oleh AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

(1)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA

oleh

AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M0106024

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

(2)

commit to user ii

(3)

commit to user iii

ABSTRAK

Ahmad Isnaini Hasan, 2011. PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Leukemia merupakan penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih yang sangat cepat dan tidak terkendali. Probabilitas tahan hidup penderita leukemia dapat dicari dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier. Penelitian ini membandingkan estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Kaplan-Meier. Penaksir Kaplan-Kaplan-Meier dimodifikasi dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull.

Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa nilai estimasi dengan penaksir modifikasi Kaplan-Meier terlihat lebih baik dan lebih masuk akal dibanding penaksir Kaplan-Meier. Selain itu dari studi simulasi diketahui bahwa

nilai mean square error (MSE) dari penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier

lebih kecil daripada metode Kaplan-Meier. Hal ini menunjukkan bahwa penaksir modifikasi Kaplan-Meier lebih baik dibanding penaksir Kaplan-Meier biasa.

(4)

commit to user iv

ABSTRACT

Ahmad Isnaini Hasan, 2011. COMPARISON OF ESTIMATOR WITH KAPLAN–MEIER METHOD AND MODIFICATION OF KAPLAN–MEIER METHOD ON SURVIVAL ANALYSIS FROM LEUKEMIA PATIENTS IN Dr. MOEWARDI PUBLIC HOSPITAL, SURAKARTA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Leukemia is a disease signed of very fast and uncontrolled leukocytes addition. Survival probability of leukemia patients can be found by Kaplan – Meier method and modification of Kaplan – Meier method. This research compare survival functions estimation on the leukemia patients using Kaplan-Meier method and modification of Kaplan-Kaplan-Meier method. Kaplan-Kaplan-Meier estimator will be modified using approximation of survival function by Weibull distribution.

Based on this research results, it is known that the estimation value using modification of Kaplan-Meier estimator is better and more reasonable than Kaplan-Meier estimator. Therefore, from simulation study it is known that the MSE of estimator with modification of Kaplan-Meier method is smaller than Kaplan-Meier method. It shows that modification of Kaplan-Meier estimator is better than the original Kaplan-Meier estimator.

(5)

commit to user v

MOTO

Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan sesuatu kaum sebelum mereka mengubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri

(6)

commit to user vi

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk Ayah ibuku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini Kakak dan adikku tersayang yang telah memberi semangat dan doa

(7)

commit to user vii

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Drs. Sugiyanto, M.Si. sebagai dosen Pembimbing I dan Drs. Muslich,

M.Si. sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini,

2. Pihak RSUD Dr. Moewardi Surakarta,

3. Nurul ‘Azizah Rahmawati yang selalu memberi motivasi saat penulis

kehilangan semangat,

4. Drajat, Markus, Ahmad, Anam, Wawan Yudha, Anis serta semua

teman-teman angkatan 2006 atas kerjasama dan bantuan yang diberikan saat penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini,

5. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak

dapat penulis sebut satu per satu.

Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberi manfaat.

Surakarta, Desember 2011 Penulis

(8)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user viii DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ... i PENGESAHAN ... ii ABSTRAK ... iii ABSTRACT ... iv MOTO ... v PERSEMBAHAN ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR TABEL ... x DAFTAR GAMBAR ... xi BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Perumusan Masalah ... 2 1.3 Batasan Masalah... 2 1.4 Tujuan Penelitian ... 3 1.5 Manfaat Penelitian ... 3

BAB II LANDASAN TEORI ... 4

2.1 Tinjauan Pustaka ... 4

2.2 Teori-Teori Penunjang ... 5

2.2.1 Leukemia ... 6

2.2.2 Konsep Dasar Statistika ... 7

2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup ... 8

2.2.3.1 Model Kontinu ... 8

2.2.3.2 Model Diskrit ... 9

2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor ... 10

2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull ... 11

2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial ... 12

(9)

commit to user ix

2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier ... 13

2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ... 13

2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 ... 14

2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 > 2 ... 15

2.3 Kerangka Pemikiran ... 16

BAB III METODE PENELITIAN ... 18

BAB IV PEMBAHASAN ... 19

4.1 Deskripsi Data ... 19

4.2 Penaksir Kaplan-Meier ... 19

4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ... 21

4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 ... 22

4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 ... 24

4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia ... 26

4.4.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Kaplan-Meier ... 26

4.4.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier ... 28

4.5 Studi Simulasi ... 29 BAB V PENUTUP ... 32 5.1 Kesimpulan ... 32 5.2 Saran ... 32 DAFTAR PUSTAKA ... 33 DAFTAR LAMPIRAN ... 35

(10)

commit to user x

DAFTAR TABEL

(11)

commit to user xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀 ... 27

Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3 ... 28 Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM,

𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 ... 29

Gambar 4.4 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi dengan 𝑆 𝑡 , 𝐾𝑀(𝑡) , 𝑆 ₂ 𝑡 dan 𝑆 ₃ 𝑡 ... 30

(12)

commit to user

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup dinamakan analisis tahan hidup. Waktu hidup didefinisikan sebagai variabel random nonnegatif sehingga analisis tahan hidup adalah suatu analisis statistik pada variabel random nonnegatif yang berfungsi untuk mengetahui ketahanan hidup suatu obyek yang diteliti. Salah satu metode analisis tahan hidup adalah estimasi fungsi tahan hidup. Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas tahan hidup sampai waktu tertentu (Lawless, 1982).

Data tidak tersensor yang disebut data lengkap lebih baik digunakan dalam analisis tahan hidup karena dapat memberikan informasi terhadap ketahanan hidup semua unit dalam sampel. Akan tetapi, dalam melakukan suatu penelitian yang berhubungan dengan waktu hidup, sering dijumpai kendala-kendala antara lain keterbatasan dana, waktu, dan tenaga sehingga sulit mendapatkan data lengkap. Oleh karena itu, data waktu hidup biasanya merupakan data tak lengkap atau data tersensor (Nelson, 1982).

Salah satu permasalahan yang menyangkut tahan hidup dijumpai dalam bidang kesehatan, sebagai contoh penyakit leukemia (kanker darah). Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyakit leukemia memberi andil sebesar empat persen dari seluruh penyakit kanker penyebab kematian pada manusia (Yatim, 2003). Agar angka tersebut tidak terus bertambah maka ketepatan dalam pemberian obat atau perawatan terhadap pasien menjadi sangat penting dan tidak lepas dari pengamatan tentang waktu hidup pasien

Fungsi tahan hidup penderita leukemia dapat diestimasi dengan menggunakan penaksir metode Meier. Kelebihan dari penaksir Kaplan-Meier adalah dapat digunakan untuk data yang tersensor (Lawless, 1982). Data yang tersensor dapat diartikan sebagai data yang hilang dalam penelitian,

(13)

commit to user

2

misalnya seorang pasien yang telah dikenai perlakuan dan sedang dalam masa penelitian menghilang, mungkin karena pindah rumah sakit atau alasan lain. Menurut Rossa dan Zielinski (2002), penaksir Kaplan-Meier juga mempunyai kelemahan, yaitu pada sampel yang kecil dan menengah dimana jarak antara dua waktu yang berurutan, misalnya 𝑡₁ dan 𝑡₂ (dengan 𝑡₁ < 𝑡₂) dan selang waktu 𝑡₁

dan 𝑡₂ cukup besar maka nilai penaksir Kaplan-Meier 𝐾𝑀(𝑡₁) dan 𝐾𝑀(𝑡₂) akan

mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama 𝐾𝑀 𝑡1 = 𝐾𝑀(𝑡2). Untuk

mengatasi masalah ini Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi terhadap penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan dari distribusi Weibull.

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆 𝑀(𝑡). Nilai 𝑆 𝑀(𝑡)

merupakan penaksir untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada

𝑡, nilai M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, …. Rossa dan Zielinski (2002)

menggunakan metode modifikasi Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup pada data leukemia hasil penelitian Freireich (1963).

Oleh karena itu penulis tertarik untuk mengaplikasikan penelitian Rossa dan Zielinski (2002) dengan membandingkan metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier pada analisis tahan hidup penderitan leukemia di RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Selain menggunakan data penderita leukemia, pada penelitian ini juga menggunakan data dari simulasi agar perbedaan hasil estimasi antara kedua penaksir tersebut semakin terlihat jelas.

1.2Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka perumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier baik pada penderita leukemia maupun pada data simulasi serta bagaimana perbandingan kedua penaksir tersebut.

1.3Batasan Masalah

Agar tidak memperluas pembahasan, maka penelitian ini dibatasi pada hal berikut :

(14)

commit to user

3

1. Data yang digunakan adalah data penderita Leukemia Limfositik Akut

(LLA) yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta dan data simulasi berdistribusi eksponensial yang dibangkitkan secara random dengan

software R.

2. Estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode modifikasi

Kaplan-Meier hanya untuk 𝑀 = 2 dan 3.

1.4Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah menentukan estimasi fungsi tahan hidup pada data penderita leukemia dan data simulasi dengan penaksir metode Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier serta membandingkan hasil estimasi dari kedua penaksir tersebut.

1.5Manfaat Penelitian

Penelitian diharapkan dapat menambah wawasan dalam bidang statistika dan kesehatan. Dalam bidang statistika, dapat menerapkan atau mengaplikasikan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier pada suatu penyakit. Dalam bidang kesehatan, setelah diketahui probabilitas tahan hidup penderita leukemia diharapkan pihak rumah sakit dapat lebih waspada dan meningkatkan pelayanan medis terhadap penderita leukemia.

(15)

commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi hasil-hasil penelitian sebelumnya yang menjadi dasar penelitian ini. Pada bagian kedua dari bab ini diberikan teori-teori penunjang yang berisi definisi dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Pada bagian ketiga dari bab ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini.

2.1Tinjauan Pustaka

dfd Menurut Belson (2007) berdasarkan karakteristik sosiodemografi (variabel orang), leukemia pada umumnya terjadi pada usia dibawah 15 tahun dan puncaknya terjadi pada umur 2-5 tahun, kasus lebih banyak terjadi pada laki-laki daripada perempuan. Dari penelitian yang dilakukan di Amerika ditemukan bahwa leukemia lebih banyak terjadi pada anak dengan ras kaukasoit (kulit putih) dibandingkan dengan ras lain.

Mahoney (1955) menyebutkan bahwa tingkat resiko leukemia pada orang yang tinggal 1.000 m dari daerah ledakan bom atom Hiroshima dan Nagasaki 20 kali lipat lebih tinggi dibandingkan populasi umum (di luar daerah tersebut). Kejadian lain adalah bencana radioaktif Chernobyl yang menyebabkan tanah, air dan tanaman terkontaminasi bahan radioaktif pada sebagian besar wilayah Eropa Timur. Negara Belarusia, Rusia dan Ukraina adalah negara yang paling banyak terkontaminasi. Negara-negara ini menjadi tempat dimana banyak ditemukan kasus leukemia.

Kent et al. (2009) menyebutkan bahwa di California, leukemia

merepresentasikan masing-masing sebesar 35%, 5% dan 2% pada seluruh

penyakit kanker pada usia 0-14 tahun, 15-29 tahun dan 30-39 tahun. Kent et al.

(2009) melakukan penelitian pada 7.688 kasus leukemia yang terjadi pada penderita berusia 0-39 tahun. Penelitian dilakukan menggunakan metode

(16)

commit to user

5

Bhatia et al. (2002) melakukan penelitian tentang perbedaan antara ras dan

etnik dalam ketahanan hidup pada anak penderita Leukemia Limfobastik Akut dengan menggunakan metode Kaplan-Meier. Sebanyak 8762 anak dari berbagai ras meliputi 6703 ras kulit putih, 1071 Hispanic, 506 kulit hitam, 167 Asia dan 315 dari campuran berbagai ras. Salah satu hasil dari penelitian tersebut adalah

terdapat perbedaan daya tahan hidup dari penderita Leukemia antara

masing-masing ras dan etnik.

Penelitian ini akan mengembangkan penelitian yang sudah dilakukan oleh

Kent et al. (2009) dan Bhatia et al. (2002). Dua penelitian tersebut masih

menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup. Penelitian ini akan membandingkan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi penaksir Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia. Data pasien penderita leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi. Selain itu dalam penelitian ini juga akan dilakukan simulasi agar perbedaan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi penaksir Kaplan-Meier semakin terlihat jelas.

2.2Teori-Teori Penunjang

Teori-teori yang relevan dengan pembahasan diperlukan untuk mencapai tujuan penelitian. Teori-teori tersebut meliputi penyakit leukemia, konsep dasar statistika, konsep dasar analisis tahan hidup, jenis-jenis sensor, metode maksimum Likelihood, Estimasi Kaplan-Meier dan modifikasi dari Estimasi Kaplan-Meier.

2.2.1 Leukemia

Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyebab leukemia belum diketahui secara pasti tetapi diperkirakan bukan berasal dari penyebab tunggal melainkan gabungan dari beberapa faktor antara lain karena terinveksi virus, faktor keturunan ataupun karena zat kimia tertentu. (Yatim, 2003)

(17)

commit to user

6

Leukemia dapat diklasifikasikan atas dasar perjalanan alamiah penyakit yaitu leukemia akut dan kronis. Leukemia akut ditandai dengan suatu perjalanan penyakit yang sangat cepat, mematikan, dan memburuk. Apabila tidak segera diobati, maka penderita dapat meninggal dalam hitungan minggu hingga hari. Sedangkan leukemia kronis memiliki perjalanan penyakit yang tidak begitu cepat sehingga memiliki harapan hidup yang lebih lama, hingga lebih dari 1 tahun bahkan ada yang mencapai 5 tahun. Ketika leukemia mempengaruhi limfosit atau sel limfoid, maka disebut leukemia limfositik dan ketika leukemia mempengaruhi sel mieloid seperti neutrofil, basofil, dan eosinofil, maka disebut leukemia meilositik (Berita Kesehatan). Berdasarkan dua klasifikasi tersebut maka leukemia dapat dibagi menjadi empat yaitu :

1. Leukemia Limfositik Akut (LLA)

Leukemia Limfositik Akut (LLA) adalah suatu penyakit yang berakibat fatal, dimana sel-sel yang dalam keadaan normal berkembang menjadi limfosit berubah menjadi ganas dan dengan segera akan menggantikan sel-sel normal di dalam sumsum tulang. Penyakit LLA merupakan leukemia yang paling sering terjadi pada anak-anak, leukemia jenis ini merupakan 25% dari semua jenis kanker yang mengenai anak-anak dibawah umur 15 tahun. LLA paling sering terjadi pada anak usia antara 3-5 tahun, tetapi kadang terjadi pada usia remaja dan dewasa.

2. Leukemia Meilositik Akut (LMA)

Leukemia Meilositik Akut (LMA) lebih sering terjadi pada orang dewasa dari pada anak-anak, kejadian leukemia jenis LMA biasanya tidak lebih dari 5%.

3. Leukemia Limfositik Kronis (LLK)

Pada Leukemia Limfositik Kronis (LLK) lebih dari 3 ₄ penderita berumur

lebih dari 60 tahun dan 2-3 kali lebih sering menyerang pria.

4. Leukemia Meilositik Kronis (LMK)

Penyakit ini dapat mengenai semua kelompok umur, baik pria maupun wanita, tetapi jarang ditemukan pada anak-anak berumur kurang dari 10 tahun. LMK banyak ditemukan pada kelompok usia 55 tahun keatas.

(18)

commit to user

7

Dalam penelitian ini menggunakan data leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Data penderita leukemia diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta.

2.2.2 Konsep Dasar Statistika

Definisi-definisi yang berhubungan dengan konsep dasar statistika berikut ini dirujuk dari Bain dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.1. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan

disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.

Definisi 2.1.2. Variabel random T adalah fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real t, sedemikian sehingga

𝑇 𝑒 = 𝑡 , 𝑒 ∈ 𝑆.

Definisi 2.1.3. Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari variabel random T, merupakan himpunan terhitung, t1, t2, ...., tn atau t1, t2, .... maka T disebut variabel random diskrit. Fungsi

𝑓 𝑡 = 𝑃 𝑇 = 𝑡 , 𝑡 = 𝑡₁, 𝑡₂, ….

menyatakan probabilitas untuk tiap-tiap nilai t yang mungkin, selanjutnya disebut fungsi densitas probabilitas diskrit.

Definisi 2.1.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random diskrit T didefinisikan untuk sebarang bilangan real t dengan

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 .

Definisi 2.1.5. Fungsi 𝑓 𝑡 disebut fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu T jika dan hanya jika memenuhi sifat

1. 𝑓(𝑡) ≥ 0, untuk semua t dan

2. _−∞∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1.

Definisi 2.1.6. Variabel random T disebut variabel random kontinu jika terdapat fungsi f(t) yang merupakan fungsi densitas dari T, sehingga fungsi distribusi kumulatif dinyatakan

(19)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 8 𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡 −∞ .

Definisi 2.1.7. Probabilitas bersyarat dari kejadian A diberikan kejadian B didefinisikan sebagai

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) , 𝑃(𝐵) ≠ 0.

Definisi 2.1.8. Statistik 𝑈 = 𝑙(𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛) yang digunakan untuk mengestimasi nilai 𝜏(𝜃) disebut penaksir dari 𝜏(𝜃) dan nilai statistik 𝑢 = 𝑙(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) disebut estimasi dari 𝜏(𝜃).

Definisi 2.1.9. Jika T adalah penaksir dari 𝜏(𝜃), maka bias adalah 𝑏 𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) dan rata-rata kesalahan standar atau mean square error (MSE)

dari T didefinisikan sebagai 𝑀𝑆𝐸 𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) 2.

2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup 2.2.3.1Model Kontinu

Menurut Lawless (1982), variabel random kontinu nonnegatif T

menunjukkan waktu hidup dari suatu individu sehingga semua fungsi yang

berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval [0, ∞). Secara matematika fungsi

densitas probabilitas menurut Cox dan Oakes (1984) adalah

𝑓 𝑡 = lim ∆𝑡→0

𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡]

∆𝑡 .

Menurut Lawless (1982), fungsi distribusi kumulatif ditulis

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 < 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡

0

.

Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas bertahan hidup

sampai waktu t, sebagai berikut

𝑆 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 = 1 − 𝑃 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡 0 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∞ 𝑡 .

Fungsi tahan hidup merupakan fungsi monoton turun dengan sifat 1. S(0) = 1,

(20)

commit to user

9

Hubungan fungsi densitas probabilitas 𝑓(𝑡) dan fungsi tahan hidup 𝑆(𝑡)

(Elandt dan Johnson, 1980), dapat ditunjukkan dengan

−𝑆′ 𝑡 = −𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = −𝑑 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∞ 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑓 𝑥 |_𝑡∞ = − 0 − 𝑓 𝑡 −𝑆′_{𝑡 = 𝑓 𝑡 . (2.1)}

Fungsi hazard adalah laju kematian / peluang individu mati pada saat t

dengan syarat individu tersebut mampu bertahan hidup sampai waktu t dan

didefinisikan sebagai ℎ 𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡] ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∩ 𝑇 ≥ 𝑡 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ] ∆𝑡 . 1 𝑃[𝑇 ≥ 𝑡] ℎ 𝑡 =𝑓 𝑡 𝑆 𝑡 . (2.2)

Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) hubungan antara fungsi hazard

ℎ 𝑡 dan fungsi tahan hidup 𝑆 𝑡 adalah

ℎ 𝑡 = −𝑆 ′_(𝑡) 𝑆(𝑡) = − 𝑑 ln 𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 . 2.2.3.2Model Diskrit

Misal T adalah variabel random diskrit, dengan T mempunyai nilai

𝑡1, 𝑡2, … dengan 0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯. Menurut Lawless (1982), secara matematika

fungsi peluangnya dapat ditulis 𝑓 𝑡_𝑗 = P⁡(𝑇 = 𝑡_𝑗) dan fungsi tahan hidupnya

(21)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 10 𝑆 𝑡 = P 𝑇 ≥ 𝑡 = 𝑓(𝑡_𝑗) 𝑗 :𝑡𝑗≥𝑡 .

Seperti pada penjelasan model kontinu, 𝑆 𝑡 adalah fungsi monoton turun

dengan sifat 1. S(0) = 1,

2. S(t) = 0, untuk t → .

Fungsi hazard diskrit didefinisikan sebagai

ℎ 𝑡_𝑗 = P 𝑇 = 𝑡_𝑗 𝑇 ≥ 𝑡_𝑗 =𝑓(𝑡𝑗)

𝑆(𝑡𝑗) .

Fungsi probabilitas, fungsi tahan hidup dan fungsi hazard memberikan

spesifikasi yang sama terhadap T. Jika diketahui 𝑓 𝑡_𝑗 = 𝑆 𝑡_𝑗 − 𝑆(𝑡_{𝑗 +1}) maka

ℎ 𝑡_𝑗 = 1 −𝑆(𝑡𝑗 +1) 𝑆(𝑡𝑗) .

Menurut Lawless (1982) fungsi tahan hidup yang berhubungan dengan fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai

𝑆 𝑡 = [1 − ℎ( 𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡

𝑡𝑗)].

2.2.3.3Jenis-Jenis Sensor

Data waktu hidup dikatakan tersensor jika terdapat individu yang mempunyai nilai batas atas atau batas bawah pada waktu hidupnya (Lawless, 1982). Menurut Kleln dan Moeschberger (1997) dan Lawless (1982), tiga jenis sensor yang dapat digunakan dalam penelitian tahan hidup yaitu sensor kanan, sensor kiri, dan sensor umum.

1. Sensor kanan

Diasumsikan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cr,

waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≤ Cr. Jika

T >Cr maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cr.

Data tersensor kanan dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, δ)

(22)

commit to user

11

menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (δ = 1) atau tersensor (δ = 0)

sehingga diperoleh X = min(T, Cr ).

2. Sensor kiri

Misalkan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cl, waktu

hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≥ Cl. Jika T <Cl

maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cl. Data

tersensor kiri dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, ε) dengan

X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan ε menyatakan

apakah waktu hidup T tak tersensor (ε = 1) atau tersensor (ε = 0) sehingga

diperoleh X = maks(T, Cl ).

3. Sensor umum

Suatu sampel dikatakan tersensor secara umum jika terdapat data sejumlah

n objek yang diamati pada waktu 0 dan masing-masing objek diamati sampai

gagal (mati) atau tidak. Jika objek tersebut tidak gagal (tidak mati), maka data tersebut merupakan data tersensor.

2.2.3.4Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull

Distribusi Weibull merupakan distribusi yang paling luas penggunaannya dalam model tahan hidup. Model fungsi tahan hidup distribusi Weibull banyak diaplikasikan dalam bidang biomedis, contohnya dalam penelitian Whittemore dan Altschuler tahun 1976 tentang waktu kejadian tumor dalam populasi manusia (Lawless, 1982). Kelebihan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull adalah distribusi ini mampu mendekati fungsi tahan hidup dari distribusi yang lain.

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai

𝑓 𝑡 = 𝛼𝜆 𝜆𝑡 𝛼−1exp(− 𝜆𝑡 𝛼) ; 𝛼 > 0 ; 𝜆 > 0 ; 𝑡 > 0. (2.3)

Berdasarkan persamaan (2.3) dapat dicari fungsi tahan hidup distribusi Weibull sebagai berikut

𝑆 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∞

(23)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 12 = 𝛼𝜆 𝜆𝑥 𝛼−1exp(− 𝜆𝑥 𝛼) 𝑑𝑥 ∞ 𝑡 = − exp − 𝜆𝑥 𝛼_| 𝑡 ∞ 𝑆 𝑡 = exp − 𝜆𝑡 𝛼 . (2.4)

2.2.3.5Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull,

yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi

eksponensial. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Eksponensial didefinisikan sebagai

𝑓 𝑡 = 𝜆 exp −𝜆𝑡 ; 𝑡 ≥ 0 ; 𝜆 > 0. (2.5)

Kemudian fungsi tahan hidup distribusi eksponensial dapat dituliskan sebagai berikut

𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 (2.6)

2.2.4 Metode Maksimum Likelihood

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan fungsi likelihood dan estimasi maksimum likelihood menurut Bain dan Engelhardt (1992)

Definisi 2.1.10. Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n-variabel random 𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛 yang diobservasi di 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 dinotasikan dengan 𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ,

maka fungsi likelihood dari himpunan pengamatan 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛 dinyatakan

sebagai

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑛; 𝜃 dengan 𝜃 adalah parameter yang belum diketahui.

Definisi 2.1.11. Jika 𝐿(𝜃) adalah fungsi likelihood suatu himpunan pengamatan 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 dengan 𝜃 parameter yang tidak diketahui, maka suatu harga 𝜃 dalam

ruang parameter Ω yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) disebut sebagai estimasi

maksimum likelihood dari 𝜃, dapat ditulis 𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛; 𝜃 = max

(24)

commit to user

13

Setiap 𝜃 yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) akan memaksimumkan log-likelihood

ln 𝐿(𝜃) juga, sehingga alternatif bentuk persamaan likelihood maksimum yaitu

𝑑

𝑑𝜃ln 𝐿 𝜃 = 0.

2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier

Estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier

disebut juga estimasi product limit. Kaplan dan Meier (1958) adalah orang

pertama yang membahas estimasi fungsi ini. Misal T variabel random kontinu

nonnegatif. Semua fungsi yang berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval

[𝑡𝑗, 𝑡𝑗 +1). Penaksir Kaplan-Meier merupakan modifikasi dari fungsi tahan hidup

empiris. Fungsi tahan hidup empiris didefinisikan sebagai

𝑆 𝑡 = 𝐽

𝑛 , 𝑡 ≥ 0 (2.7)

dengan 𝐽 merupakan jumlah pengamatan yang lebih besar atau sama dengan 𝑡.

Jika terdapat data yang tersensor (tak lengkap), maka persamaan tersebut

diubah menjadi penaksir Kaplan-Meier. Misalkan terdapat n individu dengan

𝑘(𝑘 ≤ 𝑛) waktu terjadinya kematian yang berbeda 𝑡₁ < 𝑡₂ < ⋯ < 𝑡_𝑘 dan 𝑑_𝑗

adalah jumlah kematian pada saat 𝑡_𝑗(𝑗 = 1,2, … , 𝑘), 𝑚_𝑗 adalah jumlah tersensor

dalam interval [𝑡_𝑗, 𝑡_{𝑗 +1}) pada waktu 𝑡_{𝑗 1}, 𝑡_{𝑗 2}, … , 𝑡_{𝑗 𝑚}_𝑗 untuk 𝑗 = 0, 1, … , 𝑘 dimana

𝑡0 = 0 dan 𝑡𝑘+1 = ∞, 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 adalah jumlah individu

beresiko pada saat 𝑡_𝑗, penaksir Kaplan-Meier didefinisikan sebagai

𝑆 _𝐾𝑀 𝑡 = 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 𝑛_𝑗 . 𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡

(2.8)

2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan Meier

Menurut Rossa dan Zielinski (2002) penaksir Kaplan-Meier mempunyai kelemahan yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Kelemahan pada penaksir Kaplan-Meier diatasi dengan

(25)

commit to user

14

memodifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4).

Modifikasi dari penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆 𝑀 𝑡 , dimana

M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3 … . Nilai 𝑆 𝑀(𝑡) merupakan penaksir

untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada 𝑡. Nilai M dapat

dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, … Semakin besar nilai M maka akan

menghasilkan estimasi yang lebih baik akan tetapi perhitungannya akan lebih rumit (Rossa dan Zielinski, 2002). Oleh karena itu dalam penelitian ini hanya

akan dibahas penaksir 𝑆 _𝑀 𝑡 dengan 𝑀 = 2 dan 3.

Misalkan terdapat n sampel dan akan dicari penaksir fungsi tahan hidup

dari sampel terurut yang tidak lengkap dari 𝑇1, 𝛿1 , 𝑇2, 𝛿2 , … , 𝑇𝑛, 𝛿𝑛 dengan 𝛿 = 1 untuk data yang tidak tersensor dan 𝛿 = 0 untuk data yang tersensor.

Kemudian dimisalkan 𝑁 − 1 adalah jumlah elemen yang berbeda pada sampel

yang tidak tersensor. Nilai 𝐾𝑀 𝑡 dengan 0 < 𝑡 < 𝑇_𝑛 , memiliki titik-titik

loncatan (jump point) di 𝑇_𝑓′ untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1. Jika 𝛿_𝑛 = 1, maka nilai

𝐾𝑀 𝑡 dengan 𝑡 = 𝑇𝑛 juga merupakan titik loncatan dari 𝐾𝑀. Kemudian

penaksir Kaplan-Meier dituliskan dalam bentuk pasangan baris (𝑇_𝑓′, 𝐾𝑀_𝑓′) dengan

𝑓 = 1,2, … , 𝑁, dimana

𝐾𝑀_𝑓′ =

𝐾𝑀(𝑇_𝑓−1′ ) + 𝐾𝑀(𝑇_𝑓′)

2 , untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1

𝐾𝑀 𝑇_𝑛

2 , untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 1 𝐾𝑀 𝑇_𝑛 , untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿_𝑛 = 0

dengan

𝑇₀′ = 0 ; 𝑇_𝑁′ = 𝑇_𝑛 ; 𝐾𝑀(𝑇₀′) = 1.

2.2.6.1Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐

Untuk 𝑀 = 2 penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan sebagai

𝑆 ₂ 𝑡 = exp{−exp⁡(𝑌)} (2.9)

(26)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 15 𝑌 = 𝑌1+ 𝑌₂− 𝑌₁ 𝑋2− 𝑋1 𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1′ 𝑌_𝑓−1+ 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓 − 𝑋_𝑓−1 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1 ′ _{< 𝑡 ≤ 𝑇} 𝑓′ ≤ 𝑇𝑁′ dengan 𝑓 ≥ 2 𝑌_𝑁−1+ 𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1 𝑋_𝑁 − 𝑋_𝑁−1 𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁 ′_{dan 𝛿} 𝑁 = 1

tidak terdefinisi, untuk 𝑡 > 𝑇_𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0

dengan

𝑋_𝑓 = ln⁡(𝑇_𝑓′) ; 𝑌_𝑓 = ln⁡[− ln 𝐾𝑀_𝑓′ ] ; 𝑋 = ln 𝑡.

2.2.6.2Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴> 2

Untuk menentukan penaksir 𝑆 _𝑀 𝑡 dengan 𝑀 > 2 terlebih dahulu

didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡) sebagai berikut (Rossa dan Zielinski, 2002) :

i. Jika M bernilai ganjil atau 𝑀 = 2𝐾 + 1 (dimana 𝐾 merupakan bilangan

bulat postif yang lebih besar atau sama dengan 1), maka ditentukan f

sedemikian sehingga 𝑇_𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇_𝑓+1′ (jika 𝑡 > 𝑇_𝑁′ ambil nilai 𝑓 = 𝑁). Kemudian,

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑀 𝑡 = 1,

jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1,

untuk nilai-nilai f` yang lain didefinisikan

𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾 𝑡 = 1 𝑤_𝑓−𝐾 𝑡 = 𝑇𝑓+1 ′ _{− 𝑡} 𝑇_𝑓+1′ _{− 𝑇} 𝑓′ 𝑤_𝑓+𝐾+1 𝑡 = 𝑡 − 𝑇𝑓 ′ 𝑇_𝑓+1′ _{− 𝑇} 𝑓′

ii. Jika M bernilai genap atau 𝑀 = 2𝐾, (dimana 𝐾 merupakan bilangan bulat

postif yang lebih besar atau sama dengan 2) maka ditentukan f sedemikian

sehingga (𝑇𝑓−1 ′ _+𝑇 𝑓′) 2 < 𝑡 ≤ (𝑇𝑓′+𝑇𝑓+1′ ) 2 (jika 𝑡 ≤ 𝑇1

′_/2_{ambil nilai}_{𝑓 = 0}_atau

jika 𝑡 > (𝑇_𝑁−1′ + 𝑇_𝑁′)/2 ambil 𝑓 = 𝑁). Kemudian,

(27)

commit to user

16

jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 + 1 maka didefinisikan 𝑤_{𝑁−𝑀+1} = ⋯ = 𝑤_𝑁 𝑡 = 1

dan untuk nilai f yang lain didefinisikan

𝑤_{𝑓−𝐾+1} 𝑡 = 𝑤_{𝑓−𝐾+2} 𝑡 = ⋯ = 𝑤_{𝑓+𝐾−1} 𝑡 = 1, 𝑤_𝑓−𝐾 𝑡 = 1 2 (𝑇𝑓′ + 𝑇𝑓+1′ ) − 𝑡 1 2 (𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓−1′ ) 𝑤𝑓+𝐾 𝑡 = 𝑡 −1_{2 (𝑇}_𝑓′ + 𝑇_𝑓−1′ ) 1 2 (𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓−1′ ) .

Kemudian, ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol.

Setelah semua pembobot ditentukan, dicari nilai Λ dan 𝛼 dengan meminimumkan

𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓)2 (2.10) 𝑓

jika nilai Λ dan 𝛼 adalah solusi dari (2.10), maka modifikasi penaksir

Kaplan-Meier dengan 𝑀 > 2 dapat dituliskan sebagai

𝑆 _𝑀 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼_(2.11)

dengan λ = exp Λ .

2.3 Kerangka Pemikiran

Leukemia adalah jenis penyakit kanker yang menyerang sel-sel darah putih yang diproduksi oleh sumsum tulang. Leukemia umumnya muncul pada diri seseorang sejak dimasa kecilnya. Sumsum tulang tanpa diketahui dengan jelas penyebabnya telah memproduksi sel darah putih yang berkembang tidak normal. Dalam keadaan normal, sel darah putih mereproduksi ulang bila tubuh memerlukannya. Sel darah putih berfungsi sebagai pertahanan tubuh, akan terus membelah dalam suatu kontrol yang teratur. Tubuh manusia akan memberikan tanda/signal secara teratur kapankah sel darah diharapkan bereproduksi kembali. Pada penderita leukemia, sumsum tulang memproduksi sel darah putih yang tidak normal yang disebut sel leukemia. Tidak seperti sel darah normal, sel-sel leukemia tidak mati ketika mereka seharusnya mati. Sel leukemia yang terdapat dalam sumsum tulang akan terus membelah dan semakin mendesak sel normal,

(28)

commit to user

17

sehingga produksi sel darah normal akan mengalami penurunan, sel darah putih tidak merespon kepada tanda/signal yang diberikan. Akhirnya produksi yang berlebihan / tidak terkontrol akan keluar dari sumsum tulang dan dapat ditemukan di dalam darah perifer atau darah tepi. Jumlah sel darah putih yang abnormal ini bila berlebihan dapat mengganggu fungsi normal sel darah lainnya dan pada akhirnya dapat menyebabkan kematian (Cancerhelps).

Waktu tahan hidup pasien leukemia dapat diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena leukemia / masuk rumah sakit sampai meninggal. Pertama yang dilakukan adalah mengumpulkan data pasien penderita leukemia dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Data yang diambil adalah data pasien penderita leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Selain menggunakan data yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. Kemudian data dianalisis dengan mengestimasi fungsi tahan hidup pasien dengan penaksir Kaplan-Meier. Kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Oleh karena itu fungsi tahan hidup juga akan diestimasi dengan penaksir Kaplan-Meier yang telah dimodifikasi

untuk 𝑀 = 2 dan 3 yang akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik. Dengan

diperolehnya estimasi fungsi tahan hidup, maka dapat diketahui probabilitas seorang pasien dapat bertahan hidup baik dengan penaksir metode Kaplan-Meier biasa maupun metode modifikasi Kaplan-Meier. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh, akan dilakukan perbandingan antara hasil estimasi dengan menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier biasa dan metode modifikasi Kaplan-Meier.

(29)

commit to user

18

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi kasus dengan menggunakan data sekunder. Selain itu penulis juga menggunakan metode studi literatur yang mengacu pada buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan analisis tahan hidup. Secara garis besar penelitian ini terbagi dalam dua tahap

1. Tahap pengumpulan data.

Dalam tahap ini penulis mengumpulkan data penderita leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Data yang digunakan adalah data sekunder yang diambil dari dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Waktu tahan hidup penderita leukemia dapat diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena leukemia atau masuk rumah sakit sampai meninggal dalam satuan bulan. Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor, sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor. Selain menggunakan data yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random.

2. Tahap analisis data.

Setelah data diperoleh, data diurutkan dari kecil ke besar baik untuk data yang tidak tersensor maupun yang tersensor. Kemudian langkah selanjutnya adalah mengestimasi fungsi tahan hidup data penderita leukemia dan data simulasi menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier sehingga diperoleh nilai probabilitas tahan hidup. Setelah diperoleh nilai probabilitas tahan hidup langkah selanjutnya adalah membuat grafik estimasi fungsi tahan hidup kemudian membandingkan hasil estimasi dan grafik fungsi tahan hidup dari kedua penaksir tersebut.

(30)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 19 BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data

Data penderita Leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi Surakarta. Waktu tahan hidup pasien diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena kanker dan masuk rumah sakit sampai meninggal (dalam satuan bulan). Pasien yang

meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor (𝛿 = 1), sedangkan pasien

yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor

(𝛿 = 0). Ringkasan data dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut Banyak Pasien

Jumlah

Tidak Tersensor Tersensor

13 23 36

4.2 Penaksir Kaplan-Meier

Penaksir Kaplan-Meier dari 𝑆(𝑡) didefinisikan seperti pada persamaan

(2.8). Dari persamaan (2.8) diasumsikan terdapat k waktu hidup yang berbeda

𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dengan 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗. Fungsi tahan

hidup dapat dinyatakan dengan

𝑆 𝑡 = 1 − ℎ 𝑡_𝑗 .

𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡

4.1

Penaksir dari fungsi tahan hidup pada persamaan (4.1) adalah

𝑆 𝑡 = 1 − ℎ 𝑡_𝑗 𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡

(4.2)

dengan ℎ (𝑡_𝑗) adalah penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡_𝑗). Langkah untuk

menentukan penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗) yaitu :

1. menentukan fungsi likelihood

(31)

commit to user

20

2. membentuk logaritma natural likelihood

𝐾 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗: ℎ 𝑡𝑗 = ln 𝐿 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗: ℎ 𝑡𝑗 ,

3. membentuk persamaan log likelihood dengan menyelesaikan

𝜕𝐾 𝑡₁, 𝑡₂, … , 𝑡_𝑗: ℎ 𝑡_𝑗

𝜕ℎ 𝑡_𝑗 = 0, 𝑗 = 1,2, … 𝑘,

4. didapatkan estimator maksimum likelihood.

Misal pada k percobaan binomial yang independen terjadi 𝑛𝑗 kejadian dan

𝑑𝑗 jumlah kematian serta peluang/laju kematian ℎ(𝑡𝑗), maka fungsi likelihoodnya

sebagai berikut

𝐿 𝑡_𝑗, ℎ 𝑡_𝑗 = ℎ 𝑡_𝑗 𝑑𝑗 1 − ℎ 𝑡_𝑗 𝑛𝑗−𝑑𝑗 𝑗

(4.3)

persamaan (4.3) dibentuk logaritma natural likelihood menjadi

ln 𝐿 𝑡𝑗, ℎ 𝑡𝑗 = ln ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗 1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑛𝑗−𝑑𝑗 𝑗 = 𝑑_𝑗ln ℎ 𝑡_𝑗 + 𝑛_𝑗 − 𝑑_𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡_𝑗 . 𝑗 (4.4)

Persamaan (4.4) dibentuk persamaan log likelihood untuk mendapatkan penaksir

maksimum likelihood dari ℎ 𝑡_𝑗

𝜕 ln 𝐿 𝑡𝑗, ℎ 𝑡𝑗 𝜕ℎ 𝑡_𝑗 = 0 𝜕 𝜕ℎ 𝑡_𝑗 𝑑𝑗ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑗 = 0 𝑑_𝑗 1 ℎ 𝑡_𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 1 1 − ℎ 𝑡_𝑗 (−1) 𝑗 = 0 𝑑𝑗 ℎ 𝑡_𝑗 − 𝑛_𝑗 − 𝑑_𝑗 1 − ℎ 𝑡_𝑗 𝑗 = 0 𝑑𝑗 − 𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗 ℎ 𝑡_𝑗 . 1 − ℎ 𝑡_𝑗 𝑗 = 0.

(32)

commit to user

21

Agar 𝑑𝑗−𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗

ℎ 𝑡𝑗 . 1−ℎ 𝑡𝑗

𝑗 = 0, maka untuk setiap 𝑗, 𝑑𝑗 − 𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗 = 0. Jadi

penaksir maksimum likelihood dari ℎ 𝑡_𝑗 = ℎ 𝑡_𝑗 =𝑑𝑗

𝑛𝑗 . Dengan demikian persamaan (4.2) menjadi 𝐾𝑀 = 𝑆 _𝐾𝑀 𝑡 = 1 −𝑑𝑗 𝑛_𝑗 𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡 𝐾𝑀 = 𝑆 _𝐾𝑀 𝑡 = 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 𝑛_𝑗 𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡 (4.5)

dengan 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 , 𝑛𝑗 adalah jumlah individu yang

beresiko pada waktu 𝑡_𝑗, 𝑑_𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡_𝑗 , 𝑚_𝑗 adalah

jumlah individu yang tersensor pada waktu 𝑡_𝑗.

4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier

Kelemahan pada estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Meier dapat diatasi dengan menggunakan metode modifikasi Meier. Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi pada penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4). Pemilihan distribusi Weibull dikarenakan distribusi tersebut dapat memberikan algoritma perhitungan yang lebih sederhana untuk melakukan transformasi logaritma, serta mengaplikasikan prosedur estimasi

standar untuk a dan b pada model regresi linier sederhana 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥.

Adapun transformasi logaritma yang dimaksud adalah sebagai berikut :

𝑊 = exp −𝜆𝑡𝛼 ln 𝑊 = ln exp −𝜆𝑡𝛼 ln 𝑊 = −𝜆𝑡𝛼ln 𝑒 − ln 𝑊 = 𝜆𝑡𝛼 ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆𝑡𝛼 ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆 + 𝛼 ln 𝑡 (4.6) jika dimisalkan 𝑦 = ln(− ln 𝑊) ; Λ = ln 𝜆 ; 𝑥 = ln 𝑡

(33)

commit to user

22

maka persamaan (4.6) menjadi

𝑦 = Λ + 𝑎𝑥. (4.7)

4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 dinotasikan dengan

𝑆 ₂(𝑡). Akan diestimasi fungsi tahan hidup di t dimana 𝑇_𝑓−1′ < 𝑡 ≤ 𝑇_𝑓′, kemudian dibentuk pasangan baris (𝑇_𝑓−1′ , 𝐾𝑀_𝑓−1′ ) dan (𝑇_𝑓′, 𝐾𝑀_𝑓′) sehingga diperoleh dua persamaan

𝑊 𝑇_𝑓−1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀_𝑓−1′ dan 𝑊 𝑇_𝑓′; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀_𝑓′. (4.8)

Kemudian akan diestimasi nilai probabilitas tahan hidup di t dengan nilai

𝑊(𝑡; 𝜆; 𝛼), dimana 𝜆 dan 𝛼 dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.8) dengan terlebih dahulu diubah ke bentuk logaritma seperti pada persamaan (4.7), sehingga diperoleh

𝑌𝑓−1 = Λ + 𝛼𝑋𝑓−1 dan 𝑌𝑓 = Λ + 𝛼𝑋𝑓 (4.9)

dengan menyelesaikan persamaan (4.9) maka diperoleh

𝛼 = 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓 − 𝑋_𝑓−1 (4.10) Λ = 𝑌𝑓−1− 𝑌_𝑓 − 𝑌_𝑓−1 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1

karena Λ = ln 𝜆 sehingga diperoleh

𝜆 = exp Λ

= exp 𝑌_𝑓−1− 𝑌𝑓− 𝑌𝑓−1

𝑋_𝑓− 𝑋_𝑓−1 𝑋𝑓−1 . (4.11)

Estimasi fungsi tahan hidup dapat dicari dengan menggunakan pendekatan

fungsi tahan hidup distribusi Weibull dengannilai 𝛼 dan 𝜆 pada persamaan (4.10)

dan (4.11). Sehingga untuk 𝑇_𝑓−1′ < 𝑡 ≤ 𝑇_𝑓′ diperoleh penaksir 𝑆 ₂ 𝑡 sebagai

berikut 𝑆 ₂ 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼 = exp − exp 𝑌𝑓−1− 𝑌_𝑓− 𝑌_𝑓−1 𝑋𝑓− 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 𝑡 𝑌𝑓−𝑌𝑓−1 𝑋𝑓−𝑋𝑓−1

(34)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 23 = exp − exp 𝑌_𝑓−1− 𝑌𝑓− 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓− 𝑋_𝑓−1 𝑋𝑓−1 exp 𝑋 𝑌_𝑓 − 𝑌_𝑓−1 𝑋_𝑓 − 𝑋_𝑓−1 = exp − exp 𝑌_𝑓−1− 𝑌𝑓− 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓− 𝑋_𝑓−1 𝑋𝑓−1 + 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓 − 𝑋_𝑓−1 𝑋 = exp − exp 𝑌_𝑓−1+ 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓 − 𝑋_𝑓−1 𝑋−𝑋𝑓−1 . (4.12)

Jika 𝑇₀′ < 𝑡 ≤ 𝑇₁′ maka dibentuk pasangan baris (𝑇₁′, 𝐾𝑀₁′) dan (𝑇₂′, 𝐾𝑀₂′),

kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇₁′; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀₁′ dan 𝑊 𝑇₂′; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀₂′.

Sehingga untuk 𝑇₀′ < 𝑡 ≤ 𝑇₁′ diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡 sebagai berikut 𝑆 ₂ 𝑡 = exp − exp 𝑌1+

𝑌2− 𝑌1

𝑋₂− 𝑋₁ 𝑋 − 𝑋1 . (4.13)

Jika 𝑡 > 𝑇_𝑁′_dan_𝛿

𝑁 = 1, maka dibentuk pasangan baris (𝑇𝑁−1′ , 𝐾𝑀𝑁−1′ )

dan (𝑇_𝑁′, 𝐾𝑀_𝑁′ ), kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇_𝑁−1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀_𝑁−1′ dan

𝑊 𝑇_𝑁′; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀_𝑁′ . Sehingga untuk 𝑡 > 𝑇_𝑁′ dan 𝛿_𝑁 = 1 diperoleh penaksir 𝑆 ₂ 𝑡

sebagai berikut

𝑆 2 𝑡 = exp − exp 𝑌𝑁−1 +

𝑌_𝑁 − 𝑌_𝑁−1 𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1

𝑋 − 𝑋𝑁−1 . (4.14)

Secara umum persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) dapat ditulis

𝑆 ₂ 𝑡 = exp{−exp⁡(𝑌)} (4.15) dengan 𝑌 = 𝑌1+ 𝑌₂− 𝑌₁ 𝑋₂− 𝑋₁ 𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0 ′ _{< 𝑡 ≤ 𝑇} 1′ 𝑌𝑓−1+ 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋_𝑓 − 𝑋_𝑓−1 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1 ′ _{< 𝑡 ≤ 𝑇} 𝑓′ ≤ 𝑇𝑁′ dengan 𝑓 ≥ 2 𝑌𝑁−1 + 𝑌_𝑁 − 𝑌_𝑁−1 𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1 𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1 tidak terdefinisi, untuk 𝑡 > 𝑇_𝑁′ dan 𝛿_𝑁 = 0

dengan

𝑋_𝑓 = ln⁡(𝑇_𝑓′)

𝑌_𝑓 = ln⁡[− ln 𝐾𝑀_𝑓′ ] 𝑋 = ln 𝑡.

(35)

commit to user

24

4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟑

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dinotasikan dengan

𝑆 ₃(𝑡). Dengan 𝑀 = 2𝐾 + 1 maka dapat dicari nilai 𝐾 = 1. Untuk menentukan

penaksir 𝑆 ₃ 𝑡 terlebih dahulu didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡). Ditentukan f

sedemikian sehingga 𝑇_𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇_𝑓+1′ dan

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka definisikan 𝑤₁ 𝑡 = 𝑤₂ 𝑡 = 𝑤₃ 𝑡 = 1;

jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka didefinisikan 𝑤𝑁−2 = 𝑤𝑁−1 = 𝑤𝑁 𝑡 = 1;

untuk nilai-nilai 𝑓 yang lain definisikan 𝑤𝑓 𝑡 = 𝑤𝑓+1 𝑡 = 1 dan

𝑤_𝑓−1 𝑡 = 𝑇𝑓+1 ′ _{− 𝑡} 𝑇_{𝑓 +1}′ _{− 𝑇} 𝑓′ 𝑤_𝑓+2 𝑡 = 𝑡 − 𝑇𝑓 ′ 𝑇_{𝑓 +1}′ _{− 𝑇} 𝑓′

kemudian ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua

pembobot ditentukan, nilai Λ dan 𝛼 dapat dicari dengan meminimumkan

𝑄 Λ, 𝛼 = 𝑤_𝑓 𝑡 (𝑌_𝑓− Λ − 𝛼𝑋_𝑓)2 𝑓

.

Jika derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 keduanya sama dengan nol maka

diperoleh Λ dan 𝛼 sedemikian sehingga 𝑄 minimum.

Q = 𝑤_𝑓 𝑡 𝑌_𝑓 − Λ − 𝛼𝑋_𝑓 2 𝑓 = 𝑤_𝑓 𝑡 𝑌_𝑓2_{− Λ𝑌} 𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 − Λ𝑌𝑓 + Λ2 + Λ𝛼𝑋𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 + Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼2𝑋𝑓2 𝑓 = 𝑤_𝑓 𝑡 𝑌_𝑓2_{− 2Λ𝑌} 𝑓 − 2𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 + Λ2+ 2Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼2𝑋𝑓2 𝑓 = (𝑌_𝑓2𝑤_𝑓 𝑡 − 2Λ𝑌_𝑓𝑤_𝑓 𝑡 − 2𝛼𝑋_𝑓𝑌_𝑓𝑤_𝑓 𝑡 + Λ2_𝑤 𝑓 𝑡 + 2Λ𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 𝑓 𝛼2𝑋_𝑓2𝑤𝑓 𝑡 ).

Untuk menentukan nilai minimum dari 𝑄 Λ, 𝛼 terlebih dahulu dicari derivatif

(36)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 25 𝜕𝑄 𝜕Λ = (−2𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑤𝑓 𝑡 +2𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 ) 𝑓 = −2 (𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 −Λ𝑤𝑓 𝑡 −𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 ) 𝑓 dan 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = −2𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋𝑓 2_𝑤 𝑓 𝑡 𝑓 =−2 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 .

Kemudian derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 disamadengankan nol sehingga

diperoleh 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 0 −2 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 −Λ𝑤𝑓 𝑡 −𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 = 0 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑤𝑓 𝑡 𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑓 = 0 dan 𝜕𝑦 𝜕𝑥 =0 −2 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 = 0 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 − 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑓 = 0.

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai Λ dan 𝛼 dengan menyelesaikan

dua persamaan berikut

Λ 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 +𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 = 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 + 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 = 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 . 𝑓 (4.16)

(37)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 26 Λ = 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋_𝑓𝑌_𝑓𝑤_𝑓 𝑡 𝑓 𝑋_𝑓2𝑤_𝑓 𝑡 𝑓 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 Λ = 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓 2_𝑤 𝑓 𝑡 𝑓 − 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓 𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓 2_𝑤 𝑓 𝑡 𝑓 − 𝑋𝑓 𝑓𝑤𝑓 𝑡 2 dan 𝛼 = 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋_𝑓𝑤_𝑓 𝑡 𝑓 𝑋_𝑓𝑌_𝑓𝑤_𝑓 𝑡 𝑓 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝛼 = 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 − 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑤𝑓 𝑡 𝑓 𝑋_𝑓2𝑤𝑓 𝑡 𝑓 − 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓 2 .

Λ ,𝛼 merupakan solusi dari masalah (4.16) dan jika 𝜆 = exp Λ maka

modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dapat dituliskan sebagai

𝑆 3 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼 . (4.17)

4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia 4.4.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan

Penaksir Kaplan-Meier

Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode

Kaplan-Meier pada persamaan (4.5), dihitung nilai estimasinya untuk setiap t pada data

(38)

commit to user

27

diberikan dalam Lampiran 1 kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan

hidup seperti pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀

Gambar 4.1 menunjukkan nilai-nilai dari penaksir Kaplan-Meier untuk

setiap nilai t, terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk

waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk dapat bertahan hidup. Hal ini dapat disebabkan karena komplikasi yang timbul pada leukemia mulai dari anemia, pendarahan atau gangguan fungsi organ vital seperti otak, jantung dan paru. Berdasarkan nilai hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 1

didapatkan nilai 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, hal ini berarti probabilitas

penderita leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan adalah sama yaitu 0,70263. Inilah yang menjadi kelemahan dari penaksir

Kaplan-Meier, yaitu pada waktu yang berurutan, dalam hal ini pada 𝑡₁ = 4 dan 𝑡₂ = 9,

nilai dari 𝐾𝑀 4 dan 𝐾𝑀 9 sama besar. Sulit dijelaskan secara logis mengapa

probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan. Oleh karena itu akan diestimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier yang akan memberikan nilai probabilitas tahan hidup yang lebih masuk akal daripada penaksir Kaplan-Meier.

(39)

commit to user

28

4.4.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier

Penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan seperti pada persamaan

(4.15) dan (4.17). Nilai estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia

dengan 𝑆 ₂ 𝑡 dan 𝑆 ₃ 𝑡 masing-masing diberikan dalam Lampiran 2 dan

Lampiran 3, kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan hidup seperti pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir

Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3

.

Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk bertahan hidup. Selain itu grafik estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan metode modifikasi Kaplan-Meier juga tampak lebih halus dibandingkan dengan metode Kaplan-Meier biasa.

Kemudian untuk melihat perbedaan hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan ketiga penaksir, grafik fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dibandingkan dengan grafik fungsi tahan hidup dengan metode modifikasi Kaplan-Meier, seperti tampak pada Gambar 4.3.

(40)

commit to user

29

Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM,

𝑆 ₂ 𝑡 dan 𝑆 ₃ 𝑡

Perbedaan estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier dan metode Kaplan-Meier biasa terlihat jelas pada nilai hasil estimasi dan grafik fungsinya. Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat bahwa kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan penaksir modifikasi Kaplan-Meier. Terlihat probabilitas pasien penderita Leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan dari Lampiran

1 adalah 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, sementara itu dari Lampiran 2 diperoleh

nilai probabilitasnya 𝑆 2 4 = 0,7232958 dan 𝑆 2 9 = 0,6666679 dan dari

Lampiran 3 diperoleh nilai probabilitasnya 𝑆 3 4 = 0,7213576 dan 𝑆 3 9 =

0,634625. Dengan menggunakan penaksir 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 tidak terlihat apa yang

menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier biasa. Selain itu grafik fungsi

tahan hidup dengan penaksir 𝑆 3 𝑡 tampak lebih halus dibandingkan dengan

penaksir 𝑆 ₂ 𝑡 .

4.5 Studi Simulasi

Simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan data dari dua buah distribusi, yaitu F untuk distribusi waktu hidup dan G untuk distribusi waktu sensor. F dan G masing-masing berasal dari distribusi eksponensial dengan nilai

𝜆 = 0,2 dan 𝜆 = 0,1. Data yang digunakan adalah min(𝐹, 𝐺) dengan

𝛿 = 1, jika 𝐹 ≤ 𝐺 0, jika 𝐹 > 𝐺 ,

(41)

commit to user

30

artinya jika 𝐹 ≤ 𝐺 maka 𝛿 = 1 (data tidak tersensor) dan jika 𝐹 > 𝐺 maka 𝛿 = 0

(data tersensor). Pemilihan distribusi eksponensial dalam simulasi ini dikarenakan distribusi ini merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi

Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial.

Berdasarkan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 4 diberikan grafik estimasi fungsi tahan hidup dan dibandingkan dengan fungsi tahan hidup

distribusi eksponensial 𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 dengan 𝜆 = 0,2.

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi dengan 𝑆 𝑡 ,𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 ₂ 𝑡 dan 𝑆 ₃ 𝑡

Gambar 4.4 menunjukkan baik penaksir 𝑆 ₂ 𝑡 maupun 𝑆 ₃ 𝑡 memberikan

hasil estimasi yang lebih baik daripada penaksir Kaplan-Meier, karena kedua grafik tersebut cenderung mampu mengikuti grafik fungsi tahan hidup distribusi

eksponensial. Terlihat pula bahwa 𝑆 ₃ 𝑡 memberikan estimasi yang terbaik karena

grafiknya paling mendekati grafik fungsi tahan hidup distribusi eksponensial daripada kedua penaksir lainnya.

Kemudian simulasi tersebut diulang sebanyak 2000 kali dan dihitung nilai

mean square error (MSE) pada setiap 𝑆(𝑡). Nilai MSE dihitung dengan mencari

kuadrat selisih antara nilai masing-masing penaksir (Kaplan-Meier, 𝑆 ₂ 𝑡 dan

𝑆 3 𝑡 ) dengan nilai 𝑆(𝑡) pada tiap-tiap t untuk setiap perulangan kemudian dicari

rata-ratanya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑀𝑆𝐸 𝐾𝑀 𝑡 =1 𝑅 𝐾𝑀 𝑡 𝑖− 𝑆 𝑡 2 𝑅 𝑖=1 𝑀𝑆𝐸 𝑆₂ 𝑡 =1 𝑅 𝑆2 𝑡 ) 𝑖− 𝑆 𝑡 2 𝑅 𝑖=1

(42)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 31 𝑀𝑆𝐸 𝑆3 𝑡 = 1 𝑅 𝑆3 𝑡 𝑖− 𝑆 𝑡 2 𝑅 𝑖=1 dimana 𝐾𝑀(𝑡) 𝑖 , 𝑆 2 𝑡

𝑖 dan 𝑆3 𝑡 𝑖 masing-masing adalah nilai penaksir

𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 ₂ 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 pada perulangan ke-i dan R adalah jumlah perulangan.

Berikut adalah grafik perbandingan nilai MSE untuk masing-masing penaksir :

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡

Gambar 4.5 menunjukkan perbandingan nilai MSE untuk 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 ₂ 𝑡

dan 𝑆 ₃ 𝑡 . Terlihat garis hitam lebih banyak berada diatas garis berwarna merah,

hal ini menunjukkan bahwa nilai MSE pada estimasi fungsi tahan hidup dengan

menggunakan penaksir Kaplan-Meier lebih besar dari nilai MSE pada estimasi

fungsi tahan hidup dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier. Nilai

MSE antara 𝑆 ₂ 𝑡 dan 𝑆 ₃ 𝑡 tidak terlalu berbeda, tetapi MSE 𝑆 ₃ 𝑡 cenderung

lebih kecil daripada nilai MSE 𝑆 ₂ 𝑡 , hal ini terlihat dari garis warna hijau lebih

sering berada dibawah garis warna merah.

Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk sampel yang kecil atau menengah, estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik digunakan daripada dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Akan tetapi untuk data yang besar penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier akan memberikan nilai estimasi yang tidak jauh berbeda dengan metode Kaplan-Meier biasa. Selain itu semakin

(43)

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 32 BAB V PENUTUP 5.1Kesimpulan

Berikut kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan.

1. Estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia dengan

menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier tampak lebih masuk akal dibandingkan dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Apabila menggunakan penaksir Kaplan-Meier diperoleh probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas

penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan, 𝐾𝑀 4 =

𝐾𝑀 9 = 0,70263. Tetapi dengan menggunakan modifikasi penaksir

Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 diperoleh 𝑆 2 4 = 0,7232958 dan 𝑆 2 9 =

0,6666679 serta untuk 𝑀 = 3 diperoleh 𝑆 3 4 = 0,7213576 dan 𝑆 3 9 = 0,634625.

2. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, diketahui bahwa nilai MSE

pada modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih kecil dari pada menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Hal ini menunjukkan bahwa modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik dibanding menggunakan

penaksir Kaplan-Meier biasa dan semakin besar nilai 𝑀 yang dipilih akan

menghasilkan nilai estimasi yang lebih baik.

5.2Saran

Pada skripsi ini dibahas mengenai analisis tahan hidup pada penderita Leukemia, bagi pembaca yang ingin mengembangkannya dapat diaplikasikan pada penyakit lain atau diaplikasikan pada bidang yang lain seperti bidang industri. Selain itu dalam menggunakan metode modifikasi penaksir