BAB 3 DINAMIKA STRUKTUR

BAB 3 

DINAMIKA STRUKTUR 

 

Gerakan dari struktur terapung akan dipengaruhi oleh keadaan sekitarnya, dimana terdapat  gaya  –gaya  luar  yang  bekerja  pada  struktur  dan  akan  menimbulkan  gerakan  pada  struktur.  Untuk  menganalisa gerakan‐gerakan tersebut diperlukan suatu formulasi yang diturunkan dari persamaan  gerak dinamik. Dengan adanya pengaruh dari gaya luar dan redaman yang nonlinier maka persamaan  gerak  dari  struktur  terapoung  menjadi  non  linier.  Oleh  karena  itu  solusi  numerik  menjadi  solusi  utama dalam menyelesaikan persamaan gerak dinamik. 

Dalam  dinamika  struktur  sistem  koordinat  diperlukan  untuk  menentukan  posisi  dari  suatu  sistem yang bergerak setiap waktu yang mengacu pada jumlah derajat kebebasan.  Gerakan struktur  terapung dapat dinyatakann dalam 6 arah atau (6 derajat kebebasan) yakni 3 gerak translasi: surge,  sway, heave dan 3 gerak rotasi: roll, pitch, yaw. Berikut ini adalah gambaran dari 6 derajat kebebasan  tersebut: 

 

Gambar 3. 1 Silinder dengan enam derajat kebebasan. (sumber: Jordan,2007) 

 

3.1 RESPON DINAMIK STRUKTUR 

Pada  umumnya  struktur yang tidak  sederhana  memiliki jumlah  derajat kebebasan yang  tak  tehingga.  Namun  dalam  proses  penyederhanaan  dan  pemodelannya  secara  matematis  dapat  dilakukan  pengurangan  jumlah  derajat  kebebasan  yaitu  dengan  cara  membagi  struktur  tersebut  kedalam  beberapa  bagian.  Untuk  kasus  tertentu  struktur  dapat  dimodelkan  dalam  satu  derajat  kebebasan. 

CG

Sebagai contoh pada gambar 3.2 ditunjukan suatu mosel matematis dari struktur yang akan  dianalisis  secara  dinamik  dalam  sistem  satu  derajat  kebebasan.    Pada  gambar  tersebut  terdapat  elemen massa (m) yang meggambarkan karakteristik massa dan inersia dari struktur, elemen pegas  (k)  yang  menggambarkan  kekakuan  dari  struktur,  elemen  redaman  (c)  yang  menggambarkan  karakteristik gesekan dan “energy losses” dari struktur, gaya luar (F(t)) yang menggambarkan gaya‐

gaya yang bekerja pada pada struktur. 

   

 

 

Gambar 3. 2 Model matematis untuk sistem satu derajat kebebasan. 

Sistem diatas dapat digambarkan dalam bentuk “free body diagram” yang telah mengalami  perpindahan sejauh y menjadi: 

      

Gambar 3. 3 Free body diagram. 

 

Jika  gaya  luar  yang  bekerja  pada  struktur  sama  dengan  nol  (F(t)  =  0)  maka  berdasarkan  hukum  Newton  ke  dua  persamaan  gerak  dari  “free  body  diagram”  diatas  dapat  ditulis  menjadi  persamaan matematis sebagai berikut: 

 

(3.1) 

Persamaan  3.1  merupakan  persamaan  diferesial  linier  homogen  orde  dua,  persamaan  ini  dapat  diselesaikan  dengan  memisalkan  ,  dengan  mensubsitusikan  persamaan      ke  persamaan 3.1 maka didapatkan persamaan berikut: 

 

(3.2)  Dengan mengeliminasi   maka persamaan 3.2 menjadi: 

 

(3.3) 

c m k 

F(t)  y

m ky 

F(t)  y

Dari persamaan 3.3 didapatkan akar dari persamaan tersebut: 

 

(3.4)  Sehingga didapatkan solusi dari persamaan 3.1 menjadi: 

 

      (3.5) 

Konstanta    didapatkan  dari  kondisi  awal  (initial  condition)  permasalahan  bagaimana  gerakan awal dimulai. 

Pada  persamaan  3.4  jika  suku  di  dalam  akar  sama  dengan  nol,  hanya  terdapat  satu  solusi  untuk  p.  Kondisi  ini  disebut  critical  damping  dan  koefisien  dampingnya  disebut  dengan  koefisien  critical damping, .  

 

       (3.6) 

   

 

      (3.7) 

Frekuensi  natural  untuk  sistem  tanpa  redaman  dinyatakan  dalam  rumusan  matematis  berikut: 

 

(3.8) 

Perbandingan anatara  koefisien damping dengan koefisien  critical  damping disebut dengan  faktor redaman( ) yang dinyatakan dengan rumusan berikut:  

 

      (3.9) 

Berdasarkan  faktor  redaman,  besar  redaman  suatu  sistim  dapat  dinyatakan  dalam  tiga  kondisi yaitu : 

, overdamping 

Koefisien  redaman  sangat  besar  sehingga  sistim  butuh  waktu  yang  lama  untuk  mencapai  posisi  setimbangnya karena tertahan dengan redaman yang besar seperti Tabel 3.1. 

, critical damping 

Pada  kondisi  ini,  sistim  paling  cepat  mencapai  posisi  setimbang  tanpa  adanya  osilasi  atau  dengan  kata lain mengalami decay seperti Tabel 3.1. 

, underdamping 

Untuk  kondisi  ini,  koefisien  redaman  kecil  sehingga  sistim  mengalami  osilasi  yang  lama  sehingga  pencapaian kesetimbangan butuh waktu yang lama seperti Tabel 3.1. 

Tabel 3. 1 Beberapa kondisi redaman pada struktur (sumber : R. Pratap & A. Ruina, 2001). 

Over-damping Critical damping Under-damping

Pada sistem  “under damping” dimana koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman  kritis  (c  <  c_cr),  pada  persamaan  3.4  suku  di  dalam  akar  akan  bernilai  negatif.  Maka  untuk  menyelesaikan permasalahan ini persamaan 3.4 diubah kedalam bentuk kompleks. Dimana    sehingga persamaan 3.4 dapat ditulis menjadi: 

 

(3.10)    Untuk  menyederhanakan  rumusan  diatas  maka  digunakan  persamaan  Euler’s  yang  berhubungan  dengan  fungsi  trigonometri  dengan  fungsi  eksponensial.  Berikut  ini  adalah  rumusan  Euler’s tersebut: 

 

 

(3.11)  Dengan mensubsitusikan persamaan 3.10, 3.11 ke persamaan 3.5 akan menghasilkan solusi  umum untuk sistem  “under damping” sebagai berikut: 

 

(3.12)  Dimana  A  dan  B  adalah  konstanta  integrasi  dan    adalah  frekuensi  redaman  yang  dinyatakan dalam rumusan matematis: 

 

(3.13)  Atau 

 

(3.14)  Dengan  memasukan  kondisi  awal  dan  kecepatan  awal  (yo  dan  v0)  maka  konstanta  integrasi  dapat ditentukan sehingga persamaan 3.12 akan menjadi: 

 

(3.15)  Persamaan  3.15  merupakan  solusi  untuk  persamaan  diferensial  linier  homogen  orde  dua  (persamaan  3.1)  yang  disebut  dengan  respon  transient,  dimana  respon  ini  muncul  berdasarkan  frekuensi natural struktur dan seiring nilai t yang semakin besar maka respon tersebut semakin kecil. 

Jika  struktur  struktur  dikenai  gaya  luar  yang  harmonik  (F(t)  =  )  maka  berdasarkan  hukum  Newton  ke  dua  persamaan  gerak  dari  “free  body  diagram”  diatas  dapat  ditulis  menjadi  persamaan matematis sebagai berikut: 

 

(3.16)  Persamaan  3.16  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  yang  lebih  sederhana  dengan  cara  mensubsitusikan  persamaan  3.16  dengan  persamaan  Euler’s  (persamaan  3.11)  maka  akan  didapatkan persamaan: 

 

(3.17)   

Persamaan (3.17) merupakan persamaan differensial biasa orde dua dimana solusinya terdiri  dari  solusi  homogen  dan  solusi  khusus.  Solusi  homogen  telah  disajikan  pada  persamaan  3.15. 

Sedangkan  untuk  mendapatkan  solusi  khusus  dari  persamaan  (3.17),  yang  disebut  juga  sebagai  respon steady‐state, maka dimisalkan solusi khusus tersebut dalam bentuk matematis berikut: 

 

(3.18) Dengan  mensubsitusikan  persamaan  3.17  dengan  persamaan  3.18  maka  didapatkan  persamaan: 

 

(3.19) Atau 

 

(3.20) Sehingga didapatkan y_p 

 

(3.21)  Persamaan  3.21  dapat  dinyatakan  dalam  koordinat  polar  sehingga  persamaan  tersebut  menjadi: 

 

(3.22)  Atau 

 

(3.23) 

      Dimana 

 

(3.24)  Dengan memisalkan 

 

(3.25)  Maka persamaan 3.23 menjadi 

 

(3.26)  Dimana 

 

(3.27)  Perbandingan  antara  amplitudo  steady  state  (yp)  dengan  defleksi  statik  (yst)  dinamakan  dynamic amplification factor (D) dinyatakan dalam persamaan berikut: 

 

(3.28)  3.2 RESPON AMPLITUDE OPERATOR (RAO) 

Pengaruh  dari  gaya  luar  terhadap  suatu  struktur  terapung  dapat  menyebabkan  struktur  tersebut bergerak. Gerakan dari struktur terapung ini merupakan respon dari struktur akibat adanya  gaya  luar.  Respon  dari  suatu  struktur  terapung  tergantung  kepada  karakteristik  struktur  tersebut. 

Untuk mengetahui respon dari struktur akibat gaya luar maka perlu dilakukan perhitungan mengenai  RAO.  

Dalam  laporan  ini  RAO  yang  dimaksud  adalah  RAO  menggambarkan  frekuensi  respon  struktur  terapung  (kapal)  terhadap  suatu  gelombang  sinusoidal.  RAO  dapat  berupa  RAO  gaya  atau  RAO  simpangan.  RAO  dapat  didefinisikan  sebagai  amplitudo  respon  struktur  per  satuan  amplitudo  gelombang.  RAO  disebut  juga  dengan  fungsi  transfer,  karena  dengan  RAO,  gelombang  (gaya  luar)  dapat ditransfer menjadi fungsi respon struktur.   

Pada  sebuah  sistim  linear,  fungsi  respon  pada  suatu  frekuensi  gelombang  dapat  dituliskan  dalam bentuk persamaan berikut: 

 

      (3.29) 

Dimana 

^η ( )

^t   elevasi  muka  gelombang  sebagai  fungsi  waktu.  Dalam  konteks  spektrum,  untuk suatu sistim yang linear, fungsi RAO dikuadratkan dan dikalikan dengan spektrum gelombang  untuk  memperoleh  spektrum  respon.  Persamaan  untuk  menentukan  spektrum  respon  tersebut  dinyatakan dalam persamaan:  

 

      (3.30) 

Pada persamaan 3.30 S_RR merupakan spektrum respon dari struktur yang merupakan fungsi  dari frekuensi, sedangkan  merupakan spektrum gelombang yang merupakan fungsi dari frekuensi. 

3.3 PERSAMAAN GERAK STRUKTUR TERAPUNG 

Gerakan  dari  struktur  terapung  digambarkan  dalam  6  derajat  kebebasan,  berikut  ini  akan  diberikan gambarannya: 

X₃

X₆ X2

X5

X₁

X₄

 

Gambar 3. 4 Enam derajat kebebasan dari struktur terapung. 

Dimana 

      : surge       : roll 

     : sway        : pitch 

      : heave       : yaw 

Berdasarkan pada hukum Newton II persamaan gerak dari struktur terapung dalam 6 derajat  kebebasan dinyatakan sebagai berikut: 

 

      (3.31) 

Dimana: 

  F  : resultan gaya yang bekerja pada struktur    M  : massa struktur 

  a  : percepatan dari struktur 

Persamaan 3.31 dapat ditulis dalam bentuk lain dimana percepatan (a) merupakan turunan  kedua dari posisi: 

 

      (3.32) 

  Dalam  konteks  laporan  ini  resultan  dari  gaya‐gaya  yang  bekerja  pada  struktur  terdiri  dari  gaya  apung  (buoyancy)  dan  gaya  luar.  Gaya  luar  terdiri  gaya  eksitasi  dan  gaya  radiasi.  Dimana  persamaan matematisnya dapat ditulis sebagai berikut: 

       

      (3.33) 

Dimana  

    : Gaya eksitasi 

    : Gaya radiasi 

    : Gaya hidrostatik 

  Rumusan  dari  masing‐masing  gaya  tersebut  telah  dijabarkan  pada  bab  sebelumnya  yakni  pada persamaan 2.38 dan 2.39, sedangkan gay hidrostatik berpengaruh pada koefisien kekakuan dari  struktur. Maka persamaan 3.33 dapat ditulis kembali menjadi: 

 

       

      (3.34) 

Dengan  menjabarkan  gaya  radiasi  yang  terdiri  dari  koefisien  massa  tambah  dan  koefisien  redaman maka persamaan 3.34 dapat ditulis menjadi: 

 

      Untuk j = 1,2,3, … ,6      (2.41) 

Dimana  

     : matriks masa dan inersia dari struktur      : massa tambah (added mass) 

    : koefisien redaman       : kekakuan struktur 

    : total dari gaya luar yang bekerja pada struktur 

Gaya  luar  yang  bekerja  pada  struktur  terdiri  dari  gaya  akibat  gelombang  datang  dan  gaya  akibat  difraksi  gelombang.  Dengan  memisalkan    dan  disubsitusikan  ke  persamaan  2.41  maka persamaannya menjadi: 

 

Untuk j = 1,2,3, … ,6      (2.42)  Dimana 

     : matriks masa dan inersia dari struktur      : massa tambah (added mass) 

    : koefisien redaman       : kekakuan struktur 

    : total dari gaya luar yang bekerja pada struktur 

Dengan  mengasumsikan  struktur  terapung  (kapal)  memiliki  bentuk  yang  simetri  secara  lateral dan memiliki koordinat pusat gravitasi pada (0,0,zg) maka matriks massanya menjadi: 

=

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

g g

jk

g 4 46

g 5

46 6

M 0 0 0 Mz 0

0 M 0 Mz 0 0

0 0 M 0 0 0

M 0 Mz 0 I 0 I

Mz 0 0 0 I 0

0 0 0 I 0 I

       (2.43) 

Dimana 

  M  : massa struktur    Ij  : momen inersia arah j    Ijk  : momen inersia 

Sedangkan matriks masa tambah, koefisien redaman dan matriks kekakuan adalah sebagai berikut: 

11 13 15

22 24 26

31 33 35

jk

42 44 46

51 53 55

62 64 66

A 0 A 0 A 0

0 A 0 A 0 A

A 0 A 0 A 0

A 0 A 0 A 0 A

A 0 A 0 A 0

0 A 0 A 0 A

=

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

      (2.44) 

11 13 15

22 24 26

31 33 35

jk

42 44 46

51 53 55

62 64 66

B 0 B 0 B 0

0 B 0 B 0 B

B 0 B 0 B 0

B 0 B 0 B 0 B

B 0 B 0 B 0

0 B 0 B 0 B

=

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

      (2.45) 

33 35

jk

44

53 55

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 C 0 C 0

C 0 0 0 C 0 0

0 0 C 0 C 0

0 0 0 0 0 0

=

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

      (2.46) 

   

 

   

 

Contents 

BAB 3 ... 1 

DINAMIKA STRUKTUR ... 1 

3.1  RESPON DINAMIK STRUKTUR... 1 

3.2  RESPON AMPLITUDE OPERATOR (RAO) ... 7 

3.3  PERSAMAAN GERAK STRUKTUR TERAPUNG ... 8 

  Gambar 3. 1 Silinder dengan enam derajat kebebasan. (sumber: Jordan,2007)... 1 

Gambar 3. 2 Model matematis untuk sistem satu derajat kebebasan. ... 2 

Gambar 3. 3 Free body diagram... 2 

Gambar 3. 4 Enam derajat kebebasan dari struktur terapung. ... 8 

  Tabel 3. 1 Beberapa kondisi redaman pada struktur (sumber : R. Pratap & A. Ruina, 2001)... 4