l u d o M e d o K
MAT. TKF 02 1- 02
F
a
k
u
tl
a
s
T
e
k
n
i
k
U
N
Y
J
u
r
u
s
a
n
P
e
n
d
i
d
i
k
a
n
T
e
k
n
i
k
O
t
o
m
o
t
fi
I
S
A
I
S
N
E
R
E
F
I
D
F
U
N
G
S
I
V
h
r
wV wV
2 = S r h dan = S r2
wr wh
: n u s u y n e P
. T . M , . d P . M , i b u t r a M
) 4 P S ( n a r a g g n a g n e P n a d m a r g o r P n a n u s u y n e P n a a n a c n e r e P m e t s i S
fi
t
o
m
o
t
O
k
i
n
k
e
T
n
a
k
i
d
i
d
n
e
P
n
a
s
u
r
u
J
2
P
A
T
A
K
E
N
G
A
N
T
A
R
Modu l dengan judu l Dfierensiasi Fungsi in i digunakan sebaga i u
t a s h a l a s k u t n e b m e m k u t n u h a il u k n a t a i g e k m a l a d n a u d n a
p s -ub
: u ti a y , i s n e t e p m o
k “Menggunakan konsep ,sfiat ,dan manipulas iajlaba r h
a l a s a m n a h a c e m e p m a l a
d dfierensiasi fungs “. i Modu l in i dapa t
i d a k it a m e t a M h a il u k a tr e s e p a u m e s k u t n u n a k a n u g i
d Semeste rI pada
i d u t S m a r g o r
P Pendidikan Teknik Otomoit fFakutlas Teknik Universtias .
a tr a k a y g o Y i r e g e N
Pada modu l in i disaijkan konsep dasa r Dfierensiasi Fungsi dan l
a s a m r e
p ahannya yang banyak djiumpa idalam penerapannya d ibidang .
s it k a r p n u p u a m s it ir o e t a r a c e s k i a b , k i n k e
t Modul i n iterdri iatas empat
. r a j a l e b n a t a i g e
k Kegiatan belaja r1 membahas tentang : Dfierensiasi A
i s g n u
F jlabar . Kegiatan belaja r 2 membahas tentang: Dfierensiasi i
s g n u
F -fungs i Transenden. Kegiatan belaja r 3 membahas tentang : i
s a i s n e r e fi
D Logartimik ,Persamaan Parametirk dan Dfierensia lParsial . r
a j a l e b n a t a i g e
K 4 membahast entang :Apilkas iDfierensias iFungsi
Untuk dapa t mempelajar i modu l in i dengan mudah mahasiswa g n a t n e t n a m a h a m e p n a d n a u h a t e g n e p i a y n u p m e m h a l e t n a k p a r a h i d
p e s n o
k -konsep dasa ryang menunjangnya ,dalamhali nit erutama konsep g
n a t n e
t FungsiAjlaba rdanFungsi-fungs iTransendendanGeomet ir.
Yogyaka tra, Oktobe r 2005
Penyusun
3
L
U
D
O
M
I
S
I
R
A
T
F
A
D
n a m a l a H
L U P M A S N A M A L A
H ... 1
R A T N A G N E P A T A
K ... 2
I S I R A T F A
D ... . 3
Y R A S S O L G / N A H A L I T S I R E
P .. ... 5
N A U L U H A D N E P .
I ... 7
A .Desk irps i... . 7
B .Prasyarat ... .7
C .PetunjukPenggunaan Modul... .8
1 .Petunjuk bag imahasiswa ... 8
2 .Petunjuk bagidosen ... .8
D .Tujuan Akhri ... ... 9
E .Kompetensi . ... ... .. 9
F .CekKemampuan. ... .1 1
N A R A J A L E B M E P .
II ... .... . .. 21
A .RencanaBelaja rMahasiswa ... 21
B .KegiatanBelajar... 21
1 .KegiatanBelaja r1 ... 21 n
a t a i g e k n a u j u T .
a belajar 1 ... ... 2.. 1 i
r e t a m n a i a r U .
b ... ... 31 1
n a m u k g n a R .
c ... 18 1
s a g u T .
d ... 19 1
f it a m r o f s e T .
e ... .19 b
a w a j i c n u K .
4
Halaman
2 .KegiatanBelaja r2 ... 02 2
r a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T .
a ... 02 2
i r e t a m n a i a r U .
b ... 12 2
n a m u k g n a R .
c ... . 82 2
s a g u T .
d ... 03 fi
t a m r o f s e T .
e 2 ... ... 13 b
a w a j i c n u K .
f t esformatfi 2... ... 23
3 .KegiatanBelaja r3 ... . 23 r
a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T .
a 3 ... . 23 i
r e t a m n a i a r U .
b 3 ... . 33 n
a m u k g n a R .
c 3 ... . 39 s
a g u T .
d 3 ... . 04 fi
t a m r o f s e T .
e 3. ... . 14 b
a w a j i c n u K .
f t esformatfi 3... . 41
4 .KegiatanBelaja r4 ... .4 2 r
a j a l e b n a t a i g e k n a u j u T .
a 4 ... .4 2 i
r e t a m n a i a r U .
b 4 ... .4 3 n
a m u k g n a R .
c 4 ... .5 8 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 4 s a g u T .
d 6 0
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4 f it a m r o f s e T .
e 6 1
b a w a j i c n u K .
f t esformatfi 4... . 26
I S A U L A V E . II
I ... .. 3.... 6
A .Pe tranyaan ... .. 3.. 6 n
a b a w a J i c n u K .
B ... 46
C .Krtie iraKelulusan... 56
E P . V
I NUTUP ... 66
A K A T S U P R A T F A
5
/
N
A
H
A
L
I
T
S
I
R
E
P
G
L
O
S
S
A
R
Y
e v it a v ir e D / i s a i s n e r e fi
D Fungsi :adalah fungsi l ain yang merupakan .
n a t u k g n a s r e b g n a y i s g n u f ir a d n a n u r u t
l a i s r a P l a s a i s n e r e fi
D :adalah dfierensia ldar isebuah f ungsi t erhadap a y n n i a l l e b a ir a v p a g g n a g n e m n a g n e d a y n l e b a ir a v u t a s h a l a s
. h i b e l u a t a l e b a ir a v a u d i a y n u p m e m u ti i s g n u f a k ij n a t s n o k
i
Dferensias iLogartimik :adalah caramendfierensialkan sebuahf ungs i t
a fi s n a k r a s a d r e
b -sfia tdant urunanf ungsil ogartima.
i s g n u
F Ajlabar :adalah sebuah fungs iyang menunjukkan hubungan h a s i p r e t a r a c e s h i b e l u a t a l e b a ir a v h a u b a u d i r a d r a b a jl a a r a c e
s .
l a i s n e n o p s k E i s g n u
F : adalah sebuah fungs i yang merupakan
n i a l i s g n u f/ l e b a ir a v u t a u s n a g n e d n a g n a li b u t a u s n a t a k g n a p r e p
u t n e tr e
t .
k il o b r e p i H i s g n u
F : adalah sebuah fungs iyang mempunya isasaran a
l o b r e p i h u t a u s m a l a d i d l e b a ir a v h a u b e
s .
i s g n u
F Impilsit :adalah sebuah fungs iyang menunjukkan hubungan n a k h a s i p i d u lr e p k a d it /t a p a d k a d it g n a y ) t a ri s r e t ( t i s il p m i a r a c e s
. a d e b r e b g n a y s a u r m a l a d
a m ti r a g o L i s g n u
F : adalah sebuah fungs iyang merupakan logartima l
a i s n e n o p s k e i s g n u f h a u b e s i r a
6 i
s g n u
F Majemuk :adalah sebuah fungs iyang merupakan fungs idar i .
a y n n i a l i s g n u f
i r t e m o n o g ir T i s g n u
F : adalah sebuahf ungs iyang harganyadtientukan n
a r a k g n il u t a u s m a l a d i d u t n e tr e t t u d u s u t a u s a g r a h h e l
o .
n e i d a r
G : adalah sebuah istliah untuk menunjukkan kemiirngan suatu u
t n e tr e t s ir a
g .
k ir t e m a r a P n a a m a s r e
P : adalah sebuah hubungan dua buah va irabe l a y n a r a t n a r e p /r e t e m a r a p n a k a p u r e m g n a y a g it e k l e b a ir a v i u l a l e
7
I
B
A
B
N
A
U
L
U
H
A
D
N
E
P
i s p ir k s e D . A
Modu ldengan j udu lDfierensias iFungsi in imembahas tentang r
a s a d p e s n o
k Dfierensiasi Fungs i se tra permasalahannya yang a r a c e s k i a b , k i n k e t g n a d i b i d a y n n a p a r e n e p m a l a d i a p m u ji d k a y n a b
. s it k a r p n u p u a m s it ir o e
t Mater iyangdipelaja ir mencakup :Dfierensiasi r
a b a jl A i s g n u
F , DfierensiasiFungsi-fungs iTransenden, Dfierensiasi a tr e s l a i s r a P l a a i s n e r e fi D n a d k ir t e m a r a P n a a m a s r e P , k i m ti r a g o
L
i s g n u F i s a i s n e r e fi D i s a k il p
A
Modu lin iterdri iatas empat kegiatan belajar .Kegiatan belaja r1 :
g n a t n e t s a h a b m e
m Dfierensiasi Fungs iAjlabar .Kegiatan belaja r2 :
g n a t n e t s a h a b m e
m Dfierensiasi Fungsi-fungs iTransenden. Kegiatan :
g n a t n e t s a h a b m e m 3 r a j a l e
b Dfierensiasi Logartimik ,Persamaan
. l a i s r a P l a i s n e r e fi D n a d k ir t e m a r a
P Kegiatan belaja r4 membahas
: g n a t n e
t ApilkasiDfierensias iFungsi
Pada seitap kegiatan belaja rselalu dliengkap idengan contoh soa l n
a h it a l a tr e s e b a y n n a s a h a b m e p n a
d -la ithan sepe lrunya untuk
. n a k p a r a h i d g n a y i s n e t e p m o k i a p a c n e m m a l a d a w s i s a h a m u t n a b m e m
Setelah selesai mempelajar i modu l in i mahasiswa diharapkan i
s n e t e p m o k b u s i a y n u p m e
m “Menggunakan konsep , sfiat , dan
h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a
m dfierensias ifungs“i
t a r a y s a r P . B
Modul i n ibe irs imate ir-mater iyang meme lrukan dukungan mater i
g n a y n i a
l semesitnya telah dipelajar isebelumnya . Adapun mate ir -l
e t a y n s u r a h e s g n a y r a s a d i r e t a
m ah dfiaham ioleh pese tra kuilah id
p e s n o k h a l a d a a m a t u r e t f it o m o t O k i n k e T n a k i d i d n e P n a s u r u
J dasa r
: g n a t n e
8 l u d o M n a a n u g g n e P k u j n u t e P . C
1 .Petunjukbag iMahasiswa
Aga rdiperoleh hasi lbelaja ryang maksimal ,maka dalam u lr e p g n a y r u d e s o r p a p a r e b e b a d a i n i l u d o m n a k a n u g g n e m : n i a l a r a t n a n a k a n a s k a li d n a d , n a k it a h r e p i d h a l a c a B .
a dan faham idengan seksama uraian konsep-konsep a l u p i m a h a f n a i d u m e k , i n i l u d o m a d a p n a k ij a s i d g n a y s it ir o e t p e s n o k n a p a r e n e
p -konsep tersebu t dalam contoh-contoh soa l i r e t a m a d a h i s a m a s k a p r e t a li B . a y n n a i a s e l e y n e p a r a c a tr e s e b m u l e b n a d s a l e j g n a r u k g n a
y bisa dfiaham idengan baik para
u p m a g n e m g n a y n e s o d a d a p e k n a k a y n a n e m t a p a d a w s i s a h a m . n a h a il u k r e p n a t a i g e k , ir i d n a m a r a c e s ) n a h it a l l a o s ( f it a m r o f s a g u t p a it e s n a k a jr e k a b o C . b r a s e b a p a r e b e s i u h a t e g n e m k u t n u n a k d u s k a m i d i n i l a h i m i d h a l e t g n a y n a m a h a m e
p ilk i seitap mahasiswa terhadap
ir e t a
m -mater iyangdibahaspadaseitapkegiatanbelaja .r
i r e t a m i a s a u g n e m m u l e b a w s i s a h a m a y n n a a t a y n e k m a l a d a li b a p A . c n a d a c a b m e m i g a l i g n a l u a b o c , n a k p a r a h i d g n a y l e v e l a d a p n a h it a l i g a l n a k a jr e g n e
m -laithannya dan kalau pe lru be tranyalah g n a y n a h a il u k r e p n a t a i g e k u p m a g n e m g n a y n e s o d a d a p e k n a k u lr e m e m n a t u k g n a s r e b g n a y i r e t a m u a l a K . n a t u k g n a s r e b t a r a y s a r p a w h a b n a k n i k a y a k a m ) t a r a y s a r p ( l a w a n a m a h a m e p r a n e b d u s k a m i d g n a
y -bena rsudahdipenuh.i
2 .PetunjukBag iDosen
Dalam seitapkegiatanperkuilahan ,dosenmempunyait ugasdan : k u t n u n a r e p
a. Membantumahasiswa dalammerencanakanprosesbelaja .r b. Membimbing mahasiswa melalu itugas-tugas atau l aithan-la ithan
9
c. Membantu mahasiswa dalam memaham i konsep baru dan .
n a k u lr e p i d a li b a p a a w s i s a h a m n a a y n a tr e p b a w a j n e m
d. Membantumahasiswa untuk mengaksessumbe rbelajarl ainyang .
n a k u lr e p i d
e. Mengorganisi rkegiatanbelaja rkelompok ijkadipe lrukan. f. Merencanakanseorangahl/idosenpendamping ijkadipe lrukan. g. Mengadakan evaluas i terhadap pencapaian kompetens i
. n a k u t n e ti d h a l e t g n a y a w s i s a h a
m Evaluasit ersebu tpelaksanaan-
.r a j a l e b n a t a i g e k r i h k a p a it e s a d a p a y n
ri h k A n a u j u T . D
Setelah mempelajar iseluruh mater ikegiatan belaja rdalam modu l n
a k p a r a h i d a w s i s a h a m i n
i dapa t: “Menggunakan konsep ,sfiat ,dan h
a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a
m dfierensiasifungs“i.
i s n e t e p m o K . E
Modu lMAT .TKF 02 1-02 dengan j udu lDfierensiasi Fungsi iin e
b m e m a k g n a r m a l a d n u s u s i
d ntuk s -ub kompetens i “Menggunakan
h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d r a b a jl a i s a l u p i n a m n a d , t a fi s , p e s n o k
i s a i s n e r e fi
d fungs“i.
Untuk mencapa is -ub kompetens itersebut ,te lrebih dahulu harus b
u s i a p a c i d t a p a
d -sub kompetens i bese tra krtie ira unjuk ke jranya a
l e
m lu i ilngkup belaja rdengan mater ipokok pembelajaran sebaga i t
u k ir e
0 1 b u S i s n e t e p m o
K UnKjurktieKireajra LBineglakjuarp
n a r a j a l e b m e P k o k o P i r e t a M p a k i
S Pengetahuan Ketramplian
a n u g g n e M , p e s n o k n a k n a d n a r u t a i s a l u p i n a m r a b a jl a m a l a d n a h a c e m e p h a l a s a m i s a i s n e r e fi d i s g n u f .
1.Menjelaskan
n o k / n a it r e g n e p -n a d i s a t o n p e s t a fi
s -sfiat dfie
-. i s g n u f i s a i s n e r
2 .Menyelesaikan
e fi d h a l a s a
m r -en
i s g n u f i s a i s .r a b a jl a n a k i a s e l e y n e M . 3 e fi d h a l a s a
m r - en
i s g n u f i s a i s k u m e j a m n a k i a s e l e y n e M . 4 a l a s a
m h edfi r -en
i s g n u f i s a i s .t i s il p m i n a k i a s e l e y n e M . 5 e fi d h a l a s a
m r - en
o g ir t i s g n u f i s a i s i rt e m o
n dan
. a y n s r e v n i n a k i a s e l e y n e M . 6 e fi d h a l a s a
m r -en
i s g n u f i s a i s k il o b r e p i
h dan
. a y n s r e v n i n a k i a s e l e y n e M . 7 e fi d h a l a s a
m r -en
i s g n u f i s a i s .l a i s n e n o p s k e n e M .
8 yelesaikan
e fi d h a l a s a m i s g n u f i s a i s n e r . a m ti r a g o l n a k i a s e l e y n e M . 9 e fi d h a l a s a
m r -en
ti r a g o l i s a i s n e r -k i
m danpersa-
n a a
m parametirk
. 0
1 Menyelesaikan
n e r e fi d h a l a s a m -.l a i s r a p l a i s a i s n a k p a r e n e M . 1 1 n e r e fi d p e s n o k a s a m a d a p i s a i s s ir t e m o e g h a l n a
d masalah
/ m u m i s k a m .i s g n u f m u m i n i m
12 .Menerapkan
n e r e fi d p e s n o k k u t n u l a i s r a p l a i s g n u ti h g n e
m p -er
u t a u s n a h a b u .i s g n u f , n a it r e g n e P . 1
notas idan
t a fi
s -sfiat
i s a i s n e r e fi d . i s g n u f
22 . eDfi rensias i
i s g n u f .r a b a jl a
.3 eDfi rensias i
s g n u
f i
majemuk
.4 eDfi rensias i
i s g n u f
impilsi.t
e fi D .
5 rensias i
i s g n u
f tirgo-
n a d i rt e m o n a y n s r e v n i e fi D .
6 rensias i
i s g n u
f hiper-
n a d k il o b a y n s r e v n i e fi D .
7 rensias i
i s g n u
f se - k
l a i s n e n o p i s a i s n e r e fi D . 8 i s g n u f
logairtma.
i s a i s n e r e fi D . 9 k i m ti r a g o l n a
d persa
n a a
m p aar
-k ir t e m . 0
1 Dfierens ial l a i s r a p n a p a r e n e P . 1 1 p e s n o k i s a i s n e r e fi d i s g n u f 2
1 .Penerapan
p e s n o k l a i s n e r e fi d l a i s r a p
Telti idan t a m r e c m a l a d s il u n e m l o b m i s n a d a l e
m k -u
r e p n a k -n a g n u ti h
1.Pengeritan ,
notas idan
t a fi
s -sfiat
i s a i s n e r e fi d . i s g n u f
22 . eDfi rensias i
i s g n u f .r a b a jl a
.3 eDfi rensias i
i s g n u f
majemuk
.4 eDfi rensias i
i s g n u f
impilsi.t
e fi D .
5 rensias i
i s g n u
f tirgo-
n a d i rt e m o n a y n s r e v n i e fi D .
6 rensias i
i s g n u
f hiper-
n a d k il o b a y n s r e v n i e fi D .
7 rensias i
i s g n u
f se - k
l a i s n e n o p i s a i s n e r e fi D . 8 i s g n u f
logartima.
i s a i s n e r e fi D . 9 k i m ti r a g o l n a
d persa
n a a
m p aar
-k ir t e m . 0
1 Dfierens ial l a i s r a p n a p a r e n e P . 1 1
konsep
dfierensias i
i s g n u f n a p a r e n e P . 2 1
konsep
dfierensial
1 1
F .CekKemampuan
Sebelum mempelajar iModulMAT .TKF201 – 02 i ni , i sliahdengan ( k e c a d n a
t )petranyaan yang menunjukkan kompetens iyang telah : n a k b a w a j g n u g g n a tr e p i d t a p a d n a d r u j u j n a g n e d a w s i s a h a m i k ili m i d b u S i s n e t e p m o
K Pertanyaan
n a b a w a
J BliaJawaban“Ya“ n a k a jr e K aY Tidak
a n u g g n e M , p e s n o k n a k n a d n a r u t a i s a l u p i n a m r a b a jl a m a l a d n a h a c e m e p h a l a s a m i s a i s n e r e fi d i s g n u f . / n a it r e g n e p n a k s a l e j n e m u p m a m a y a S . 1 t a fi s n a d i s a t o n p e s n o
k -sfiat dfieren
-.i s g n u f i s a i s 1 f it a m r o F s e T 1 : r o m o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 2 -
lahan dfierensiasif ungsi ajlaba.r TNeosmFoor rm :2a :ita f,b 1,c ,e
a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 3 -
lahan dfierensiasif ungsi majemuk. TNeosmFoorrm: a2it: ff 1
a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 4 -
lahan dfierensiasif ungs ii mpilsi.t TNeosmFoorrm: a2it : fd 1
a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 5 -
lahan dfierensiasif ungs itirgonometir
dani nversnya.
2 f it a m r o F s e T 0 1 , 9 , 4 , 3 , 2 , 1 : o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 6 -
lahan dfierensiasif ungs ihiperboilkdan
inversnya.
2 f it a m r o F s e T 3 1 , 5 : r o m o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 7 -
lahan dfierensiasif ungs ieksponensia.l TNeosmFoor rm :6a,1it1 f, 122 ,14
a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 8 -
lahan dfierensiasif ungsil ogartima. TNeosmFoor rm :7a,8it, f1 52,16
.
9 Sayadapa tmenyelesaikanpermasa-
lahan dfierensiasil ogartimikdan
persamaanparametirk.
3 f it a m r o F s e T 2 , 1 : r o m o N a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m t a p a d a y a S . 0 1 -
lahan edfi rensia lparsial TNeosmFoorrm: a3it f 3
a d a y a S . 1
1 pa tmenerapkankonsep
h a l a s a m a d a p i s g n u f i s a i s n e r e fi d m u m i n i m / m u m i s k a m n a d s ir t e m o e g .i s g n u f 4 fi t a m r o F s e T 3 , 2 , 1 : r o m o N p e s n o k n a k p a r e n e m t a p a d a y a S . 2 1 s r a p l a i s n e r e fi
d ia ldalam
g n a y n a h a l a s a m r e p n a k i a s e l e y n e m . n a v e l e r 4 f it a m r o F s e T 5 , 4 : r o m o N b a w a j n e m a w s i s a h a m a li b a p
A Tidak makapelajar imoduli ni
b a w a ji d g n a y i r e t a m i a u s e
2 1
II
B
A
B
N
A
R
A
J
A
L
E
B
M
E
P
a w s i s a h a M r a j a l e B a n a c n e R . A
Bualtah rencana kegiatan belaja rdengan mengis itabe ld ibawah .i
a s e l e s h a l e t e s n e s o d a d a p e k r a j a l e b i t k u b h a l a t n i m n a d i n i
n a t a i g e K s i n e
J Tanggal Waktu TBeemlapjaar t PeArluabsaahnan DPoasraen f
i s a t o n n a d , n a it r e g n e P . 1
i s g n u f i s a i s n e r e fi
d .
.2 Dfierensiasif ungs iajlabar . .3 Dfierensiasif ungs imajemuk
.
4 Dfierensiasif ungsii mpilsti
.5 Dfierensiasif ungs itirgono-
mert idani nversnya.
.6 Dfierensiasif ungs ihiperboilk
dani nversnya.
.7 Dfierensiasif ungs iekspo- .l
a i s n e n
.9 Dfierensiasif ungsil ogartima.
. 0
1 Dfierensisil ogartimikdan k ir t e m a r a p n a a m s r e p
. 1
1 Dfierensia lparsial
i s a k il p A . 2
1 dfierensiasif ungsi
i s a k il p A . 3
1 dfierensia lparsial
.r a j a l e B n a t a i g e K . B
1 .KegiatanBelaja r1 :Dfierensiasi Fungs iAjlabar
a .TujuanKegiatanBelaja r1:
1 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i
s g n u
3 1
2 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi .
r a b a jl a i s g n u f
3 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i
s g n u
f majemuk .
4 .) Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi fungs iimpilsti .
b .UraianMate ir 1:
i s a i s n e r e fi D i s a t o N n a d , n a it r e g n e P . )
1 Fungsi.
Deferensias i (De irvaitve /Turunan ) suatu fungs i f(X)
f “ : a c a b ( ) X ( ‘ f n i a l i s g n u f h a l a d
a aksen X ” )yang nliainya
g n a r a b m e s a d a
p blianganXadalah:
f( X+h )– f )(X
’f( X )= ilmi t
ho0 h
t i m il a k i J . a d a g n a m e m t u b e s r e t t i m il a g r a h n a t a t a c n a g n e d
d a g n a m e m t u b e s r e
t a .Jika ilmi ttersebu tmemang ada , maka f
a w h a b n a k a t a k i
d (X )tetrurunkan /terdeferensiasikan /terde ir -.
X i d n a k e v it a v
JikaY f = )(X ,makat urunanpe tramaYt erhadapXdapa t
dY df u
ti
d ilsY ‘=f ' ( X) atau dengan notas iLeibniz: -- --- atau
dX d X
n a n u r u t k u t n u a y n t u j n a l e
S keduadanseterusnya itnggalmenye-
d2Y
u ti a y , n a k i a u
s atau Y”danseterusnya.
dX2
Contoh PenerapanKonsep Dfierensiasi Fungsi .
Untuk mempe jrelas konsep dfierensias i fungs i sebagai -n a k ir e b i d i n i t u k ir e b a k a m , s a t a i d n a k t u b e s i d h a l e t a n a m
4 1
.)
a Jika (fX )=13X– 6 t entukanlah f' )( 4
b a w a
J :f ( X) =13X– 6
(fX+h) – f( X)
f('X )= ilmti
ho0 h ) h + 4 (
f – f( 4 )
ti m il = ) 4 ( '
f
ho0 h
13( 4+h )– 6 – 13( 4 )+6
= ilmi t -
ho0 h
13 .h
= ilmti = ilmi t13 = 1 3
ho0 h ho0 .)
b Carliah f'(C) ijkadiketahuif ( X )=4X2 – 7X+8 b
a w a
J :f ( X )=4X2 – 7X+8
f( X+h )– f( X)
ti m il = ) X ( '
f
ho0 h
f (C+h )– f( C)
ti m il = ) C ( '
f ho0 h
4 (C+h) 2–7( C+h )+8– C(4 2 – 7C+8)
= ilmti -
ho0 h
4C2 +8Ch+ 4h2 – 7C+8– C4 2+7C– 8
ti m il
= ho0 h
C 8 ( ti m il
= – 7 +4h ) = 8 - 7C
ho0
1
)
c . Tentukanlah f('X )ijka (fX )= -
X
1
Jawab: (fX) =
5 1
(fX+h )– )(f X
f('X) = ilmti
ho0 h
1 1 1
f('X) = ilmi t –
ho0 h X+h X
1 X– (X+h )
= ilmti
ho0 h X.(X+h)
– 1
= ilmi t -
ho0 X2 X+ h
– 1
= = – X–2
X2 ====
s u m u
R – RumusDasa rTurunanFungs iAjlabar
Berdasarkan konsep penurunan sebuah fungs imelalu icara a li b a k a m , ) a y n ti m il g n u ti h g n e m ( s a t a i d n a k i a r u i d h a l e t g n a y
: t u k ir e b i a g a b e s r a s a d s u m u r u k a lr e b a t a y n r e t n a k it a h r e p i d
Jika Y=f ( X ) ;U=g( X ) ;V=h( X) dan Y '= f('X)
C=konstanta; n=blianganr lii
1. Y=C Y '=0 2. Y=CX Y '=C
3. Y=Xn Y '=nX n - 1
4. Y=kXn Y '=knXn - 1
5. Y=U+V Y '=U '+V' 6. Y=U– V Y '=U '– 'V 7. Y=U .V Y '=U'V+UV'
U U – 'V U V' 8. Y= Y '=
6 1
Contoh: . )
a JikaY=5 maka Y ’= 0
. )
b JikaY=6X maka Y’ = 6
. )
c JikaY=X7 maka Y ’ = 7X6
. )
d JikaY=8X4 maka Y ’ = 32X3
. )
e JikaY=6X3+7X2 maka Y ’ = 18X2+14X
)f. JikaY=5X4– X3 3 maka Y ’ = 20X3 – X9 2
)g . JikaY = (3X2 – 4X) ( 5X+6 ) maka
Y ’= (6X– 4 ) (5X+6 )+ (3X2 – 4X) ( 5)
=30X2+16X– 24+15X2 – X2 0
=45X2 – 4 – 4X 2
3 – X 5 3 (X2+7 )– 2X (3X– 5 )
)h . Jika Y= - makaY’ =
X2+7 (X2+7 ) 2
– X3 2+10X+21
=
X4+14X2+49
TurunanFungs iMajemuk (Dail lRanta iTurunan )
JikaY= f (U )danU=g (X )makat urunanYt erhadapX:
t a k g n it n u p a p a r e b / g n a r a b m e s k u t n u u k a lr e b i n i p i s n ir
P
. n a k n u r u t i d g n a y i s g n u f n a k u m e j a m e k
h o t n o
C :
a) .Y = (3X 4) 10
Y ’=10 (3X– ) 4 9 .3 = 30 (3X– ) 4 9
= Y . )
b √X2+4X 7 = (X2+4X ) 7 ½ Y
d
= (2X+4 .)½ (X2+4X ) 7 --½ = (X+2 .) (X2+4X– ) 7 -- ½
d X
dY dY dU
= . atau Y’ (X )=Y’ (U ) .U’ ( X)
7 1
Turunan (Dfierensiasi Fungs i )I mpilsti
Jika Y = X2 + 5X + 6 ;Y t erde ifnisikan sepenuhnya oleh X ,
Y a k a
m disebu tsebaga ifungs i “ekspilsti ”dar i X .Tetap iada X n a g n e d Y n a k h a s i m e m ) u lr e p k a d it ( t a p a d k a d it a ti k a y n a l a k
m a l a
d rumus yang berbeda misalnya pada bentuk :
X2 +2XY +3Y2= 4 .Dalamha lsemacam i n idikatakan Ysebaga i
) X ( f = Y k u t n e b m a l a d n a g n u b u h a n e r a k , X i r a d t i s il p m i i s g n u f
. a y n m a l a d i d t a ri s r e t i p a t e t g n u s g n a l a r a c e s k a p m a t k a d it
d Y
h o t n o
C :Tentukanlah dar if ungsi-fungs ibe irkuti n.i
d X
a X) . 2 Y+ 2 =100
)b X . 2 Y+ 2 2 X 6Y+5 = 0
b a w a
J : )a X. 2 Y+ 2=100
d Y
2X+2Y 0=
d X
d Y
2Y = X2
Xd
dY X 2 X
= = -
d X Y 2 Y
b X.) 2 Y+ 2 – 2 – X 6X+5=0
dY dY
2X+2Y – 2 – 6 0=
dX dX
d Y
(2Y– )6 = – X2 2
d X
dY 2– 2X 1 – X
= =
8 1
c .Rangkuman 1 :
. )
1 Pengeritan danNotas iDfierensiasi Fungsi.
Deferensias i (De irva itve /Turunan ) suatu fungs i f(X) a y n i a li n g n a y ) ” X n e s k a f “ : a c a b ( ) X ( ‘ f n i a l i s g n u f h a l a d a
b m e s a d a
p arang blianganXadalah:
(fX+h )– )(fX
’f( X )= ilmi t
ho0 h
JikaY f = )(X ,makat urunanpe tramaYt erhadapXdapa t
dY df u
ti
d ils Y ‘=f ' ( X) atau dengannotas iLeibniz :--- -- atau
d X d X
2) .DfierensiasiFungs iAjlabar
Jika Y=f ( X ) ;U=g( X ) ;V=h( X) dan Y '= f('X) sedang li
ir n a g n a li b = n ; a t n a t s n o k =
C makabe lrakur umusdasar:
.)
a Y=C Y '=0 .
)
b Y=CX Y '=C
. )
c Y=Xn Y '=nX n - 1
. )
d Y=kXn Y '=knXn - 1
. )
e Y=U+V Y '=U '+V' .
)f Y=U– V Y '=U '– 'V .
)
g Y=U .V Y '=U'V+UV'
U U – 'V U V' .
)
h Y= Y '=
9 1
3 ) .Dfierensiasi uF ngs iMajemuk danFungsiI mpilsti
JikaY= f (U )danU=g (X )makat urunan Yt erhadapX:
n a k u m e j a m e k t a k g n it g n a r a b m e s k u t n u u k a lr e b i n i p i s n ir
P .
Jika Y sebaga ifungs iimpilsi tdar iX ,karena hubungan g
n a l a r a c e s k a p m a t k a d it ) X ( f = Y k u t n e b m a l a
d sung tetap i
n a g n e d i r a c i d X p a d a h r e t Y n a n u r u t a k a m a y n m a l a d i d t a ri s r e t
. X p a d a h r e t t u b e s r e t n a a m a s r e p u k u s a u m e s n a k n u r u n e m
d .Tugas1:
h a l n a k u t n e
T ut runanda irf ungsi-fungs id ibawahi n i :
1) .Y= X5 – X4 3+ 3X2 – 6X+10
3 3 – 2 X =
Y . )
2 X + – 3⅔ X 7) .Y=
X 3 – X2
3 .) Y=( 3X2+4X– 3)(.5X– )7 8) .Y=5 (X2 – 3X+2) 3 4 .) Y= (4– 6X) 7 ( + –7X+4 )– 6 9) . (X2+2XY+3Y2 )=4
5) . (X–Y )3– 3 (X+Y )=0 10) . X3+Y3+4XY2=5
6) . X3 Y+ 3 – X4 2Y+5X+6Y=8
e .Tesf ormatfi1 :
1 J) . elaskanpengeritandfierensiasif ungsil engkapdengan !
a y n i s a t o n
2 .)Tentukanlah Y ‘t(urunan) dairf ungsi–fungs ibe irkuti n i !
5 X + 6
a ) .Y=2X4 – 6X3 + 7X2 – 9 1X 2 + e) .Y= -
1 – 4 X
7
b .) Y 4= X – + ½5 X – 8 f .)Y 7 X= ( 2 2+ X – 3)5
X
c .) Y= (7X2 – 3X 5+ ( ) 2 X – 4 )
d ) 4X . 3 + 2Y3 + 5 YX 2 – 3X2Y – 7 X – 6Y 9 =
dY dY dU
= . atau Y’ (X )=Y’ (U ) .U’ ( X)
0 2
.f Kunc iJawabTesFormatfi : 1
1) .Deferensias i(De irvaitve/Turunan) suatu f ungsi f(X) adalah X n a g n a li b g n a r a b m e s a d a p a y n i a li n g n a y ) X ( ‘ f n i a l i s g n u f
: h a l a d
a
(fX+h )– )(fX
’f( X )= ilmi t
ho0 h
JikaY f = )(X ,makat urunanpe tramaYt erhadapXdapa t
dY df u
ti
d ils Y ‘=f ' ( X) taau dengannotas iLeibniz :--- -- atau
dX d X
2 .) Turunanpe trama Y t erhadap X adalah Y‘
a .) Y‘ =8X3 – 81 X2 + 41 X – 9
b .) Y‘ = 4X–½ + 7X–2 + ½5
2 4 = ‘ Y . )
c X2 – 86 X+22
12X2 – Y6 + YX 5 2 – 7
= ‘ Y . )
d -
3 X2 – 10XY – +6 Y 6
2 9
.e) Y‘ = -
( – 1 4X) 2
f .) Y ’=(X2+2X– 3)4(70X2+70)
2 . KegiatanBelaja r2 : Dfierensiasi Fungs i– fungsi Transenden
a .TujuanKegiatanBelaja r2 :
M .)
1 ahasiswa dapa tmenyelesaikanpermasalahandfierensiasi i
s g n u
f t irgonomert idan i nversnya. .
)
2 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i
s g n u
1 2
. )
3 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i
s g n u
f eksponensial . .
)
4 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi i
s g n u
f logartima . .
)
5 Mahasiswa dapa tmenyelesaikan permasalahan dfierensiasi .
k ir t e m a r a p n a a m a s r e p n a d k i m ti r a g o l
i s g n u F i s a i s n e r e fi D : 2 ir e t a M n a i a r U .
b – fungsi Transenden
Dfierensiasi Fungs iT irgonometr i
Sesua i dengan konsep dasa r penentuan dfierensias i n a k i a r u i d h a l e t a n a m i a g a b e s i s g n u f h a u b e s ) n a n u r u t(
s u m u r h e l o r e p i d i rt e m o n o g ir t m a l a d i d a k a m , a y n m u l e b e
s -rumus
t u k ir e b i a g a b e s i rt e m o n o g ir t i s g n u f n a n u r u t r a s a
d :
1). Y=sin X o ’Y =cos X
2). Y=cos X o ’Y =sin X
3). Y=t g X o ’Y =sec2 X
4). Y=cotg X o ’Y =cosec2 X
5). Y=sec X o ’Y =sec X. t g X
6). Y=cosec X o ’Y =cosec X .cotg X
Dar ikeenam rumus dasart ersebut ,sebenarnya yang pe lru r o m o n n a d 1 r o m o n s u m u r h a l a y n a h a m a t u n a it a h r e p t a p a d n e m
i r a d n a k n u r u ti d t a p a d a y n s u r e t e s n a d 3 r o m o n k u t n u b a b e s , 2
a r a t n a n a g n u b u h t a g n i g n e m n a g n e d u ti a y , 2 n a d 1 r o m o n
i s g n u
f -fungsit ersebu t ,misalnya :
1 X s o c X n i
s 1
= X g
t ; cotgX= - ; secX= ;dan cosecX=- ---- -
X n i s X s o
2 2
Selanjutnya untuk penyelesaian persoalan-persoalan yang r a b a jl a i s a r e p o i a g a b r e b n a k t a b il e m g n a y s k e l p m o k h i b e l
i s g n u f n a d n a i g a b m e p , n a il a k r e p , n a g n a r u g n e p , n a h a l m u j n e p (
s u m u r a k a m , ) k u m e j a
m -rumus yang terdapa t pada Bab II
n a k a n u g i d t a p a d p a t e t ) r a b a jl A i s g n u F i s a i s n e r e fi D (
Contoh :
1 .) Jika Y = cosX+3sinX 4t gX ,maka
d Y
- = Y ’= sinX +3cos X 4sec2 X
Xd
X 5 ( n i s = Y . )
2 3 X3 2 +4X 2 )
Y’ = (15X2 6X + 4) . cos (5X3 X3 2 +4X + 2 )
n i s = Y .)
3 5 X
= 5 sin4 X .cos X
4) .Y = cos 3X .t gX Y
d
-= 3sin3X .t g2X + cos 3X .2sec2 X2
X d
= – 3sin3X t.g 2X +2 cos 3X .sec22 X
sin 5X
5) .Y =
4X + 1
5cos5X . (4X +1 )– 4 sin5X
Y ‘=
(4X + 1) 2
(20X+5) . cos5X 4sin 5X
=
3 2
Dfierensias iInvers Fungs iT irgonomet ir
Invers dar i fungs i t irgonome rt iY = sin X dapa t dtiuils i
a g a b e
s Y = sin 1X atau Y = arcus sin X yang biasa
n i s i
d gkat Y = arc .sin X , selanjutnya i nvers dar i Y = cos X s
il u ti
d Y = cos 1 X atau Y = arc .cos X dan invers da ir
s il u ti d X . g t =
Y Y= t g 1X atauY=arc.t g X
Pada bentuk Y = sin X permasalahannya yatiu mencar i , a y n r a s e b i u h a t e k i d h a l e t g n a y t u d u s u t a u s i r a d s u n i s a g r a h
r a s e b n a k u t n e n e m i tr a r e b X n i s c r a = Y a y n s r e v n i n a k g n a d e s
. a y n s u n i s a g r a h i u h a t e k i d h a l e t g n a y t u d u s
Adapunr umusuntukmenentukan turunannya adalah :
dY 1
1) .Y=arcsinX o = -
dX ( – X1 2)
dY – 1
2). Y=arc.cos X o = -
dX ( – X1 2)
dY 1
3) .Y=arct.g X o =
dX 1 + X2
Contoh :
dY 5 .1 5
1 .Y=arc .sin 5Xo = =
dX 1- (5X)2 1 – X25 2
dY 3 .– 1 – 3
2 .Y=arc.cos 3Xo = = -
dX 1 – (3X)2 1 – X9 2
dY 4 4
3 .Y=arc.t g 4X o = =
4 2
Dfierensiasi Fungsi Hiperboilk
Fungs i hiperboilk adalah fungs i yang mem ilik i sfiat-sfia t a d a p a d e b r e b i p a t e t , ir t e m o n o g ir t i s g n u f n a g n e d a p u r e s
h a u b e s a y n n a r a s a s i rt e m o n o g ir t i s g n u f u a l a K . a y n a r a s a s
p k il o b r e p i h i s g n u f n u m a n , n a r a k g n
il ada sebuah hiperbola.
Pada fungs it irgonomert idikena ladanya sinus ,cosinus , a y n a d a l a n e k i d a g u j k il o b r e p i h i s g n u f a d a p a k a m , n e g n a t n a d
s u n i
s -hiperboilk (sinh ) ,cosinus-hiperboilk (cosh ) ,dan t angent -a
k i s i n if e d i d g n a y , ) h g t ( k il o b r e p i
h n sebagai :
eX– e–X eX e+ –X eX– e–X
sinhX= ; coshX= dan tghX =
2 2 e X e+ –X Dengan demikian diperolehlah rumus-rumus dasa rturunan
: t u k ir e b i a g a b e s k il o b r e p i h i s g n u f
Y d
1) .JikaY=sinhX o = coshX
X d
Y d
2) .JikaY=coshX o = coshX
X d
d Y
)
3 .JikaY = t gh X o = sech2 X
X d
d Y
h o t n o
C :Tentukanlah da ir:
Xd
1. Y=sinh3X+4coshX 2. Y=X2sinhX
5 2 b
a w a
J :
1 .) Y = sinh3X+4coshX Yd
=3cosh3X+4sinhX X
d
X = Y )
2 2.sinh X
d Y
=2XsinhX+X2coshX
d X
Y . )
3 = 5cosh( 3X– )1 d Y
= 5.3sinh( 3X– )1 d X
= 15sinh( 3X– )1
Dfierensias iI nversFungs iHiperboilk
Sepe tr ihalnya padaf ungsit irgonome rt,if ungs ihiperboilkpun a
g u
j mempunya i i nvers . Jika Y = sinh X maka i nversnya
h n i s =
Y – 1X atau Y = arc sinh X , dan Y = cosh X
a y n s r e v n
i Y = arc .cosh X atau Y =
