AS2103 Astronomi Posisi. Ferry M. Simatupang Program Studi Astronomi Institut Teknologi Bandung

AS2103 Astronomi Posisi

Ferry M. Simatupang

Program Studi Astronomi Institut Teknologi Bandung

Disclaimer

Slide kuliah ini untuk pemakaian internal di Prodi Astronomi ITB.

Tidak untuk disebar atau digunakan

di tempat lain.

Outline

Koreksi Posisi Benda Langit 1. Refraksi

2. Aberasi 3. Paralaks

4. Presesi & Nutasi

2. Aberasi

Aberasi

▪ Bergesernya posisi-tampak bintang akibat gerak Bumi.

▪ Bintang-bintang akan tampak tergeser sesuai arah

gerak Bumi

Aberasi (2)

▪ Andaikan kecepatan Bumi adalah v.

Selama selang waktu t, cahaya menempuh jarak ct sepanjang

teleskop, dan Bumi bergerak sejauh vt

▪  adalah sudut arah bintang relatif

terhadap gerak Bumi, dan ’ adalah

sudut arah tampak bintang

Aberasi (3)

Perbedaan sudut yang teramati dan yang sebenarnya:

∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃′

Dari segitiga di gambar:

sin ∆𝜃

𝑣𝑡 = sin 𝜃′

𝑐𝑡 sin ∆𝜃 = 𝑣

𝑐 sin 𝜃^′ = 𝑣

𝑐 sin 𝜃 − ∆𝜃 sin ∆𝜃 = 𝑣

𝑐 sin 𝜃 cos ∆𝜃 − cos 𝜃 sin ∆𝜃

Aberasi (4)

Jika kedua sisi bagi dengan cos ∆𝜃, diperoleh:

tan ∆𝜃 = 𝑣

𝑐 sin 𝜃 1 + 𝑣

𝑐 cos 𝜃

−1

Karena ∆𝜃 sangat kecil, maka tan ∆𝜃 = ∆𝜃, persamaan di atas dapat ditulis:

∆𝜃 = ^𝑣

𝑐 sin 𝜃 − ¹

2 𝑣 𝑐

2 sin 2𝜃 + ⋯ 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑠𝑡𝑖𝑘

Aberasi (5)

∆𝜃 = 𝑣

𝑐 sin 𝜃 = 𝜅 sin 𝜃

dengan  adalah konstanta aberasi tahunan, yang

dapat diukur tapi juga dapat diturunkan

Konstanta Aberasi Tahunan

κ = 𝑣

𝑐 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡 𝐵𝑢𝑚𝑖 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡 𝐵𝑢𝑚𝑖 × 𝑐

κ = 2𝜋 1.5 × 10¹³

31.56 × 10⁶ 3 × 10¹⁰ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

κ = 2𝜋 1.5 × 10¹³ × 206265

31.56 × 10⁶ 3 × 10¹⁰ 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 ′′

κ = 20^′′. 47

Konstanta Aberasi Diurnal

Rotasi Bumi juga mempengaruhi, dan:

κ

_𝑑

= 𝑣

𝑐 = 2𝜋𝑅

_𝐸

cos 𝜙 × 206265 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖s × 𝑐

κ

_𝑑

= 0

^′′

. 32 cos 𝜙

Dengan R

_E

= radius Bumi, dan  = lintang pengamat

Efek Aberasi

▪ Akibat aberasi tahunan, semua bintang dalam satu tahun tampak bergerak dalam elips kecil di langit, dengan setengah sumbu panjang elips , dan

setengah sumbu pendek elips  sin , dengan 

adalah lintang ekliptika benda langit.

▪ Jika kita anggap orbit Bumi adalah lingkaran, maka besar sudutnya merupakan sudut siku- siku terhadap jari-jari. Sehingga arah gerak bumi selalu

membentuk sudut 90 terhadap arah Matahari.

▪ F adalah "arah apex Bumi", di ekliptika, 90 di belakang

Matahari.

▪ _F = _S − 90

Gerak Revolusi Bumi

Aberasi Tahunan Pada  Dan 

Anggap orbit Bumi berupa lingkaran dengan kecepatan v konstan. Jika E adalah posisi Bumi setiap saat, arah gerak EF tegak lurus SE.

Misalkan E  atau S 1 adalah arah titik vernal equinox, maka:

▪ ES adalah bujur Matahari ().

▪ Bujur titik F adalah ( − 90). Titik F akan

terletak 90  di belakang posisi Matahari

pada ekliptika.

Aberasi Tahunan Pada  Dan  (2)

Dengan menganggap Bumi sebagai pusat bola langit, titik F akan menelusuri ekliptika secara lengkap tiap tahun.

 aberasi yang diperoleh akibat gerakan Bumi ini disebut Aberasi tahunan.

Pergeseran ini akan terulang setiap tahun.

▪ Misalkan F menunjukkan arah gerak Bumi dan F =  − 90. Misalkan X adalah posisi benar sebuah

bintang, maka pergeseran aberasi akan terjadi pada bidang XEF.

Bintang akan bergeser sepanjang lingkaran besar XF dan diamati berada di X’.

▪ Bila XF =  dan X’F = ₁, maka menurut persamaan:

 =  −  =  sin  (5)

Aberasi Tahunan Pada  Dan  (3)

▪ Misalkan K adalah kutub ekliptika, buat lingkaran

besar KX, KX’ dan lingkaran kecil XY berkutub K.

▪ Jika (,) dan (

₁

,

₁

) masing- masing adalah koordinat

ekliptika X dan X’, maka:



₁

−  = XKY dan 

₁

−  = X’Y

Aberasi Tahunan Pada  Dan  (4)

Karena XY = XKY sin KX, maka: XY = (₁−) cos .

Jika

 = ₁ − , dan  = ₁ − , maka:

XY =  cos  dan X’Y = - (6) Dalam segitiga kecil XX’Y, sudut YXX’ = , maka:

XY = XX’ cos  dan X’Y = XX’ sin .

Dari persamaan (5) dan (6), diperoleh:

 =  sin  cos  sec  (7)

 = - sin  sin  (8)

Tinjau segitiga bola KXF:

KX = 90 −  KF = 90

XF = 

KXF = 90 + 

dan XKF = ( − 90) − .

Mengingat formula sinus:

sin XF sin KXF = sin KF sin XKF

Sehingga diperoleh:

sin  cos  = -cos(−) (9)

Dengan menggunakan formula analog (Formula C):

sin 𝑋𝐹 cos 𝐾𝑋𝐹 = cos 𝐾𝐹 sin 𝐾𝑋 − sin 𝐾𝐹 cos 𝐾𝑋 cos 𝑋𝐾𝐹 diperoleh:

sin 𝜃 sin 𝜑 = sin 𝛽 sin ⊙ −𝜆 (10)

Dari (6) sampai (10):

 = - sec  cos(-) (11)

 = - sin  sin(-) (12)

Misalkan X adalah posisi benar bintang dengan koordinat ekuatorial (,); dan X’ adalah posisi teramati bintang dengan koordinat ekuatorial (’,’) Buat lingkaran kecil XY yang sejajar ekuator. Maka:

XPY = ’ –  dan XY = XPY sin PX.

Misalkan  = ’ – , dan  = ’ – , maka:

 = XY sec 

 = -X’Y Tetapi:

XY = XX’ cos YXX’

X’Y = XX’ sin YXX’

dengan persamaan aberasi (persamaan 4), diperoleh:

Aberasi Tahunan Pada RA Dan Dec

 =  sin  sec  cos YXX’ (13)

 = - sin  sin YXX’ (14)

Misalkan A, D menyatakan RA dan Dec F (arah gerak Bumi pada ekliptika). Dari segitiga bola PXF:

𝑃𝑋 = 90° − 𝛿, 𝑃𝐹 = 90° − 𝐷, 𝑋𝑃𝐹 = 𝐴 − 𝛼, 𝑋𝐹 = 𝜃 dan 𝑃𝑋𝐹 = 90° + 𝑌𝑋𝑋

^′

.

Coba gunakan: formula sinus dan formula analog, dan temukan

hubungan ’ dengan  dan ’ dengan 

Aberasi Tahunan Pada RA Dan Dec

• Posisi sebenarnya

Aberasi Tahunan Pada RA Dan Dec

• Posisi sebenarnya

Definisi Konstanta Aberasi Yang Tepat

▪ Konstanta Aberasi didefinisikan sebagai perbandingan

kecepatan gerak melingkar planet (dengan mengabaikan massanya) dengan kecepatan cahaya

▪ Jika kita anggap orbit Bumi adalah lingkaran dan jarak Bumi dari Matahari adalah a = 149 600 × 10

⁶

m, jumlah detik

dalam tahun sideris adalah T = 31 556 925.974 7 s , dan kecepatan cahaya adalah c = 299 792.5 × 10

³

ms

^-1

, maka:

𝜅 = 206265 𝑣

𝑐 = 206265 2𝜋𝑎

𝑐𝑇 = 20.

^′′

492

Definisi Konstanta Aberasi Yang Tepat (2)

▪ Pada kenyataannya, eksentrisitas orbit Bumi adalah e = 0.016 74, sehingga

𝜅 = 206265 𝑣

𝑐 = 206265 2𝜋𝑎

𝑐𝑇 1 − 𝑒^{2 1 2Τ} = 20.^′′ 4966

▪ Dengan demikian paralaks horisontal Matahari 𝑃 = 206265 𝑅_⊕

Sehingga 𝑎

𝜅𝑃 = 2𝜋𝑅_⊕ 206265 ² 𝑐𝑇 1 − 𝑒^{2 1 2Τ}

Aberasi Diurnal

▪ Selain gerak pengamat mengelilingi Matahari, juga ada gerak harian akibat rotasi bumi. Misalkan  adalah jari-jari Bumi, dan  adalah lintang pengamat. Lingkaran lintang sama yang melalui

pengamat mempunyai jari-jari sebesar  cos . Satu hari sideris = 86 164 detik, maka kecepatan rotasi Bumi: ^{2𝜋𝜌 cos 𝜙}

86164 km/s.

▪ Bila jari-jari Bumi 6 378 km, maka kecepatan rotasi Bumi = 0.464 cos  km/s.

▪ Jika didefinisikan tetapan aberasi diurnal:

κ_𝑑 = 0.464

𝑐 cos 𝜙 cosec 1" = 0". 32 cos ϕ

Jika X dan X’ adalah posisi benar dan posisi yang diamati dari sebuah bintang. Dengan persamaan (4):

XX’ =  sin  Buat lingkaran deklinasi sama, XY

Karena sudut jam diukur ke barat dari meridian pengamat, maka sudut jam X’ < X, karena gerak Bumi tegak lurus

meridian pengamat dan berarah ke timur. Jika H dan H’

adalah sudut jam X dan X’, maka H – H’ = XPY.

Misalkan H = H – H’ dan  = ’ –  , maka:

XY = XPY sin PX = -H cos  dengan  adalah deklinasi benar.

Juga 𝑋^′𝑌 = −Δ𝛿

Tetapi 𝑋𝑌 = 𝑋𝑋^′cos 𝑌𝑋𝑋’ dan 𝑋′𝑌 = 𝑋𝑋′ sin 𝑌𝑋𝑋′

Sehingga:

−Δ𝐻 cos 𝛿 = 𝜅 sin 𝜃 cos 𝑌𝑋𝑋′

(31)

−𝛿 = 𝜅 sin 𝜃 sin 𝑌𝑋𝑋′

Tinjau segitiga bola 𝑃𝑋𝐸: 𝑃𝑋 = 90° − 𝛿, 𝑃𝐸 = 90°.

𝑋𝐸 = 𝐻, 𝑃𝑋𝐸 = 90° + 𝑌𝑋𝑋′ , 𝑋𝑃𝐸 = 𝐻 − 270°.

Dengan formula sinus dan analog, diperoleh:

sin 𝑋𝐸 sin 𝑃𝑋𝐸 = sin 𝑋𝑃𝐸 sin 𝑃𝐸

sin 𝑋𝐸 cos 𝑃𝑋𝐸 = cos 𝑃𝐸 sin 𝑃𝑋 − sin 𝑃𝐸 cos 𝑃𝑋 cos 𝑋𝑃𝐸 Atau

sin 𝜃 cos 𝑌𝑋𝑋^′ = cos 𝐻

sin 𝜃 sin 𝑌𝑋𝑋^′ = − sin 𝛿 sin 𝐻

Bila kita gunakan persamaan (31) dan nilai  = 0”.32 cos , maka diperoleh:

Δ𝐻 = 𝐻

^′

− 𝐻 = −0". 32 cos 𝜙 cos 𝐻 sec 𝛿 (32) Δ𝛿 = 𝛿

^′

− 𝛿 = 0". 32 cos 𝜙 sin 𝐻 sin 𝛿 (33)

Persamaan (32) dan (33) memberikan efek aberasi diurnal pada sudut jam dan deklinasi bintang.

Bila bintang berada di meridian, dari persamaan (33),

tampak bahwa efek pada deklinasi adalah 0 karena H = 0.

Aberasi Planet

▪ Misalkan t adalah saat pengamatan Matahari, Bulan, planet atau komet. Karena cahaya memiliki kelajuan yang berhingga misalkan saat pengamatan terjadi sesudah  detik sinar meninggalkan benda yang diamati, maka posisi yang diperoleh berdasar atas anggapan Bumi diam. Tapi posisi ini sebetulnya bukan posisi saat t, tetapi saat (t – ). Jika jarak planet diketahui,  bisa dihitung, sehingga posisi benar saat (t – ) bisa diperoleh.

▪ Jika RA dan Dec ingin dihitung, kita harus menambah sebesar 

dan  pada RA dan Dec pada saat (t – ).

▪  dan  adalah kecepatan perubahan  dan  per satuan waktu.

Terima Kasih