PENDAHULUAN Definisi: Contoh Kasus:

DISTRIBUSI

DISTRIBUSI PROBABILITASPROBABILITAS

Definisi:

• Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan distribusi yang mempermudah mengetahui probabilitas sebuah peristiwa.

• Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa.

Contoh Kasus:

• Berapa peluang meraih untung dari investasi di reksa dana

• Berapa banyak barang harus dikirim, apabila selama perjalanan barang mempunyai probabilitas rusak

• Berapa peluang karyawan bekerja lebih baik esok hari

PENDAHULUAN

Macam- macam Distribusi Peluang

a. Peubah Acak Diskrit

1. Distribusi Binominal 2. Distribusi Multinominal 3. Distribusi Poisson

4. Distribusi Hipergeometris b. Peubah Acak Kontinyu

1. Distribusi Normal 2. Distribusi Student 3. Distribusi Chi Square 4. Distribusi Fischer

Variabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang

mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval.

Variabel acak kontinu

Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang

menempati seluruh titik dalam suatu interval.

VARIABEL ACAK

Variabel acak

Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untung- untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.

RATA-RATA HITUNG, VARIANS, DAN STANDAR DEVIASI

• Varians

• Rata-rata Hitung

• Standar Deviasi

= E(X) = (X.P(X))

2= (X - )2 .P(X)

=  2

RATA-RATA HITUNG, VARIANS DAN STANDAR DEVIASI

X P(X) X.P(X) X-  (X- )² (X- )²P(X)

0 0,125 0,000 -1,50 2,25 0,28

1 0,375 0,375 -0,50 0,25 0,09

2 0,375 0,750 0,50 0,25 0,09

3 0,125 0,375 1,50 2,25 0,28

 = 1,500 ²= ^0,75

Standar deviasi =  = ² =0,75 = 0,87

Distribusi Binomial

• Distribusi Binomial adalah suatu distribusi

probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan

sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap

ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka.

Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label "berhasil" bila kartu yang

terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan

tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan

setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar 0,5..(Ronald E. Walpole)

Ciri-Ciri Distribusi Binomial

• Percobaan diulang sebanyak n kali.

• Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

– "BERHASIL" atau "GAGAL";

– "YA" atau "TIDAK";

– "SUCCESS" atau "FAILED";

• Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p.

peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1 - p.

• Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan yang lainnya.

• Percobaannya terdiri dari atas n ulangan (Ronald E.

Walpole).

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

Contoh Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:

(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;

(b) transaksi saham: jual- beli,

(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

.

DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

Rumus distribusi probabilitas binomial:

r n r q r p

n r

r n ^

  .

)!

(

! ) !

( P

Dimana:

P(r) : Nilai probabilitas binomial

p : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan r : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan

percobaan

n : Jumlah total percobaan

q : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1-p

CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90%

diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero.

Berapa peluang 15 dan 13 buah diterima? Hitung probabilitas 10 buah diterima???

Jawab:

P(p) = 0,9 dan P(q) = 1-0,9 = 0,1

P(15) = [15!/(15!(15-15)!] 0,9¹⁵0,1⁰ = 0,206 P(13) = [15!/(13!(15-13)!] 0,9¹³0,1² = 0,267

Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakan tabel distribusi binomial dengan n=15; di mana X =15, dan X = 13 dengan P(p)= 0,9 dan dapat diperoleh nilai 0,206 dan 0,267

• Catatan :

Agar anda mudah dalam membedakan p

dengan q, anda harus dapat menetapkan

mana kejadian SUKSES dan mana kejadian

GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa

kejadian yang menjadi pertanyaan atau

ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

• Contoh distribusi binomial :

Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :

– Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas – Paling sedikit 1 di antara menyatakan kurang puas

– Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

• Jawab :

X ≤ 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20)

=

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768

b(x=1) = 5C1 (0.20)1 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)2 (0.80)3 = 0.20480 --- + Maka hasil x = 2 adalah = 0.94208

X ≥ 1

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =

0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562

X = 2

b(2; 5, 0.25) = 0.2637

X = 2 X = 4

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) =

0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528

• Analisis masing-masing point :

– Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah

0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.

– Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).

– Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).

• Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan

jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.

• Analisis keseluruhan :

Presentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa

memperhatikan jumlah X, maka persentase

terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28%

yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut

menandakan banyak turis manca negara yang

sangat menyukai Indonesia.

• Kepala bagian produksi PT SAMSUNG

melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi,

berapakah perhitungan dengan nilai

probabilitas 2 ?

• Jawab : p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4

Rumus :

b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x

b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 - 2)

= 0,0975

• Analisis :

Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata - rata produk rusak setiap kali produksi adalah

sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau

bahkan dihilangkan untuk mengurangi

kerugian.

Rata-Rata dan Ragam Distribusi Binomial

Rata-rata µ = n . p Ragam ð2 = n . p . q n : ukuran populasi

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1 - p dalam

setiap ulangan

• Contoh Rata - rata dan Ragam Distribusi Binomial :

Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20

q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80 maka :

µ = 5 X 0.20 = 1

ð2 = 5 X 0.20 X 0.8 = 0.80

ð = √0.80 = 0.8944

1. Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function.

2. Anda pilih menu statistical pada function category

3. Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda tekan OK.

4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

BINOMDIST

Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL

Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau