Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi (Safri Ali)

|412

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi

Safri Ali

¹

,Latuf Farisah

²

, Wilda Husna

³

Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan, Universitas Islam Negeri Sumatera Utara safriali18@yahoo.co.id

Abstrak.Konsep untaian digit biner dan jarak Hamming dari dua untaian digit biner adalah konsep mendasar dalam teori error-correcting code. Jumlah dari jarak hamming antara dua pasang string yang dihasilkan oleh matriks insidensi titik-sisi dari graf G disebut dengan jumlah hamming insidensi titik-sisi dari G dan dinotasikan dengan H(G). Indeks Hamming graf komposit dari representasi matriks insidensi titik-sisi dapat dibuat rumus umumnya dengan terlebih dahulu menentukan banyak verteks, banyak sisi dan derajat masing-masing graf.

Kemudian dengan menggunakan rumus umum jumlahan jarak hamming yang telah ditemukan yaitu 2(n−2)m dimana n = titik dan m = sisi. Maka dapat diperolehrumus umum indeks hamming pada graf hasil perkalian kartesius.yaitu pada graf tangga dan graf grid.

Kata kunci: Indeks Hamming, Graf Tangga, Graf Grid, Perkalian Kartesius

I. Latar Belakang Masalah

Teori graf merupakan salah satu ilmu yang dibahas dalam matematika yang mempelajari himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan sisi.Ini dapat ditemukan dalam banyak aplikasi seperti dalam pelajaran teknik maupun sains.Graf adalah himpunan tidak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik, dan suatu himpunan pasangan tidak terurut titik-titik tersebut yang disebut garis (sisi).Yang dapat direpresentasikan pada gambar sehingga membentuk pola graf tertentu.Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah jumlahan jarak hamminggraf.Jarak Hamming dari dua untaian digit biner u dan v dengan panjang n adalah banyak posisi dari u dan v dengan digit berbeda. (Ramane et al., 2016)

Dalam dunia komunikasi modern, item data secara konstan dikirim dari satu titik ke titik lain. Masalah dasar dalam transmisi data adalah menerima data seperti yang dikirim dan tidak menerima potongan data yang terdistorsi.Teori pengkodean telah mengembangkan teknik untuk memperkenalkan informasi yang berlebihan dalam data yang ditransmisikan yang membantu dalam mendeteksi, dan kadang-kadang dalam mengoreksi kesalahan.Unit dasar informasi, yang disebut pesan, adalah urutan karakter yang terbatas.

Setiap karakter atau simbol yang akan ditransmisikan direpresentasikan sebagai urutan n elemen dari himpunan . adalah grup di bawah operasi biner ⊕2 yang artinya penjumlahan modulo 2. Sebuah untaian digit biner x dengan panjang n dapat dipandang sebagi sebuah unsur himpunan

Lebih lanjut dengan operasi biner

(Ramane et.al. 2015)

Untuk sebuah untaian digit biner bobot dari x, dinotasikan adalah banyaknya digit 1 yang termuat di x. Untuk dua unsur jarak Hamming dari x dan y, dinotasikan adalah banyaknya posisi di x dan y dengan digit yang berbeda. Jarak

Hamming dapat didefinisikan sebagai Misalkan dan

adalah anggota dari maka jumlah dari x ⊕ y dihitung dengan menjumlahkan

komponen yang sesuai dari x dan y melalui penjumlahan modulo 2. Yaitu, jika

dan jika , i = 1, 2, …, n.

Konsep untaian digit biner dan jarak Hamming dari dua untai digit biner adalah konsep mendasar dalam teori error-correcting codes. Error-correcting mempunyai aplikasi dalam pengiriman data sehingga data yang dikirim melalui sebuah jaringan komunikasi adalah sama dengan data yang diterima. Error- correcting codes juga dapat dipergunakan dalam penyimpanan data dalam cakram kompak (compactdisk).

  0 , 1

2



Z ( Z

₂

,  )

2 2 2

.

n

Z    Z Z

_{2 2 2}

n

Z    Z Z

2 1 2 1 2 2 2 2

x  y  ( x  y x ,  y , , x

_n

 y

_n

).

2 2 2

x  Z  Z   Z wt (x),

2 2 2

x,y  Z  Z   Z (x,y),

H

d

(x,y) (x

2

y).

H

d

 wt  x  x

₁

x

₂

x

₃

... x

_n

y

n

y y y

y 

_{1 2 3}

... Z

₂ⁿ

 0



_i

i

y

x x

_i

 y

_i

 1



_i

i

y

x x

_i

 y

_i

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi (Safri Ali)

|413

Andaikan G(V,E) adalah sebuah graf sederhana (simple graph) dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Misalkan |V| = n dan |E| = m. Terdapat dua representasi biner dari sebuah graf yakni representasi matriks ketetanggaan dan represesentasi matriks insidensi.

Sebuah matriks ketetanggan A=(a_ij) dari sebuah graf G adalah sebuah matriks berordo nxn dengan entri didefinisikan sebagai

Sebuah matriks insidensi sisi-titik dari graf G sebagai sebuah matriks B berordo mxn dengan entri

Perhatikan bahwa setiap baris dari representasi biner dari sebuah graf adalah sebuah untaian digit biner dengan panjang n.

Riset tentang indeks hamming berdasarkan matriks insisdensi titik sisi belum banyak dilakukan, sejauh ini Ramane et.al (2016) baru membahas tentang indeks hamming berdasarkan matriks insidensi pada graf thorn dengan rumus umum jarak hamming, Jika u dan v adalah titik dari graf G. Maka,

Oleh karena itu pada tulisan ini riset Ramane et al akan di lanjutkan dengan menyelidiki indeks hamming pada graf hasil perkalian kartesius terhadap matriks insidensi titik-sisi khususnya graf tangga dan grag grid

II. Tinjauan Pustaka A. Graf

Graf adalah kumpulan titik yang dihubungkan satu sama lain melalui sisi,yang digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. GrafG didefinisikan sebagai pasangan himpunan(V,E), ditulis dengan notasiG(V,E),yang dalam hal ini :

a. V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (titik/verteks/node).

b. E adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang titik. (Harary.1969. Hal: 8)

Secara matematis, suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan 𝐺 (𝑉,) dengan 𝑉 adalah himpunan tidak kosong dari titik ,𝑉(𝐺) = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, . . , 𝑣𝑛 }, dan 𝐸 adalah himpunan sisi, 𝐸(𝐺) = {e₁, e₂, e₃, . . , e_𝑛 }, yang menghubungkan sepasang titik pada graf tersebut (Edgar dan Michael, 2002).

Sisi yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut loop. Dua sisi berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut sisi paralel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjacent) jika sisi menghubungkan keduanya.Titik yang tidak memiliki sisi yang berhubungan dengannya disebut titik terasing (isolating point).Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak mewakili sisi) disebut sisi kosong.

Jika semua sisinya berarah, maka grafnya disebut graf berarah (directed graph), atau sering disingkat digraph.Jika semua sisinya tidak berarah, maka grafnya disebut graf tak berarah (undirected graph).

Titik-titik pada graf dapat merupakan obyek sembarang seperti kota,atom- atom suatu zat,nama anak,jenis buah,komponen alat elektronik dan sebagainya. Sisi dapat menunjukkan hubungan sembarang seperti rute penerbangan, jalan raya, sambungan telepon,ikatan kimia,dan lain-lain.Jika terdapat sebuah sisi e yang menghubungkan titik v dan w,ditulis sisi(v,w).

B. Keterhubungan

Sebuah graf disebut terhubung jika untuk setiap dua titik terdapat sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.

1, bila titik bertetangga dengan titik , 0, bila titik tidak bertetangga dengan titik .

i j

ij

i j

v v

a v v

  



1, bila sisi insiden dengan titik , 0, bila sisi tidak insiden dengan titik .

i j

ij

i j

e v

b e v

  



( ) ( ) 2, bila titik bertetangga ( ( ), ( ))

( ) ( ), bila titik tidak bertetangga

d

d u d v H s u s v

d u d v

 

    

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi (Safri Ali)

|414

a. Jalan (walk)

Walk dengan panjang k pada sebuah graf G adalah rangkaian terurut dari k sisi pada graf G dengan bentuk :𝑢𝑣, 𝑣𝑤, 𝑤𝑥, … , 𝑦𝑧 atau dengan kata lain walk antara u sampai z (Robin J. Wilson & Jhon J.

Watkin, 1990 : 34) b. Jejak ( Trail)

Trail adalah walk dengan semua sisi dalam barisan adalah berbeda. (Chartrand dan Lesniak, 1986:26)

c. Lintasan (Path)

Path adalah sebuah trail tanpa titik berulang. (Robin J. Wilson & Jhon J. Watkin, 1990 : 35) d. Sikel (Cycle)

Cycle adalah sebuah trail tertutup yang titik awal dan akhir merupakan titik.

C. Perkalian Cartesius Pada Graf

Salah satu operasi dalam teori graf adalah hasil kali kartesius dua graf. Misal G₁ dan G₂ adalah dua graf yang saling asing yang artinya V (G₁) ∩ V (G2) = ∅ dan E(G1) ∩ E(G2) = ∅. Maka hasil kartesius dari G₁ dan G₂ yang dinotasikan dengan G₁ ×G₂ mempunyai himpunan verteks V = {(v₁, v₂) v₁∈ V (G₁), v₂∈ V (G2)} dimana titik (u₁, u₂) dan (v₁, v₂) bertetangga di G₁×G₂ jika u₁ = v₁ dan u₂ tetangga v₂ atau u₂

= v₂ dan u₁ tetangga v₁. Hasil kali kartesius dua graf lintasan dapat dilihat pada gambar 2.3 berikut.

Gambar 1. Graf hasil kali kartesius

1. Graf Tangga

Graf tangga adalah graf yang di bentuk dari hasil kali kartesius graf lintasan dengan dua titik dan graf lintasan dengan n titik. Graf tangga di notasikan dengan L_n , sehingga P₂ × P_n (Gallian, 2007:12)

2. Graf Grid

Graf grid adalah graf yang merupakan hasil kali cartesius dari graf lintasan Pm x Pn. Graf Grid dengan mxn titik dinotasikan dengan G_m,n. (Brouwer et al. 1989). Gambar 2.10 merupakan contoh graf Grid.

D. Jarak Hamming

Algoritma jarak hamming merupakan salah satu dari algoritma approximate string matching yang ditemukan oleh Richar Hamming, pada tahun 1950.Algoritma jarak hamming pertama kali digunakan untuk mendeteksi dan memperbaiki telekomunikasi sebagai estimasi error.Algoritma Jarak hamming digunakan untuk membantu dalam memeriksa dua buah string pada dua buah source code.Jarak hamming digunakan untuk menghitung jumlah perbedaan dari dua deret bilangan biner yang mempunyai panjang sama sesuai dengan posisi dari setiap digit biner

Jarak Hamming diantara dua string biner A dan B yang masing-masing panjangnya n adalah jumlah dari posisi bit berbeda diantara keduannya; notasi jarak Hamming antara A dan B adalah H(A,B). Contoh:

H(001,100) = 2. Untuk sebuah untaian digit biner

x  Z

₂

 Z

₂

  Z

₂ bobot dari x, dinotasikan

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi (Safri Ali)

|415 (x),

wt

adalah banyaknya digit 1 yang termuat di x. Untuk dua unsur

x,y  Z

₂

 Z

₂

  Z

₂ jarak Hamming dari x dan y, dinotasikan

H

_d

(x,y),

adalah banyaknya posisi di x dan y dengan digit yang berbeda. Jarak Hamming dapat didefinisikan sebagai

H

_d

(x,y)  wt (x 

₂

y).

Misalkan

x

n

x x x

x 

_{1 2 3}

...

dan

y  y

₁

y

₂

y

₃

... y

_n adalah anggota dari

Z

₂ⁿmaka jumlah dari x ⊕ y dihitung dengan menjumlahkan komponen yang sesuai dari x dan y melalui penjumlahan modulo 2. Yaitu,

i i

0

x  y 

jika

x

_i

 y

_i dan

x

_i

  y

_i

1

jika

x

_i

 y

_i, i = 1, 2, …, n.

Jumlah dari jarak hamming antara dua pasang string yang dihasilkan oleh matriks insidensi titik-sisi dari graf G disebut dengan jumlah hamming insidensi titik-sisi dari G dan dinotasikan dengan

H G ( )

. Sedemikian sehingga, jika titik dari G adalah

v

₁

, v

₂

,..., v

_m, maka

1

( )

_d

( ( ), ( ))

_{i j}

i j m

H G H s u s v

  

 

Jika u dan v adalah titik dari graf G. Maka,

( ) ( ) 2, bila titik bertetangga ( ( ), ( ))

( ) ( ), bila titik tidak bertetangga

d

d u d v H s u s v

d u d v

 

    

(Ramane dkk. 2016)

III. HASIL DANPEMBAHASAN

Pada bab ini akan diuraikan hasil dan pembahasan terhadap hasil indeks hamming pada graf.

Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh beberapa rumus umum dari graf hasil perkalian kartesius. Dalam menemukan rumus umum, penulis menentukan terlebih dahulu bentuk umum dari banyak titik n, banyak sisi m dan dari masing-masing graf yang akan ditentukan bentuk umum indeks hamming pada graf tersebut. Indeks hamming pada graf merupakan hasil representasi matriks insidensi titik-sisi dari graf yang terbentuk dari graf komposit.

H

_d

( ( ), ( )) s u s v

=

d u ( )  d v ( ) 2, 

Jika titik u dan v adalah jalur yang bertetangga dan

d u ( )  d v ( ),

jika titik u dan v bukan jalur yang bertetangga.

a. Teorema 3.1 Misalkan G adalah graf dengan n titik dan m sisi maka di peroleh H(G) = 2(n-2) m Bukti :

1

( )

_d

( ( ), ( ))

_{i j}

i j n

H G H s u s v

  

 

~ ~

(deg( ) deg( ) 2) (deg( ) deg( ))

i j i j

d i j d i j

u v u v

H u v H u v



      

=

1 ~

(deg( ) deg( )) 2

i j

i j

i j n u v

u v

  

 

 

⁽¹⁾

Dimana

1

(deg( ) deg( ))

_{i j}

i j n

u v

  

 

⁽²⁾

Untuk titik

u

_i, i=1,2,…,n pada deg (

u

_i) maka di dapatkan (n-1)

pada persamaan 2

1 1

(deg( ) deg( )) (n 1) deg( )

n

i j i

i j n i

u v u

   

  

 

⁽³⁾

~

2 2

i j

u v

 m



⁽⁴⁾

Kita subtitusikan persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (2) sehingga

~ ~

( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

i j i j

d i j d i j

u v u v

H s u s v H s u s v



   

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi (Safri Ali)

|416

H(G)

1

(n 1) deg( ) 2

n

i i

u m



   

Dengan menggunakan teorema euler

1

deg( ) 2

n

i_

u

i

 m



maka di peroleh

H(G) = 2(n-2) m b. Teorema 4.1

Misalkan G adalah Graf tangga di notasikan dengan Ln maka indeks hammingnya

H(L_n )

Bukti : Graf tangga adalah graf yang merupakan hasil kali cartesius dari graf lintasan P2 × Pn, banyak verteks disimbolkan dengan n adalah dan banyak sisi disimbolkan dengan m adalah

Berdasarkan pada teorema 3.1, maka diperoleh

Contoh

P₅ P₂

Gambar 3.1 Graf Tangga L5

Gambar 3.1 adalah graf tangga L₅ yang di definisikan sebagai P₂ × P₅ dimana graf P₅ memiliki 5 titik dan 4 Sisi maka

c. Teorema 3.3

Misalkan G_m,n adalah sebuah graf grid. Maka diperoleh indeks hammingnya

H(G_m,n)

Bukti :Graf grid adalah graf yang merupakan hasil kali cartesius dari graf lintasan P_m × P_n, atau jika dituliskan dalam notasi pembentuk himpunan maka P_m × P_n= {(v_i, w_j ) v_i∈ Pm, w_j∈ Pn}. banyak verteks disimbolkan dengan q adalah m × n dan banyak sisi disimbolkan dengan p adalah (2mn − n − m)..

Berdasarkan pada teorema 1, maka diperoleh H(G_m,n) =2(mn -2) (2mn- n -m)

= (2mn -4) (2mn- n -m)

2

2 2 2 2 2

8 n m 4 n 8 m 4 n

   

(2 ) n

2

(2 m

₂

 n

₂

)

2 2 2

H(L )

_n

 2(2 n  2)( n  2 m )

2 2 2

(4 n 4)(2 m n )

  

2

2 2 2 2 2

8 n m 4 n 8 m 4 n

   

2

5

n  m

₂

 4

2 2 2 2

4 m n 2 mn 2 m n 8 mn 4 n 4 m

     

2 2 2 2

4 m n 2 mn 2 m n 8 mn 4 n 4 m

     

Indeks Hamming Dari Graf Hasil Perkalian Karetesius Pada Matriks Insidensi Titik - Sisi (Safri Ali)

|417

Contoh:

Gambar .2 : Graf Grid G3,5

Graf pada gambar 3.2 adalah graf grid yang merupakan hasil kali kartesius dari graf lintasan P_m × P_n. banyak verteks disimbolkan dengan q adalah m × n dan banyak sisi disimbolkan dengan p adalah (2mn − n − m) dimana nilai m = 3 dan n= 5 maka jumlah titiknya 15 dan jumlah sisinya 22.

II. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil kontruksi dan observasi terhadap indeks hamming dari representasi matriks insidensi titik-sisi dari sebuah graf hasil perkalian kartesius yaitu graf tangga dan garf grid maka diperoleh kesimpulan rumus umum sebagai berikut:

1. Indeks Hamming pada graf Tangga

 

n

⁴

^{2 2}

²

²

²

²

^{8 4 4}

H L  m n  mn  m n  mn  n  m

2. Indeks Hamming pada graf Grid



_{m n},

 4

^{2 2}

2

²

2

²

8 4 4 H G  m n  mn  m n  mn  n  m

DAFTAR PUSTAKA

[1] Deo, N. (1987) _Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall,.

[2] Edgar G. G & Michael M. P. (2002). Discrete Mathematics with Graf Theory Second Edition.United States of America:Printece Hall, Inc

[3] Ganagi, A. B and. Ramane, H. S. (2016). Hamming distance between string generated by adjacency matrix of a graph and their sum, Algebra and Discrete Mathematics, 22 (1), 82–93.

[4] Harary, F. (1969). Graph Teory. Wesley Publishing Company, Inc.

[5] Harary, F., Frucht, R. (1970). On The Corona Of Two Graphs. Aequationes Mathematicae, 322-325.

[6] Irwanto, B. dan Widyaningsih, S., (2009). Deteksi dan Koreksi Error Pada Pesan Digital Dengan Kode Hamming. Jurnal Sains dan Matematika (JSM), 17, pp.127-130.

[7] Key, J. D. ( 2001), Some Error-Correcting Code And Their Aplication,.

[8] Pasaribu, R., Mardiningsih., Suwilo, S. (2018). Hamming Index Of Thorn and Double Graphs, Buletin of Mathematics USU, no 01, pp 25-82

[9] Ramane, H. S., and Ganagi A. B.. (2013). Hamming index of a class of graphs, International Journal of Current Engineering and Technology, Special Edition 1, 205–208

[10] Ramane, H. S., Joshi, V. B., Jummannaver, R. B., Manjalapur, V. V., Patil, S. C., Shindhe, S. D., Hadimani, V. S., Kyalkonda, V. K., Baddi, B. C. (2015). Hamming index of a graph generated by an edge-vertex incidence matrix, Int. J.

Math. Sci. & Engg. Appls. 9, pp. 93 – 103.

[11] Ramane, H. S., Yalnaik Ashwini,.Gudodagi, G.A.(2016). Hamming index generated by the incidence matrix of some thorn graphs, International Journal of Mathematical Archiv-7(8), , 7-12