = x

(25 - x) + x + (23 – x) + 7 = 50 … – x = 50

x = …

n(A ∩ B ) = …

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)

n(S) =

… . … .=

…. ….

5. Sebuah kantong berisi 18 kelereng merah dan 12 kelereng biru. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantong. Kelereng tersebut tidak dikembalikan, kemudian diambil satu kelereng lagi. Tentukan peluang kejadian terambil:

a. kelereng merah pada pengambilan pertama dan kedua Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = 30 n(S2) = …

A1 = kejadian terambil kelereng merah A2 = kejadian terambil kelereng merah

n(A1) = … n( A2

|

A1 ) = …

P(A1) = …. ….=

….

…. P( A2

|

A1 ) =

… . … .

P

(

A₂

|

A₁

)

=P

(

A1∩ A2

)

P

(

A₁

)

Peluang terambil kelereng merah pada pengambilan pertama dan kedua adalah P

(

A₁∩ A₂

)

= P

(

A₁

)

x P

(

A₂

|

A₁

)

= … .

… . x … . … . =

… . … .

b. kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua b. Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = … n(S2) = …

A1 = kejadian terambil kelereng merah B = kejadian terambil kelereng biru

n(A1) = … n( B

|

A1 ) = …

P(A1) = ….

….=

… .

… . P( B

|

A1 ) =

… . … .

P

(

B

|

A₁

)

=P

(

B ∩ A1

)

P

(

A₁

)

Peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua adalah P

(

A₁∩ B

)

= P

(

A₁

)

x P

(

B

|

A₁

)

= … ._{… .} x … ._{… .} = … ._{… .}

6. Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu.

A = kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua

= {(1, 1), (……..),(……..),(……..),(……..),(……..)} n (A) = … B = kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4

= {………} n (B) = …

A ∩ B = {………} n(A ∩

P(A) = … ._{… .} P(B) = … ._{… .} P(A ∩ B) = … ._{… .}

P

(

A|B

)

=P(A ∩ B)

P(B) =

… . … . … . … .

=….

…. x … . … .=

…. ….

7. Sebuah kota berisi 5 bola hitam dan 3 bola putih. Dari dalam kotak akan diambil 1 bola secara berurutan sebanyak dua kali. Setelah bola pertama diambil, bola itu tidak dikembalikan. Hitunglah peluang kejadian:

a. bola hitam pada pengambilan pertama dan kedua

Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = 8 n(S2) = …

A1 = kejadian terambil bola hitam A2 = kejadian terambil bola hitam

n(A1) = … n( A2

|

A1 ) = …

P(A1) = … ._{… .} P( A2

|

A1 ) =

… . … .

P

(

A₂

|

A₁

)

=P

(

A1∩ A2

)

P

(

A₁

)

Peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua adalah

P

(

A₁∩ A₂

)

= P

(

A₁

)

x P

(

A₂

|

A₁

)

= … .

… . x … . … . =

… . … .

b. bola hitam pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua b. Pengambilan I: Pengambilan II:

n(S1) = 8 n(S2) = …

A1 = kejadian terambil bola hitam B = kejadian terambil bola putih

n(A1) = … n( B

|

A1 ) = …

P(A1) = … .

… . P( B

|

A1 ) =

… . … .

P

(

B

|

A1

)

=

P

(

B ∩ A₁

)

P

(

A₁

)

Peluang terambil permen strawberry pada pengambilan pertama dan kedua adalah

P

(

A₁∩ B

)

= P

(

A₁

)

x P

(

B

|

A₁

)

= … .

… . x … . … . =

LEMBAR KERJA SISWA 1

Topik : Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Sudut

A. RINGKASAN MATERI

1. Rumus untuk cos (α + β)

Pada gambar berikut ini diperlihatkan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan, sehingga titik A mempunyai koordinat (1, 0).

Misalkan ∠AOB=α dan ∠BOC=β , maka

∠AOB+∠BOC=α+β

Dengan mengambil sudut pertolongan

∠AOD=−β , maka ∆ AOC kongruen dengan ∆ BOD . Akibatnya AC = BD atau AC2 _{= BD}2

Koordinat Cartesius sebuah titik dapat dinyatakan sebagai (r cos α, r sin α), sehingga:

 koordinat titik B (r cos α, r sin α) = (cos α, sin α)

 koordinat titik C (r cos (α + β) , r sin (α + β)) = (cos (α + β) , sin (α + β))

 koordinat titik D (r cos (-β), r sin (-β)) = (cos (-β), sin (-β)) = (cos β, -sin β) Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh dan r = 1

 Titik A(1, 0) dan C(cos (α + β) , sin (α + β)) AC2 _{= {cos (α + β) - 1}}2 _{+ {sin (α + β) - 0}}2

⟺ AC2 _{= cos}2 _{(α + β) – 2 cos (α + β) + 1 + sin}2 _{(α + β)}

⟺ AC2 _{= {cos}2_{(α + β) + sin}2_{(α + β)} + 1 – 2 cos (α + β)}

⟺ AC2 _{= 1 + 1 – 2 cos (α + β)}

⟺ AC2 _{= 2 – 2 cos (α + β)...(*)}

 Titik B(cos α, sin α) dan D(cos β, -sin β)

⟺ BD2 _{= (cos β – cos α)} 2 _{+ (-sin β – sin α)} 2

⟺ BD2 _{= cos}2_{β – 2 cos α cos β + cos}2 _{α + sin}2 _{β + 2 sin α sin β + sin}2 _α

⟺ BD2 _{= (cos}2_{β + sin}2 _{β) + (cos}2 _{α + sin}2 _{α ) – 2 cos α cos β + 2 sin α sin β}

⟺ BD2 _{= 1 + 1 – 2 cos α cos β + 2 sin α sin β}

⟺ BD2 _{= 2 – 2 cos α cos β + 2 sin α sin β...(**)}

Karena AC2 _{= BD}2 _{maka diperoleh hubungan:}

2 – 2 cos (α + β) = 2 – 2 cos α cos β + 2 sin α sin β

– 2 cos (α + β) = – 2 cos α cos β + 2 sin α sin β (kedua ruas dibagi (-2)) cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jadi, rumus untuk cos (α - β) adalah cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

A

b = 4 c = 5

α

P

q = 12 r = 13

β

Rumus untuk cos (α - β) dapat diperoleh dari rumus untuk cos (α + β). cos (α - β) = cos (α + (-β))

= cos α cos (-β) - sin α sin (-β) = cos α cos β - sin α (-sin β) = cos α cos β + sin α sin β

Jadi, rumus untuk cos (α - β) adalah cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

KESIMPULAN: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

B. SOAL

1. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari: a. cos 62º cos 32º + sin 62º sin 32º

b. cos 21º cos 9º - sin 21º sin 9º c. cos 38º cos 22º - sin 38º sin 22º d. cos 130º cos 40º + sin 130º sin 40º Penyelesaian:

a. cos 62º cos 32º + sin 62º sin 32º = cos ( ... - ... )