PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL
Modul 4.
Content
•
Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal
dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi
impuls, TZ fungsi sinusoidal
•
Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi
Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan
propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal),
fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z)
Latar Belakang
“Domains of representation ”
Domain-n (discrete time) :
Sequence, impulse response, persamaan beda Domain- :
Freq. response, spectral representation
Domain-z :
Operator, dan pole-zero
Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain
tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.
Content
•
Transformasi-Z Langsung
•
Sifat-sifat Transformasi-Z
•
Transformasi-Z Rasional
•
Transformasi-Z Balik
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG
Definisi :
Contoh 1:
n nz
n
x
z
X
(
)
(
)
5 3 2 1 1 17
5
2
1
)
(
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
)
(
.
a
z
z
z
z
z
X
n
x
1
,
2
,
5
,
7
,
0
,
1
)
(
b.
x
2n
3 1 1 2 2(
)
2
5
7
z
z
z
z
z
X
Contoh 2:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:
0
),
(
)
(
c.
0
),
(
)
(
b.
)
(
)
(
a.
3 2 1
k
k
n
n
x
k
k
n
n
x
n
n
x
1 . 1 ) ( ) ( a. 1
0 z z n z X n n
k n n z z k n z X
( ) ) ( . b 2
k n n z z k n z X
) ( ) ( c. 3
Contoh 3:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal
x
(
n
)
u
(
n
)
1 : 1 dimana , 1 1 ... 1 ) ( ) ( 1 1 2 1 0
z ROC z z z z z n u z X n n 1 : , 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ROC z z z X n u n x
Contoh 4:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal
x
(
n
)
nu
(
n
)
z ROC z z A A A A A z z n u z X n n n n n n n : 1 dimana , 1 1 1 1 ... 1 ) ( 1 1 3 2 0 0 1 0
ROC z z z X n u n x n , : 1 1 ) ( ) ( ) ( 1SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Linieritas
,
:
3
3
1
1
)
(
3
)
(
2
:
,
2
1
1
)
(
2
)
(
1 2 2 1 1 1
z
ROC
z
z
X
n
u
n
x
z
ROC
z
z
X
n
u
n
x
n nTentukan transformasi Z dari sinyal
3 : 3 2 : 6 5 1 1 3 1 4 2 1 3 ) ( ) 3 ( 4 ) 2 ( 3 2 1 1 1 1 z ROC z z ROC z z z z z Z X n u n x n n)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
a
x
1n
b
x
2n
X
z
a
X
1z
b
X
2z
x
Contoh 5:
n
3(2) 4(3)
u(n) x n nSIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Pergeseran
,
:
1
1
1
1 1 1
ROC
R
z
z
Z
X
n
u
n
x
xTentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Z
X
z
n
n
x
(
)
n0 0
Contoh 5:
n u(n 3) x
,
:
1
1
3
1 3 1 3
ROC
R
z
z
z
Z
X
z
Z
X
n
u
n
x
xSIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Time Reversal
,
:
1
1
1
1 1 1
ROC
R
z
z
Z
X
n
u
n
x
xTentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 6:
n u( n) x
,
:
1
1
1
1
1
1
1 1
z
ROC
R
z
z
z
X
n
u
n
x
x)
(
)
(
n
X
z
1x
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Diferensiasi dalam domain z
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Contoh 7:
dz
z
dX
z
n
nx
(
)
(
)
) ( ) (n na u n x n a z R ROC az z X n u a n x n x , : 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 1
1
2 1 2 1 2 1 11
1
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
az
az
az
az
z
az
dz
d
z
dz
z
dX
z
z
X
n
u
a
n
n
x
n
1
2 1 1 ) ( az az n u a n nSIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Konvolusi antara dua sinyal
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Contoh 8:
)
(
)
(
)
(
)
(
*
)
(
)
(
n
x
1n
x
2n
X
z
X
1z
X
2z
x
lainnya n n x n x , 0 5 0 , 1 ) ( 1 , 2 , 1 ) ( 2 1 5 4 3 2 1 2 2 1 1( ) 1 2 ( ) 1 z z X z z z z z z z X ) 1 )( 2 1 ( ) ( ) ( ) (z X1 z X2 z z1 z2 z1 z2 z3 z4 z5 X 7 6 1 2 1( ) ( ) 1 ) (z X z X z z z z X
1, 1,0,0,0,0, 1,1
) ( * ) ( ) ( 1 2 x n x n x nTRANSFORMASI Z RASIONAL
Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) = Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0
N 0 k k k M 0 k k k N N 1 1 o M M 1 1 o z a z b z a z a a z b z b b ) z ( D ) z ( N ) z ( X
Fungsi Rasional
o N 1 N o 1 N o M 1 M o 1 M N o M o o o a a z a a Z b b z b b z z a z b ) z ( D ) z ( N ) z ( X 0 b 0 a
N(z) dan D(z) polinom
o N 1 N o 1 N o M 1 M o 1 M N o M o o o a a z a a Z b b z b b z z a z b ) z ( D ) z ( N ) z ( X 0 b 0 a )
p
z
(
)
p
z
)(
p
z
(
)
z
z
(
)
z
z
)(
z
z
(
z
a
b
)
z
(
D
)
z
(
N
)
z
(
X
M 2 1 M 2 1 M N o o
N 1 k k M 1 k k M N)
p
z
(
)
z
z
(
z
G
)
z
(
X
Tentukan pole dan zero dari 2 1 1 5 , 0 5 , 1 1 5 , 1 2 ) ( z z z z X
Jawab:
) 5 , 0 )( 1 ( ) 75 , 0 ( 2 ) 5 , 0 )( 1 ( 75 , 0 2 5 , 0 5 , 1 75 , 0 2 ) ( 2 2 1 z z z z z z z z z z z z z z X 5 , 0 1 : 75 , 0 0 : 2 1 2 1 p p Pole z z Zero
Contoh 9:
2 1 1 5 , 0 1 1 ) ( z z z z X )] 5 , 0 5 , 0 ( )][ 5 , 0 5 , 0 ( [ ) 1 ( 5 , 0 ) 1 ( ) ( 2 j z j z z z z z z z z X * 2 1 2 1 2 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 : 1 0 : p p j p j p Pole z z Zero
Tentukan pole dan zero dari
Jawab:
TRANSFORMASI -Z BALIK
Definisi transformasi balik
n nz
n
x
z
X
(
)
(
)
X
z
z
dz
j
n
x
(
)
n12
1
)
(
C
luar
di
z
bila
C
dalam
di
z
bila
dz
z
f
d
k
dz
z
z
z
f
j
o o z z k k C k o o,
0
,
)
(
)!
1
(
1
)
(
)
(
2
1
1 1
Ekspansi deret dalam z dan z
-1
n nz
n
x
z
X
(
)
Tentukan transformasi-z balik dari
2 1 2 1 2 3 1 1 ) ( z z z X
Jawab:
4 3 2 1 16 31 8 15 4 7 2 3 1 ) (z z z z z X , 16 31 , 8 15 , 4 7 , 2 3 , 1 ) (n x
Contoh 11:
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2 1 1 2 2 1 1n
x
n
x
n
x
n
x
z
X
z
X
z
X
z
X
K K K K
2 1 5 , 0 5 , 1 1 1 ) ( z z z X ) 5 , 0 ( ) 1 ( 5 , 0 5 , 1 ) ( ) 5 , 0 )( 1 ( 5 , 0 5 , 1 ) ( 2 1 2 2 2 2 z A z A z z z z z X z z z z z z z XTentukan transformasi-z balik dari
Jawab:
) 5 , 0 ( ) 1 ( 5 , 0 5 , 1 ) ( 1 2 2 z A z A z z z z z X ) 5 , 0 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 1 z z z X x(n) [2(0,5)n]u(n) 5 , 0 5 , 1 ) 5 , 0 ( ) ( ) 5 , 0 )( 1 ( ) 1 ( ) 5 , 0 ( 2 2 1 2 1 2 1 z z A A z A A z z z A z A 1 2 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 0 5 , 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 A A A A A A A A A A A 5 , 0 5 , 1 ) 5 , 0 ( ) ( 5 , 0 5 , 1 ) ( 2 2 1 2 1 2 z z A A z A A z z z z z X
Pole-pole berbeda semua
N N k kp
z
A
p
z
A
p
z
A
z
z
X
1 1)
(
N N k k k kp
z
A
p
z
A
p
z
A
p
z
z
z
X
p
z
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1
k p z kA
z
z
X
p
z
k
)
(
)
(
Contoh Soal 8.17
Jawab:
Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
)
2
n
(
x
8
)
1
n
(
x
28
)
n
(
x
5
)
2
n
(
y
8
)
1
n
(
y
6
)
n
(
y
)
z
(
X
z
8
)
z
(
X
z
28
)
z
(
X
5
)
z
(
Y
z
8
)
z
(
Y
z
6
)
z
(
Y
1
2
1
2 1 2 1 2 1z
1
1
z
8
z
6
1
)
z
8
z
28
5
(
)
z
(
Y
1z
1
1
)
z
(
X
1
z
A
4
z
A
2
z
A
)
1
z
)(
8
z
6
z
(
)
8
z
28
z
5
(
z
)
z
(
Y
1 2 3 2 2
1 z A 4 z A 2 z A ) 1 z )( 4 z )( 2 z ( ) 8 z 28 z 5 ( z ) z ( Y 2 1 2 3 14 6 84 ) 3 )( 2 ( 8 56 20 ) 1 z )( 4 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 2 z ( A 2 z 2 1 20 10 200 ) 5 )( 2 ( 8 112 80 ) 1 z )( 2 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 4 z ( A 4 z 2 2 1 15 15 ) 5 )( 3 ( 8 28 5 ) 4 z )( 2 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 1 z ( A 1 z 2 3 1 z 1 4 z 20 2 z 14 z ) z ( Y 1 1 1 z 1 1 z 4 1 20 z 2 1 14 ) z ( Y
)
n
(
u
]
1
)
4
(
20
)
2
(
14
[
)
n
(
y
zs
n
n
Ada dua pole yang semua
N N k k 2 2 k k 1 1 1p
z
A
p
z
A
)
p
z
(
A
p
z
A
z
)
z
(
X
k p z 2 k k 1z
)
z
(
X
)
p
z
(
A
k p z 2 k k 2z
)
z
(
X
)
p
z
(
dz
d
A
Contoh Soal 8.18
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari :
2 1 1
)
z
1
)(
z
1
(
1
)
z
(
X
)
1
z
(
A
)
1
z
(
A
1
z
A
)
1
z
)(
1
z
(
z
z
)
z
(
X
3 2 2 1 2 2
4
1
)
1
z
(
z
z
)
z
(
X
)
1
z
(
A
1 z 2 2 1
4
3
)
1
z
(
z
2
z
)
1
z
(
)
z
)(
1
(
)
1
z
)(
z
2
(
)
1
z
(
z
dz
d
z
)
z
(
X
)
1
z
(
dz
d
A
1 z 2 2 2 2 2 2 3
)
n
(
u
]
4
3
n
2
1
)
1
(
4
1
[
)
n
(
x
n
2
1
)
1
z
(
z
z
)
z
(
X
)
1
z
(
A
1 z 2 2 2
Pole kompleks
*
p
p
p
p
1
2
2 1 1 1 1 1 1z
*
pp
z
*
p
pz
1
pz
*
A
*
A
z
*
Ap
A
z
*
p
1
*
A
pz
1
A
1 2 2 1 1 1z
p
1
A
z
p
1
A
)
z
(
X
*
A
A
A
A
1
2
2 2 1 1 1 1 o 2 1 1z
a
z
a
1
z
b
b
z
*
pp
z
*)
p
p
(
1
z
)
p
*
A
*
Ap
(
*)
A
A
(
)
A
Re(
2
*
A
A
b
)
A
Re(
2
)
A
Im(
j
)
A
Re(
)
A
Im(
j
)
A
Re(
*
A
A
o
)
p
Re(
2
*)
p
p
(
a
)
p
Re(
2
)
p
Im(
j
)
p
Re(
)
p
Im(
j
)
p
Re(
*
p
p
1
2 2 2 2 2p
*
pp
a
p
)
p
(
Im
)
p
(
Re
)]
p
Im(
j
)
p
)][Re(
p
Im(
j
)
p
[Re(
*
pp
)
p
Im(
)
A
Im(
2
)
p
Re(
)
A
Re(
2
)]
p
Im(
j
)
p
)][Re(
A
Im(
j
)
A
[Re(
)]
p
Im(
j
)
p
)][Re(
A
Im(
j
)
A
[Re(
p
*
A
*
Ap
*) Ap Re( 2 ) p * A * Ap ( b ] p Im( ) A Re( ) A Im( ) p [Re( j )] p Im( ) A Im( ) p Re( ) A [Re( )] p Im( j ) p )][Re( A Im( j ) A [Re( * Ap 1 Contoh Soal 8.19
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari :
2 1 1 z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X 2 2 1 1 1 1 o 2 1 1 z a z a 1 z b b z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X
5
,
0
)
A
Re(
1
)
A
Re(
2
b
o
5
,
0
)
p
Re(
1
)
p
Re(
2
a
1
5
,
0
*)
Ap
Re(
1
*)
Ap
Re(
2
b
1
5
,
0
)
p
(
Im
)
p
(
Re
5
,
0
p
a
2
2
2
2
5
,
0
)
p
(
Im
25
,
0
)
p
(
Im
)
p
(
Re
2
2
2
5
,
0
)
A
Re(
5
,
0
)
p
Re(
5
,
0
j
5
,
0
p
5
,
0
)
p
Im(
25
,
0
)
p
(
Im
2
)
5
,
0
j
5
,
0
)](
A
Im(
j
5
,
0
[
*
Ap
25
,
0
j
5
,
0
A
25
,
0
)
A
Im(
5
,
0
)
A
Im(
5
,
0
25
,
0
*)
Ap
Re(
1 1 1 1z
)
5
,
0
j
5
,
0
(
1
25
,
0
j
5
,
0
z
)
5
,
0
j
5
,
0
(
1
25
,
0
j
5
,
0
z
*
p
1
*
A
pz
1
A
)
z
(
X
1 1
z
)
5
,
0
j
5
,
0
(
1
25
,
0
j
5
,
0
z
)
5
,
0
j
5
,
0
(
1
25
,
0
j
5
,
0
)
z
(
X
45 j 45 je
707
,
0
5
,
0
j
5
,
0
e
707
,
0
5
,
0
j
5
,
0
n
45
sin
)
707
,
0
(
5
,
0
n
45
cos
)
707
,
0
(
)
n
45
sin
j
n
45
)(cos
707
,
0
)(
25
,
0
(
j
)
n
45
sin
j
n
45
(cos
)
707
,
0
)(
5
,
0
(
)
n
45
sin
j
n
45
)(cos
707
,
0
)(
25
,
0
(
j
)
n
45
sin
j
n
45
(cos
)
707
,
0
)(
5
,
0
(
)
e
707
,
0
)(
25
,
0
j
5
,
0
(
)
e
707
,
0
)(
25
,
0
j
5
,
0
(
)
n
(
x
n n n n n n n 45 j n 45 j
TRANSFORMASI-Z SATU SISI
Definisi :
Contoh Soal 8.20
Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini
0 n nz
)
n
(
x
)
z
(
X
2
,
5
,
7
,
0
,
1
)
n
(
x
).
d
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
,
0
)
n
(
x
).
c
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
)
n
(
x
).
b
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
)
n
(
x
).
a
4 3 2 1
Jawab:
5 3 2 1 1 1z
z
7
z
5
z
2
1
)
z
(
X
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
)
n
(
x
).
a
3 1 2 2z
z
7
5
)
z
(
X
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
)
n
(
x
).
b
7 4 3 2 1 3 3z
z
7
z
5
z
2
z
)
z
(
X
1
,
0
,
7
,
5
,
2
,
1
,
0
)
n
(
x
).
c
3 1 4 4z
z
7
5
)
z
(
X
1
,
0
,
7
,
5
,
2
)
n
(
x
).
d
Contoh Soal 8.21
Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini
0
k
),
k
n
(
)
n
(
x
).
c
0
k
),
k
n
(
)
n
(
x
).
b
)
n
(
)
n
(
x
).
a
7 6 5
Jawab:
1
z
)
n
(
)
z
(
X
).
a
0 n n 5
k 0 n n 6(
z
)
(
n
k
)
z
z
X
).
b
0
z
)
k
n
(
)
z
(
X
).
c
0 n n 7
Time Delay
]
z
)
n
(
x
)
z
(
X
[
z
)
k
n
(
x
k 1 n n k
Contoh Soal 8.22Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2) dimana x(n) = anu(n ) 1 n
az
1
1
)
z
(
X
)
n
(
u
a
)
n
(
x
2 1 1 1 2 2 2 2 1 n n 2 1a
z
a
az
1
z
z
)
2
(
x
z
)
1
(
x
X
z
z
)
n
(
x
X
z
)
z
(
X
Jawab:
Time advance
]
z
)
n
(
x
)
z
(
X
[
z
)
k
n
(
x
1 k 0 n n k
Jawab:
1 naz
1
1
)
z
(
X
)
n
(
u
a
)
n
(
x
az
z
az
1
z
z
)
1
(
x
)
0
(
x
X
z
z
)
n
(
x
)
z
(
X
z
X
2 1 2 1 2 1 0 n n 2 2
Contoh Soal 8.23Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2) dimana x(n) = anu(n )
Contoh Soal 8.24
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
0
]
z
)
2
(
y
z
)
1
(
y
)
z
(
Y
[
z
2
]
z
)
1
(
y
)
z
(
Y
[
z
3
)
z
(
Y
2 2 1
)
1
n
(
x
5
,
9
)
n
(
x
5
,
4
)
2
n
(
y
)
1
n
(
y
3
)
n
(
y
5
,
7
)
2
(
y
5
,
8
)
1
(
y
dengan input x(n) = 0y
(
n
)
y
(
n
)
zi
2 1 1 2 1 1
z
2
z
3
1
5
,
10
z
17
z
2
z
3
1
)
5
,
7
(
2
z
)
5
,
8
(
2
)
5
,
8
(
3
)
z
(
Y
)
2
(
y
2
z
)
1
(
y
2
)
1
(
y
3
]
z
2
z
3
1
)[
z
(
Y
0
]
z
)
2
(
y
z
)
1
(
y
)
z
(
Y
[
z
2
]
z
)
1
(
y
)
z
(
Y
[
z
3
)
z
(
Y
1 2 1 2 2 1
)
2
z
)(
1
z
(
17
z
5
,
10
2
z
3
z
17
z
5
,
10
z
)
z
(
Y
2
2
z
A
1
z
A
)
2
z
)(
1
z
(
17
z
5
,
10
2
z
3
z
17
z
5
,
10
z
)
z
(
Y
1 2 2
4
1
4
1
z
17
z
5
,
10
z
)
z
(
Y
)
2
z
(
A
5
,
6
1
5
,
6
2
z
17
z
5
,
10
z
)
z
(
Y
)
1
z
(
A
2 z 2 1 z 1
1 1z
2
1
4
z
1
5
,
6
2
z
z
4
1
z
z
5
,
6
)
z
(
Y
n n zi(
n
)
6
,
5
(
1
)
4
(
2
)
y
Contoh Soal 8.25
Jawab:
Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
