BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BAB 6

NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

RINGKASAN MATERI

1. Notasi Sigma

 Diberikan suatu barisan bilangan, a1, a2, ..., an. Lambang



 n

k

ak 1

menyatakan jumlah n suku pertama barisan deret tersebut, yaitu:



 n

k

ak 1

= a1 + a2 + ... + an

 Sifat-sifat Notasi Sigma: Jika m dan n bilangan asli, dengan m  n dan c  R maka berlaku:

a.



 n

k

ak 1

= a1 + a2 + ... + an

b.

_   _{ }





    ⁿ

m k

k n

m k

k n

m k

k

k b a b

a

c.

 



  ⁿ

m k

k n

m k

k c a

ca

d. c nc

n

k





1

e.

  





   ⁿ

m k

k m

k k n

k

k a a

a

1 1

f. 0

1 



^

 m

m k

ak

g.

_   _{  }







      ⁿ

m k

k n

m k

k k n

m k

k n

m k

k

k b a a b b

a ^{2 2} 2 ²

h.

  

^



 





 

   ^{n c}

c m k

c k c

n

c m k

c k n

m k

k a a

a

2. Barisan Aritmetika

 Sebuah barisan bilangan u1, u2, ... , un disebut barisan aritmetika jika berlaku

b = u2 – u1 = u3 – u2 = ... = un – un – 1 , dengan b disebut beda dari barisan aritmetika

 Un = a + (n – 1)b

dengan Un = suku ke-n, b = beda, dan a = suku pertama (U1 )

 Ut = 2

1(a + Un)

dengan Ut = suku tengah, Un = suku ke-n (n ganjil)

 Jika diantara dua suku berurutan disisipkan k buah suku, maka diperoleh barisan aritmetika yang baru dengan beda yang baru menjadi:

' 1

  k b b

b’ = beda barisan aritmetika yang baru b = beda barisan aritmetika yang lama k = banyaknya penyisip

3. Deret Aritmetika

 Deret aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika, yaitu:

Sn = u1 + u2 + ... + un

= 2

n(2a + (n – 1)b)

= 2

n (a + Un)

= n . Ut

dengan Sn = jumlah n suku pertama, dan n = jumlah suku

 Un = Sn – Sn – 1

4. Barisan Geometri

 Sebuah barisan bilangan u1, u2, ..., un disebut barisan geometri jika berlaku :

1 2

3 1 2











n n

u u u

u u

r u  , dengan r merupakan rasio dari barisan geometri tersebut.

 Un = ar^{n – 1}

dengan Un = suku ke-n, r = rasio, dan a = suku pertama (U1) A

2

 U_t  aU_n

dengan Ut = suku tengah, Un = suku ke-n (n ganjil)

 r'^k1r

dengan r’ = rasio barisan yang baru, r = rasio barisan yang lama, k = banyaknya penyisip 5. Deret Geometri

 

1 1



  r r S a

n

n , untuk r > 1 atau

 

r r S a

n

n 

  1

1 , untuk r < 1

6. Deret Geometri Tak Hingga

 Adalah suatu deret geometri yang mempunyai suku-suku yang tak hingga banyaknya.

S = a + ar + ar² + ar³ + ... = r a

1 , n  ~

 S ganjil = ₂ 1 r

a

 , S genap = ₂ 1 r

ar

 , S = S ganjil + S genap ,

ganjil genap

S r S



 

SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Niai dari

_    





5 

1

2 3

1

k

k k = ….

a. –22 b. –12 c. 12 d. 13 e. 22

Jawaban: b Penyelesaian:

   

⁵  

1

2 3

1

k

k k = (–1)(1² – 3) + (–1)²(2² – 3) + (–1)³(3² – 3) + (–1)⁴(4² – 3) + (–1)⁵(5² – 3) = 2 + 1 + (–6) + 13 + (–22)

= –12

2. Dari barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-9 adalah 35 dan jumlah suku ke-4 dan ke-12 adalah 62. Nilai suku ke-10 adalah ….

a. 25 b. 35 c. 39 d. 49 e. 62

Jawaban: c Penyelesaian:

U9 = 35  a + 8b = 35 ... (1)

U4 + U12 = 62  a + 3b + a + 11b = 62  2a + 14b = 62

 a + 7b = 31 ... (2) Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh a + 8b = 35

a + 7b = 31 b = 4  a = 3 Jadi, Un = a + (n – 1)b

U10 = 3 + 9(4) = 39 3. Ebtanas 2001

Rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n² + 3n. Beda deret tersebut adalah ....

a. 6 b. 4 c. 2 d. – 4 e. – 6

Jawaban: c Penyelesaian:

Sn = n² + 2n

S1 = U1 = (1)² + 2(1) = 3 S2 = (2)² + 2(2)

 U1 + U2 = 8

 3 + U2 = 8

 U2 = 5

Jadi, b = U2  U1 = 5 – 3 = 2

Metode Praktis:

Sn = An² + Bn  Un = 2An + (B – A) dan beda = 2A Karena Sn = n² + 2n

maka Un = 2n + (2 – 1) = 2n + 1 dan beda = 21 = 2

B

4. Ebtanas 2000

Jumlah suku n pertama deret aritmetika adalah 12.000 untuk n = 75, maka suku tengah deret itu adalah ….

a. 80 b. 150 c. 155 d. 160 e. 320

Jawaban: d Penyelesaian:

75 160 000 .

12 



 n U_t Sⁿ

Jadi, suku tengah deret itu adalah 160.

5. Ebtanas 2001

Suku ke-13 dari empat suku barisan yang berpola 16

1 , 8 1,

4 1,

2

1 adalah ....

a. 32 b. 64 c. 128 d. 256 e. 512

Jawaban: d Penyelesaian:

dari barisan di atas diperoleh 16

 1

a dan

8 1

2

U , sehingga a rU²

16 1 8 1

 = 2 dan

U13 = ar¹² = 2¹² 16

1  = 256

Jadi, suku ke-13 barisan tersebut adalah 256.

6. Antara bilangan 4 dan 1024 disisipkan 7 bilangan. Bilangan ini bersama bilangan semula membentuk sebuah deret geometri. Jumlah deret geometri tersebut adalah ….

a. 1028 b. 2011 c. 2044 d. 2066 e. 3044

Jawaban: c Penyelesaian:

Antara bilangan 4 dan 1024 disisipkan 7 bilangan, maka r = ^{7 1}

4

 1024 = (256)^1/8 = (2⁸)^1/8 = 2 untuk a = 4, r = 2 dan n = 9, maka

 

1 1



  r r S a

n n

 

1 2

1 2 4 ⁹

9 

 

S

= 4(511) = 2044

Jadi, jumlah deret geometri adalah 2044.

7. Suku pertama dan rasio barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 3. Jumlah n suku pertama dari deret tersebut adalah 80, banyak deret tersebut adalah ….

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

Jawaban: b Penyelesaian:

Diketahui a = 2, r = 3, dan Sn = 80, maka

 

1 1



  r r S a

n n

 80 =

 

1 1



 r r a ⁿ

 80 =

 

1 3

1 3 2





n

 80 = 3ⁿ – 1

 3ⁿ = 81

 n = 4

Jadi, banyak deret tersebut adalah 4.

4 Jumlah deret geometri tak hingga

2 2 1 2 1 1

2    + … adalah ….

a. ( 2 1) 3

2  b. ( 2 1)

2

3  c. 2( 2 + 1) d. 3( 2 + 1) e. 4( 2 + 1) Jawaban: c

Penyelesaian:

Deret geometri tak hingga di atas memiliki : a 2 dan

2 1

1





 n

n

u

r u , maka

r S a

 

 1 =

2 1 1

2



=

1 2

2

 =

1 2

1 2 1 2

2



 

 = 2( 2 + 1)

9. UAN 2003

Sebuah bola dijatuhkan tegak dari ketinggian 6 m, terjadi pantulan ke-2, ke-3, ke-4 dan seterusnya dengan ketinggian pantulan 4 m,

3 8 m,

9

16m dan seterusnya. Jarak lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti adalah

a. 16 m b. 18 m c. 20 m d. 24 m e. 30 m

Jawaban: e Penyelesaian:

Bola turun: 6 + 4 + 3

8 + … , sehingga Sturun= 3 1 2

6



=18 m

Bola naik: 4 + 3 8 +

9

16 +… , sehingga Snaik = 3 1 2

4



= 12 m

S = Sturun + Snaik = 18 + 12 = 30 m.

Jadi, lintasan yang ditempuh bola adalah 30 m.

LATIHAN SOAL

1. UN 2004

Nilai (5 6) ....

21

2







 n

n

a. 882 d. 1.957

b. 1.030 e. 2.060

c. 1.040 2. Ebtanas 2000

Nilai x yang memenuhi persamaaan 3 1

5

1 2 

 



k x

k adalah ….

a. –1 atau 1 d. –4 atau 4 b. –2 atau 2 e. –5 atau 5 c. –3 atau 3

Metode Praktis:

x y

x h y

S 

 

 , dengan

S = Jarak lintasan bola sampai berhenti y

r  x = rasio

h = tinggi bola semula Diketahui h = 6 dan r =

3

2, berarti x = 2 dan y = 3,

sehingga:

2 3

2 6 3



 



S = 30 m

3 8

3 8

1 2 3 4 5

6

4 4

Bola

C

3. Ebtanas 2000

Suku kedua dari suatu deret aritmetika adalah 5.

Jika jumlah suku ke-4 dan suku ke-6 sama dengan 28, maka suku ke-9 adalah ....

a. 19 d. 26

b. 21 e. 28

c. 23 4. Ebtanas 2000

Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret itu adalah ....

a. 17 d. 23

b. 19 e. 25

c. 21

5. Barisan (2k + 25), (–k + 9), (3k + 7), ... membentuk suatu barisan aritmetika. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah ....

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3 6. Ebtanas 1998

Jumlah deret aritmetika 2 + 5 + 8 +…+ k = 345, maka k = .…

a. 15 d. 46

b. 25 e. 47

c. 44 7. Ebtanas 1994

Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + … + 99.

Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ….

a. 950 d. 1.980

b. 1.450 e. 2.430

c. 1.930 8. Ebtanas 2001

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn = n² +

2

5 n . Beda dari deret aritmatika tersebut adalah ....

a. –5

2

1 d. 2

2 1

b. –2 e. 5

2 1

c. 2 9. UN 2008

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan ...

a. 100 d. 160

b. 110 e. 180

c. 140 10. UN 2007

Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 840 d. 630

b. 660 e. 315

c. 640

6 U6 + U9 + U12 + U15 = 20, maka S20 = ….

a. 50 d. 200

b. 80 e. 400

c. 100 12. UN 2006

Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang anak tersebut 10 tahun yang akan datang adalah ….

a. 95 tahun d. 140 tahun b. 105 tahun e. 145 tahun c. 110 tahun

13. UN 2005

Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp. 55.000,00 bulan ketiga sebesar Rp. 60.000,00 dan seterusnya. Besar tabungan anak itu selama dua tahun adalah ....

a. Rp. 1.315.000,00 d. Rp. 2.580.000,00 b. Rp. 1.320.000,00 e. Rp. 2.640.000,00 c. Rp. 2.040.000,00

14. UN 2008

Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah ….

a. 5.460 cm d. 1.352 cm b. 2.808 cm e. 808 cm c. 2.730 cm

15. Ebtanas 2000

Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku keempat barisan tersebut adalah ....

a. 24 d. 38

b. 30 e. 42

c. 34

16. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri.

Jika hasil kalinya adalah 216 dan jumlahnya 26, maka rasio deret adalah ....

a. 3 atau 3

1 d. 3 atau

2 1

b. 3 atau – 3

1 e. 2 atau 2 1 c. 3 atau 2

17. UN 2008

Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ....

a. 368 d. 379

b. 369 e. 384

c. 378

18. UN 2004

Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3₉⁵ cm, maka tinggi tanaman tersebut pada hari pertama pengamatan adalah ….

a. 1 cm d. 1⁷₉ cm b. 1₃¹ cm e. 2¹₄ cm c. 1¹₂ cm

19. UN 2006

Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Hasil kali suku ke-3 dan ke-6 adalah ....

a. 4.609 d. 768

b. 2.304 e. 384

c. 1.152 20. UAN 2002

Sn = 2ⁿ⁺¹ – 2 adalah jumlah n buah suku pertama dari suatu deret, dan Un adalah suku ke-n deret tersebut. Jadi, Un = ….

a. 2ⁿ d. 3^{n – 1}

b. 2^{n – 1} e. 3^{n – 2} c. 3ⁿ

21. UN 2007

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi

4

3 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun?

a. Rp 20.000.000,00 d. Rp 35.000.000,00 b. Rp 25.312.500,00 e. Rp 45.000.000,00 c. Rp 33.750.000,00

22. UN 2005

Seutas tali dipotong 7 bagian dan panjang masing- masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah ....

a. 378 cm d. 762 cm

b. 390 cm e. 1.530 cm c. 570 cm

23. Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 12 dan suku keduanya –5₃¹, maka salah satu suku pertama deret itu ....

a. 13 d. 16

b. 14 e. 17

c. 15 24. UN 2006

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ₄³ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti.

Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….

a. 65 m d. 77 m

b. 70 m e. 80 m

c. 75 m

8