PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL. Modul 4. Transformasi Z

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL

Modul 4.

Content

•

_{Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal}

dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi

impuls, TZ fungsi sinusoidal

•

_{Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi}

Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan

propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal),

fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z)

Latar Belakang

“Domains of representation ”

Domain-n (discrete time) :

Sequence, impulse response, persamaan beda Domain- :

Freq. response, spectral representation Domain-z :

Operator, dan pole-zero

Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain

tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.

Content

•

_{Transformasi-Z Langsung}

•

_{Sifat-sifat Transformasi-Z}

•

_{Transformasi-Z Rasional}

•

_{Transformasi-Z Balik}

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG



Definisi :



Contoh 1:



   



n n

z

n

x

z

X

(

)

(

)





5 3 2 1 1 1

7

5

2

1

)

(

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

(

.

a

   

_

_

_







z

z

z

z

z

X

n

x



1

,

2

,

5

,

7

,

0

,

1



)

(

b.

x

₂

n



3 1 1 2 2

(

z

)



z



2

z



5



7

z





z



X



_{Contoh 2:}

Jawab:

Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:

0

),

(

)

(

c.

0

),

(

)

(

b.

)

(

)

(

a.

3 2 1















k

k

n

n

x

k

k

n

n

x

n

n

x







1 . 1 ) ( ) ( a. ₁ 



  0     _z z n z X n n



k n n _z z k n z X      _  



( ) ) ( . b ₂  k n n _z z k n z X 



      ) ( ) ( c. ₃ 



_{Contoh 3:}

Jawab:

Tentukan transformasi Z dari sinyal

x

(

n

)



u

(

n

)

1 : 1 dimana , 1 1 ... 1 ) ( ) ( 1 1 2 1 0                 



z ROC z z z z z n u z X n n 1 : , 1 1 ) ( ) ( ) ( ₁       _ ROC z z z X n u n x



_{Contoh 4:}

Jawab:

Tentukan transformasi Z dari sinyal

x

(

n

)





n

u

(

n

)

 

 

 











                        







z ROC z z A A A A A z z n u z X n n n n n n n : 1 dimana , 1 1 1 1 ... 1 ) ( 1 1 3 2 0 0 1 0          _ ROC z z z X n u n x n , : 1 1 ) ( ) ( ) ( ₁

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z



_Linieritas

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jaw

ab:



_{Contoh 5:}

   

   

,

:

3

3

1

1

)

(

3

)

(

2

:

,

2

1

1

)

(

2

)

(

1 2 2 1 1 1





















 

z

ROC

z

z

X

n

u

n

x

z

ROC

z

z

X

n

u

n

x

n n

 





 

3 : 3 2 : 6 5 1 1 3 1 4 2 1 3 ) ( ) 3 ( 4 ) 2 ( 3 _{1 2} 1 1 1                  _{  }  _ z ROC z z ROC z z z z z Z X n u n x n n

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n

a

x

₁

n

b

x

₂

n

X

z

a

X

₁

z

b

X

₂

z

x











 

n



3(2) 4(3)



u(n) x  n  n

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z



_Pergeseran

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab:



_{Contoh 5:}

   

 

,

:

1

1

1

1 1 1













_

ROC

R

z

z

Z

X

n

u

n

x

_x

 

Z

X

z

n

n

x

₍

₎

n0 0







 

n  u(n 3) x

  



 

 

,

:

1

1

3

3 ₁ 3 ₁



















  _

ROC

R

z

z

z

Z

X

z

Z

X

n

u

n

x

_x

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z



_{Time Reversal}

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab:



_{Contoh 6:}

   

 

,

:

1

1

1

1 1 1













_

ROC

R

z

z

Z

X

n

u

n

x

_x

 

n u( n) x  

   

 

 

1

,

:

1

1

1

1

1

1 1





















_ 

z

ROC

R

z

z

z

X

n

u

n

x

x

)

(

)

(



n



X

z

1

x

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z



_{Diferensiasi dalam domain z}

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jaw

ab

:



_{Contoh 7:}

dz

z

dX

z

n

nx

(

)





(

)

) ( ) (n n a u n x  n a z R ROC az z X n u a n x n _x       _ , : 1 1 ) ( ) ( ) ( _{1 1} 1



 

₁



2 1 2 1 2 1 1

1

1

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

    









































az

az

az

az

z

az

dz

d

z

dz

z

dX

z

z

X

n

u

a

n

n

x

n



₁



2 1 1 ) (      az az n u a n n

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z



_{Konvolusi antara dua sinyal}

Tentukan konvolusi antara x₁(n) dan x₂(n) dengan :

Jaw

ab

:



_{Contoh 8:}

)

(

)

(

)

(

)

(

*

)

(

)

(

n

x

₁

n

x

₂

n

X

z

X

₁

z

X

₂

z

x











        lainnya n n x n x , 0 5 0 , 1 ) ( 1 , 2 , 1 ) ( ₂ 1 5 4 3 2 1 2 2 1 1(z) 12z  z X (z) 1 z  z  z  z  z X ) 1 )( 2 1 ( ) ( ) ( ) (z  X₁ z X₂ z   z1  z2  z1  z2  z3  z4  z5 X 7 6 1 2 1( ) ( ) 1 ) (z  X z X z   z  z  z X



1, 1,0,0,0,0, 1,1



) ( * ) ( ) (  _{1 2}     x n x n x n

TRANSFORMASI Z RASIONAL



_{Pole dan Zero}

Pole : harga-harga z = p_i yang menyebabkan X(z) =  Zero : harga-harga z = z_i yang menyebabkan X(z) = 0



_{Fungsi Rasional}





                 _N 0 k k k M 0 k k k N N 1 1 o M M 1 1 o z a z b z a z a a z b z b b ) z ( D ) z ( N ) z ( X                                   o N 1 N o 1 N o M 1 M o 1 M N o M o o o a a z a a Z b b z b b z z a z b ) z ( D ) z ( N ) z ( X 0 b 0 a  



N(z) dan D(z) polinom

                                o N 1 N o 1 N o M 1 M o 1 M N o M o o o a a z a a Z b b z b b z z a z b ) z ( D ) z ( N ) z ( X 0 b 0 a  

)

p

z

(

)

p

z

)(

p

z

(

)

z

z

(

)

z

z

)(

z

z

(

z

a

b

)

z

(

D

)

z

(

N

)

z

(

X

M 2 1 M 2 1 M N o o



























  







_N 1 k k M 1 k k M N

)

p

z

(

)

z

z

(

z

G

)

z

(

X

Tentukan pole dan zero dari

Jawab:



_{Contoh 9:}

2 1 1 5 , 0 5 , 1 1 5 , 1 2 ) ( _  _     z z z z X ) 5 , 0 )( 1 ( ) 75 , 0 ( 2 ) 5 , 0 )( 1 ( 75 , 0 2 5 , 0 5 , 1 75 , 0 2 ) ( ₂1 ₂             _ z z z z z z z z z z z z z z X 5 , 0 1 : 75 , 0 0 : 2 1 2 1      p p Pole z z Zero

Tentukan pole dan zero dari

Jawab:



_{Contoh 10:}

2 1 1 5 , 0 1 1 ) ( _  _     z z z z X )] 5 , 0 5 , 0 ( )][ 5 , 0 5 , 0 ( [ ) 1 ( 5 , 0 ) 1 ( ) ( ₂ j z j z z z z z z z z X           * 2 1 2 1 2 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 : 1 0 : p p j p j p Pole z z Zero         

TRANSFORMASI -Z BALIK



_{Definisi transformasi balik}

Teorema residu Cauchy :



   



n n

z

n

x

z

X

(

)

(

)

_X

_z

_z

_dz

j

n

x





(

)

n1

2

1

)

(





















  



C

luar

di

z

bila

C

dalam

di

z

bila

dz

z

f

d

k

dz

z

z

z

f

j

o o z z k k C k o o

,

0

,

)

(

)!

1

(

1

)

(

)

(

2

1

₁ 1





_{Ekspansi deret dalam z dan z}

-1

Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:



_{Contoh 11:}

 



   



n n

z

n

x

z

X

(

)

2 1 2 1 2 3 1 1 ) (   _   z z z X  4 3 2 1 16 31 8 15 4 7 2 3 1 ) (z   z  z  z  z X         , 16 31 , 8 15 , 4 7 , 2 3 , 1 ) (n x



_{Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z}

Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:



_{Contoh 12:}

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2 1 1 2 2 1 1

n

x

n

x

n

x

n

x

z

X

z

X

z

X

z

X

K K K K

































2 1 _0,5 5 , 1 1 1 ) ( _{ }    z z z X ) 5 , 0 ( ) 1 ( 5 , 0 5 , 1 ) ( ) 5 , 0 )( 1 ( 5 , 0 5 , 1 ) ( 2 1 2 2 2 2              z A z A z z z z z X z z z z z z z X

) 5 , 0 ( ) 1 ( 5 , 0 5 , 1 ) ( _{1 2} 2 _{ }  _  _  z A z A z z z z z X ) 5 , 0 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) ( _{1 1}     z z z X  x(n)  [2  (0,5)n]u(n) 5 , 0 5 , 1 ) 5 , 0 ( ) ( ) 5 , 0 )( 1 ( ) 1 ( ) 5 , 0 ( 22 1 2 1 2 1             z z A A z A A z z z A z A 1 2 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 0 5 , 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1                A A A A A A A A A A A 5 , 0 5 , 1 ) 5 , 0 ( ) ( 5 , 0 5 , 1 ) ( 22 1 2 1 2 _{ }        z z A A z A A z z z z z X



_{Pole-pole berbeda semua}

N N k k

p

z

A

p

z

A

p

z

A

z

z

X





















1 1

)

(

N N k k k k

p

z

A

p

z

A

p

z

A

p

z

z

z

X

p

z





















)

(

)

(

)

(

)

(

1 1

_

_

k p z k

_A

z

z

X

p

z

k







)

(

)

(

Contoh Soal 8.17

Jawab:

Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

)

2

n

(

x

8

)

1

n

(

x

28

)

n

(

x

5

)

2

n

(

y

8

)

1

n

(

y

6

)

n

(

y



















)

z

(

X

z

8

)

z

(

X

z

28

)

z

(

X

5

)

z

(

Y

z

8

)

z

(

Y

z

6

)

z

(

Y



1



2





1



2 1 2 1 2 1

z

1

1

z

8

z

6

1

)

z

8

z

28

5

(

)

z

(

Y

_{  }  













1

z

1

1

)

z

(

X

_





1

z

A

4

z

A

2

z

A

)

1

z

)(

8

z

6

z

(

)

8

z

28

z

5

(

z

)

z

(

Y

_{1 2 3} 2 2

























1 z A 4 z A 2 z A ) 1 z )( 4 z )( 2 z ( ) 8 z 28 z 5 ( z ) z ( Y 2 _{1 2 3}             14 6 84 ) 3 )( 2 ( 8 56 20 ) 1 z )( 4 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 2 z ( A 2 z 2 1                  20 10 200 ) 5 )( 2 ( 8 112 80 ) 1 z )( 2 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 4 z ( A 4 z 2 2                 1 15 15 ) 5 )( 3 ( 8 28 5 ) 4 z )( 2 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 1 z ( A 1 z 2 3                1 z 1 4 z 20 2 z 14 z ) z ( Y         _{1 1 1} z 1 1 z 4 1 20 z 2 1 14 ) z ( Y _{  }        

)

n

(

u

]

1

)

4

(

20

)

2

(

14

[

)

n

(

y

_zs







n





n





Ada dua pole yang semua

N N k k 2 2 k k 1 1 1

p

z

A

p

z

A

)

p

z

(

A

p

z

A

z

)

z

(

X

























k p z 2 k k 1

z

)

z

(

X

)

p

z

(

A







k p z 2 k k 2

z

)

z

(

X

)

p

z

(

dz

d

A



















Contoh Soal 8.18

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari :

2 1 1

₎₍

₁

_z

₎

z

1

(

1

)

z

(

X

_{ }







)

1

z

(

A

)

1

z

(

A

1

z

A

)

1

z

)(

1

z

(

z

z

)

z

(

X

₃ 2 2 1 2 2



















4

1

)

1

z

(

z

z

)

z

(

X

)

1

z

(

A

1 z 2 2 1











 

4

3

)

1

z

(

z

2

z

)

1

z

(

)

z

)(

1

(

)

1

z

)(

z

2

(

)

1

z

(

z

dz

d

z

)

z

(

X

)

1

z

(

dz

d

A

1 z 2 2 2 2 2 2 3



















































)

n

(

u

]

4

3

n

2

1

)

1

(

4

1

[

)

n

(

x





n





2

1

)

1

z

(

z

z

)

z

(

X

)

1

z

(

A

1 z 2 2 2















Pole kompleks

*

p

p

p

p

₁





₂



2 1 1 1 1 1 1

₁

_pz

_p

_*

_z

_pp

_*

_z

pz

*

A

*

A

z

*

Ap

A

z

*

p

1

*

A

pz

1

A

      

_

_

_















1 2 2 1 1 1

z

p

1

A

z

p

1

A

)

z

(

X

_{ }









*

A

A

A

A

₁





₂



2 2 1 1 1 1 o 2 1 1

z

a

z

a

1

z

b

b

z

*

pp

z

*)

p

p

(

1

z

)

p

*

A

*

Ap

(

*)

A

A

(

     





















)

A

Re(

2

*

A

A

b

)

A

Re(

2

)

A

Im(

j

)

A

Re(

)

A

Im(

j

)

A

Re(

*

A

A

o



















)

p

Re(

2

*)

p

p

(

a

)

p

Re(

2

)

p

Im(

j

)

p

Re(

)

p

Im(

j

)

p

Re(

*

p

p

1





















2 2 2 2 2

₍

_p

₎

_Im

₍

_p

₎

_p

_a

_pp

_*

_p

Re

)]

p

Im(

j

)

p

)][Re(

p

Im(

j

)

p

[Re(

*

pp



















)

p

Im(

)

A

Im(

2

)

p

Re(

)

A

Re(

2

)]

p

Im(

j

)

p

)][Re(

A

Im(

j

)

A

[Re(

)]

p

Im(

j

)

p

)][Re(

A

Im(

j

)

A

[Re(

p

*

A

*

Ap



















*) Ap Re( 2 ) p * A * Ap ( b ] p Im( ) A Re( ) A Im( ) p [Re( j )] p Im( ) A Im( ) p Re( ) A [Re( )] p Im( j ) p )][Re( A Im( j ) A [Re( * Ap 1            

Contoh Soal 8.19

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari :

2 1 1 z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X _{ }      2 2 1 1 1 1 o 2 1 1 z a z a 1 z b b z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X _{ }            

5

,

0

)

A

Re(

1

)

A

Re(

2

b

_o









5

,

0

)

p

Re(

1

)

p

Re(

2

a

₁













5

,

0

*)

Ap

Re(

1

*)

Ap

Re(

2

b

₁









5

,

0

)

p

(

Im

)

p

(

Re

5

,

0

p

a

₂



2





2



2



5

,

0

)

p

(

Im

25

,

0

)

p

(

Im

)

p

(

Re

2



2





2



5

,

0

)

A

Re(

5

,

0

)

p

Re(





5

,

0

j

5

,

0

p

5

,

0

)

p

Im(

25

,

0

)

p

(

Im

2













)

5

,

0

j

5

,

0

)](

A

Im(

j

5

,

0

[

*

Ap







25

,

0

j

5

,

0

A

25

,

0

)

A

Im(

5

,

0

)

A

Im(

5

,

0

25

,

0

*)

Ap

Re(















1 1 1 1

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

z

*

p

1

*

A

pz

1

A

)

z

(

X

   

























1 1

₁

₍

₀

_,

₅

_j

₀

_,

₅

₎

_z

25

,

0

j

5

,

0

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

)

z

(

X

_{ }

















45 j 45 j

₀

_,

₅

_j

₀

_,

₅

₀

_,

₇₀₇

_e

e

707

,

0

5

,

0

j

5

,

0











n

45

sin

)

707

,

0

(

5

,

0

n

45

cos

)

707

,

0

(

)

n

45

sin

j

n

45

)(cos

707

,

0

)(

25

,

0

(

j

)

n

45

sin

j

n

45

(cos

)

707

,

0

)(

5

,

0

(

)

n

45

sin

j

n

45

)(cos

707

,

0

)(

25

,

0

(

j

)

n

45

sin

j

n

45

(cos

)

707

,

0

)(

5

,

0

(

)

e

707

,

0

)(

25

,

0

j

5

,

0

(

)

e

707

,

0

)(

25

,

0

j

5

,

0

(

)

n

(

x

n n n n n n n 45 j n 45 j





























_{TRANSFORMASI-Z SATU SISI}



_{Definisi :}

Contoh Soal 8.20

Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini



   

_

0 n n

z

)

n

(

x

)

z

(

X















2

,

5

,

7

,

0

,

1



)

n

(

x

).

d

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

,

0

)

n

(

x

).

c

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

b

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

a

4 3 2 1









Jawab:





5 3 2 1 1 1

z

z

7

z

5

z

2

1

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

a

    

_

_

_

_

_







3 1 2 2

z

z

7

5

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

b

  

_

_

_







7 4 3 2 1 3 3

z

z

7

z

5

z

2

z

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

,

0

)

n

(

x

).

c

     

_

_

_

_

_







3 1 4 4

z

z

7

5

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

)

n

(

x

).

d

  

_

_

_



Contoh Soal 8.21

Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

Jawab:

0

k

),

k

n

(

)

n

(

x

).

c

0

k

),

k

n

(

)

n

(

x

).

b

)

n

(

)

n

(

x

).

a

7 6 5





















1

z

)

n

(

)

z

(

X

).

a

0 n n 5









    k 0 n n 6

(

z

)

(

n

k

)

z

z

X

).

b

    

_



_

_

_

0

z

)

k

n

(

)

z

(

X

).

c

0 n n 7











   



_{Time Delay}

Contoh Soal 8.22

Tentukan transformasi Z satu sisi dari x₁(n) = x(n-2) dimana x(n) = an_{u(n )}

Jawab:

]

z

)

n

(

x

)

z

(

X

[

z

)

k

n

(

x

k 1 n n k



  

_

_





1 n

az

1

1

)

z

(

X

)

n

(

u

a

)

n

(

x

 _













2 1 1 1 2 2 2 2 1 n n 2 1

a

z

a

az

1

z

z

)

2

(

x

z

)

1

(

x

X

z

z

)

n

(

x

X

z

)

z

(

X

          



























_

_







_{Time advance}

Jawab:

Contoh Soal 8.23

Tentukan transformasi Z satu sisi dari x₂(n) = x(n+2) dimana x(n) = an_{u(n )}

]

z

)

n

(

x

)

z

(

X

[

z

)

k

n

(

x

k 1 0 n n k



   

_





1 n

az

1

1

)

z

(

X

)

n

(

u

a

)

n

(

x

 _













az

z

az

1

z

z

)

1

(

x

)

0

(

x

X

z

z

)

n

(

x

)

z

(

X

z

X

2 1 2 1 2 1 0 n n 2 2























_



      



Contoh Soal 8.24

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

dengan input x(n) = 0

0

]

z

)

2

(

y

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

2

]

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

3

)

z

(

Y

2 2 1



















    

)

1

n

(

x

5

,

9

)

n

(

x

5

,

4

)

2

n

(

y

)

1

n

(

y

3

)

n

(

y















5

,

7

)

2

(

y

5

,

8

)

1

(

y











)

n

(

y

)

n

(

y



_zi

2 1 1 2 1 1

z

2

z

3

1

5

,

10

z

17

z

2

z

3

1

)

5

,

7

(

2

z

)

5

,

8

(

2

)

5

,

8

(

3

)

z

(

Y

      

























)

2

(

y

2

z

)

1

(

y

2

)

1

(

y

3

]

z

2

z

3

1

)[

z

(

Y

0

]

z

)

2

(

y

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

2

]

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

3

)

z

(

Y

1 2 1 2 2 1





































        

)

2

z

)(

1

z

(

17

z

5

,

10

2

z

3

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

2

_

_















2

z

A

1

z

A

)

2

z

)(

1

z

(

17

z

5

,

10

2

z

3

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

_{1 2} 2

_

_



_



_















4

1

4

1

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

)

2

z

(

A

5

,

6

1

5

,

6

2

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

)

1

z

(

A

2 z 2 1 z 1

































      1 1

₁

₂

_z

4

z

1

5

,

6

2

z

z

4

1

z

z

5

,

6

)

z

(

Y

 _{ }

















n n zi

(

n

)

6

,

5

(

1

)

4

(

2

)

y









Contoh Soal 8.25

Jawab:

Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

3

)

2

(

y

4

)

1

(

y

)

2

n

(

x

8

)

1

n

(

x

28

)

n

(

x

5

)

2

n

(

y

8

)

1

n

(

y

6

)

n

(

y





























]

z

)

2

(

x

z

)

1

(

x

)

z

(

X

[

z

8

]

z

)

1

(

x

)

z

(

X

[

z

28

)

z

(

X

5

]

z

)

2

(

y

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

8

]

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

6

)

z

(

Y

2 2 1 2 2 1



































         

]

z

8

z

28

5

)[

z

(

X

24

z

32

24

]

z

8

z

6

1

)[

z

(

Y

2 1 1 2 1       

















]

z

8

z

28

5

)[

z

(

X

24

z

32

24

]

z

8

z

6

1

)[

z

(

Y

2 1 1 2 1       

































    _   1 2 1 1 2 1

z

1

z

8

z

28

5

z

32

]

z

8

z

6

1

)[

z

(

Y

)

z

1

)(

z

8

z

6

1

(

z

8

z

28

5

z

32

z

32

)

z

(

Y

_{1 2 1} 2 1 2 1        

















)

z

1

)(

z

8

z

6

1

(

z

24

z

4

5

)

z

(

Y

_{1 2 1} 2 1      













)

1

z

)(

8

z

6

z

(

24

z

4

z

5

z

)

z

(

Y

2 2















)

1

z

)(

4

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

)

1

z

)(

8

z

6

z

(

24

z

4

z

5

z

)

z

(

Y

2 2 2



























4

z

A

2

z

A

1

z

A

)

1

z

)(

4

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

2 _{1 2 3}























1

15

15

)

5

)(

3

(

24

4

5

)

4

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

A

1 z 2 1



























2

6

12

)

3

)(

2

(

24

8

20

)

1

z

)(

4

z

(

24

z

4

z

5

A

2 z 2 2



























 

4

10

40

)

5

)(

2

(

24

16

80

)

1

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

A

4 z 2 3

























 

4

z

4

2

z

2

1

z

1

z

Y















 1 1 1

₁

₄

_z

4

z

2

1

2

z

1

1

Y

 _{  }















)

n

(

u

]

)

4

(

4

)

2

(

2

1

[

)

n

(

y









n





2