PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV. Oleh: DEWI NOVIYANTI SARI G

69 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR

MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV

Oleh:

DEWI NOVIYANTI SARI

G54102044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR

MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

DEWI NOVIYANTI SARI

G54102044

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(3)

RINGKASAN

DEWI NOVIYANTI SARI. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar Menggunakan Hidden Markov. Dibimbing oleh

BERLIAN SETIAWATY dan N. K. KUTHA ARDANA .

Suatu masalah proses stokastik dengan serangkaian data yang diberikan namun penyebabnya tidak diamati secara langsung, dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov model, HMM). Model Hidden Markov adalah model rantai Markov yang merupakan pasangan penyebab suatu kejadian yang penyebabnya tidak diamati secara langsung, serta kejadian itu sendiri. Tulisan ini mengkaji metode pendugaan parameter model Hidden Markov dari serangkaian data pengamatan serta menentukan peluang kejadiannya dengan menggunakan pemrograman Mathematica 5.1

Model HMM kaya akan struktur matematis dan dapat bekerja dengan baik di berbagai aplikasi penting. Contohnya yang dibahas dalam karya ilmiah ini yaitu masalah perubahan nilai tukar mata uang. Dalam kasus perubahan nilai tukar mata uang, terdapat berbagai hal yang dapat menyebabkan perubahan nilai tukar. Diasumsikan bahwa penyebab kejadian tersebut tidak diamati. Oleh karena itu masalah perubahan nilai tukar dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov.

Data nilai tukar yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data rataan nilai tukar mata uang Rupiah terhadap US Dollar per bulan yang berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005. Data nilai tukar tersebut dianalisis bersama nilai awal yang telah diketahui, dengan menggunakan algoritma Expectation Maximization yang tercakup dalam program. Hasilnya berupa parameter-parameter yang memaksimumkan nilai peluang kejadiannya.

(4)

Judul

: Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar Menggunakan

Hidden Markov

Nama

: Dewi Noviyanti Sari

NRP

: G54102044

Menyetujui:

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Tanggal Lulus : ………..

Pembimbing II,

Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.

NIP. 131 842 412

Pembimbing I,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 131 835 248

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS.

NIP. 131 473 999

(5)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 2 November 1985 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara. Ayah bernama Ahmad Husaeni dan Ibu bernama Sri Agustina Muzni.

Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar pada tahun 1996 di SD Negeri I Cigombong, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri I Cijeruk tahun 1999, Sekolah Menengah Umum Negeri 3 Bogor tahun 2002, dan masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB pada tahun yang sama.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis sempat menjadi anggota aktif dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika IPB sebagai anggota departemen kewirausahaan dan sosial masyarakat pada tahun 2004 hingga 2005.

(6)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat dan keluarga, serta para pengikutnya hingga akhir zaman.

Keterbatasan dan ketidaksempurnaan membuat penulis membutuhkan bantuan, dukungan dan semangat dari orang-orang secara langsung ataupun tidak langsung berkontribusi besar dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Kedua orang tua (Mama dan Papa), yang selalu memberikan kasih sayang, semangat dan doa. Teteh Linda dan Aa Yunus yang banyak memberikan motivasi kepada penulis, Aa Edi yang selalu memberikan masukan dalam pembuatan program dan adik-adik tersayang Ricad dan Evi.

2. Ibu Berlian Setiawaty dan Bapak N. K. Kutha Ardhana yang telah membimbing dan mengarahkan selama penulisan karya ilmiah ini. Serta Bapak I Wayan Mangku sebagai penguji dan untuk masukan-masukannya yang bermanfaat.

3. Erra, Lutfi, Azhari, Nurrahmi, Lia, Nely, Elis, Desi dan Tamitam atas indahnya persahabatan yang telah terjalin serta untuk semangat dan doa yang telah diberikan. 4. Riswan, untuk semua bantuan yang telah diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini.

Tika, Nita dan Azhari yang telah bersedia menjadi pembahas. Andri Suryana, Teh Yana dan Teh Linda atas masukan dan sarannya.

5. Agus Tri Antoro, yang selalu menemani disaat suka dan duka.

6. Seluruh Dosen Matematika IPB atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis. Staf TU Matematika IPB yang senantiasa membantu dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Bu Susi yang banyak memberi masukan dan bantuan dari sejak awal hingga penyelesaian karya ilmiah ini.

7. Matematika angkatan 39 serta seluruh pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Juni 2006 Dewi Noviyanti Sari

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan penulisan ... 1

II. LANDASAN TEORI ... 1

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 1

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

2.3 Rantai Markov... 4

2.4 Ruang Perkalian Dalam ... 5

III. MODEL HIDDEN MARKOV ... 5

3.1 State dan Proses Observasi ... 6

3.2 Nilai Harapan Bersyarat ... 6

3.3 Perubahan Ukuran ... 7

3.4 Pendugaan Rekursif ... 8

3.4.1 Penduga untuk State ... 9

3.4.2 Penduga Banyaknya Lompatan ... 9

3.4.3 Penduga untuk Waktu Kejadian ... 9

3.4.4 Penduga untuk Proses Observasi ... 9

IV. PENDUGAAN PARAMETER ... 9

4.1 Algoritma Expectation Maximization ... 9

4.2 Reestimasi Parameter EM ... 11

V. PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR ... 13

5.1 Data Input Nilai Tukar Rupiah ... 13

5.2 Pemodelan Nilai Tukar Rupiah ... 14

5.3 Kasus Nilai Tukar Rupiah untuk Banyaknya Penyebab Kejadian N = 2 ... 16

5.4 Kasus Nilai Tukar Rupiah untuk Banyaknya Penyebab Kejadian N = 3 ... 18

SIMPULAN ... 21

DAFTAR PUSTAKA ... 21

(8)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1: Grafik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan ... 14 Gambar 2.1: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1,

jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. ... 16

Gambar 2.2: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2,

jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. ... 17 Gambar 2.3: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1,

jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. ... 17 Gambar 2.4: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2,

jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. ... 17 Gambar 3.1: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1,

jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. ... 18 Gambar 3.2: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2,

jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. ... 18 Gambar 3.3: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3,

jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k. ... 19 Gambar 3.4: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e1,

jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. ... 19 Gambar 3.5: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e2,

jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k. ... 19 Gambar 3.6: Grafik perubahan nilai peluang penyebab kejadian pada waktu ke-k adalah e3,

(9)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran A:

Program utama ... 23

Input untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 2 ... 26

Input untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = 3... 26

Lampiran B: Output Untuk Kasus Banyaknya Penyebab Kejadian N = 2... 27

Tabel (1.1). Parameter matriks transisi A ... 27

Tabel (1.2). Parameter ragam ... 30

Tabel (1.3). Parameter nilai rata-rata C... 33

Tabel (1.4). Nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei, jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k dan peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah ei, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k... 37

Tabel (1.5). Nilai peluang proses observasi untuk satu bulan (k+ dan dua bulan 1) (k+ yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k .. 40 2) Lampiran C: Output Untuk Kasus Banyaknya Penyebab Kejadian N=3 ... 41

Tabel (2.1). Parameter matriks transisi A... 41

Tabel (2.2). Parameter ragam ... 41

Tabel (2.3). Parameter nilai rata-rata C... 50

Tabel (2.4). Nilai peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah e , i jika diketahui proses observasi pada waktu ke-k dan peluang penyebab kejadiannya pada waktu ke-k adalah e , jika diketahui proses observasi i hingga waktu ke-k... 55 Tabel (2.5). Nilai peluang proses observasi untuk satu bulan (k+ dan dua bulan 1) (k+ yang akan datang, jika diketahui proses observasi hingga waktu ke-k .. 60 2)

(10)

I. PENDAHULUAN

Latar Belakang

Terdapat banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Setiap kejadian itu terkait erat dengan penyebab kejadiannya. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM).

Karakteristik model Hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya yaitu matriks transisi dari penyebab kejadian, serta nilai harapan dan ragam dari proses pengamatan. Parameter-parameter tersebut diduga melalui reestimasi parameter dengan menggunakan algoritma EM (Excpectation Maximization), sehingga diperoleh parameter model dalam bentuk pendugaan rekursif. Pendugaan rekursif ini nantinya dapat dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau mungkin data yang baru.

Selain kaya akan struktur matematis, HMM juga dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Contohnya dalam bidang ekonomi yaitu masalah perubahan nilai tukar mata uang. Dalam karya ilmiah ini masalah yang dibahas adalah masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dari tahun 1998 hingga tahun 2005.

Terdapat berbagai hal yang dapat menyebabkan perubahan nilai tukar di antaranya adalah situasi keamanan, situasi politik, krisis keuangan serta kebijakan pemerintah. Diasumsikan bahwa penyebab kejadian tersebut tidak diamati. Oleh karena itu masalah perubahan nilai tukar tersebut dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov.

Dengan menggunakan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar yang berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005, maka dapat diduga parameter modelnya. Sebelum

melakukan pendugaan parameter, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang yang kemudian dinterpretasikan kembali dengan menggunakan peluang asal. Perubahan peluang ini dibatasi oleh turunan Radon-Nykodim.

Dalam ukuran peluang baru, dilakukan pendugaan parameter melalui reestimasi parameter. Hasilnya berupa pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu dan penduga proses observasi. Pendugaan rekursif ini kemudian digunakan untuk menentukan parameter dengan menggunakan algoritma EM.

Dalam karya ilmiah ini, terlebih dahulu pada Bab II dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan pada pembahasan selanjutnya. Kemudian model Hidden Markov dijelaskan pada Bab III. Untuk menduga parameter model maka dilakukan reestimasi parameter dengan menggunakan algoritma EM yang dibahas pada Bab IV. Setelah itu pemodelan untuk kasus dua dan tiga penyebab kejadian dijelaskan pada Bab V.

Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi untuk menyelesaikan masalah HMM. Software yang digunakan adalah Mathematica 5.1. Keuntungan menggunakan program tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta mempermudah dalam analisis data yang cukup banyak. Dalam karya ilmiah ini, program tersebut digunakan untuk membantu dalam penyelesaian masalah perubahan nilai tukar.

Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mempelajari model Hidden Markov dan

pendugaan parameternya.

2. Mengimplementasikan model Hidden Markov untuk masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar.

II. LANDASAN TEORI

Pada Bab ini dijelaskan beberapa definisi

serta teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam

(11)

kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama disebut percobaan acak.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.1.3 (Medan-

)

Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari

Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1. φ∈ , 2. Jika A1,A2,...∈ maka ∈ ∞ = 1 t t A , 3.Jika A∈ maka Ac∈ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.1.4 (Ukuran Peluang)

Misalkan adalah Medan-σ dari ruang contoh Ω . Ukuran peluang adalah suatu fungsi P: →

[ ]

0,1 pada

(

Ω,

)

yang memenuhi:

1. P

( )

φ = P0,

( )

Ω =1,

2. Jika A1,A2,...∈ adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai Aj =φ untuk

setiap pasangan i≠ , maka j

( )

∞ = ∞ =1 =i 1 i i i A P A P .

Pasangan

(

Ω, ,P

)

disebut ruang peluang. [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Teorema 2.1.5 (Teorema Bayes)

Misalkan

(

Ω, ,P

)

adalah ruang peluang

dan Ci∈ ,i=1,2,...k. Misalkan kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian Ci, maka peluang bersyarat dari Cj setelah diketahui C adalah

(

) (

( )

)

( ) (

)

( ) (

)

= = ∩ = k i i i j j j j C C P C P C C P C P C P C C P C C P 1 | | | .

[bukti lihat Hogg dan Craig, 1992]

Teorema 2.1.6 (Kontinu Absolut)

Jika νdan µ merupakan dua ukuran peluang pada

(

Ω,

)

. Ukuran peluang ν dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang µ jika

0

A

µ = maka ν =A 0, untuk setiap A∈ . Dinotasikan ν<< . µ

[Royden, 1963]

Teorema 2.1.7 (Radon Nikodym)

Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada

(

Ω,

)

sehingga untuk setiapB∈ ,

( )

B =0

P menyebabkan P

( )

B =0, maka terdapat peubah acak tak-negatif ∆ sehingga

( )

= ∆ C dP C P untuk semua C∈ . Dinotasikan

=

dP

P

d

.

[bukti lihat Wong dan Hajek, 1985]

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 (Peubah Acak)

Misalkan adalah Medan-σ dari ruang contoh Ω . Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω → dengan sifat

( )

{ω∈ Ω;X ω ≤ ∈ , untuk setiap x} x∈ . [Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.2.2 (Fungsi Sebaran)

Misalkan ( , , )Ω P adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F: →

[ ]

0,1 yang didefinisikan oleh F xX( )=P X( ≤x).

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.2.3 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari .

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.2.4 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Misalkan ( , , )Ω P adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah suatu fungsi p: →

[ ]

0,1 yang didefinisikan oleh p xX( )=P X( =x).

(12)

Definisi 2.2.5 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai

( ) x ( ) ,

X X

F x = −∞f u du x∈ dengan f : →

( )

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f dikatakan fungsi X

kepekatan peluang dari peubah acak X. [Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.6 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi F: →

[ ]

0,1 yang didefinisikan oleh

( , ) ( , )

F x y =P Xx Yy .

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.7 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah fungsi yang didefinisikan oleh 2 ( , ) XY F x y f x y ∂ = ∂ ∂ dan ( ) ( , ) Y XY f y = −∞f x y dx

adalah fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak Y.

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.8 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, dengan fungsi kepekatan peluang marjinal f yY( ) 0> dan fXY( , )x y adalah

fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y , maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = adalah y

| ( , ) ( | ) . ( ) XY X Y Y f x y f x y f y =

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Teorema 2.2.9 (Kejadian Saling Bebas ) Misalkan kejadian C tidak memengaruhi 1

kejadian C dengan peluang 2 P C

( )

1 >0

sedemikian sehingga peluang bersyarat C 2

jika diketahui C adalah 1

2 1 2

( | ) ( )

P C C =P C

maka kejadian C dan 1 C dikatakan saling 2

bebas. Kemudian dapat diperoleh peluang bersamanya 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P C C P C P C C P C P C ∩ = =

dan untuk P C

( )

2 > peluang bersyarat 0 C 1

jika diketahui C adalah 2

( )

( )

1 2 1 2 1 2 ( ) ( | ) P C C P C C P C P C ∩ = = .

[Hogg dan Craig, 1995] Kejadian yang saling bebas disebut sebagai bebas stokastik.

Definisi 2.2.10 (Bebas Stokastik Identik) Misalkan X X1, 2,...X adalah n peubah acak n

yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu f(x) sehingga 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x f x f x f x f x f x = = =

Maka fungsi kepekatan bersamanya adalah

1 2 2

( ) ( )... ( )n

f x f x f x .

Dalam hal ini, peubah acak X X1, 2,...,X n

disebut bebas stokastik identik.

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.2.11 (Nilai Harapan)

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p xX( )=P X( =x), maka nilai harapan dari X adalah

[ ] X( )

x

X = xp x .

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.2.12 (Nilai Harapan)

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f x , maka nilai X( ) harapan dari X adalah [ ]X xf x dxX( )

∞ −∞

= .

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.2.13 (Nilai Harapan Bersyarat)

Jika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fX Y| ( | )x y adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat

Y = , maka nilai harapan dari X dengan y

syarat Y= adalah y | [ |X Y y] x fX Y( | ) .x y dx ∞ −∞ = =

(13)

Definisi 2.2.14 (Fungsi Indikator)

Misalkan A adalah suatu kejadian pada ruang peluang ( , , )Ω P . Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi IA:Ω →

[ ]

0,1 , yang diberikan oleh:

( )

1, jika 0, jika A A I A ω ω ω ∈ = ∉ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

2.3 Rantai Markov

Definisi 2.3.1 (Ruang State)

Misalkan S merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang

state.

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.2 (Proses Stokastik)

Proses stokastik {X kk: ∈ } yang terdefinisi pada ruang peluang ( , , )Ω P adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke ruang state S.

[Ross, 1996]

Definisi 2.3.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)

Misalkan ( , , )Ω P adalah ruang peluang dan S ruang state. Proses stokastik {X kk: ∈ } dengan ruang state S , disebut

rantai Markov dengan waktu diskret jika

untuk setiap k={0,1,...} berlaku

(

)

(

)

1 1 1 0 0 1 | , ,..., ) | k k k k k k k k P X j X i X i X i P X j X i + − − + = = = = = = =

untuk semua kemungkinan nilai dari 0 1, ,..., k1, ;k

i i ii j S∈ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.4 (Matriks Transisi)

Misalkan {X kk: ∈ } adalah rantai Markov dengan ruang state S yang berukuran N. Matriks transisi P=

( )

pji berukuran NxN

adalah matriks dari peluang transisi.

(

1 |

)

ji k k

p =P X + = j X =i

untuk ,j i S∈ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.5 (Rantai Markov yang Homogen)

Rantai Markov { }Xk dengan ruang state S

disebut homogen jika

(

k1 | k

)

( 1 | 0 ) ji

P X + = j X = =i P X = j X = =i p

untuk ,j i S∈ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3.6 (Inkremen Bebas dan Inkremen Stasioner)

1) Suatu proses stokastik {X kk: ∈ } dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua 0 1 2 ... t

k < <k k < <k peubah acak

1 0,..., t t1

k k k k

XX XX adalah bebas. 2) Suatu proses stokastik {X kk: ∈ }

dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika Xk+1−Xk

memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai ,k t∈ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.3.7 (Filtrasi)

Misalkan adalah suatu medan-σ dan

0 1

{ , ,...}

= merupakan barisan submedan-σ dari , disebut filtrasi jika ⊆ +1

untuk semua k∈ .

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.3.8 (Measurable/ terukur) Misalkan X adalah peubah acak yang terdefinisi pada ruang peluang ( , , )Ω P . Jika

( )

{ω∈ Ω;X ω ≤ ∈x} , untuk setiap x∈ , maka X dikatakan terukur - .

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.3.9 (Adapted)

Misalkan ( , , )Ω P adalah ruang peluang. Barisan peubah acak {X kk: ∈ } dikatakan adapted terhadap filtrasi jika X k

terukur - untuk setiap k.

[Grimett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.3.10 (Predictable)

Misalkan adalah suatu medan-σ . Barisan peubah acak {X kk: ∈ } dikatakan predictable (terduga), jika X terukur -k k−1

untuk setiap k.

[Elliott, 1995] Teorema 2.3.11 (Nilai Harapan Rantai Markov Homogen )

Misalkan { ;X kk ∈ } adalah rantai Markov homogen dengan ruang state S dimana

( ) 2

n S = danS=

{

ei;1≤ ≤i 2 .

}

1 (1,0)

t

(14)

2 (0,1)t

e = adalah vektor unit di 2. Misalkan

A merupakan matriks transisi berukuran

2 2× , dengan

( )

ji , , 1, 2 A= a i j= dan 1 ( | ) ji k j k i a =P X + =e X =e

maka nilai harapan dari X dinotasikan

[ ]

Xk

π = yang memenuhi Aπ π= adalah

22 11 22 11 11 22 (1 ) /(2 ) (1 ) /(2 ) a a a a a a π = − − − − − −

.

[

bukti lihat Hamilton, 1990] Definisi 2.3.12 (Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks)

Misalkan S Nadalah himpunan vektor.

Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua ,x xt∈ terdapat λ ∈ [0,1] S

maka

(1λ)x+λxt∈ . S

Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan

(

(1 ) t

)

(1 )

( )

( )

t

f −λ xx ≤ −λ f xf x . Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika

2f x( ) 0, x S

∇ ≥ ∀ ∈

dan merupakan strictly convex jika

2f x( ) 0, x S

∇ > ∀ ∈

.

[Osborne, 1997] Teorema 2.3.13 (Ketaksamaan Jensen) Misalkan X∈ adalah peubah acak dengan

X berhingga dan g X adalah fungsi

( )

konveks. Maka g X

( )

g

(

[ ]

X

)

.

[bukti lihat Weisstein, 1999]

2.4 Ruang Perkalian Dalam Definisi 4.1 (Hasil Kali Titik) Untuk setiap dua vektor

1 1 dan n n β α β α = = a b

di N, hasil kali titik vektor a dan b adalah

1 1 2 2 ... n n

α β α β α β

⋅ = + + +

a b .

Dengan memandang vektor di N sebagai

vektor kolom, hasil kali titik a dan b di N

dapat dituliskan sebagai ⋅ t t a b = a b = b a

dengan at menyatakan transpos dari a.

[Arifin, 2001]

Definisi 4.2 (Hasil Kali Dalam)

Hasil kali dalam pada ruang vektor Real V

adalah pemetaan

V V× → dengan pengaitan

( , )x yx, y .

Untuk setiap vektor x, y dan z di V serta bilangan di γ berlaku:

1. = ,

2. ,

3. ,

4. 0, dan 0 jika dan hanya jika = 0. γ =γ = + ≥ = x, y y, x x, y x, y x + y,z x,z y,z x, x x, x x [Arifin, 2001] Hasil kali titik di N merupakan hasil kali

dalam.

III. MODEL HIDDEN MARKOV

Pada Bab ini akan dibahas mengenai model Hidden Markov. Model ini terdiri atas pasangan state penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan proses observasinya. Dengan menggunakan model ini, akan diduga penyebab kejadian serta kejadian yang akan datang. Untuk itu perlu ditentukan suatu nilai harapan bersyarat dengan informasi data proses observasi dan parameter yang diketahui.

Sebelum menduga parameter-parameter model Hidden Markov, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang untuk

mendapatkan variasi bentuk objek secara matematik yang akan diinterpretasikan kembali menggunakan peluang asal. Perubahannya dibatasi oleh turunan Radon-Nykodim.

Dalam ukuran peluang baru dilakukan pendugaan parameter model Hidden Markov melalui reestimasi parameter. Akibatnya dihasilkan pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu dan penduga proses observasi. Pendugaan rekursif

(15)

ini kemudian digunakan untuk menentukan parameter baru dengan menggunakan algoritma EM.

3.1 State dan Proses Observasi

Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model Hidden Markov. Model ini terdiri atas pasangan { , }X yk k .

{ ,k }

X = X k∈ adalah rantai Markov yang bersifat homogen dan tidak diamati secara langsung sedangkan y={ ,y kk ∈ } merupakan proses observasinya. Dalam karya ilmiah ini y dianggap bernilai skalar dan semua proses didefinisikan dalam ruang peluang

(

Ω, ,P

)

.

Misalkan =σ{ ,...X0 Xk} adalah

medan-σ yang dibangkitkan oleh 0 1

{ , ...,X X Xk}dan { }k adalah filtrasi

lengkap yang dibangun oleh . Sedangkan { },k k∈ adalah filtrasi lengkap yang

dibangun oleh y dan { },k k∈ merupakan

filtrasi lengkap yang dibangun oleh X dan y.

Ruang state dari X adalah himpunan vektor unit di N

i

e . Ruang state X dapat dituliskan sebagai berikut

1 2 { , ,..., } x N S = e e e dengan {0,...,1,0,...,0}t N i e = ∈ .

Karena X rantai Markov homogen maka berdasarkan sifat Markov diperoleh

1 1 ( k j| k) ( k j | k) P X + =e =P X + =e X . Misalkan 1 ( | ) ji k j k i a =P X + =e X =e

merupakan peluang transisi dan A=( )aji N N× adalah matriks transisi yang memenuhi

1 1 N ji j a = = , maka

[

Xk+1| k

] [

= Xk+1|Xk

]

=AXk. Didefinisikan Vk+1:=Xk+1−AXk (3.1.1) dengan

[

AXk|Xk

]

=AXk dan

[

1|

] [

1 |

]

0. k k k k k k k V X AX X AX AX + = + − = − = Dari (3.1.1) diperoleh Xk+1=AXk+1+Vk+1 (3.1.2) yang disebut sebagai persamaan state.

Misalkan 1 , , ( ) ( ) N j i j i i j X e e e P X e P X e = = = = = serta πj =P X e( = j) (3.1.3) maka vektor

(

1, ,...2

)

t N π = π π π merupakan nilai harapan dari X yaitu π =

[ ]

X dan memenuhi Aπ π= .

Proses state X tidak diamati secara langsung, namun terdapat proses observasi

1 ( ) ( ) 1,

k k k k

y+ =c XX ω + k∈ . (3.1.4)

di mana {ωk+1} adalah barisan peubah acak dari sebaran normal dengan rataan nol dan ragam satu N(0,1) yang bersifat bebas stokastik identik, dan karena Xk∈ , maka Sx

fungsi c dan σ didefinisikan sebagai 1 2 ( , ,... )t N c= c c c dan σ =( , ,...σ σ1 2 σN)t di N serta ( ) , k k c X = c X dan (Xk) ,Xk σ = σ dengan σi >0, 1≤ ≤ . i N Jadi berdasarkan (3.1.2) dan (3.1.4) maka bentuk model Hidden Markov yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah

1 1 1 ( ) ( ) 1 k k k k k k k X AX V y c X σ X ω + + + + = + = + (3.1.5) 3.2 Nilai Harapan Bersyarat

,

k k

ω ∈ adalah peubah acak dengan sebaran normal N(0,1) yang bebas stokastik identik, karenanya ωkbebas terhadap dan

⊂ . Sebaran bersyarat proses observasi 1

y+ dengan diketahui adalah

{

}

{

}

1 1 1 1 1 1 1 ( | ) ( , | ) ( | , ) ( | ) ( ) ( | ) . N k k k i i N k k i i k i N i k i i k i P y t P y t X e P y t X e P X e P t c P X e σ ω + + = + = + = ≤ = ≤ = = ≤ = × = = ≤ − × =

Misalkan nilai harapan penyebab kejadian X k

jika diketahui adalah ˆk [ k| ]

X = X

(16)

(

)

(

)

( | ) , | | , ˆ , k i k k i k k k i k i P X e X e X e X e = = = =

dan misalkan 1/ 2 2 ( ) (2 ) exp( / 2 ) i x i x i φ = πσ − σ

untuk fungsi kepekatan peluang N(0, )σ i

maka peluang bersyarat proses observasi untuk satu satuan waktu yang akan datang dengan syarat adalah

1 1 ˆ ( | ) N , t ci ( ) .(3.2.1) k k i i i P y + t X e −∞− φ x dx = ≤ =

Jadi fungsi kepekatan dari yk+1 setelah diketahui adalah 1 ˆ , ( ) N k j j j j X e φ t c = −

.

Sedangkan fungsi kepekatan dari proses observasi untuk dua satuan waktu yang akan datang setelah diketahui , dapat dicari dengan cara yang sama yaitu

2 2 1 1 ( | ) ( , | ) k N k k j j P y t P y t X e + + + = ≤ = ≤ =

{

}

2 1 1 1 1 1 2 1 ( , , | ) ( | ) ( , | , ) N N k k j k i i j N N k i i j k k j k i P y t X e X e P X e P y t X e X e + + = = = = + + = ≤ = = = = × ≤ = =

{

}

{

}

{

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( | ) ( | , ) ( | , , ) ˆ , ( | ) ˆ , ( ) N N k i i j k j k i k k j k i N N k i ji i j i k i N N t c k i ji i j P X e P X e X e P y t X e X e X e a P t c X e a x dx σ ω φ = = + + + = = + − −∞ = = = = × = = × ≤ = = = × ≤ − =

dengan a adalah matriks transisi dari state ji

k i

X = ke state e Xk+1 =ej. Jadi fungsi

kepekatan peluang dari yk+2 setelah diketahui adalah 2 1 1 ( | ) ˆ , ( ) . (3.2.2) k N N t c k i ji i i j P y t X e a φ x dx + − −∞ = = ≤ = 3.3 Perubahan Ukuran

Untuk mempermudah dalam perhitungan secara matematis, diperlukan suatu ukuran peluang baru yang kemudian akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asalnya. Misalkan P adalah ukuran peluang baru yang kontinu absolut serta berpadanan dengan P dan memiliki kepekatan λ. Akibatnya d P

dP = dan di bawah P , peubah λ

acak y mempunyai fungsi kepekatan φ

{ } { }

( ) ( )

( ) ( )

_ ( ) ( ) (3.3.1) , (3.3.2) t y t y t t c t P y t y dy I d P I dP I d dy ω σ φ λ λ ω φ ω ω λ ω φ ω σ −∞ ≤ Ω ≤ Ω +∞ − ≤ −∞ −∞ ≤ = = = = =

dengan I adalah fungsi indikator. Dari persamaan (3.3.1) dan (3.3.2) diperoleh

( ) ( ) ( ) y σφ λ ω φ ω = .

Dalam ruang peluang ( , , )Ω P , proses observasi { },yk k∈ mempunyai bentuk

1 , , 1

k k k k

y+ = c X + σ X ω +

dengan ωk merupakan peubah acak N(0,1)

yang bebas stokastik identik. Misalkan ( )φ ⋅ adalah fungsi kepekatan N(0,1) dan

1 0 , ( ) , ( ) 1 l l l l X y l σ φ λ φ ω − = ∈ Λ = serta 1 , 1 k k l l k λ = Λ =

≥ .

Didefinisikan ukuran peluang baru P dengan batasan turunan Radon Nikodym terhadap yaitu

k

d P dP

∆ = .

Lema 3.1 Di bawah P , y adalah N(0,1) k

yang bebas stokastik identik. (Bukti: Lihat Kristina hal.9, 2006)

(17)

Kemudian akan ditentukan ukuran peluang P sehingga di bawah P

1 1 , : , , k k k k y c X k X ω σ + + − = ∈

adalah barisan peubah acak N(0,1) yang bebas stokastik identik. Untuk menentukan nilai P dari P didefinisikan λl dan Λ yang k

merupakan invers dari λldan ∆ , yaitu: k

1 1 0 ( ) , ( ) 1 l l l l l X y φ ω λ λ σ φ − − = = Λ = dan 1 , 1 k k l l k λ = Λ =

≥ .

Didefinisikan P dengan batasan

k

dP

d P = Λ .

Untuk menentukan nilai P digunakan faktor

k

λ dengan syarat σ,Xk ≠ . 0

Lema 3.2 Di bawah P, { },ωk k∈ adalah

barisan peubah acak N(0,1) yang bebas stokastik identik.

(Bukti: Lihat Kristina hal.9-10, 2006).

3.4 Pendugaan Rekursif

Untuk mereestimasi parameter baru, maka dibentuk suatu pendugaan rekursif dari state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Namun terlebih dahulu dinotasikan suatu nilai harapan tak ternormalkan dari H jika diketahui k k.

Notasi 4.1 Jika { },Hk k∈ merupakan

barisan adapted ke { }k , notasikan

( ) [ k | ]. (3.4.1)

k Hk Hk

γ = Λ

Dengan menggunakan teorema Bayes dan persamaan (3.4.1) maka ˆ : [ | ] [ | ] [ | ] ( ) (3.4.2) (1) k k k k k k k k k k k H H H H γ γ = Λ = Λ =

dan γ0(X0)= [X0] sebagai nilai awal. Misalkan 1 merupakan vektor dari

(1,1,...,1)t N maka

(

)

(

)

(

)

,1 ,1 ,1 ( ). (3.4.3) k k k k k k k k k k k H X H X H X H γ γ γ γ = = =

Jika Hk = maka dengan (3.4.3) didapatkan 1

(

)

(1) ,1 ( ),1 [ | ]. k k k k k k X X γ γ γ = = = Λ

Sehingga dari (3.4.1), jika γk(Xk) diketahui maka faktor penormalan dapat dicari dengan menjumlahkan semua komponen penduga tak ternormalkan (γk Xk). Notasi (4.2) Notasikan 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k y c y e y φ σ σ φ + ⋅ − ⋅ ⋅ Γ = ⋅ ⋅ . Lema 4.3

Misalkan H adalah proses -adapted yang k

bernilai skalar yang mempunyai bentuk:

0 H merupakan terukur- k,

(

)

1 1 1, 1 1 1 k k k k k k k H + =H +α + + β + V+ +δ + f y+ , 1, k≥ dengan Vk+1=Xk+1−AXk, f skalar

dan α β δ adalah proses , , −predictable (β merupakan vektor berdimensi N ). Maka

{

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

}

1 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ) ' , ( ) dengan . k k k k k k N i k k k k i i i k k k k i i k k k k k i i i i i k k k k i i H X H H X y a X y a X y f y a diag a a a X y a Ae γ γ γ γ α γ δ γ β + + + + + + + = + + + + + + + = = Γ + Γ + Γ + − Γ =

(Bukti: Lihat Kristina hal.11, 2006).

Dengan menggunakan Lema dan notasi tersebut, dapat ditentukan pendugaan rekursif seperti yang ditunjukkan pada 3.4.1 hingga 3.4.4.

(18)

3.4.1 Penduga untuk State

Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai

1 0 1, 0, 0, 0

k k k k

H + =H = α = β = δ = , maka penduga untuk state didefinisikan sebagai berikut 1 1 1 1 ( ) N ( ), (i ) k k k k k i i X X y a γ + + γ + = = Γ . (3.4.1.1)

3.4.2 Penduga Banyaknya Lompatan Jika rantai Markov melompat dari state

r

e pada waktu k ke state e pada waktu k+1, s

1≤r s N, ≤ , maka X ek, r Xk+1,es =1.

Banyaknya lompatan dari e ke r e pada waktu s

k+1 adalah

(

)

1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , . k rs k n r n s n rs k k r k s rs k k r k s k s rs k k r sr k r k s X e X e X e X e X e AX e V e X e a X e V e + + − = + + + = = + = + + = + +

Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai

' 1 1, 0 0, 1 0, 1 , , rs k k k k k r s H + = + H = δ + = β + = X e e 1 , , k X e ak r sr

α + = maka penduga untuk

banyaknya lompatan dapat didefinisikan sebagai berikut 1, 1 1 , 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) . (3.4.2.1) rs k k k N rs i k k k k i i r k k k sr s y a X y a e γ γ γ + + + + = + = Γ + Γ

3.4.3 Penduga untuk Waktu Kejadian Misalkan r

kadalah lamanya waktu

sampai waktu ke-k, X terjadi di state er,

maka 1 1 1 , k r k n r n X e + + = = r , k X ek r = + .

Dengan menggunakan Lema 4.3 dan nilai

1 r 1, 0 0, 1 , , 1 0,

k k k k r k

H + = + H = α + = X e β + = 1 0

k

δ + = , maka penduga untuk lamanya waktu

kejadian dapat didefinisikan sebagai berikut

{

}

1, 1 1 , 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) . (3.4.3.1) r k k k N r i k k k k i i r k k k r y a X y a γ γ γ + + + + = + = Γ + Γ

3.4.4 Penduga untuk Proses Observasi Untuk menentukan kembali vektor ragam

1 2 ( , ,..., )t N σ = σ σ σ serta vektor 1 2 ( , ,..., )t N

c= c c c pada proses observasi yk+1=c X( k)+σ(Xkk+1

harus ditentukan penduga untuk proses observasi dalam bentuk

1 1 1 1 1 ( ) , ( ), 1 ( ) , ( ) k r k l r l l r k k r k f X e f y r N f X e f y + + − = + = ≤ ≤ = +

untuk f y( )= atau y f y( )= y2. Dengan

menggunakan Lema 4.3 dan nilai

1 r1( ), 0 0, 1 0, 1 0,

k k k k

H + = + f H = α + = β + =

1 ,

k X ek r

δ + = , maka penduga untuk proses

observasi didefinisikan sebagai berikut

1, 1 1 , 1 1 1 1 ( ( )) ( ( )), ( ) ( ), ( ) ( ) . (3.4.4.1) r k k k N r i k k k k i i r k k k k r f f y a X y f y a γ γ γ + + + + = + + = Γ + Γ

IV. PENDUGAAN PARAMETER

Seperti yang telah dibahas pada Bab

sebelumnya, pendugaan parameter model Hidden Markov dilakukan dengan reestimasi parameter. Metode yang digunakan adalah algoritma EM. Hasilnya berupa parameter dalam bentuk pendugaan rekursif.

Berikut ini akan dibahas mengenai algorima EM. Kemudian akan dilanjutkan dengan reestimasi parameter EM.

4.1 Algoritma Expectation Maximization

Misalkan

{

Pθ,θ∈ Θ

}

adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada

(

Ω,

)

dan kontinu absolut terhadap P0. Misalkan

(19)

untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi adalah

0 ( ) dP | L dP θ θ = .

Penduga Maximum Likelihood (MLE) didefinisikan oleh ˆ arg max ( )L θ θ θ ∈Θ ∈ .

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu algoritma

Expectation Maximization (EM) memberikan

suatu metode aproksimasi berulang. Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:

1. Set nilai awal parameter ˆθk dengan

0 k= . 2. Set * ˆ k θ =θ dan hitung Q( , ) θ* dengan * * * ( , ) logdP | Q dP θ θ θ θ θ = . 3. Cari * 1 ˆk arg max ( , )Q θ θ+ θ θ ∈Θ ∈ .

4. Ganti k dengan k+ dan ulangi 1 langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih θˆk+1 dan ˆθk kurang dari

suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan.

Misalkan g x( ) log 1

x

= . Karena turunan kedua dari ( )g x selalu positif

2 2 2 1 ( ) log 1 0, 0 g x x x x ∇ = ∇ = > ∀ >

maka g x merupakan fungsi konveks. ( ) Berdasarkan ketaksamaan Jensen, karena

1 log

x merupakan fungsi konveks maka

dapat dihasilkan barisan

{

θˆ ,k k≥0

}

, yang merupakan fungsi likelihood yang tak turun yaitu

( )

ˆ 1

( ) (

ˆ ˆ 1 ˆ

)

logL θk+ −logL θkQ θ θk+, k (4.1.3) Bukti: Karena 1 , 1 k k l l k λ = Λ =

≥ dengan 1 l l l dP dP θ θ λ − = maka 1 2 1 1 1 1 2 0 0 , 1 . ... . .... k k k p k l l k k dP dP dP dP dP dP dP dP θ θ θ θ θ θ λ λ λ λ − = Λ = ≥ = = =

atau 0 k k dP dP θ ∆ = .

Dengan cara serupa maka 1 1 1 0 k k dP dP θ+ + + ∆ = serta 1 1 k k k dP dP θ θ λ + + = Sehingga

( )

( )

[

]

[

]

[

]

[

]

1 1 1 ˆ ˆ 0 0 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ log log log | log | log | log | log | log log | log | . k k k k k k k k k k k k k k k k L L dP dP dP dP dP dP θ θ θ θ θ θ θ θ λ λ + + + + + + − = = − = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ ∆ = ∆ =

Berdasarkan Teorema ketaksamaan Jensen maka 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ log k | log k | k k k k dP dP dP dP θ θ θ θ θ θ + + − ≤ − atau

( )

( )

ˆ1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ

log log log k |

k k k k dP L L dP θ θ θ θ θ + + − ≥ .

Hasil kedua ruas pada persamaan (4.1.3) akan bernilai sama jika dan hanya jika θˆk+1= . θˆk

Bentuk (Qθ θ, ∗) disebut Pseudo Likelihood bersyarat.

(20)

4.2 Reestimasi Parameter EM

Pada model (3.1.5), himpunan parameter yang digunakan adalah

{( ),1asr s r N c, , ,1r r N, ,1i i N}.

θ = ≤ ≤ ≤ ≤ σ ≤ ≤

Dengan menggunakan algoritma EM akan ditentukan himpunan parameter baru,

( )

{

}

ˆ ˆ ,1 , , ,1ˆ , ,1ˆ sr r i a s r N c r N i N θ = ≤ ≤ ≤ ≤ σ ≤ ≤

yang memaksimumkan fungsi likelihood bersyaratnya.

Dimulai dengan mengganti parameter a ji

yang mendefinisikan peluang transisi pada rantai Markov, dengan parameter ˆa . Untuk ji

itu didefinisikan fungsi Likelihood

(

)

1 * * 1 1 , , 1 , 1 , ˆ ( ) . l s l r k k l l l l X e X e k N sr l r s sr X y a k a λ − − = = = Λ = =

∏∏

Misalkan ukuran peluang baru adalah P*,

didefinisikan dP* dP  = Λ

 sebagai turunan

Radon-Nykodim dP*

dP pada  . Akibatnya

dapat diperoleh fungsi Log-likelihoodnya yaitu * * log log k k dP dP Λ =

[

]

1 , 1 1 , 1 , , ˆ log ( ) log ˆ log ( ) ( ) N k l s l r r s l sr sr N sr r s X e X e a k a a k R a − = = = = − = +

dengan R a( ) bebas terhadap ˆadan nilai harapan bersyaratnya sebagai berikut

, 1 ˆ ˆ ˆ log k| N log sr( ) ( ) r s a k R a = Λ = +

.

Kemudian karena ˆ ( )a k adalah peluang sr

transisi, maka jumlah peluang dari semua kemungkinan state asal untuk berpindah ke suatu state atau jumlah peluang setiap kolom matriks transisi, harus bernilai 1 dan dapat ditulis sebagai berikut

1 ˆ ( ) 1 N sr s a k = = .

Hal ini berlaku untuk setiap transisi ke

state Xl =er,1< <l k,1< < pada setiap r N waktu ke-l, 1 l k< < . Akibatnya persamaan

tersebut dapat ditulis dalam bentuk dinamik sebagai berikut

( )

1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ , ( ) , ( ) , 1 , . (4.2.1) k N k N N l r sr l r sr l r s l r s k N l r l r k N l r l r X e a k X e a k X e X e k = = = = = = = = = = = = =

Dapat dilihat bahwa persamaan (4.2.1) sama bentuknya dengan penduga lamanya waktu kejadian yaitu

1 1 1 ˆ , k N N r l r k l r r X e = = = = .

Jadi persamaan (4.2.1) dapat ditulis dalam bentuk bersyarat , 1 ˆ ˆ ( ) . (4.2.2) N sr r s a k k = =

Dengan menggunakan algoritma EM dan nilai harapan tersebut maka dapat dicari parameter ˆ ( )a k yang memenuhi bentuk sr

bersyarat (4.2.2). Untuk itu dinotasikan λ sebagai pengali Lagrange sehingga

, 1 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , ) log ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) . N sr r s N sr r s L a a k R a a k k λ λ = = = + + −

Kemudian turunkan persamaan di atas terhadap ˆa . Sehingga dihasilkan persamaan sr

berikut

1 ˆ

ˆ

ˆ ( )sr

a k

Sedangkan jika diturunkan terhadap λ , akan diperoleh , 1 ˆ ˆ ( ) N sr r s a k k = − .

Dengan menyamakan kedua turunan di atas dengan nol, maka didapatkan

1 ˆ ˆ 0 (4.2.3) ˆ rs sr a +λ = dan , 1 ˆ ˆ ( ) . (4.2.4) N sr r s a k k = =

Dari kedua persamaan tersebut, dihasilkan ˆ ˆ ( ) ˆ . (4.2.5) rs k sr r k a k λ = − . Kemudian subtitusikan (4.2.5) ke (4.2.4)

(21)

, 1 , 1 , 1 1 , 1 1 ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 , , N sr r s rs N k r r s k N rs k r s N k n r n s r s n a k k k k X e X e k λ λ λ = = = − = = = − = − = − =

sehingga didapatkan nilai λ = − dan 1 diperoleh pilihan optimum untuk ˆ ( )a k yaitu sr

( )

( )

ˆ ˆ ( ) ˆ . rs rs k k k sr r r k k k a k γ γ = =

Kini untuk mengganti parameter c i

dengan ˆc , didefinisikan fungsi likelihood i

(

)

* * 1 1 , k k l=λl Xlyl Λ =

dengan faktor

(

)

{

}

)

2 * 1 1 2 1 1 1 , exp , 2 , ˆ, 2 , 2 ˆ, . k k k k k k k k k k X y c X X c X y c X y c X λ σ + + + + = − − +

Misalkan ukuran peluang baru adalah P , * maka turunan Radon-Nykodim dP*

dP pada k diberikan oleh * * k k dP dP = Λ . Di bawah P*,

{

}

1 ˆ, , , l l yc Xl N

adalah barisan peubah acak yang menyebar Normal (0, )N σ dan bebas stokastik identik. Kemudian dapat diperoleh fungsi

Log-likelihood nya yaitu

(

)

* * 2 2 1 1 1 1 1 1 log log ˆ , , 2 , ˆ 2 , / 2 , k k N l l l l l l l l dP dP c X c X y c X y c X σ X − − − = − − Λ = = − − +

(

( )

( )

)

)

( ) ( )

( )

( )

2 2 1 1 1 2 1 ˆ , ˆ 2 2 / 2 ˆ ˆ 2 , 2 k N l r r r l r l r l r r r r N r k r k r r X e c c k y c y c k y c k c k R c σ σ − = = = = − − + − = +

dengan R c bebas terhadap ˆc( ) dan nilai harapan bersyaratnya adalah

( ) ( )

( )

( )

* 2 1 [log | ] ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 2 k r r N r k r k r r y c k c k R c σ = Λ − = +

Dengan menggunakan algoritma EM dan nilai harapan tersebut maka dapat dicari parameter ˆ ( )c k . Hal ini dilakukan dengan r

menurunkan persamaan di atas terhadap ˆ ( )c k r

dan menyamakan turunannya dengan nol sebagai berikut

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ˆ ˆ ˆ 2 2 0 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 0 ˆ ˆ ˆ . r r k k r r r r k k r r k r r k y c k y c k y c k σ − = − = =

Akibatnya dapat diperoleh pilihan optimum dari ˆ ( )c k , jika diketahui observasi hingga r

waktu ke-k, sebagai berikut

( )

ˆ ( )

(

( )

( )

)

ˆ ˆ r r k k k r r r k k k y y c k γ γ = = .

Kemudian untuk mengganti parameter σ

dengan ˆ ( )σi k (dengan nilai c tetap), i

didefinisikan fungsi likelihood

(

)

* * 1 1 , k k ll Xlyl Λ =

dengan faktor

(

)

(

)

(

)

, 1 2 1 exp 1 , ˆ 2 , , . ˆ, 1 2 exp 1 , 2 , X yk k l yk c Xk X Xk k Xk y c X k k Xk λ σ σ σ σ = + − + − − +

Misalkan ukuran peluang baru adalah P *, maka turunan Radon-Nykodim

* dP dP pada k diberikan oleh * * k k dP dP = Λ .

Akibatnya dapat diperoleh fungsi Log-

(22)

(

)

)

( )

* 1 1 1 2 1 log log 1log ,ˆ 1 ˆ 2 2 , , , k k k l l l l l dP dP X X y c X R c σ σ σ − = − − Λ = = − − × − +

dengan R c

( )

, bebas terhadap σ dan nilai harapan bersyaratnya adalah

( )

( )

(

( )

)

}

1 1 1 1 ^ 2 2 2 1 2 [log | ] , 1 ˆ , log ( ) ˆ 2 2 ( ) ( 2 ) | , 1 log ( )ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 2 ( ) ˆ ˆ ˆ 2 ( , ). k k k N l i l i i l i i l i l i k N i i i k k i i i i i k i k X e X e k k y c y c R c k y k c y c R c σ σ σ σ σ σ − − = = = Λ = − − × − + + = − + − + +

Dengan menggunakan algoritma EM dan nilai harapan tersebut maka dapat dicari parameter ˆ ( )σi k . Hal ini dilakukan dengan

menurunkan persamaan di atas terhadap ˆ ( )i k

σ dan menyamakan turunannya dengan nol sebagai berikut

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ 2 0 ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ 2 0 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ( ). ˆ i i k k i i i i i k i k i i i k k i i i k i k i i i k i k i k i i k y k k c y c k y c y c y c y c k σ σ σ σ − − + = − − + = − + = = =

Akibatnya dapat diperoleh pilihan optimum dari ˆ ( )σi k , jika diketahui observasi hingga

waktu ke-k sebagai berikut

( )

1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) i i( ) 2 i( ) i i k k k y ci k y ci k σ = − − + .

Jadi rumusan yang dihasilkan untuk parameter baru berdasarkan observasi hingga waktu ke-k, adalah:

( )

( )

ˆ ˆ ( ) ˆ (4.2.6) rs rs k k k sr r r k k k a k γ γ = =

( )

( )

ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ (4.2.7) r r k k k r r r k k k y c k γ γ = =

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

1 2 2 1 2 2 ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) 2 ˆ ( ) ˆ ( ) 2 ( ) . (4.2.8) i i i i i k k i k i k i i k k k i i i k k i k k k y c y c y c y c σ γ γ γ γ − − = − + = − +

yang didefinisikan pada himpunan parameter

( )

{

}

ˆ ˆ ,1 , , ,1ˆ , ,1ˆ . sr r i a s r N c r N i N θ = ≤ ≤ ≤ ≤ σ ≤ ≤

Nilaidan γk

( )

Xk dapat dievaluasi kembali

dengan menggunakan parameter baru dan memungkinkan juga untuk selanjutnya dievaluasi dengan menggunakan data baru.

V. PEMODELAN NILAI NILAI TUKAR RUPIAH

TERHADAP US DOLLAR

Pada Bab ini dimodelkan masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Berikut ini terlebih dahulu dijelaskan mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah serta aplikasi untuk kasus banyaknya penyebab kejadian N = dan 2

3 N= .

5.1 Data Input Nilai Tukar Rupiah

Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan merupakan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan yang diambil

dari www.bankofcanada.ca. Data berkisar antara bulan Februari tahun 1998 hingga bulan Desember tahun 2005. Artinya ada sebanyak 95 data proses observasi (y ) yang k

digunakan dalam kasus perubahan nilai tukar Rupiah tersebut. Grafik data dapat dilihat pada Gambar 1.1.

Pada Gambar 1.1, terlihat data di awal meningkat cukup tinggi hingga mencapai puncaknya pada bulan Juli tahun 1998. Kemudian pada bulan berikutnya, data menurun secara perlahan. Posisi terendah dicapai pada bulan Juli tahun 1999. Kemudian

(23)

Grafik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000 13.000 14.000 15.000

Feb-1998 Feb-1999 Feb-2000 Feb-2001 Feb-2002 Feb-2003 Feb-2004 Feb-2005

Tahun N ila i 1 U S D ol la r (R up ia h)

Gambar 1.1 Grafik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan data mengalami kenaikan serta penurunan lagi

di bulan-bulan selanjutnya.

5.2 Pemodelan Kasus Nilai Tukar Rupiah Nilai tukar Rupiah dapat berubah setiap waktunya. Banyak hal yang dapat menyebabkan perubahan tersebut, di antaranya pergantian sistem pemerintahan, situasi keamanan yang kurang baik dan sebagainya. Penyebab-penyebab tersebut dapat membentuk pola tertentu. Misalnya, jika di waktu sebelumnya terjadi pergantian sistem pemerintahan maka biasanya akan diikuti dengan munculnya mosi tidak percaya dari masyarakat terhadap pemerintahan baru yang menyebabkan situasi keamanan di Indonesia saat itu menjadi kurang kondusif. Hal itu membuat banyak investor asing takut menginvestasikan Dollar di Indonesia sehingga terjadi kenaikan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar. Kejadian ini bisa berulang namun tidak dapat dipastikan kurun waktunya. Akibatnya besar kemungkinan di waktu yang akan datang penyebab kejadiannya adalah kejadian yang sama jika sebelumnya diketahui terjadi pergantian sistem pemerintahan, akan memiliki nilai peluang yang tidak jauh berbeda dengan nilai peluangnya saat itu. Hal ini menunjukkan bahwa penyebab kejadian nilai tukar bersifat homogen.

Selain itu, penyebab kejadian nilai tukar diasumsikan bersifat Markov. Artinya meski di waktu yang lalu pernah terjadi berbagai hal yang memengaruhi nilai tukar, namun penyebab perubahan nilai tukar saat ini cukup

dipengaruhi oleh penyebab kejadian sebelumnya saja.

Jadi karena penyebab kejadian nilai tukar Rupiah membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, maka masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov. Proses observasi { ,y kk ∈ } yang digunakan pada model adalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan dan bernilai skalar. Banyaknya data k adalah 95, sedangkan penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung { ,X kk ∈ } pada model adalah penyebab terjadinya perubahan nilai tukar tersebut.

Berdasarkan banyaknya penyebab kejadian N, maka kasus yang dibahas dalam karya ilmiah ini terbagi atas dua macam. Kasus pertama untuk N= dan kasus kedua 2 untukN= . Dengan menggunakan algoritma 3 EM dan pendugaan rekursif pada kedua kasus tersebut, maka dapat ditentukan parameter yang dapat memaksimumkan peluang kejadiannya sehingga dapat diduga penyebab terjadinya perubahan nilai tukar tersebut. Kemudian dapat ditentukan peluang observasi untuk satu bulan dan dua bulan yang akan datang jika diketahui data proses observasi sebelumnya.

Secara keseluruhan algoritma yang digunakan untuk memproses data tersebut adalah sebagai berikut:

Algoritma:

1. Misalkan diketahui nilai harapan penyebab kejadian awal, sama dengan

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :