BAB VI DISTRIBUSI PROBABILITAS MENERUS

BAB VI

DISTRIBUSI PROBABILITAS MENERUS

6.1 Distribusi Uniform (seragam) Menerus

Distribusi seragam menerus merupakan distribusi yang paling sederhana.

Karaketristik distribusi ini adalah fungsi kepadatannya datar (sama). Fungsi kepadatannya dalam interval [A,B] secara matematis dinyatakan sebagi berikut:

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ ≤ ≤

= −

selainnya

0

1

) , :

( A x B

A B B

A x

f

Contoh: Bila ruang konferensi dapat didigunakan tidak lebih dari 4 jam.

Diasumsikan bahwa lamanya waktu konferensi X memiliki distribusi yang seragam.

a. Tentukan fungsi kepadatan probabilitas:

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ ≤ ≤

=

selainnya

0

4 0

4 1 ) , :

( x

B A x f

b. Berapa probabilitas bahwa waktu konferensi paling tidak 3 jam

[ 3 ]

⁴

( ) 1 / 4 1 / 4

3

=

=

≥ ∫ ^dx

X P

Rata-rata dan varians dari distribusi seragam adalah:

2 B A +

μ = dan

12 )

(

²

2

= B − A

σ

6.2 Distribusi Normal

Distribusi probabilitas menerus yang paling penting adalah ditsribusi normal.

Secara grafiknya disebut kurva normal seperti gambar berikut:

σ

x

Distribusi normal sering disebut juga dengan Distribusi Gauss. Secara matematis distribusi normal tergantung dari dua variabel yaitu μ (rata-rata) dan σ (deviasi standar). Fungsi kepadatannya (density function) sbb:

( ) ( ) ,

2 exp 1 2

1

²

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ −

−

= σ

μ π

σ x x

f

_x

− ∞ < x < ∞ , π = 3 . 14159 K Notasi singkat distribusi ini adalah N( μ , σ )

Distribusi Normal Standar

Distribusi Gauss dengan μ = 0, dan σ = 1; disebut sebagai distribusi normal standar dan ditulis sebagai N(0,1). Sehingga fungsi kepadatannya adalah:

( ) ,

2 exp 1 2

1

2

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡−

= s

s f

_s

π ^{− ∞} < s < ∞ ,

Notasi khusus Φ(s) biasanya digunakan untuk menandakan fungsi distribusi variasi normal standar S. Φ(s) = F

s

(s), dimana S adalah distribusi N(0,1).

f

s

(s)

N(0,1)

x

Gambar: Fungsi kepadatan normal standar

μ

0 s

p

Probabilitas = p

Dengan merujuk pada gambar diatas, maka Φ(s

p

) = p

Sebaliknya, nilai variasi normal standar pada probabilitas kumulatif p dapat ditulis sebagai:

s

p

= Φ

^-1

(p)

Fungsi distribusi dari N(0,1), yakni Φ(s) sudah dibuat dalam tabel di berbagai buku statitsik dan probabilitas, tabel ini disebut sebagai Tabel probabilitas normal. Contoh tabelnya sebagai berikut:

x Φ(s)

0.0 0.01 0.02 . . 0.50

0.500000 0.503989 0.507978 .

.

0.694463

Tabel biasanya diberikan untuk nilai variasi yang positif, untuk nilai yang negatif dapat diperoleh dengan:

Φ(-s) = 1- Φ(s)

Nilai s untuk p < 0.5 dapat dihitung dengan:

s = Φ

^-1

(p) = - Φ

^-1

(1-p)

Dengan tabel Φ(s), probabilitas untuk setiap distribusi normalyang lain dapat ditentukan sebagai berikut. Bila variasi normal X dengan distribusi N( μ , σ );

maka probabilitasnya adalah:

( ) ∫ _⎥ ^⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ −

−

=

≤

<

^b

a

x dx b

X a P

)

2

( 2 exp 1 2

1

σ μ π

σ

Area diatas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut:

f

x

(x)

N( μ , σ )

x

Gambar: Fungsi kepadatan probabilitas untuk N( μ , σ )

Persamaan diatas dapat juga diselesaikan dengan membuat perubahan variasi berikut:

σ μ ) / ( −

= x

s dan dx = σ ds

sehingga:

( )

( ) ( )

−

∫

−

=

−

≤

<

σ μ

σ μ

π σ σ

/

/

) 2 / 1

( ²

2

1

^b

a

s

ds e

b X a P

( ) ( )

−

∫

−

=

−

σ μ

σ

π

μ /

/

) 2 / 1

( ²

2 1

^b

a

s

ds e

persamaan ini merupakan area (luasan) dari fungsi kepadatan normal standar antara (a- μ )/ σ dan (b- μ )/ σ . Sehingga dapat ditentukan dengan:

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ Φ ⎛ −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ Φ ⎛ −

=

≤

< σ

μ σ

μ a

b b X a P

Contoh: Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi standar 15 in.

a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40 sampai 70 in.

a b

Area = P(a < x ≤ b)

μ

Solusi:

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

=

≤

< 15

60 40 15

60 70 70

40 X P

( 0 . 67 ) − Φ ( − 1 . 33 )

Φ

=

( 0 . 67 ) − [ 1 − Φ ( 1 . 33 ) ]

Φ

= Dari tabel diperoleh:

( 40 < X ≤ 70 ) = 0 . 7486 − ( 1 − 0 . 9082 ) = 0 . 6568 P

b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 30 in

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

−

∞ Φ

=

≥ 15

60 30 30

X P

( 2 . 00 ) 1 [ 1 ( 2 . 00 ) ] ( 2 . 00 ) 0 . 9772

1 − Φ − = − − Φ = Φ =

=

c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila disktribusi kumulatifnya adalah 10%.

( X ≤ x

_.10

) = 0 . 10 P

10 . 15 0

10

60 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ x

Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari 0.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga;

( 0 . 10 ) ( 0 . 90 ) 1 . 28 15

60

1 1

10

− = Φ

₋

= − Φ

₋

= −

x

Sehingga, x

₁₀

= 60 − 1 . 28 ( 15 ) = 40 . 8 in

Contoh: struktur cangkang ditopang oleh tiga tiang A, B, C seperti tunjukkan pada gambar berikut:

Walaupun beban dari atap dapat diperkirakan dengan tepat, namun kondisi tanah tidak bisa diprediksi

dengan tepat. ^A

C

B

Asumsikan bahwa penurunan pondasi ρ

A,

ρ

B,

ρ

C,

adalah variasi normal bebas dengan rata-rata 2, 2.5; dan 3 cm. Koefesien varians masing-masing adalah 20%, 20%, 25%. Berapa probabilitas maksimum penurunan melebihi 4 cm?

Solusi: P ( max ρ > 4 cm ) = 1 − P ( max ρ ≤ 4 cm )

( 4 4 4 )

1 − ≤ ∩ ≤ ∩ ≤

= P ρ

_A

ρ

_B

ρ

_C

( 4 ) ( 4 ) ( 4 )

1 − ≤ ≤ ≤

= P ρ

_A

P ρ

_B

P ρ

_C

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Φ ⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Φ ⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Φ ⎛ −

−

= 0 . 75

3 4 5

. 0

5 . 2 4 4

. 0

2 1 4

( ) ( ) ( 5 3 1 . 333 )

1 − Φ Φ Φ

=

= 1 − 1 x 0 .9986 x 0 .9088 = 0.0925

6.3 Distribusi Logaritmik Normal (Log-normal)

Suatu variabel acak X merupakan distribusi probabilitas logaritmik normal (log- normal) bila ln X (logaritmik natural X) adalah normal. Dalam kasus ini fungsi kepadatannya adalah:

( ) (ln ) ,

2 exp 1 2

1

²

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

= ζ

λ π

ζ

x x x

f

_x

0 ≤ x < ∞

dimana rata-rata = λ = E ln ( X ) dan deviasi standar = ζ = Var ln ( X )

Karena transformasi logaritmik, distribusi probabilitas log-normal dapat ditentukan dengan menggunakan distribusi normal.

( ) ∫ _⎥ ^⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

=

≤

<

^b

a

x dx b x

X a P

)

2

(ln 2 exp 1 2 1

ζ λ π

ζ Bila,

ζ λ

= x − s ln

, maka dx = x ζ ds

( ) [ ]

( )

( )

−

∫

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡−

=

≤

<

ζ λ

ζ

λ

ζ

λ ζ

λ π

/ ln

/ ln

2

ln ln

2 exp 1 2

1

^b

a

a ds b

s b

X

a

P

Rumus diatas menunjukkan probabilitas adalah fungsi dari parameter λ dan ζ.

Parameter ini terkait dengan nilai rata-rata μ dan deviasi standar σ.

Misalkan Y = ln X , merupakan distribusi normal N ( λ , ζ ) , maka X = e

^Y

, dan

( ) ^{X E} ( ) ^e

^Y

E =

μ =

∫

∞

∞

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡ −

= y dy

e

^y

)

2

( 2 exp 1 2

1

ζ λ π

ζ

∫

∞

∞

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡ −

= y dy

y

)

2

( 2 exp 1 2

1

ζ λ π

ζ

( ) _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

−

=

^∞

∫

∞

−

2 2 2

2 exp 1

2 exp 1 2

1 λ ζ

ζ ζ λ π

μ ζ y dy

Persamaan dalam tanda kurung diatas adalah total satu satuan luas dari fungsi kepadatan Gauss ^N ( ^{λ + ζ}

²

^{, ζ} ) . Oleh karena itu:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

²

2 exp λ 1 ζ

μ Æ

²

2 ln μ 1 ζ λ = −

Dengan cara yang sama, varians dari X adalah:

( ) ^X

²

⁼

E

^∞

∫

∞

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡ − y dy

e

^y

2

2

( )

2 exp 1 2

1

ζ λ π

ζ

( )

{ }

∞

∫

∞

−

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − + +

=

₂

y

²

2 2

²

y

²

dy

2 exp 1 2

1 λ ζ λ

ζ π

ζ

( )

^∞

_∫ ( ) [ ( ) ]

∞

−

⎥ +

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ − +

−

=

²

2 2

2

2 exp 2

2 exp 1 2

1 λ ζ

ζ ζ λ π

ζ ^dy

X y E

( )

[ ²

²

]

exp λ + ζ

=

Karena; Var ( ) X = E ( ) X

²

− μ

x²

; maka

( ) ^{X = exp} [ ² ( ^{λ + ζ}

²

) ] ^{− exp} [ ² ( ^{λ +}

¹

^ζ

²

) ] ^{= μ}

²

( ) ^e

^ζ2

^{− 1}

Var

dari persamaan diatas kita dapatkan:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

₂²

2

ln 1 μ

ζ σ ;

Bila σ/μ tidak besar (≤0.30), maka ^ln [ ^{1 +} ( ^σ

²

^{/ μ}

²

) ] ^{≅ σ}

²

^{/ μ}

²

; sehingga:

= COV

=

≅ δ

μ ζ σ

Median (x

m

) = nilai tengah dari log-normal adalah:

( X ≤ x

_m

) = 0 . 5

P atau ln ⎟ = 0 . 5

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ ζ

m

λ

x ; maka:

( ) 0 . 5 0 ln − = Φ

₋1

=

ζ

m

λ

x Æ λ = ln x

_m

Sebaliknya: x

_m

= e

^y

Dengan menggunakan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh:

1 δ

2

μ

= +

x

m

Æ

1

2

ln δ

λ μ

= +

Hal ini berarti median dari suatu distribusi log-normal selalu lebih kecil dari nilai rata-ratanya, yakni x

_m

< μ

Contoh: Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi log-normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi standar 15 in.

a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40 sampai 70 in.

Solusi:

25 . 60 0 15 =

=

≅ μ

ζ σ

( 0 . 25 ) 4 . 06 60

2 ln

ln − 1

²

= −

₂^{1 2}

=

= μ ζ

λ

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

=

≤

< 0 . 25

06 . 4 40 25

. 0

06 . 4 70 70

40 X P

( 0 . 75 ) − Φ ( − 1 . 48 )

Φ

=

( 0 . 75 ) − [ 1 − Φ ( 1 . 48 ) ]

Φ

= Dari tabel diperoleh:

( 40 < X ≤ 70 ) = 0 . 773373 − 0 . 069437 = 0 . 7039 P

b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 30 in

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

−

∞ Φ

=

≥ 0 . 25

06 . 4 30 30

X P

( 2 . 64 ) 0 . 9958

1 − Φ − =

=

c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila disktribusi kumulatifnya adalah 10%.

( X ≤ x

_.10

) = 0 . 10 P

10 . 25 0

. 0

06 . 4

ln

₁₀

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ x

Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari 0.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga;

( 0 . 10 ) ( 0 . 90 ) 1 . 28 25

. 0

06 . 4

ln x

10

− = Φ

₋1

= − Φ

₋1

= −

Sehingga, 74 ln x

₁₀

= 4 . 06 − 1 . 28 ( 0 . 25 ) = 3 . inc

e

x

₁₀

=

^3.74

= 42 . 10

6.4 Distribusi Gamma dan exponensial

Distribusi gamma dan exponensial terkait dengan proses Poisson. Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang diformulasikan sebagai berikut:

( ) ⁼ ∫

^∞

x

⁻

e

^−x

dx

Γ

¹

0

α

α

untuk α >0

Dengan memisalkan u = x

^α−1

dan dv = e

^−x

dx , diperoleh:

( ) e

^x

x e

^x

( ) x dx ( ) x

²

dx

0 2

0 0

1 ^{∞ ∞ −}

1

⁻

1

^{∞ −}

−

−

⁺ ∫ ^{− = −} ∫

−

=

Γ α

^α

α

^α

α

^α

untuk α >1., menghasilkan rumusan pengulangan

( ) ( = − 1 ) ( Γ − 1 ) .

Γ α α α

( ) ( = − 1 )( − 2 ) ( Γ − 2 ) ( = − 1 )( − 2 )( − 3 ) ( Γ − 3 ) .

Γ α α α α α α α α

dan seterusnya,

Bila α = n , dimana n adalah bilangan bulat positif, maka

( ) ( = − 1 )( − 2 ) ,...., Γ ( ) 1

Γ n n n

Berdasarkan rumus fungsi gamma:

( ) 1 1

0

=

=

Γ ∫

^∞

^e

^−x

^dx

( ) ( = − 1 ) !.

Γ n n

Sehingga: Fungsi kepadatan distribusi gamma dari suatu variabel acak X, dengan parameter α dan β adalah:

( ) ( )

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ Γ

=

−

−

selainnya

, 0

1

α 1 /β

,

α

α

β

e

x

x x

f x > 0

dimana α > 0 dan β > 0

Bila α = 1, maka distribusi tersebut dinamakan distribusi exponensial, fungsi kepadatannya adalah:

( ) ⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ >

=

−

selainnya

0

0

1

_/

x x e

f

x β

β

Rata-rata dan varians distribusi gamma adalah:

αβ

μ = dan σ

²

= αβ

²

Rata-rata dan varians distribusi exponensial adalah β

μ = dan σ

²

= β

²

Contoh:

Suatu sistem terdiri dari komponen tertentu yang waktu terjadi kerusakkannya dinyatakan dengan T. Variabel acak T diasumsikan memiliki distribusi exponensial dengan rata-rata β = 5. Bila 5 dari kompenen ini dipasang pada sisitem yang berbeda, berapa probabilitas bahwa paling tidak 2 komponen masih berfungsi pada akhir tahun ke 8.

Solusi:

Probabilitas komponen masih berfungsi pada akhir tahun ke 8 adalah:

( ) 0 . 2

5

8 1

^8/5

8 8

/

= ≅

=

>

^∞

∫ ^e

⁻

^{dt e}

⁻

T

P

^t

Dengan menggunakan distribusi binomial diperoleh:

( ) ∑ _⎟⎟

⁻

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

≥

⁵

2

2 p

^x

q

^{n x}

x

X n

P = ∑ _⎟⎟

⁻

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−

¹

⎛

0

1 p

^x

q

^{n x}

x

n = 1 – 0.7373 = 0.2627.