MEDAN ELEKTROMAGNETIK RELATIVISTIK BINTANG NEUTRON STASIONER

(1)

MEDAN ELEKTROMAGNETIK RELATIVISTIK

BINTANG NEUTRON STASIONER

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian syarat memperoleh Derajat Sarjana S-1 Program Studi Fisika

Moh. Alifaki 07620008

PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA

(2)

MEDAN ELEKTROMAGNETIK RELATIVISTIK

BINTANG NEUTRON STASIONER

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian syarat memperoleh Derajat Sarjana S-1 Program Studi Fisika

PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA

(3)

(4)

SURAT PtrRNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Yang beftandatangan di bawah ini:

Nama NIM Prodi/Smt Fakultas : Moh. Alilaki : 07620008 : Irisika / XVI r Sains dan Teknologi

Dengan ini saya menyatakan bahwa sk psi ini tidak terdapat karya yang pernah diaiukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan

di

suatu perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pemah ditulis atau diterbitkan orang lain. kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 08 Juli 2015

Moh. Alilaki NIM.07620008

(5)

ij)jf1

t niversitas lslam Negeri Sunan Kaliiaga FM-UINSK-BM-05-03/RO

Wassalant blbikun wr

wb-Yoqyakarta, 8 luli 2015 :'A] CERI

SURAT PERSETUIUAN SKRIPSI/TUGAS

AK}IIR

Hal

: Pengajuan Munaqosyah

lamp

: Kepada

Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknoloqi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta

di Yogyakarta

Assalamu'alaikufi wn _M.

Setelah membaca, meneliti, memberikan petuniuk dan mengoreki serta mengadakan p€rbaikan seperlunya, maka kami selaku pembimbing berpendapat bahwa skipsi Saudara:

Nama NIM ludul Skipsi

: I{ Ali Fakih : 07620008

: Medan Eleldromagnebk Relatividik Bintang Neutron Stasioner

sudah dapat diajukan kembali kepada Program Studi Fisika Fakult"s Sains dan Teknologi lJtN Sunan Kalijaga

Yogyakata s€bagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu dalam Program Sbidi Fisika Dengan ini kami mengharap agar skripsi/tugas akhir Saudara tersebut di atas dapat segera dimunaqsyahkan. Atas perfiatiannya kami ucapkan terima kasih.

(6)

Skripsi ini saya persembahkan kepada keluarga besar:

Embu’ Maryati Ema’ Rusipa

Almarhum Eppa’ Asyikurrahman

(7)

KATA PENGANTAR

Atas rampungnya skripsi berjudul “Medan Elektromagnetik Relativistik Bintang Neutron Stasioner” ini, penulis bersyukur ke hadirat Allah Subhanahu wa-Ta’ala dan semoga shalawat serta salam Allah tetap tercurahkan ke haribaan Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi wa-Sallam. Skripsi ini penulis persembahkan kepada ibu dan almarhum ayah tercinta – semoga Allah mengampuni dosa dan mengangkat derajat beliau berdua.

Hormat dan terima kasih penulis haturkan kepada Bapak Dr. rer. nat. Muhammad Farchani Rosyid dan Ibu Atsnaita Yasrina, M. Sc. yang senantiasa sabar dalam membimbing dan menyuntikkan semangat kepada penulis. Dan terima kasih pula saya ucapkan Bapak Joko Purwanto, M. Sc. yang sudi meluangkan waktu untuk menguji dan mengoreksi skripsi ini. Kepada para guru fisika penulis yang tidak bisa disebutkan satu-persatu, semoga ilmu yang penulis dapatkan dari beliau semua menjadi amal jariyah.

Terima kasih juga penulis ucapkan kepada keluarga besar penulis, dan kepada para guru serta teman-teman penulis di SDN 204 Kerta Timur Dasuk Sumenep, MTs 1 Annuqayah Guluk-Guluk Sumenep, SMA 1 Annuqayah Guluk-Guluk Sumenep, Pesantren At-Taqwa Kerta Timur Dasuk Sumenep (asuhan almarhum KH. Abd. Kahar), Pondok Pesantren Annuqayah Daerah Lubangsa Guluk-Guluk Sumenep (asuhan KH. A. Warits Ilyas), Pondok Pesantren Mahasiswa Hasyim Asy’arie Cabeyan Bantul (asuhan almarhum KH. Zainal Arifin Thoha), Pondok Pesantren Maulana Rumi Sewon Bantul (asuhan K. Kuswaidi Syafi’ie), dan Program Studi Fisika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga.

Secara khusus penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Yuli Annisah, M. Si. yang telah memberikan banyak hal kepada penulis, termasuk laptop tempat skripsi ini dituliskan. Tidak lupa juga kepada beberapa pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu-persatu yang telah berdoa, menasehati dan menyemangati penulis di kala penulis merasa pesimis untuk lulus kuliah.

Yogyakarta, 03 Agustus 2015

(8)

MEDAN ELEKTROMAGNETIK RELATIVISTIK BINTANG NEUTRON STASIONER

Intisari

Telah dirumuskan persamaan medan elektromagnetik relativistik untuk bintang neutron stasioner dengan batasan konduktivitas di dalam bintang berhingga dan seragam serta medan magnet yang dikaji hanya medan magnet internal bintang. Hasilnya adalah tiga komponen persamaan medan elektromagnetik relativistik bintang neutron stasioner, yaitu komponen radial, komponen polar dan komponen toroidal.

(9)

RELATIVISTIC ELECTROMAGNETIC FIELD OF THE STATIONARY NEUTRON STAR

Abstract

Equation of relativistic electromagnetic field toward stationary neutron star has been formulated with constraint conductivity within finite and uniform star’s interior and the studied magnetic field is only internal magnetic field of the star. The result which is identified for component equation of relativistic electromagnetic field in stationary neutron star has revealed three findings: redial component, polar component and toroidal component.

(10)

DAFTAR ISI PENGESAHAN...iii HALAMAN PERNYATAAN...iv MOTTO...v KATA PENGANTAR...vi INTISARI...vii ABSTRAK...viii DAFTAR ISI...ix BAB I. PENDAHULUAN......1

1.1. Latar Belakang Masalah...1

1.2. Rumusan Masalah...4

1.3. Tujuan Penelitian...4

1.4. Batasan Penelitian...4

1.5. Manfaat Penelitian...5

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA...6

2.1. Studi Pustaka...6

2.2. Landasan Teori...7

2.2.1. Bintang Neutron...7

2.2.1.1. Kelahiran, Kehidupan dan Kematiannya...7

2.2.1.2. Struktur Lapisan...10

2.2.1.3. Medan Magnet...12

2.2.2. Teori Relativitas Umum dan Persamaan Maxwell...14

2.2.2.1. Tensor Kontravarian dan Tensor Kovarian...14

2.2.2.2. Tensor Metrik...16

2.2.2.3. Hubungan Tensor Kovarian dan Tensor Kontravarian...18

2.2.2.4. Kerapatan Tensor...20

(11)

2.2.2.6. Simbol Christoffel...25 2.2.2.7. Turunan Kovarian...28 2.2.2.8. Geodesik...29 2.2.2.9. Tensor Kurvatur...36 2.2.2.10. Ruang-Waktu Schwarzschild...38 2.2.2.11. Persamaan Maxwell...45

2.2.2.12. Tensor Kuat-Medan Elektromagnetik dan Persamaan Maxwell...48

BAB III. METODE PENELITIAN...52

3.1. Alat dan Bahan...52

3.2. Prosedur Kerja...52

3.3. Analisis Hasil...56

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN...55

4.1. Hasil...55

4.2. Pembahasan...58

4.2.1. Persamaan Maxwell I...60

4.2.2. Persamaan Maxwell II...69

4.2.3. Dinamika Medan Elektromagnetik Relativistik Bintang Stasioner..79

4.2.3.1. Medan Listrik...79

4.2.3.2. Dinamika Medan Magnet...80

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN...82

5.1. Kesimpulan...82 5.2. Saran...82 DAFTAR PUSTAKA...84 LAMPIRAN A...86 LAMPIRAN B...98 LAMPIRAN C...116 LAMPIRAN D...121

(12)

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Bintang neutron merupakan kelompok bintang kompak di alam semesta. Kekompakan bintang neutron tersebut bisa dilihat dari besar massa dan rapat massanya. Jika dibandingkan dengan Matahari, masa bintang neutron adalah M ∼ 1-2

M⊙ (M⊙ = 2 × 1033 kg) dengan radius hanya R ≈ 10-14 km. Adapun rapat massanya

tidaklah seragam. Di luar intinya, kerapatan bintang neutron tiga kali lebih rapat dibanding inti atom (ρ0 = 2.8 x 1014 g cm-3), yaitu ρ ∼ 1015 g cm-3. Sedangkan rapat inti bintang neutron besarnya lebih dari ρ0 (Potekhin, 2011).

Oleh karena kekompakan bintang neutron itulah maka, untuk mengkajinya secara realistis, TRU (Teori Relativitas Umum) harus digunakan. Kekompakan sebuah objek relativistik ditentukan oleh parameter xg = rg/R, dengan rg = 2GM/c2 = 2.95

M/M⊙ disebut radius Schwarzschild (Potekhin, 2011). Misalnya untuk bintang neutron

kanonik yang punya M = 1.4 M⊙ dan R = 12 km, maka rg = 4.13 km dan xg = 0.34. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa parameter kekompakan bintang secara umum

xg ≪ 1. Artinya, jika xg = 1 adalah adalah 100%, maka nilai parameter 0.34 menunjukkan bintang neutron kanonik punya efek relativistik 10%.

Sementara itu, bintang neutron dikenal memiliki medan magnetik yang paling kuat di alam semesta (Potekhin, 2011). Besar medan magnet di permukaannya sekitar 𝐵~108− 1013𝐺, sedangkan di bagian dalamnya mencapai 𝐵~1015𝐺 (Bhattacharya, 2002). Umur medan magnet bintang neutron ± 15 × 109 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛, lebih lama dibanding umur alam semesta ± 13 × 109 tahun (Potekhin, 2011). Namun anomali tersebut segera dapat teratasi, karena medan magnet bintang neutron menyusut secara dramatis, yaitu dari 𝐵~1012_{𝐺 menjadi 𝐵~10}8_{𝐺 dalam skala waktu 5 × 10}6_tahun

(Zhang, 1997). Diduga bahwa penyusutan medan magnet ini disebabkan oleh tiga hal, yaitu ekspulsi spindown-induksi fluks, evolusi ohmik pada kerak dan peristiwa akresi

(13)

atau “memakannya” bintang neutron terhadap materi-materi di sekitar permukaannya atau terhadap bintang kawanannya untuk bintang neutron sistem ganda (Bhattacharya, 2002).

Secara logis, memang tidak mungkin elemen alam semesta seperti medan magnet bintang neutron berumur lebih lama dibanding alam semesta itu sendiri. Seluruh elemen alam semesta sudah ditetapkan ukurannya masing-masing oleh Allah Subhanahu Wa Ta’ala, dengan ukuran yang tidak mungkin menyalahi akal sehat manusia. Sebelum manusia menyadari hal tersebut, jauh-jauh hari Allah Subhanahu Wa Ta’ala sesungguhnya sudah mengisyaratkannya dalam al-Qur’an surah al-Qomar [54] ayat 49 (Depag RI, 2007):

“Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu dengan ukuran”.

Dan di dalam al-Qur’an surah al-Jaatsiyah [45] ayat 13 (Depag RI, 2007), Allah Subhanahu Wa Ta’ala berfirman:

“Dan Dia menundukkan untukmu apa yang ada di langit dan apa yang ada di

bumi semuanya (sebagai rahmat) daripadaNya. Sesungguhnya pada yang demikian itu benar-benar terdapat tanda-tanda (kekuasaan Allah) bagi kaum yang berpikir”.

Dalam (QS 54: 49), Allah Subhanahu Wa Ta’ala menegaskan bahwa tidak ada satu pun elemen alam semesta yang tidak terukur. Hanya saja Allah Subhanahu Wa Ta’ala membebaskan kepada manusia berpikir tentang “alat ukur” macam apa yang dapat dipakai untuk mengukur ukuran elemen alam semesta yang telah ditetapkan oleh Allah Subhanahu Wa Ta’ala tersebut. Alat ukur yang manusia pakai untuk mengukur elemen alam semesta, dalam konteks ini bintang neutron, adalah teori-teori fisika yang sudah difalsafikasi (sudah memenuhi standar-standar logis konvensional).

(14)

alam semesta tidak akan pernah bertentangan dengan akal sehat manusia, karena dengan kasih-sayangNya, pada mulanya Allah Subhanahu Wa Ta’ala telah “menundukkan” alam semesta ini kepada manusia. Kalau manusia tidak mampu memahami anomali dari “ukuran” alam semesta bukan berarti Allah Subhanahu Wa Ta’ala menyembunyikannya (tidak “menundukkan”), tetapi pasti alat ukur yang digunakan oleh manusia tersebut bermasalah.

Sekarang sudah ditemukan sumber pemecah anomali dari umur medan magnet bintang neutron tersebut, yakni bahwa medan magnet bintang neutron menyusut. Dengan adanya gejala penyusutan medan magnet bintang neutron yang ditengarai dikarenakan peristiwa akresi bintang neutron terhadap bintang kawanannya menjadi alasan logis tentang bahwa umur medan magnet bintang neutron tidak mungkin melebihi umur alam semesta. Di sini berarti alat ukur fisis yang digunakan untuk menelaah medan magnet bintang neutron sudah benar, karena dengan alat ukur tersebut fenomena medan magnet bintang neutron menjadi logis.

Berangkat dari kenyataan tersebut, cara untuk mengetahui penyusutan medan magnet bintang neutron, diperlukan persamaan dinamika medan magnet pada bintang neutron itu sendiri. Dalam rangka memperoleh persamaan dinamika medan magnetik bintang neutron, para peneliti sebelumnya menggunakan beberapa model dan batasan. Ada yang membatasi medan magnetik bintang neutron dalam dua dimensi (bintang dianggap flat), ada yang membatasi untuk bintang neutron non-relativistik stasioner, ada yang membatasi untuk bintang neutron relativistik berotasi lambat, dan ada juga yang membatasi untuk bintang neutron non-relativistik berotasi cepat.

Di dalam penelitian ini, akan dikaji dinamika medan magnetik (yang digambarkan oleh persamaan Maxwell) bintang neutron yang stasioner dalam kerangka TRU. Ini dimaksudkan untuk memperoleh gambaran tentang bagaimanakah dinamika medan elektromagnetik pada bintang neutron stasioner. Hasilnya diharapkan dapat membantu untuk merumuskan persamaan penyusutan medan elektromagnetik relativistik bintang neutron stasioner pada penelitian-penelitian berikutnya di masa mendatang.

(15)

Tidak hanya itu, hasil rumusan yang diperoleh dalam penelitian ini nantinya diharapkan dapat dipergunakan sebagai bahan kajian pengembangan perumusan dinamika medan elektromagnetik relativistik pada bintang neutron non-stasioner, baik berotasi lambat maupun berotasi cepat. Kajian tersebut diharapkan mengandaikan bagian luar bintang terdapat materi sedemikian sehingga memungkinkan adanya proses akresi. Hal ini dibutuhkan karena peristiwa akresi diduga menjadi penyebab utama menyusutnya medan magnet di bintang neutron.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas, maka permasalahan yang akan diteliti dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut:

Bagaimana rumusan persamaan dinamika medan magnet relativistik bintang neutron stasioner?

1.3. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka penelitian ini memiliki tujuan, yaitu untuk merumuskan persamaan dinamika medan elektromagnetik relativistik bintang neutron stasioner.

1.4. Batasan Penelitian

Untuk mencapai tujuan yang diinginkan, maka batasan penelitian ini ditentukan sebagai berikut:

1. Konduktivitas listriknya berhingga dan di dalam bintang bernilai seragam. 2. Medan magnet yang dikaji hanyalah medan magnet internal bintang

neutron.

3. Bintang neutron dalam keadaan stasioner. 4. Bintang neutron tidak mengakresi.

(16)

1.5. Manfaat Penelitian

Setelah penelitian ini sudah dilakukan, maka hasil yang diperoleh diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain:

1. Memberikan pemahaman yang lebih luas khususnya kepada peneliti sendiri tentang teori medan elektromagnetik relativistik dalam penerapannya terhadap bintang neutron stasioner.

2. Dapat dipergunakan sebagai pedoman untuk memformulasikan persamaan penyusutan medan magnet bintang neutron yang selama ini menjadi isu krusial dalam astrofisika.

3. Dapat dipergunakan sebagai bahan kajian pengembangan perumusan dinamika medan elektromagnetik bintang neutron relativistik non-stasioner, baik yang berotasi lambat maupun berotasi cepat, serta menyusutnya medan magnet bintang neutron yang diduga diakibatkan oleh aktivitas akresi bintang.

(17)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan pada tujuan penelitian ini, maka rumusan dinamika medan elektromagnetik relativistik bintang neutron stasioner disajikan oleh persamaan (4.94) untuk komponen radial, persamaan (4.95) untuk komponen polar, dan persamaan (4.96) untuk komponen toroidal. Penelitian ini hanya menghasilkan persamaan dinamika medan elektromagnetik pada bintang neutron stasioner. Oleh karenanya persamaan ini tidak dapat digunakan untuk menghitung penyusutan medan magnet bintang neutron. Akan tetapi persamaan ini sangat penting, karena persamaan ini dapat membantu para peneliti lain di masa mendatang untuk memformulasikan persamaan penyusutan medan magnet pada bintang neutron yang selama ini menjadi isu krusial dalam astrofisika.

5.2. Saran

Kajian penelitian ini masih dibatasi pada tiga ruang lingkup, yaitu medan magnet internal bintang neutron, konduktivitas listrik di dalam bintang bernilai seragam, dan bintang neutron dianggap stasioner. Oleh karena itu, maka peneliti merekomendasikan beberapa saran untuk penelitian-penelitian berikutnya, yaitu:

1. Merumuskan persamaan penyusutan medan magnet bintang neutron stasioner berdasarkan pada hasil persamaan dinamika medan elektromagnetik relativistik bintang neutron stasioner di penelitian ini. 2. Merumuskan persamaan dinamika medan elektromagnetik relativistik pada

bintang neutron stasioner dengan menganggap konduktivitas listriknya di dalam bintang tidak seragam.

3. Merumuskan persamaan dinamika medan elektromagnetik relativistik pada bintang neutron stasioner dengan menggunakan ruang-waktu eksternal

(18)

4. Merumuskan persamaan dinamika medan elektromagnetik relativistik pada bintang neutron stasioner bila dianggap ada perpindahan arus dari luar bintang ke dalam bintang.

5. Merumuskan persamaan dinamika medan elektromagnetik relativistik pada bintang neutron non-stasioner, baik berotasi lambat maupun berotasi cepat, baik adanya perpindahan arus atau tidak.

6. Merumuskan persamaan dinamika medan elektromagnetik baik pada bintang neutron stasioner maupun non-stasioner menggunakan ruang-waktu bermetrik elipsoid, mengingat pada kenyataannya kontur bintang bukanlah simetri bola, akan tetapi elipsoidal.

(19)

DAFTAR PUSTAKA

Bhattacharya D. 2002. Evolution of Neutron Stars Magnetic Fields. The Astrophysical Journal. Astr.

Boas, Mary L. 1983. Mathematical Method in the Physical Sciences. USA: John Wiley & Sons.

Camenzind, M. 2007. Compact Objects in Astrophysics White Dwarfs, Neutron Stars,

and Black Hole. Verlag Berlin Heidelberg: Springer.

Cumming, A., Zweibel, E., dan Bildsten, L. 2001. Screening in Accreting Neutron

Stars. http://www.arXiv.astro-ph/0102178.

Departemen Agama RI. 2007. Al-Qur’an dan Terjemahannya: Al-Jumanatul Ali,

Seuntai Mutiara yang Maha Luhur. Jakarta: CV Penerbit 3-ART.

Glendenning, Norman K. 2000. Compact Star: Nuclear Physics, Particle Physics and

General Ralativity. Verlag Berlin Heidelberg: Springer.

Haensel. P. Dkk. 2007. Neutron Stars 1 Equation of State and Structure. New York: Springer.

Hidayat, Taufiq. 2010. Teori Relativitas Einstein: Sebuah Pengantar. Bandung: Penerbit ITB.

Hoyng, Peter. 2006. Relativistics Astrophysics and Cosmology. New York: Springer. Page, D., Geppert, U., dan Zannias, T. 2000. General Relativistic Treatment of The

Thermal, Magnetic and Rotational Evolution of Isolated Neutron Stars With Crustal Magnetic Fields. Astron-Astrophys 2-1066.

Potekhin, A. Y. 2011. The Physics Of Neutron Stars. Astro-ph. SR, 1235-1256. Purwanto, Agus. 2009. Pengantar Kosmologi. Surabaya: ITS Press.

Rezolla, Luciano & Ahmedov, Bobomurat J. 2004. Elecromagnetic Fields in the

Exterior of an Oscillating Relativistic Star – I. General Expressionas and Application to a Rotating Magnetic Dipole. Mon. Not. Astron. Soc. 000, 1-21.

(20)

Stephani, Hans. 2004. Relativity: An Introduction to Special and General Relativity. Edinburgh: Cambridge University Press.

Sutantyo, Winardi. 2010. Pengantar Astrofisika: Bintang-Bintang di Alam Semesta. Bandung: Penerbit ITB.

Tauris & Heuvel, van den. 2006. Compact Stellar X-Ray Sources. London: Cambridge University Press.

Yasrina, Atsnaita. 2013. Tentang Medan Elektromagnetik Relativistik di Bintang

Neutron yang Berotasi Lambat (Tesis). Yogyakarta: Jurusan Fisika FMIPA

(21)

LAMPIRAN A

PENURUNAN PERSAMAAN MAXWELL I

Geometri bintang neutron stasioner diberikan oleh

𝑑𝑠2 = −𝑒2𝜙(𝑟)𝑑𝑡2+ 𝑒2Λ(r)𝑑𝑟2+ 𝑟2𝑑𝜃2+ 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑𝜑2 (A.1) dengan 𝑔_𝛼𝛽 = [ 𝑔00 𝑔01 𝑔₁₀ 𝑔₁₁ 𝑔02 𝑔03 𝑔₁₂ 𝑔₁₃ 𝑔₂₀ 𝑔₂₁ 𝑔₃₀ 𝑔₃₁ 𝑔₂₂ 𝑔₂₃ 𝑔₃₂ 𝑔₃₃ ] = [ −𝑒2𝜙(𝑟) 0 0 0 0 𝑒2Λ(r) 0 0 0 0 𝑟2 0 0 0 0 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃 ] (A.2)

dan nilai tiap komponen tak-nolnya

𝑔₀₀= −𝑒2𝜙(𝑟) 𝑔₁₁ = 𝑒2Λ(r)

𝑔₂₂ = 𝑟2 𝑔₃₃= 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃.

(A.3)

(22)

𝑔 = 𝑑𝑒𝑡 |𝑔_𝛼𝛽| = −𝑒2𝜙(𝑟)[𝑒 2Λ(r) ₀ ₀ 0 𝑟2 0 0 0 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃 ] = −𝑒2𝜙(𝑟){𝑒2Λ(r)𝑟4𝑠𝑖𝑛2𝜃} = −𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟4_𝑠𝑖𝑛2_𝜃 (A.4) dan √−𝑔 = √𝑒2(𝜙+Λ)(𝑟)𝑟4_𝑠𝑖𝑛2_{𝜃 = 𝑒}[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃} (A.5)

Dari kenyataan bahwa

𝑑𝑠2 _{= −𝑐}2_𝑑𝑡2_{+ 𝑑𝑥}2 _{+ 𝑑𝑦}2_{+ 𝑑𝑧}2

maka diketahui kecepatan medan kovarian dan kontravarian

𝑢₀ = 𝑒𝜙(𝑟)(−1,0,0,0) 𝑢0 _{= 𝑒}−𝜙(𝑟)_(1,0,0,0).

(A.6)

Sementara itu, Persamaan Maxwell I seperti ditunjukkan oleh persamaan (2.131). Dari persamaan tersebut, dibutuhkan perhitungan tensor kuat-medan elektromagnetik yang persamaannya diberikan oleh (2.141)

𝐹𝛼𝛽 = 2𝑢[𝛼𝐸𝛽]+ 𝜂𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿= 𝑢𝛼𝐸𝛽− 𝑢𝛽𝐸𝛼+ √−𝑔𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿

𝐹_𝛽𝛼 = 2𝑢_[𝛽𝐸_𝛼]+ 𝜂_{𝛽𝛼𝛾𝛿}𝑢𝛾_𝐵𝛿 _{= 𝑢}

𝛽𝐸𝛼− 𝑢𝛼𝐸𝛽+ √−𝑔𝜖𝛽𝛼𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿

= −(𝑢_𝛼𝐸_𝛽− 𝑢_𝛽𝐸_𝛼+ √−𝑔𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿) = −𝐹𝛼𝛽

(23)

bersifat anti-simetrik. Berikut komponen-komponennya:

3. Untuk 𝛼 = 𝛽

𝐹_𝛼𝛼 = 𝑢_𝛼𝐸_𝛼− 𝑢_𝛼𝐸_𝛼+ √−𝑔𝜖𝛼𝛼𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿 = √−𝑔𝜖𝛼𝛼𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿.

Karena simbol Levi-Civita untuk 𝜖_{𝛼𝛼𝛾𝛿} = 0, maka

𝐹₀₀= 𝐹₁₁ = 𝐹₂₂ = 𝐹₃₃ = 0 (A.8) 4. Untuk 𝛼 ≠ 𝛽 𝐹𝛼𝛽 = 2𝑢[𝛼𝐸𝛽]+ 𝜂𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿 = 𝑢𝛼𝐸𝛽− 𝑢𝛽𝐸𝛼+ √−𝑔𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢𝛾𝐵𝛿  Untuk 𝛼 = 0 dan 𝛽 = 1 𝐹₀₁ = 𝑢₀𝐸₁− 𝑢₁𝐸₀ + √−𝑔(𝜖0123𝑢2𝐵3− 𝜖0132𝑢3𝐵2)

Karena 𝑢₁ = 0, 𝑢2 = 0 dan 𝑢3 = 0, maka

𝐹₀₁= 𝑢₀𝐸₁ = −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟 = −𝐹₁₀

(A.9)

(24)

𝐹02 = 𝑢0𝐸2− 𝑢2𝐸0+ √−𝑔(𝜖0231𝑢3𝐵1− 𝜖0213𝑢1𝐵3) 𝐹02= 𝑢0𝐸2 = −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 = −𝐹20 (A.10)  Untuk 𝛼 = 0 dan 𝛽 = 3 𝐹₀₃ = 𝑢₀𝐸₃− 𝑢₃𝐸₀+ √−𝑔(𝜖0312𝑢1𝐵2− 𝜖0321𝑢2𝐵1) 𝐹₀₃= 𝑢₀𝐸₃ = −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑 = −𝐹30 (A.11)  Untuk 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 2 𝐹12 = 𝑢1𝐸2− 𝑢2𝐸1+ √−𝑔(𝜖1230𝑢3𝐵0− 𝜖1203𝑢0𝐵3) 𝐹₁₂= √−𝑔(𝜖1203𝑢0𝐵3)

Dengan permutasi simbol Levi-Civita 𝜖₁₂₀₃ = −𝜖₀₂₁₃= −(−𝜖₀₁₂₃) = +1, maka

𝐹₁₂= 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑒−𝜙(𝑟)𝐵𝜑= 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 = −𝐹₂₁ (A.12)

 Untuk 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 3

(25)

𝐹13= √−𝑔(𝜖1302𝑢0𝐵2)

Dengan permutasi simbol Levi-Civita 𝜖₁₃₀₂ = −𝜖₀₃₁₂= −(−𝜖₀₁₃₂) = −𝜖₀₁₂₃= −1, maka 𝐹₁₃= −𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑒−𝜙(𝑟)𝐵𝜃 = −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 = −𝐹₃₁ (A.13)  Untuk 𝛼 = 2 dan 𝛽 = 3 𝐹₂₃ = 𝑢₂𝐸₃− 𝑢₃𝐸₂+ √−𝑔(𝜖2301𝑢0𝐵1− 𝜖2310𝑢1𝐵0) 𝐹23= √−𝑔(𝜖2301𝑢0𝐵2)

Dengan permutasi simbol Levi-Civita 𝜖2301 = −𝜖0321= −(−𝜖0123) =

+1, maka

𝐹₂₃= 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑒−𝜙(𝑟)𝐵𝑟 = 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 = −𝐹₃₂ (A.14)

Jadi, tensor kuat-medan elektromagnetik kovarian diberikan oleh

𝐹_𝛼𝛽 = [ 0 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 0 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 0 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 0 ] (A.15)

(26)

Turunan parsial tensor kuat-medan elektromagnetik adalah 5. Untuk 𝛼 = 𝛼 = 𝛼 Karena 𝐹_𝛼𝛼𝛼 = 0, maka 𝐹00,0= 𝐹11,1 = 𝐹22,2 = 𝐹33,3 = 0 (A.16) 6. Untuk 𝛼 = 𝛽 ≠ 𝛾

Karena 𝐹_𝛼𝛼 = 0 yang mengimplikasikan 𝐹_{𝛼𝛼,𝛾} = 0, maka

𝐹_00,1 = 𝐹_00,2 = 𝐹_00,3 = 0 𝐹_11,0= 𝐹_11,2 = 𝐹_11,3= 0 𝐹_22,0 = 𝐹_22,1 = 𝐹_00,3 = 0 𝐹_33,0 = 𝐹_33,1 = 𝐹_33,2 = 0 (A.17) 7. Untuk 𝛼 = 𝛾 ≠ 𝛽  Untuk 𝛼 = 𝛾 = 0 Dengan 𝛽 = 1 𝐹01,0 = 𝜕(𝐹₀₁) 𝜕𝑡 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟) 𝜕𝑡 = − 𝜕𝑒𝜙(𝑟) 𝜕𝑡 𝐸𝑟− 𝜕𝐸_𝑟 𝜕𝑡 𝑒 𝜙(𝑟) _{= −}𝜕𝐸𝑟 𝜕𝑡 𝑒 𝜙(𝑟) _{= −𝐹} 10,0 (A.18) Dengan 𝛽 = 2

(27)

𝐹_02,0 =𝜕(𝐹02) 𝜕𝑡 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃) 𝜕𝑡 = − 𝜕𝑒𝜙(𝑟) 𝜕𝑡 𝐸𝜃− 𝜕𝐸𝜃 𝜕𝑡 𝑒 𝜙(𝑟) _{= −}𝜕𝐸𝜃 𝜕𝑡 𝑒 𝜙(𝑟) _{= −𝐹} 20,0 (A.19) Dengan 𝛽 = 3 𝐹_03,0 =𝜕(𝐹03) 𝜕𝑡 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑) 𝜕𝑡 = − 𝜕𝑒𝜙(𝑟) 𝜕𝑡 𝐸𝜑− 𝜕𝐸𝜑 𝜕𝑡 𝑒 𝜙(𝑟) _{= −}𝜕𝐸𝜑 𝜕𝑡 𝑒 𝜙(𝑟) = −𝐹_30,0 (A.20)  Untuk 𝛼 = 𝛾 = 1 Dengan 𝛽 = 0 𝐹10,1 = 𝜕(𝐹₁₀) 𝜕𝑟 = 𝜕(𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟) 𝜕𝑟 = (𝑒 𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟)_,𝑟 = −𝐹01,1 (A.21) Dengan 𝛽 = 2 𝐹12,1= 𝜕(𝐹₁₂) 𝜕𝑟 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑) 𝜕𝑟 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_𝐵𝜑₎ ,𝑟 = −𝐹21,1 (A.22) Dengan 𝛽 = 3 𝐹_13,1= 𝜕(𝐹13) 𝜕𝑟 = 𝜕(−𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃) 𝜕𝑟 = −𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_𝐵𝜃₎ ,𝑟= −𝐹31,1 (A.23)

(28)

 Untuk 𝛼 = 𝛾 = 2 Dengan 𝛽 = 0 𝐹20,2= 𝜕(𝐹₂₀) 𝜕𝜃 = 𝜕(𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃) 𝜕𝜃 = 𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝜃),𝜃 = −𝐹02,2 (A.24) Dengan 𝛽 = 1 𝐹21,2 = 𝜕(𝐹₂₁) 𝜕𝜃 = 𝜕(−𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑) 𝜕𝜃 = −𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{(𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑₎ ,𝜃= −𝐹12,2 (A.25) Dengan 𝛽 = 3 𝐹_23,2=𝜕(𝐹23) 𝜕𝜃 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟) 𝜕𝜃 = 𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{(𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟₎ ,𝜃 = −𝐹32,3 (A.26)  Untuk 𝛼 = 𝛾 = 3 Dengan 𝛽 = 0 𝐹_30,3= 𝜕(𝐹30) 𝜕𝜑 = 𝜕(𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑) 𝜕𝜑 = 𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝜑)_,𝜑 = −𝐹03,3 (A.27) Dengan 𝛽 = 1

(29)

𝐹31,3 = 𝜕(𝐹31) 𝜕𝜑 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃) 𝜕𝜑 = 𝑒 𝜙(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝜃₎ ,𝜑 = −𝐹13,3 (A.28) Dengan 𝛽 = 2 𝐹_32,3= 𝜕(𝐹32) 𝜕𝜑 = 𝜕(−𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟₎ 𝜕𝜑 = −𝑒 𝜙(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝑟₎ ,𝜑 = −𝐹23,3 (A.29) 8. Untuk 𝛼 ≠ 𝛾 ≠ 𝛽 𝛼 = 0 dan 𝛽 = 1  Dengan 𝛾 = 2 𝐹_01,2= 𝜕(𝐹01) 𝜕𝜃 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟) 𝜕𝜃 = −𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝑟),𝜃 = −𝐹10,2 (A.30)  Dengan 𝛾 = 3 𝐹_01,3= 𝜕(𝐹01) 𝜕𝜑 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟) 𝜕𝜑 = −𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝑟),𝜑 = −𝐹10,3 (A.31) 𝛼 = 0 dan 𝛽 = 2  Dengan 𝛾 = 1 𝐹02,1 = 𝜕(𝐹₀₂) 𝜕𝑟 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃) 𝜕𝑟 = −(𝑒 𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃)_,𝑟 = −𝐹20,1

(30)

(A.32)  Dengan 𝛾 = 3 𝐹_02,3 =𝜕(𝐹02) 𝜕𝜑 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃) 𝜕𝜑 = −𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝜃),𝜑 = −𝐹20,3 (A.33) 𝛼 = 0 dan 𝛽 = 3  Dengan 𝛾 = 1 𝐹_03,1= 𝜕(𝐹03) 𝜕𝑟 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑) 𝜕𝑟 = −(𝑒 𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑)_,𝑟 = −𝐹30,1 (A.34)  Dengan 𝛾 = 2 𝐹_03,2 =𝜕(𝐹03) 𝜕𝜃 = 𝜕(−𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑) 𝜕𝜃 = −𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝜑)_,𝜃 = −𝐹30,2 (A.35) 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 2  Dengan 𝛾 = 0 𝐹12,0= 𝜕(𝐹₁₂) 𝜕𝑡 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑) 𝜕𝑡 = 𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝜑₎ ,𝑡 = −𝐹21,0 (A.36)  Dengan 𝛾 = 3

(31)

𝐹_12,3 =𝜕(𝐹12) 𝜕𝜑 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑) 𝜕𝜑 = 𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝜑₎ ,𝜑 = −𝐹21,3 (A.37) 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 3  Dengan 𝛾 = 0 𝐹13,0 = 𝜕(𝐹₁₃) 𝜕𝑡 = 𝜕(−𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃) 𝜕𝑡 = −𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝜃₎ ,𝑡 = −𝐹31,0 (A.38)  Dengan 𝛾 = 2 𝐹13,2 = 𝜕(𝐹₁₃) 𝜕𝜃 = 𝜕(−𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃) 𝜕𝜃 = −𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{(𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜃₎ ,𝜃 = −𝐹31,2 (A.39) 𝛼 = 2 dan 𝛽 = 3  Dengan 𝛾 = 0 𝐹23,0= 𝜕(𝐹₂₃) 𝜕𝑡 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟) 𝜕𝑡 = 𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝑟₎ ,𝑡 = −𝐹32,0 (A.40)  Dengan 𝛾 = 1 𝐹23,1= 𝜕(𝐹₂₃) 𝜕𝑟 = 𝜕(𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟) 𝜕𝑟 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_𝐵𝑟₎ ,𝑟 = −𝐹32,1

(32)

(A.41)

Persamaan Maxwell I tidak lenyap jika 𝛼 ≠ 𝛾 ≠ 𝛽. Maka komponen-komponennya dapat dituliskan sebagai berikut

 Untuk permutasi 012 𝐹_01,2+ 𝐹_20,1+ 𝐹_12,0 = 0 −𝑒𝜙(𝑟)(𝐸_𝑟)_,𝜃+ (𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃) ,𝑟 + 𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝜑₎ ,𝑡 = 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐵 𝜑 𝜕𝑡 = (𝑒 𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃)_,𝑟−𝑒𝜙(𝑟)(𝐸𝑟),𝜃 (A.42)  Untuk permutasi 013 𝐹_01,3+ 𝐹_30,1+ 𝐹_13,0 = 0 −𝑒𝜙(𝑟)_(𝐸 𝑟),𝜑+ (𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑)_,𝑟𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵𝜃)_,𝑡 = 0 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝜕𝐵 𝜃 𝜕𝑡 = (𝑒 𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑)_,𝑟−𝑒𝜙(𝑟)(𝐸𝑟),𝜑 (A.43)  Untuk permutasi 023 𝐹_02,3+ 𝐹_30,2+ 𝐹_23,0 = 0 −𝑒𝜙(𝑟)_(𝐸 𝜃),𝜑+ 𝑒𝜙(𝑟)(𝐸𝜑)_,𝜃+ 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵𝑟),𝑡 = 0 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝜕𝐵 𝑟 𝜕𝑡 = 𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐸 𝜑)_,𝜃− 𝑒𝜙(𝑟)(𝐸𝜃),𝜑 (A.44)

(33)

 Untuk permutasi 123 𝐹12,3+ 𝐹31,2+ 𝐹23,1 = 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵𝜑)_,𝜑+ 𝑒Λ(𝑟)𝑟2(𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃) ,𝜃+ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_𝐵𝑟₎ ,𝑟 = 0 (A.45)

(34)

LAMPIRAN B

PENURUNAN PERSAMAAN MAXWELL II

Tensor kuat-medan elektromagnetik diberikan oleh (A.15) di mana determinannya 𝑑𝑒𝑡 |𝐹_𝛼𝛽| = 0 + 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟[ 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 0 ] −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃[ 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 0 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 0 ] +𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜙[ 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 0 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 ] 𝑑𝑒𝑡 |𝐹𝛼𝛽| = 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟{𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟[0 + 𝑒2Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟)2] − 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑_[0 − 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟𝐸_𝜑]−𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃[−𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟𝐸_𝜃 − 0]} −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃{𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟[0 − 𝑒2Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2𝐵𝑟𝐵𝜃] − 0−𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃[𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸_𝜃 + 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜑]} +𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑{𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟[𝑒2Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2𝐵𝜑𝐵𝑟− 0] − 0 + 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑_[𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜃_𝐸 𝜃 + 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑_𝐸 𝜑]}

(35)

𝑑𝑒𝑡 |𝐹𝛼𝛽| = 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟{𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟)2𝐸𝑟+ 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑𝐵𝑟𝐸𝜑 − 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝑟_𝐸 𝜃} −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃{−𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝑟𝐵𝜃𝐸𝑟− 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜃𝐵𝜃𝐸𝜃 − 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝜑_𝐸 𝜑} +𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑{𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐸𝑟𝐵𝜑𝐵𝑟+ 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑𝐵𝜃𝐸𝜃 + 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝜑_𝐸 𝜑} 𝑑𝑒𝑡 |𝐹𝛼𝛽| = {𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2𝐵𝑟𝐵𝑟𝐸𝑟𝐸𝑟+ 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑𝐵𝑟𝐸𝜑𝐸𝑟 + 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝑟_𝐸 𝜃𝐸𝑟} +{𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟_𝐵𝜃_𝐸 𝑟𝐸𝜃 + 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2𝐵𝜃𝐵𝜃𝐸𝜃𝐸𝜃 + 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝜑_𝐸 𝜃𝐸𝜑} +{𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝑟_𝐸 𝜑𝐸𝑟+ 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑𝐵𝜃𝐸𝜑𝐸𝜃 + 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝜑_𝐸 𝜑𝐸𝜑} 𝑑𝑒𝑡 |𝐹_𝛼𝛽| = 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸} 𝑟)2+ 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸𝜃) 2 + 𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜑)2+ 2𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝑟_𝐸 𝜑𝐸𝑟 + 2𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝜃_𝐸 𝜑𝐸𝜃 + 2𝑒2[𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟_𝐵𝜃_𝐸 𝑟𝐸𝜃 𝑑𝑒𝑡 |𝐹𝛼𝛽| = [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃(𝐵𝑟𝐸𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃 + 𝐵𝜑𝐸𝜑)] 2 (B.1)

(36)

𝐶 = [ 𝐶00 𝐶01 𝐶₁₀ 𝐶₁₁ 𝐶02 𝐶03 𝐶₁₂ 𝐶₁₃ 𝐶₂₀ 𝐶₂₁ 𝐶30 𝐶31 𝐶₂₂ 𝐶₂₃ 𝐶32 𝐶33 ] (B.2)

dengan nilai tiap-tiap komponennya

5. Baris pertama 𝐶₀₀ = [ 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑 ₀ _𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 0 ] 𝐶00= [0 + 𝑒3Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝐵𝜑𝐵𝑟𝐵𝜃 − 𝑒3Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝐵𝜃𝐵𝑟𝐵𝜑] − [0 + 0 + 0] = 0 (B.3) 𝐶₀₁ = − [ 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 0 ] 𝐶₀₁ = −{[0 + 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝑟_𝐸 𝜑+ 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜃𝐵𝑟𝐸𝜃] − [0 + 0 − 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟_𝐵𝑟_𝐸 𝑟]} = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟_(𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.4) 𝐶₀₂= [ 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟 0 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 0 ]

(37)

𝐶02= [0 + 0 − 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜃𝐵𝜃𝐸𝜃] − [𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝜑_𝐸 𝜑+ 0 + 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝑟_𝐸 𝑟] = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_(𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.5) 𝐶03 = − [ 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 0 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 ] 𝐶₀₃ = −{[𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 0 + 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑𝐵𝜃𝐸𝜃] − [−𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝜑_𝐸 𝜑+ 0 + 0]} = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_(𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.6) 6. Baris kedua 𝐶₀₁ = − [ −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 −𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑 ₀ _𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵}𝜃 _−𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟 ₀ ] 𝐶₀₁ = −{[0 − 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝑟_𝐸 𝜃− 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝑟𝐵𝜑𝐸𝜑] − [0 + 0 + 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟_𝐵𝑟_𝐸 𝑟]} = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟_(𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.7) 𝐶₁₁= [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 0 ]

(38)

𝐶11= [0 − 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )𝐵𝑟𝐸𝜃𝐸𝜑+ 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )𝐵𝑟𝐸𝜃𝐸𝜑] − [0 + 0 + 0] = 0 (B.8) 𝐶₁₂= − [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝑟 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 0 ] 𝐶₁₂ = −{[0 − 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟_𝐸 𝑟𝐸𝜑− 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸𝜃𝐸𝜑] − [𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜑𝐸_𝜑+ 0 + 0]} = 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸𝜑(𝐵𝑟𝐸𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.9) 𝐶₁₃ = [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 0 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟 ] 𝐶13 = [0 + 0 − 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )𝐵𝜃𝐸𝜃𝐸𝜃] − [𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )𝐵}𝜑_𝐸 𝜑𝐸𝜃+ 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )𝐵𝑟𝐸𝑟𝐸𝜃+ 0] = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝜃 𝐸} 𝜃(𝐵𝑟𝐸𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.10) 7. Baris ketiga 𝐶₂₀ = [ −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 0 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑 _−𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵}𝜃 𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵}𝜃 _−𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝑟 ₀ ]

(39)

𝐶20= [0 + 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜃𝐵𝜃𝐸𝜃+ 0] − [−𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝜑_𝐸 𝜑+ 0 − 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_𝐵𝑟_𝐸 𝑟] = 𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃_(𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.11) 𝐶21 = − [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝑟 0 ] 𝐶₂₁= −{[0 + 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜃_𝐸 𝜃𝐸𝜑+ 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟𝐸𝑟𝐸𝜑] − [−𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜑𝐸_𝜑+ 0 + 0]} = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸_𝜑(𝐵𝑟𝐸_𝑟+ 𝐵𝜃𝐸_𝜃+ 𝐵𝜑𝐸_𝜑) (B.12) 𝐶₂₂ = [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 0 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 0 ] 𝐶22 = [0 + 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸𝑟𝐸𝜑− 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸𝑟𝐸𝜑] − [0 + 0 + 0] = 0 (B.13) 𝐶23= − [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝑟 ] 𝐶₂₃= −{[0 − 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜑_𝐸 𝜑𝐸𝑟− 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸𝜃𝐸𝑟] − [0 + 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟𝐸_𝑟𝐸_𝑟+ 0]} = 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸} 𝑟(𝐵𝑟𝐸𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.14)

(40)

8. Baris keempat 𝐶₃₀ = − [ −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜑 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝑟 ] 𝐶₃₀= −{[−𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝑟_𝐸 𝑟− 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑𝐵𝜃𝐸𝜃+ 0] − [𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_𝐵𝜑_𝐸 𝜑+ 0 + 0]} = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑_(𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) (B.15) 𝐶₃₁ = [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝑟 ] 𝐶₃₁ = [0 + 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵}𝜃_𝐸 𝜃𝐸𝜃+ 0] − [−𝑒𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜑𝐸_𝜃− 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟𝐸_𝑟𝐸_𝜃+ 0] = 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸_𝜃(𝐵𝑟𝐸_𝑟+ 𝐵𝜃𝐸_𝜃+ 𝐵𝜑𝐸_𝜑) (B.16) 𝐶₃₂ = − [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟 0 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜑 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝑟 ] 𝐶₃₂= −{[0 + 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜃𝐸_𝜃𝐸_𝑟+ 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜑𝐸_𝑟] − [0 − 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝑟𝐸𝑟𝐸𝑟+ 0]} = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸_𝑟(𝐵𝑟𝐸_𝑟+ 𝐵𝜃𝐸_𝜃+ 𝐵𝜑𝐸_𝜑) (B.17)

(41)

𝐶₃₃= [ 0 −𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 −𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_𝐸 𝑟 0 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜑 𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜃 −𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐵𝜑 0 ] 𝐶₃₃= −{[0 − 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜃𝐸_𝑟+ 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐵𝜑𝐸_𝜃𝐸_𝑟] − [0 + 0 + 0]} = 0 (B.18)

Maka transpos dari matrik kovaktornya diberikan oleh

𝐶𝑇 = [ 𝐶₀₀ 𝐶₁₀ 𝐶₀₁ 𝐶₁₁ 𝐶₂₀ 𝐶₃₀ 𝐶₂₁ 𝐶₃₁ 𝐶02 𝐶12 𝐶₀₃ 𝐶₁₃ 𝐶22 𝐶32 𝐶₂₃ 𝐶₃₃ ] = (𝐵𝑟𝐸_𝑟+ 𝐵𝜃𝐸_𝜃+ 𝐵𝜑𝐸_𝜑) [ 𝐶00′ 𝐶10′ 𝐶₀₁′ 𝐶₁₁′ 𝐶20′ 𝐶30′ 𝐶₂₁′ 𝐶₃₁′ 𝐶₀₂′ 𝐶₁₂′ 𝐶03′ 𝐶13′ 𝐶₂₂′ 𝐶₃₂′ 𝐶23′ 𝐶33′] (B.19) dengan 𝐶00′ = 𝐶11′ = 𝐶22′ = 𝐶33′ = 0 𝐶₀₁′ = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟 _{= −𝐶} 10′ 𝐶₀₂′ = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃 _{= −𝐶} 20′ 𝐶03′ = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝐵𝜑= −𝐶30′ 𝐶12′ = 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸𝜑 = −𝐶21′ 𝐶13′ = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸𝜃 = −𝐶31′ 𝐶₃₂′ = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸} 𝑟 = −𝐶23′ (B.20) sedemikian rupa sehingga tensor kuat-medan elektromagnetik kontravarian adalah

(42)

𝐹𝛼𝛽 = 𝐶 𝑇 𝑑𝑒𝑡 |𝐹𝛼𝛽| = (𝐵 𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑) [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝐵}𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃+ 𝐵𝜑𝐸𝜑)] 2 [ 𝐶₀₀′ 𝐶₁₀′ 𝐶₀₁′ 𝐶₁₁′ 𝐶₂₀′ 𝐶₃₀′ 𝐶₂₁′ 𝐶₃₁′ 𝐶₀₂′ 𝐶₁₂′ 𝐶₀₃′ 𝐶₁₃′ 𝐶₂₂′ 𝐶₃₂′ 𝐶₂₃′ 𝐶₃₃′] (B.20) Dengan menuliskan 𝛽 = [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2_{dan memasukkan niai ini ke}

dalam matriks (B.21), maka didapat

𝐹𝛼𝛽 ₌ 1 (𝐵𝑟_𝐸 𝑟+ 𝐵𝜃𝐸𝜃 + 𝐵𝜑𝐸𝜑) [ 𝐶00′ 𝛽 𝐶10′ 𝛽 𝐶01′ 𝛽 𝐶11′ 𝛽 𝐶20′ 𝛽 𝐶30′ 𝛽 𝐶21′ 𝛽 𝐶31′ 𝛽 𝐶02′ 𝛽 𝐶12′ 𝛽 𝐶03′ 𝛽 𝐶13′ 𝛽 𝐶22′ 𝛽 𝐶32′ 𝛽 𝐶23′ 𝛽 𝐶33′ 𝛽 ] (B.21) dengan 𝐹′00 ₌𝐶00′ 𝛽 = 0 𝐹′11 ₌ 𝐶11′ 𝛽 = 0 𝐹′22 =𝐶22′ 𝛽 = 0 𝐹′33 ₌𝐶33′ 𝛽 = 0

(43)

𝐹′01 ₌ 𝐶01′ 𝛽 = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝑟 [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2 = −𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵𝑟 _{= −}𝐶10′ 𝛽 = −𝐹 ′10 𝐹′02 ₌𝐶02′ 𝛽 = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜃 [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2 = −𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵𝜃 _{= −}𝐶20′ 𝛽 = −𝐹 ′20 𝐹′03 ₌ 𝐶03′ 𝛽 = −𝑒[𝜙+2Λ](𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)}2_𝐵𝜑 [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2 = −𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵𝜑 _{= −}𝐶30′ 𝛽 = −𝐹 ′30 𝐹′12 =𝐶12′ 𝛽 = 𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸} 𝜑 [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2 = 𝑒 −Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜑= − 𝐶₂₁′ 𝛽 = −𝐹 ′21 𝐹′13 =𝐶13′ 𝛽 = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸} 𝜃 [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2 = −𝑒 −Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜃 = − 𝐶₃₁′ 𝛽 = −𝐹 ′31 𝐹′32 =𝐶32′ 𝛽 = −𝑒[2𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐸_𝑟 [𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 ]}2 = −𝑒 −Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝑟 = − 𝐶₂₃′ 𝛽 = −𝐹 ′23 dan (𝐵𝑟𝐸_𝑟+ 𝐵𝜃𝐸_𝜃+ 𝐵𝜑𝐸_𝜑) = (𝐵𝑖𝐸_𝑖)

maka persamaan (B.21) menjadi

𝐹𝛼𝛽 ₌ 1 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) [ 𝐹′00 _𝐹′10 𝐹′01 _𝐹′11 𝐹′20 _𝐹′30 𝐹′21 _𝐹′31 𝐹′02 𝐹′12 𝐹′03 𝐹′13 𝐹′22 𝐹′32 𝐹′23 𝐹′33 ]. (B.22)

Dengan mensubstitusikan persamaan (B.22) ke persamaan (2.135), maka didapatkan medan listrik, yaitu

𝐸𝜇 = 𝐹𝜇𝑣𝑢_𝑣.

(44)

Mengingat kecepatan-4 𝑢₀ = 𝑒𝜙(𝑟)_, _𝑢

1 = 0, 𝑢2 = 0 dan 𝑢3 = 0, maka

komponen medan listriknya adalah

4. Komponen radial 𝐸𝑟 = 𝐸1 = 𝐹𝑟𝑣𝑢𝑣 = 𝐹10𝑢0+ 𝐹11𝑢1 + 𝐹12𝑢2+ 𝐹13𝑢3 = 𝐹10𝑢0 𝐸𝑟 =𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵𝑟 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) 𝑒𝜙(𝑟) 𝐸𝑟 ₌ 𝐵 𝑟 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (B.24) 5. Komponen polar 𝐸𝜃 _{= 𝐸}2 _{= 𝐹}𝜃𝑣_𝑢 𝑣 = 𝐹20𝑢0+ 𝐹21𝑢1+ 𝐹22𝑢2+ 𝐹23𝑢3 = 𝐹20𝑢0 𝐸𝜃 ₌𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵𝜃 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) 𝑒𝜙(𝑟) 𝐸𝜃 = 𝐵 𝜃 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (B.25) 6. Komponen toroidal 𝐸𝜑_{= 𝐸}3 _{= 𝐹}𝜑𝑣_𝑢 𝑣 = 𝐹30𝑢0+ 𝐹31𝑢1+ 𝐹32𝑢2 + 𝐹33𝑢3 = 𝐹30𝑢0

(45)

𝐸𝜑 ₌𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵𝜑 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) 𝑒𝜙(𝑟) 𝐸𝜑 = 𝐵 𝜑 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (B.26)

Selanjutnya diketahui dari persamaan (2.136)

𝐵_𝛼 = 𝐹_𝛼𝛽̇ 𝑢𝛽 = 1 2𝜂𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢 𝛽_𝐹𝛾𝛿 ₌1 2√−𝑔 𝜖𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢 𝛽_𝐹𝛾𝛿 𝐵_𝛼 =1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜖} 𝛼𝛽𝛾𝛿𝑢𝛽𝐹𝛾𝛿 (B.27)

Maka komponen medan magnetnya

4. Komponen radial 𝐵_𝑟 = 𝐵₁ = 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝜖} 1023𝑢0𝐹23+ 𝜖1032𝑢0𝐹32+ 𝜖1203𝑢2𝐹03 + 𝜖₁₂₃₀𝑢2_𝐹30_{+ 𝜖} 1302𝑢3𝐹02+ 𝜖1320𝑢3𝐹20) 𝐵_𝑟 =1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝜖} 1023𝑢0𝐹23+ 𝜖1032𝑢0𝐹32)

Dengan 𝜖₁₀₂₃= −𝜖₀₁₂₃= −1 dan 𝜖₁₀₃₂= −𝜖₁₀₂₃= −(−𝜖₀₁₂₃) = +1, maka

𝐵_𝑟 =1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝑒−𝜙(𝑟) (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (−𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝑟− 𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )−1𝐸𝑟)

(46)

𝐵_𝑟 = 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝑒 −𝜙(𝑟) (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (−2𝑒−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝑟) 𝐵_𝑟 = − 𝐸𝑟 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (B.28) 5. Komponen polar 𝐵_𝜃 = 𝐵₂ =1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝜖} 2013𝑢0𝐹13+ 𝜖2031𝑢0𝐹31+ 𝜖2103𝑢1𝐹03 + 𝜖2130𝑢1𝐹30+ 𝜖2301𝑢3𝐹01+ 𝜖2310𝑢3𝐹10) 𝐵𝑟= 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝜖} 2013𝑢0𝐹13+ 𝜖2031𝑢0𝐹31) Dengan 𝜖₂₀₁₃= −𝜖₀₂₁₃= −(−𝜖₀₁₂₃) = +1 dan 𝜖₂₀₃₁ = −𝜖₀₂₃₁= −(−𝜖₀₁₃₂) = −𝜖₀₁₂₃= −1, maka 𝐵_𝜃 = 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝑒 −𝜙(𝑟) (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (−𝑒−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜃− 𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )−1𝐸𝜃) 𝐵_𝜃 = 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝑒−𝜙(𝑟) (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (−2𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜃) 𝐵𝜃 = − 𝐸_𝜃 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (B.29) 6. Komponen toroidal 𝐵𝜑= 𝐵3 = 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝜖} 3012𝑢0𝐹12+ 𝜖3021𝑢0𝐹21+ 𝜖3102𝑢1𝐹02 + 𝜖₃₁₂₀𝑢1_𝐹20_{+ 𝜖} 3201𝑢2𝐹01+ 𝜖3210𝑢2𝐹10) 𝐵_𝜑 =1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝜖} 3012𝑢0𝐹12+ 𝜖3021𝑢0𝐹21)

(47)

Dengan 𝜖3012= −𝜖0312= −(−𝜖0132) = −𝜖0123 = −1 dan 𝜖3021= −𝜖0321= −(−𝜖₀₁₂₃) = +1, maka 𝐵𝜑= 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}𝑒−𝜙(𝑟) (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (−𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜑− 𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 )−1𝐸𝜑) 𝐵𝜑 = 1 2𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝜃}𝑒 −𝜙(𝑟) (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (−2𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜑) 𝐵_𝜑= − 𝐸𝜑 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) (B.30)

Oleh karena itu, tensor kuat-medan elektromagnetik kontravarian adalah

𝐹𝛼𝛽 = [ 𝐹00 𝐹10 𝐹01 𝐹11 𝐹20 𝐹30 𝐹21 𝐹31 𝐹02 _𝐹12 𝐹03 _𝐹13 𝐹22 _𝐹32 𝐹23 _𝐹33 ] (B.31) dengan 𝐹00 _{= 𝐹}11 _{= 𝐹}22_{= 𝐹}33_{= 0} 𝐹01 ₌ 𝐹 ′01 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵 𝑟 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒−𝜙(𝑟)_𝐸𝑟 _{= −𝐹}10 𝐹02 ₌ 𝐹 ′02 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵 𝜃 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒−𝜙(𝑟)_𝐸𝜃 _{= −𝐹}20 𝐹03 = 𝐹 ′03 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒 −𝜙(𝑟)_𝐵 𝜑 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒−𝜙(𝑟)𝐸𝜑 = −𝐹30

(48)

𝐹12 = 𝐹 ′12 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒 −Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜑 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = −𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜑 = −𝐹21 𝐹13= 𝐹 ′13 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = −𝑒 −Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝜃 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜃 = −𝐹31 𝐹32 = 𝐹 ′32 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = −𝑒 −Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐸 𝑟 (𝐵𝑖_𝐸 𝑖) = 𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝑟 = −𝐹23 (B.32)

Dari persamaan (2.133), komponen rapat arus-4 adalah

𝐽𝛼 _{= 𝜌} 𝑒𝑢𝛼+ 𝑗𝛼 = 𝜌𝑒𝑢𝛼+ 𝜎𝐹𝛼𝛽𝑢𝛽 (B.33) 5. Komponen waktu 𝐽𝑡 = 𝜌_𝑒𝑢0+ 𝜎(𝐹₀₀𝑢0+ 𝐹₀₁𝑢1+ 𝐹₀₂𝑢2+ 𝐹₀₃𝑢3) = 𝜌_𝑒𝑢0+ 𝜎𝐹₀₀𝑢0 = 𝜌_𝑒𝑢0 = 𝜌_𝑒𝑒−𝜙(𝑟) (B.34) 6. Komponen radial 𝐽𝑟 = 𝜌𝑒𝑢1+ 𝜎(𝐹10𝑢0+ 𝐹11𝑢1+ 𝐹12𝑢2+ 𝐹13𝑢3) = 𝜎𝐹10𝑢0 = 𝜎𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝑟𝑒−𝜙(𝑟) = 𝜎𝐸_𝑟 (B.35) 7. Komponen polar 𝐽𝜃 = 𝜌_𝑒𝑢2+ 𝜎(𝐹₂₀𝑢0+ 𝐹₂₁𝑢1+ 𝐹₂₂𝑢2+ 𝐹₂₃𝑢3) = 𝜎𝐹₂₀𝑢0 = 𝜎𝑒𝜙(𝑟)𝐸_𝜃𝑒−𝜙(𝑟) = 𝜎𝐸𝜃 (B.36)

(49)

8. Komponen toroidal

𝐽𝜑 = 𝜌𝑒𝑢3+ 𝜎(𝐹30𝑢0+ 𝐹31𝑢1+ 𝐹32𝑢2+ 𝐹33𝑢3) = 𝜎𝐹30𝑢0 = 𝜎𝑒𝜙(𝑟)𝐸𝜑𝑒−𝜙(𝑟)

= 𝜎𝐸𝜑

(B.37)

Dari semua hasil di atas, maka Persamaan Maxwell II pada (2.132) dapat diturunkan 𝐹_;𝛽𝛼𝛽 = 1 √−𝑔(√−𝑔 𝐹 𝛼𝛽₎ ,𝛽 = 4𝜋𝐽 𝛼 atau 𝐹_;𝛽𝛼𝛽 = (√−𝑔 𝐹𝛼𝛽₎ ,𝛽 = √−𝑔 4𝜋𝐽 𝛼 (B.38) 5. Untuk 𝛼 = 0 𝐹_;000+ 𝐹_;101+ 𝐹_;202+ 𝐹_;303= √−𝑔 4𝜋𝐽0 (√−𝑔 𝐹00) ,0+ (√−𝑔 𝐹 01₎ ,1+ (√−𝑔 𝐹 02₎ ,2+ (√−𝑔 𝐹 03₎ ,3 = √−𝑔 4𝜋𝐽 0 [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)0]} ,𝑡+ [(𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝑟_] ,𝑟 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−𝜙(𝑟)𝐸𝜃] ,𝜃 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝜑_] ,𝜑 = 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝑡 [𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐸}𝑟_] ,𝑟+ [𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐸}𝜃_] ,𝜃+ [𝑒 Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐸}𝜑_] ,𝜑 = 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽𝑡 [𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐸𝑖] ,𝑖 = 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝑡 (B.39) 6. Untuk 𝛼 = 1

(50)

𝐹_;010+ 𝐹_;111+ 𝐹_;212+ 𝐹_;313= √−𝑔 4𝜋𝐽1 (√−𝑔 𝐹10₎ ,0+ (√−𝑔 𝐹 11₎ ,1+ (√−𝑔 𝐹 12₎ ,2+ (√−𝑔 𝐹 13₎ ,3= √−𝑔 4𝜋𝐽 1 [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−𝜙(𝑟)𝐸𝑟]_,𝑡 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)0]_,𝑟 + [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜑]_,𝜃 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜃]_,𝜑 = 4𝜋𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝑟 [−𝑒Λ(𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐸}𝑟_] ,𝑡 + [−𝑒 𝜙(𝑟)_𝐵 𝜑]_,𝜃+ [𝑒𝜙(𝑟)𝐵𝜃]_,𝜑 = 4𝜋𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽𝑟 [−𝑒𝜙(𝑟)𝐵_𝜙] ,𝜃+ [𝑒 𝜙(𝑟)_𝐵 𝜃]_,𝜑 = [𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃𝐸𝑟]_,𝑡+ 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽𝑟 𝑒𝜙(𝑟)_(𝐵 𝜃,𝜑− 𝐵𝜑,𝜃) = 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝑟 𝜕𝑡 + 4𝜋𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝑟 (B.40) 7. Untuk 𝛼 = 2 𝐹_;020+ 𝐹_;121+ 𝐹_;222+ 𝐹_;323= √−𝑔 4𝜋𝐽2 (√−𝑔 𝐹20) ,0+ (√−𝑔 𝐹 21₎ ,1+ (√−𝑔 𝐹 22₎ ,2+ (√−𝑔 𝐹 23₎ ,3 = √−𝑔 4𝜋𝐽 2 [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝜃_] ,𝑡 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜑]_,𝑟 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)0]} ,𝜃 + [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝑟]_,𝜑 = 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜃

(51)

[−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−𝜙(𝑟)𝐸𝜃]_,𝑡 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜑]_,𝑟 + [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝑟]_,𝜑 = 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜃 [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜑]_,𝑟 + [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝑟]_,𝜑 = [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝜃_] ,𝑡+ 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜃 [𝑒𝜙(𝑟)𝐵𝜑]_,𝑟 + [−𝑒𝜙(𝑟)𝐵𝑟]_,𝜑 = [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝜃_] ,𝑡 + 4𝜋𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜃 𝑒𝜙(𝑟)_(𝐵 𝜑,𝑟− 𝐵𝑟,𝜑) = 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝜃 𝜕𝑡 + 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜃 (B.41) 8. Untuk 𝛼 = 3 𝐹_;030+ 𝐹_;131+ 𝐹_;232+ 𝐹_;333= √−𝑔 4𝜋𝐽3 (√−𝑔 𝐹30) ,0+ (√−𝑔 𝐹 31₎ ,1+ (√−𝑔 𝐹 32₎ ,2+ (√−𝑔 𝐹 33₎ ,3 = √−𝑔 4𝜋𝐽 3 [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝜑_] ,𝑡 + [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜃]_,𝑟 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝑟]_,𝜃 + [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)0]} ,𝜑 = 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜑 [−(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−Λ(𝑟)(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝜃]_,𝑟 + [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−Λ(𝑟)_(𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 )}−1_𝐵 𝑟]_,𝜃 = [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒−𝜙(𝑟)𝐸𝜑] + 4𝜋𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽𝜑

(52)

[−𝑒𝜙(𝑟)_𝐵 𝜃]_,𝑟 + [𝑒𝜙(𝑟)𝐵𝑟]_,𝜃 = [(𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃)𝑒}−𝜙(𝑟)_𝐸𝜃_] ,𝑡+ 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜑 𝑒𝜙(𝑟)_(𝐵 𝑟,𝜃− 𝐵𝜃,𝑟) = 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝜑 𝜕𝑡 + 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐽}𝜑 (B.42)

(53)

LAMPIRAN C

DINAMIKA MEDAN ELEKTROMAGNETIK RELATIVISTIK BINTANG NEUTRON STASIONER

A. Medan Listrik

4. Komponen radial

Untuk medan listrik komponen radial, persamaan (B.35) disubstitusikan ke persamaan (B.40), yaitu 𝑒𝜙(𝑟)_(𝐵 𝜃,𝜑− 𝐵𝜑,𝜃) = 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝑟 𝜕𝑡 + 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜎𝐸} 𝑟 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜎𝐸𝑟 = 𝑒𝜙(𝑟)(𝐵𝜃,𝜑− 𝐵𝜑,𝜃) − 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝑟 𝜕𝑡 𝐸_𝑟 = 1 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜎}[𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐵 𝜃,𝜑− 𝐵𝜑,𝜃) − 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝑟 𝜕𝑡 ] (C.1) 5. Komponen polar

Untuk medan listrik komponen polar, persamaan (B.36) disubstitusikan ke persamaan (B.41), yaitu 𝑒𝜙(𝑟)_(𝐵 𝜑,𝑟 − 𝐵𝑟,𝜑) = 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝜃 𝜕𝑡 + 4𝜋 𝑒 [𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜎𝐸} 𝜃 4𝜋 𝑒[𝜙+Λ](𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜎𝐸𝜃 = 𝑒𝜙(𝑟)(𝐵𝜑,𝑟− 𝐵𝑟,𝜑) − 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝜃 𝜕𝑡 𝐸_𝜃 = 1 4𝜋𝑒[𝜙+Λ](𝑟)_𝑟2_{𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜎}[𝑒 𝜙(𝑟)_(𝐵 𝜑,𝑟− 𝐵𝑟,𝜑) − 𝑒Λ(𝑟)𝑟2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝐸𝜃 𝜕𝑡 ] (C.2) 6. Komponen toroidal