PENDEKATAN BARU UNTUK PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI SOLID ABSTRACT

PENDEKATAN BARU UNTUK PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI SOLID

Siti Agustina Simanjuntak

^1∗

, Tumpal P. Nababan

²

, M. D. H. Gamal

²

1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗

sitiagustina78@yahoo.co.id

ABSTRACT

This article discusses the application of new method in the solid transportation problem to minimize the total distribution cost from some sources to some destinations using some conveyances. The minimum total distribution cost using the new approach is optimal and can be obtain easily, quickly and simple way.

Keywords: transportation problem, solid transportation problem.

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang pengaplikasian pendekatan baru pada masalah transportasi solid untuk meminimumkan total biaya distribusi dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan menggunakan beberapa alat angkut. Total biaya distribusi minimum dengan pendekatan baru adalah optimal yang dapat diperoleh dengan mudah, cepat dan sederhana.

Kata kunci: masalah transportasi, masalah transportasi solid.

1. PENDAHULUAN

Transportasi merupakan sarana yang sangat penting dari suatu fungsi masyarakat yang dapat memindahkan, menggerakkan, mengangkut atau mengalihkan suatu objek dari suatu tempat ke tempat lain, dimana di tempat lain ini objek tersebut lebih bermanfaat atau dapat berguna untuk tujuan-tujuan tertentu. Transportasi dapat menunjang keberhasilan pembangunan suatu negara terutama dalam men- dukung kegiatan perekonomian masyarakat.

Banyak kelebihan yang dapat diperoleh perusahaan dari penerapan metode

transportasi yang tepat, diantaranya adalah berguna dalam kelancaran pendistribu-

sian atau pengalokasian produk dari sumber produk dari sumber ke tempat yang

dituju dan menekan total biaya transportasi. Oleh sebab itu, metode transportasi

sangat berguna bagi pendistribusian barang yang efektif dan efisien.

sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu, menentukan besarnya kuantitas barang yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan sesuai dengan permintaan dan kapasitas sumber, serta menentukan besarnya biaya transportasi dari suatu sumber ke suatu tujuan [6, h: 70].

Masalah transportasi solid diperlakukan sebagai kasus spesial dari permasalahan program linear. Masalah transportasi solid adalah generalisasi dari masalah trans- portasi biasa yang terkenal dimana tiga item (sumber, tujuan, dan alat angkut) yang dipertimbangkan dalam kendala bukan dua item (sumber dan tujuan) sehingga to- tal biaya transportasi minimum. Haley [1] memperkenalkan prosedur penyelesaian masalah transportasi solid yang merupakan perluasan dari metode modifikasi dis- tribusi.

Artikel ini menyajikan penyelesaian masalah transportasi solid yang efektif dan efisien dengan pendekatan baru yang merupakan pengembangan dari artikel Pandian dan Anuradha yang berjudul ”A New Approach for Solving Transporta- tion Problems” [3] dan ”A New Method for Finding an Optimal Solution to Solid Assignment Problems” [4].

2. MODEL MASALAH TRANSPORTASI SOLID

Masalah transportasi solid merupakan generalisasi dari masalah transportasi yang melibatkan bagaimana untuk mengangkut produk dari sumber-i ke tujuan-j dengan alat angkut-k. Sehingga total biaya transportasi minimum. Dalam masalah transportasi solid keseimbangan jumlah persediaan, jumlah tujuan dan jumlah alat angkut seharusnya sama satu sama lain. Itu sudah cukup untuk menganggap bahwa ada produk yang cukup dalam sumber-sumber untuk memenuhi permintaan dari setiap tujuan dan alat angkut memiliki kemampuan untuk mengangkut produk untuk memenuhi permintaan dari setiap tujuan. Masalah transportasi solid dapat diperkenalkan dalam bentuk tiga dimensi yakni untuk i = 1, 2, · · · , m;

j = 1, 2, · · · , n dan k = 1, 2, · · · , l. Setiap sel akan menghadirkan x

ij

. Untuk lebih mudah dapat dilihat pada model transportasi solid berikut [3].

min z =

∑

m i=1

∑

n j=1

∑

l k=1

c

_ijk

x

_ijk

kendala

∑

n j=1

∑

l k=1

x

_ijk

= s

_i

, i = 1, 2, · · · , m (1)

∑

m i=1

∑

l k=1

x

_ijk

= d

_j

, j = 1, 2, · · · , n (2)

∑

m i=1

∑

n j=1

x

ijk

= t

k

, k = 1, 2, · · · , l (3)

x

ijk

≥ 0, (untuk semua i, j dan k) (4)

dengan

z := biaya distribusi total/fungsi objektif;

s

_i

:= jumlah produk yang tersedia pada sumber-i;

d

_j

:= jumlah produk yang diperlukan pada tujuan-j;

t

k

:= jumlah produk yang dikirim dengan alat angkut-k;

c

_ijk

:= biaya angkut per unit produk dari sumber-i ke tujuan-j dengan alat angkut-k;

x

_ijk

:= jumlah unit produk yang dikirim dari sumber-i ke tujuan-j dengan alat angkut-k;

m := jumlah sumber;

n := jumlah tujuan;

l := jumlah alat angkut.

Jika persamaan (1) hingga (4) terpenuhi maka disebut solusi layak, sedangkan jika hanya memenuhi persamaan (1) hingga (3) disebut solusi basis [2]. Jika diperoleh

∑

m i=1

s

_i

=

∑

n j=1

d

_j

=

∑

l k=1

t

_k

,

maka permasalahan tersebut adalah masalah transportasi seimbang [3].

3. PENDEKATAN BARU MASALAH TRANSPORTASI SOLID Proses pendekatan baru yang diperkenalkan oleh Pandian dan Anuradha [3] dipakai untuk menyelesaikan masalah transportasi solid dengan contoh kasus yang diambil dari artikel Pandian dan Kavitha [5] yang berjudul ”Sensitivity Analysis in Solid Transportation Problems”. Proses penyelesaian contoh kasus ini dikerjakan dengan prosedur pada artikel Pandian dan Anuradha [3] untuk Langkah 1 sampai Langkah 5, sedangkan langkah berikutnya mengikuti prosedur pada artikel seperti pada [4].

Proses pendekatan baru dari masalah transportasi solid adalah sebagai berikut [3]:

Langkah 1: Periksa apakah masalah transportasi solid yang diberikan seimbang.

Jika tidak, ubah menjadi seimbang.

Langkah 2: Bangun tabel O-D di mana baris adalah sumber (O) dan kolom adalah tujuan (D).

Langkah 3: Kurangi setiap entri pada tabel sumber (O) dengan yang minimum kemudian, kurangi setiap entri pada permintaan dari tabel reduksi dengan yang minimum.

Langkah 4: Periksa jika ada kemungkinan untuk menugaskan tiap persediaan

Langkah 6. Jika tidak, lanjut Langkah 5.

Langkah 5: Tutup semua asal, tujuan dan alat angkut yang sudah bernilai nol dengan garis vertikal dan horizontal dari tabel transportasi reduksi. Kemudian pilih elemen terkecil yang tidak tertutup dan kurangi elemen yang minimum ini dari se- mua elemen yang tidak tetutup dan jumlahkan semua elemen pada perpotongan garis. Kemudian, kembali ke Langkah 4.

Langkah 6: Bangun tabel tujuan-alat angkut(tabel D-C) menggunakan tabel reduksi dari Langkah 4 dan kemudian aplikasikan Langkah 4 ke Langkah 5 menuju tabel D-C kemudian lanjut Langkah 7.

Langkah 7: Bangun tabel C-O menggunakan tabel reduksi dari Langkah 6 dan kemudian, aplikasikan Langkah 4 ke Langkah 5 menuju tabel C-O. Kemudian lanjut Langkah 8.

Langkah 8: Periksa apakah ada kemungkinan untuk menugaskan setiap per- mintaan dengan persediaan yang sesuai menggunakan sel yang sudah berniali nol dan setiap persediaan dengan permintaan yang sesuai menggunakan sel yang sudah bernilai nol, setiap permintaan dengan alat angkut yang sesuai menggunakan sel yang sudah bernilai nol dan setiap alat angkut dengan permintaan yang sesuai meng- gunakan sel yang sudah bernilai nol dan setiap persediaan dengan alat angkut yang sesuai menggunakan sel yang sudah bernilai nol dan setiap alat angkut dengan perse- diaan yang sesuai menggunakan sel yang sudah bernilai nol dari reduksi masalah transportasi solid. Jika tidak ubah ke bentuk tersebut menggunakan Langkah 5.

Langkah 9: Pilih angka minimum dari asal/permintaan/alat angkut dari tabel yang sudah nol. Kemudian bagikan yang maksimum mungkin untuk cell nol yang mempunyai harga minimum asal. Jika ada lebih dari satu, pilih salah satu.

Langkah 10: Ubah tabel reduksi setelah memindahkan semua persediaan yang di- gunakan, semua permintaan yang diterima dan semua alat angkut yang digunakan atau modifikasi sebagian persediaan yang digunakan, permintaan yang diterima dan alat angkut yang digunakan.

Langkah 11: Ulangi Langkah 9 dan Langkah 10 sampai semua persediaan di- gunakan dan permintaan diterima dan alat angkut digunakan .

Langkah 12: Hasil ini disebut solusi optimal dari masalah transportasi solid.

4. CONTOH KASUS MASALAH TRANSPORTASI SOLID

Masalah ini merupakan masalah pengangkutan sejenis produk dari beberapa sum- ber ke beberapa tujuan dengan menggunakan beberapa alat angkut. Pengalokasian produk dari sumber yang bertindak sebagai penyalur ke tujuan yang membutuhkan barang dengan menggunakan alat angkut yang disediakan agar biaya pengangku- tan seminimal mungkin dari seluruh permintaan dari tempat tujuan dipenuhi.

Produksi beras dihasilkan pada tiga sumber (Pabrik 1, Pabrik 2 dan Pabrik 3) harus didistribusikan ke tiga tujuan (Warung, Supermarket dan Pasar) menggu- nakan tiga alat angkut (Motor Roda Tiga, Pick Up dan Dump Truck). Misalkan masing-masing sumber yakni Pabrik 1, Pabrik 2 dan Pabrik 3 adalah O

₁

, O

₂

dan O

3

, masing- masing tujuan yakni Warung, Supermarket dan Pasar adalah D

1

, D

2

dan D

₃

dengan masing-masing alat angkut yakni Motor Roda Tiga, Pick Up dan Dump Truck adalah C

₁

, C

₂

dan C

₃

. Data pada Tabel 1, menunjukkan jumlah produksi yang paling banyak bisa diangkut, jumlah barang yang harus diantar ke tempat tujuan, biaya angkut per unit barang dan kapasitas alat angkut yang bisa digunakan.

Tabel 1: Tabel Awal Masalah Transportasi Solid

Kapasitas Alat Angkut

C

₁

C

₁

C

₁

33

C

₂

C

₂

C

₂

18

C

3

C

3

C

3

17

D

₁

D

₂

D

₃

Persediaan

O

₁

41 71 84 73 97 87 16 7 20 30

O

₂

84 42 46 71 53 88 84 42 95 12

O

3

8 12 34 49 70 3 50 26 49 26

Permintaan 17 19 32

Penyelesaian masalah pada Tabel 1 dapat dilihat dari beberapa langkah berikut.

1. Dengan menggunakan penjelasan pada bagian 3 sebelumnya pada Langkah 1 akan diperiksa apakah masalah transportasi solid yang diberikan seimbang.

Jika tidak ubah menjadi seimbang.

∑

3 i=1

s

_i

=

∑

3 j=1

d

_j

=

∑

3 k=1

t

_k

= 68 dikatakan masalah transportasi seimbang.

2. Selanjutnya Langkah 2 sampai Langkah 5 yang dijelaskan pada bagian 3 di-

tunjukkan pada Tabel 2.

D

₁

D

₂

D

₃

Persediaan C

₁

C

₂

C

₃

C

₁

C

₂

C

₃

C

₁

C

₂

C

₃

O

₁

21 64 73 53 79 72 0 0 0 30

O

₂

29 0 0 16 0 38 33 0 40 12

O

₃

0 17 35 41 64 0 46 31 41 26

Permintaan 17 19 32

Tabel 3: Tabel D-C Masalah Transportasi Solid

C

₁

C

₂

C

₃

Permintaan

O

1

O

2

O

3

O

1

O

2

O

3

O

1

O

2

O

3

D

₁

21 29 0 64 0 17 73 0 35 17

D

₂

53 16 41 79 0 64 72 38 0 19

D

₃

0 33 46 0 0 31 0 40 41 32

Alat Angkut 33 18 17

3. Langkah 6 akan dibangun tabel tujuan-alat angkut (tabel D-C) yang dapat dilihat pada Tabel 3.

4. Langkah 7 akan dibangun tabel alat angkut-sumber (tabel C-O) yang ditun- jukkan pada Tabel 4.

Tabel 4: Tabel C-O Masalah Transportasi Solid

O

₁

O

₂

O

₃

Alat Angkut

D

₁

D

₂

D

₃

D

₁

D

₂

D

₃

D

₁

D

₂

D

₃

C

₁

21 53 0 29 16 33 0 41 46 33

C

2

64 79 0 0 0 0 17 64 31 18

C

₃

73 72 0 0 38 40 35 0 41 17

Persediaan 30 12 26

5. Kemudian hasil masalah transportasi solid diperoleh pada Tabel 5.

Hasil untuk penyelesaian masalah transportasi solid diperoleh melalui Langkah 8

sampai pada Langkah 12 pada bagian 3 sebelumnya. Diperoleh hasil optimal dengan

alokasi yang tepat untuk setiap sumber yang ada dengan tujuan yang ditentukan

dengan menggunakan kapasitas alat angkut yang tersedia. Dari hasil Tabel 5, diper-

oleh X

₁₃₁

= 24; X

₁₃₂

= 6; X

₂₁₂

= 8; X

₂₂₂

= 2; X

₂₃₂

= 2; X

₃₁₁

= 9; X

₃₂₃

= 17,

dengan biaya transportasi 1075.

Tabel 5: Hasil Masalah Transportasi Solid

21 64 73

29 0 0

0 17 35

8 9

53 16 41

79 72 0 38

41 40 0 0

0 31 46 33 0

64 0

6 2 24 2

17

33

17 19 32

26 12 30 18 17 Kapasitas

Persediaan

Permintaan Alat Angkut Sumber

C

₁

C

₃

C

₂

C

₁

C

₂

C

₃

C

₁

C

₂

C

₃

D

₁

D

₂

D

₃

O

₁

O

₂

O

₃

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan pada bagian sebelumnya dapat disimpulkan bahwa penen- tuan biaya minimum dan alokasi distribusi yang tepat dapat diperoleh dari proses penyelesaian baru yang optimal dan cepat melalui dua prosedur yang menghasilkan nilai yang sama. Penyelesaian masalah transportasi solid dengan cara manual meng- gunakan suatu pendekatan baru ini selain mudah dalam memahami proses penyele- saian namun juga dapat diperoleh dengan waktu yang memadai dan efektif.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Haley, K.B. 1960. The Solid Transportation Problem. Operations Research.

11: 448-462.

[2] Misra, S. & C. Das. 1981. Three - Dimensional Transportation Problem with Capacity Restriction. NZOR. 9: 47-58.

[3] Pandian P. & D. Anuradha. 2010. A new approach for solving solid trans- portation problems, Applied Mathematical Sciences. 4: 3603-3610.

[4] Pandian P. & D. Anuradha. 2012. A New Method for Finding an Optimal Solution to Solid Assignment Problems. International J. of Math. Sci. and Engg. Appls. 2: 1614-1618.

[5] Pandian P. & K. Kavitha. 2012. Sensitivity Analysis in Solid Transportation Problems. Applied Mathematical Sciences. 6: 6787-6796.

[6] Sarjono, H. 2012. Aplikasi Riset Operasi, Salemba Empat. Jakarta.