PROBABILITAS DAN STATISTIKA

UPT SAM

Sesi 2.

UJI HIPOTESIS DUA RATAAN

Mata Kuliah MAS2001

PROBABILITAS DAN STATISTIKA

Sarjana Informatika

Sarjana Manajemen Rekayasa Sarjana Sistem Informasi

Sarjana Teknik Bioproses

Yoli Agnesia, S.Pd, M.Si

SUB TOPIK

1. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi diketahui)

2. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi sama dan tidak diketahui)

3. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi beda dan tidak diketahui)

4. Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan

REFERENSI

Buku Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, edisi ke-4

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

Uji Hipotesis Dua Rataan

Uji hipotesis dua rata-rata adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah dua populasi memiliki rata-rata yang sama dengan, atau selisih rata-rata nya lebih kecil atau lebih besar dari suatu nilai tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan.

Uji Hipotesis Dua Rataan

Prosedur Pengujian Hipotesis : 1. Tuliskan hipotesis nol 𝐻₀ 2. Pilih hipotesis tandingan 𝐻₁

3. Pilih taraf signifikansi berukuran 𝛼

4. Pilih uji statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya.

5. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel 6. Keputusan :

-Tolak 𝐻₀, bila uji statistik tersebut mempunyai nilai dalam daerah kritis, atau sebaliknya

-Tolak 𝐻₀, bila p-value lebih kecil atau sama dengan taraf keberartian α yang ditentukan, atau sebaliknya terima 𝐻₀.

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

Titik Kritis Z dan t

Zα → Nilai z tabel pada α tertentu

• Z_5% = Z_0,05 = 1,645

• Z_10% = Z_0,10 = 2,33

• Z_2,5% = Z_0,025 = 1,96

• Z_0,5% = Z_0,005 = 2,575

t_db;α → Nilai t tabel pada α dan derajat bebas (db) db = derajat bebas = degree of freedom (df)

Dua populasi → rumusnya disesuaikan dengan informasi mengenai variansi kedua populasi

Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi diketahui)

Contoh Soal:

Suatu sampel acak berukuran 25 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku 5,2, mempunyai rataan 81 . Sampel kedua berukuran 36,diambil dari populasi normal yang lain dengan simpangan baku 3,4, mempunyai rataan 76. Ujilah hipotesis bahwa kedua rataan sama, dengan taraf kerpercayaan 95%. Dan berapa nilai-P?

Penyelesaian:

1. Rumusan hipotesis nol 𝐻₀ ∶ µ₁ = µ₂

2. Rumusan hipotesis tandingan 𝐻₁: µ₁ ≠ µ₂ (uji dua arah kiri) 3. Tingkat signifikansi berukuran 𝛼 = 5% = 0,05

4. Karena variansi kedua populasi diketahui, maka digunakan uji statistik z. Titik kritis z_0.025= 1,96 dan -z_0.025= -1,96 . Daerah Kritis z < -1,96 atau z >-1.96

5. Nilai uji statistik

z =

Pengambilan keputusan menggunakan p-value, P=2[P(Z<4,221)]=0,0000…<0,05

6. Keputusan : karena nilai P< 𝛼 , maka tolak 𝐻₀. Artinya, dengan tingkat kepercayaan 95% sudah cukup bukti untuk menyatakan bahwa kedua rata-rata tidak sama.

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

Uji Hipotesis Dua Rataan

(variansi sama dan tidak diketahui)

Contoh Soal:

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gesekan dua bahan yang diberikan lapisan. Dua belas potong bahan I diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan II diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan I rata-ratanya 85 satuan dan simpangan bakunya 4, sedangkan sampel bahan II rata-ratanya 81 satuan dan simpangan bakunya 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05, keausan bahan I melampaui bahan II sebanyak lebih dari 2 satuan. Anggap kedua populasi hampir normal dengan variansi yang sama.

Uji Hipotesis Dua Rataan

(variansi sama dan tidak diketahui)

Penyelesaian:

1. Rumusan hipotesis nol 𝐻₀ ∶ µ₁ − µ₂ = 2

2. Rumusan hipotesis tandingan 𝐻₁: µ₁ − µ₂ > 2 (uji satu arah kiri) 3. Tingkat signifikansi berukuran 𝛼 = 5% = 0,05

4. Karena variansi populasi sama dan tidak diketahui, maka digunakan uji statistik t. Titik kritis

t_20;0.05 = 1,725, dengan db=12+10-2=20. Daerah Kritis t > 1.725

5. Nilai uji statistik

Pengambilan keputusan menggunakan nilai uji statistit t=1,04<1,725 (Daerah penerimaan 𝐻₀) 6. Keputusan : karena , t< t_20;0.05 ,maka terima 𝐻₀atau jangan tolak 𝐻₀. Artinya tidak dapat

disimpulkan bahwa keausan bahan I melampaui bahan 2 lebih 2 satuan.

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

Uji Hipotesis Dua Rataan

(variansi beda dan tidak diketahui)

Contoh Soal:

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gesekan dua bahan yang

diberikan lapisan. Dua belas potong bahan I diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan II diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan I rata-

ratanya 85 satuan dan simpangan bakunya 4, sedangkan sampel bahan II rata-ratanya 81 satuan dan simpangan bakunya 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05, keausan bahan II melampaui bahan I sebanyak lebih dari 2 satuan. Anggap kedua populasi hampir normal dengan variansi yang berbeda.

Untuk penyelesaiannya silahkan dicoba masing-masing sebagai latihan.

Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

Uji hipotesis dua rataan data berpasangan adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu pengamatan (dari data berpasangan) memiliki rata-rata yang sama dengan, atau selisih rata-rata nya lebih kecil atau lebih besar dari suatu nilai tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan.

Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan

Prosedur Pengujian Hipotesis 1. Tuliskan hipotesis nol 𝐻₀ 2. Pilih hipotesis tandingan 𝐻₁

3. Pilih taraf signifikansi berukuran 𝛼

4. Pilih uji statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya.

5. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel 6. Keputusan :

-Tolak 𝐻₀, bila uji statistik tersebut mempunyai nilai dalam daerah kritis, atau sebaliknya

-Tolak 𝐻₀, bila p-value lebih kecil atau sama dengan taraf keberartian α yang ditentukan, atau sebaliknya terima 𝐻₀.

Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan

Contoh soal:

Dari penelitian ‘Comparison of Sorbic Acid in Country Ham Before and After Storage’ yang

dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sejuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan

sorbat dan setelah disimpan 60 hari dicatat dalam Tabel 1. Anggap populasi asam sorbat dalam ham sebelum dan sesudah disimpan setelah 60 hari berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan

memperngaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

Potongan Sisa asam sorbat dalam ham Sebelum

disimpan (1)

Setelah disimpan (2)

1 224 116

2 270 96

3 400 239

4 444 329

5 590 437

6 660 597

7 1400 689

8 680 576

Tabel 1. Sisa Asam Sorbat Dalam Ham

Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan

Penyelesaian:

1. Rumusan hipotesis nol 𝐻₀ ∶ µ₁ = µ₂ atau 𝐻₀ ∶ µ_𝐷 = µ₁ − µ₂ = 0

2. Rumusan hipotesis tandingan 𝐻₁: µ₁ ≠ µ₂ atau µ_𝐷 = µ₁ − µ₂ ≠ 0 (uji dua arah kiri) 3. Tingkat signifikansi berukuran 𝛼 = 5% = 0,05

4. Karena variansi populasi tidak diketahui, yang diketahui adalah ragam sampel, dan pengamatanya

berpasangan maka yang digunakan adalah statistik uji t berpasangan (paired). Titik kritis -t_7;0.025 =-2,365 dan t_7;0.025 =2,365. Daerah Kritis t < -t_7;0.025 atau t > t_7;0.025

5. Nilai uji statistik

Pengambilan keputusan menggunakan nilai uji statistit t=2,673 > 2,365

6. Keputusan : karena , t > t_7;0.025 ,maka tolak 𝐻₀. Artinya dapat disimpulkan bahwa terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan memperngaruhi konsentrasi sisa asam sorbat dalam daging ham.

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG 14

𝑑 = (108+174+161+115+153+63+711+104) / 8 = 1589 / 8 = 198.62

ά = 0.05

v = n – 1 = 8 – 1 = 7

Daerah kritis

t_0.025 < -2.365 dan t < 2.365

( ) ( ) _{( )( )}

4 . 44169 )

1 8 ( 8

2524921 624801

8 )

1 Sd (

2 2

2 =

= −

−

=  − 

n n

di di

n

Sd = √44169.4 = 210.165

673 . 8 2 65 . 210

0 = ^{198.62 0} =

= − ⁻

/ d n

s d d t

P-value = 2P ( | t | > 2.67 ) = 2(0.016) [dengan Ms. Excel: tdist(x,degree of freedom, tails]

= 0.032

P-value < 0.05

Kesimpulan : tolak H0.

( ) ( ) _{( )( )}

4 . 44169 )

1 8 ( 8

2524921 624801

8 )

1 Sd (

2 2

2 =

= −

−

=  − 

n n

di di

n

Sd = √44169.4 = 210.165

673 . 8 2 65 . 210

0 = ^{198.62 0} =

= − ⁻

/ d n

s d d t

P-value = 2P ( | t | > 2.67 ) = 2(0.016) [dengan Ms. Excel: tdist(x,degree of freedom, tails]

= 0.032

Latihan

MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN

2. Silahkan cari satu contoh soal pengujian hipotesis dua rataan dari 2 populasi dengan variansi Populasi diketahui, lalu selesaikan.

3.

4.

THANK YOU