1. Rumus descrates umum pada cermin Cara 1.
𝑏 = 𝑎 + 𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑏 + 𝑖 Maka diperoleh
𝑎 + 𝑐 = 2𝑖
Dengan menganggap sudut b, c, dan i sangat kecil (yaitu sinar-sinarnya paraksial dan karen jarak OB sangat kecil dibandingkan jarak OQ, QC, dan OP maka dapat dituliskan pendekatan yang baik...
𝑎 ≈ tan 𝑎 = 𝐴𝐵 𝐵𝑃 ≈ℎ
𝑝 𝑐 ≈ tan 𝑐 = 𝐴𝐵
𝐵𝑄≈ ℎ 𝑞 𝑖 ≈ tan 𝑖 = 𝐴𝐵
𝐵𝐶≈ ℎ 𝑟 Maka
𝑎 + 𝑐 = 2𝑖 ℎ
𝑝+ℎ 𝑞= 2ℎ
𝑟 Diperoleh Rumus descrates umum
1 𝑝+1
𝑞=2 𝑟
Cara 2. Pada cermin cekung
𝑀 = ℎ′
ℎ = 𝑞 𝑝 Diketahui juga
tan 𝛼 = ℎ
𝑝 − 𝑅 𝑑𝑎𝑛 tan 𝛼 = ℎ′
𝑅 − 𝑞 Maka
ℎ
𝑝 − 𝑅 = ℎ′
𝑅 − 𝑞 𝑅 − 𝑞
𝑝 − 𝑅 =ℎ′
ℎ 𝑅 − 𝑞 𝑝 − 𝑅 =𝑞
𝑝 𝑝𝑅 − 𝑞𝑝 = 𝑞𝑝 − 𝑅𝑞 𝑝𝑅 + 𝑅𝑞 = 𝑞𝑝 + 𝑞𝑝
𝑅 𝑝 + 𝑞 = 2𝑞𝑝 𝑝 + 𝑞
𝑞𝑝 = 2 𝑅 Maka diperoleh rumus descrates umum
1 𝑞+1
𝑝= 2 𝑅
Cara 3. Pada cermin cembung
𝑀 = ℎ′
ℎ = 𝑞 𝑝 Diketahui juga
tan 𝛼 = ℎ
𝑝 + 𝑅 𝑑𝑎𝑛 tan 𝛼 = ℎ′
𝑅 − 𝑞 Maka
ℎ
𝑝 + 𝑅 = ℎ′
𝑅 − 𝑞 𝑅 − 𝑞
𝑝 + 𝑅 =ℎ′
ℎ 𝑅 − 𝑞 𝑝 + 𝑅 =𝑞
𝑝 𝑝𝑅 − 𝑞𝑝 = 𝑞𝑝 + 𝑅𝑞 𝑝𝑅 − 𝑅𝑞 = 𝑞𝑝 + 𝑞𝑝
𝑅 𝑝 − 𝑞 = 2𝑞𝑝 𝑝 − 𝑞
𝑞𝑝 = 2 𝑅
Maka diperoleh rumus descrates umum untuk cermin cembung 1
𝑞−1 𝑝= 2
𝑅 1
𝑝−1
𝑞 = −2 𝑅
Hal ini menun jukka bahwa cermin cembung adalah cermin yang jari-jarinya (R) negatif = - R. Dan jika benda berada di daerah nyata (didepan cermin) maka bayanganya merupakan banyangan maya di belakang cermin.
Perjanjian tanda untuk rumus descrates umum 1
𝑞+1 𝑝= 2
𝑅
Cermin cekung Cermin cembung
Jari jari + -
Fokus + -
Benda/bayangan yang berada di depan cermin = nyata = + Benda/bayangan yang berada di belakang cermin = maya = -
Prinsip jumlah 5
Cermin cekung Cermin cembung
1. Jika benda diletakan pada ruang 3, maka bayangan akan terbentuk pada ruang 2 2. Jika benda diletakan pada ruang 2, maka bayangan akan terbentuk pada ruang 3 3. Jika benda diletakan pada ruang 1, maka bayangan akan terbentuk pada ruang 4
Dari data tersebut, nampak bahwa jumlah ruang benda dan ruang bayangan sama dengan 5.
Hal ini sesuai dengan Dalil Esbach:
(1) Jumlah nomor ruang benda dengan nomor ruang bayangan sama dengan 5 (2) Untuk setiap benda nyata dan tegak, maka:
- semua bayangan yang terletak di depan cermin adalah nyata dan terbalik - semua bayangan yang terletak di belakang cermin adalah maya dan tegak
(3) Bila nomor ruang bayangan lebih besar daripada nomor ruang benda, maka bayangan diperbesar
Bila nomor ruang bayangan lebih kecil daripada nomor ruang benda, maka bayangan diperkceil
2. Rumus descrates umum pada cermin datar
Pada cermin datar berlaku 𝑅 = ∞ maka nilai p akan sama dengan -q . Jarak benda sama dengan jarak bayangan.
1 𝑞+1
𝑝= 2 𝑅 1
𝑞+1 𝑝 = 2
∞ 1
𝑝 = −1 𝑞 𝑝 = −𝑞
Ini berarti bahwa jarak benda sama dengan jarak bayangan tapi bersifat maya (dibelakang cermin).
Agar seseorang dapat melihat seluruh tubuhnya maka cermin yang digunakan haruslah separuh dari tingginya. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut :
Pada gambar agar wanita dapat melihat ujung kakinya maka dia membutuhkan separuh jarak antara mata ke ujungkakinya. Sama dengan itu pada saat dia ingin melihat ujung kepalanya maka dia membutuhkan separuh jarak antara mata ke kepalanya. Jiak semuanya dijumlahkan maka akan diperoleh bahwa panjang cermin yang dibutuhkan adalah separuh tinggi tubuhnya.
Perhatikan gambar diatas. Sudut datang = i sama dengan sudut pantul = r.
Maka akan berlaku :
tan 𝑖 = tan 𝑟 𝐴𝐶
𝐵𝐶 =𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷
Hal ini menunjukkan bahwa jarak antara AC ke CD adalah sama sehingga jarak CD adalah Separuh jarak AD. Hal ini berlaku juga dari mata ke kepala.
4. Jumlah bayangan pada dua cermin yang digabung menjadi 1 dengan sudut tertentu.
Dua buah cermin yang digabung menjadi satu padasudut tertentu akan menghasilkan bayangan tidak hanya 1. Pada gamabr dibawah ini ditunjukkan pencerminan pada dua buah cermin yang digabung dengan sudut 90o. bayangan yang terbentuk ada 3.
Bila kita tuliskan akan mengikuti persamaan 𝑛 =360
𝜃 − 1 Dimana
N = jumlah bayangan 𝜃 = sudut antara dua cermin
Pembentukan bayangan pada cermin gabungan dengan sudut 90 dan 60 derajat dapat dilihat pada gamabar dibawah ini.
dengan
5. Melukis bayangan pada cermin cekung dan cembung Cermin Cekung
Sinar istimewa pada cermin cekung:
1. Sinar datang sejajar sumbu utama dipantulkan melalui titik fokus.
2. Sinar datang melalui titik fokus dipantulkan sejajar sumbu utama.
3. Sinar datang melalui titik pusat kelengkungan dipantulkan kembali melalui titik pusat kelengkungan
Cermin cembung
Sinar istimewa pada cermin cembung:
1. Sinar datang sejajar sumbu utama akan dipantulkan seolah-olah berasal dari titik fokus.
2. Sinar datang menuju titik fokus dipantulkan sejajar sumbu utama.
3. Sinar datang menuji titik pusat kelengkungan dipantulkan kembali seolah-olah berasal dari titik pusat kelengkungan.
Perbesaran pada cermin cekung atau cembung
𝑀 = 𝑞 𝑝 =ℎ′
ℎ
6. Pembiasan pada permukaan spheris cembung
VB kecil sekali sehingga titik B dianggap berimpit dengan V. Maka
∆𝑃𝐶𝐴 ; 𝑖 = 𝑐 + 𝑎
∆𝑃′𝐶𝐴 ; 𝑐 = 𝑏 + 𝑟 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 = 𝑐 − 𝑏 Untuk sudut-sudut yang kecil berlaku :
𝑖 = tan 𝑖 = sin 𝑖 𝑐 = tan 𝑐 = sin 𝑐 𝑟 = tan 𝑟 = sin 𝑟 Jadi
tan 𝑖 = tan 𝑐 + tan 𝑎 tan 𝑟 = tan 𝑐 − tan 𝑏
Dari Hukum Snellius diperoleh 𝑛 sin 𝑖 = 𝑛′sin 𝑟 maka dapat diperoleh pendekatan 𝑛 sin 𝑖 = 𝑛′sin 𝑟
𝑛 tan 𝑖 = 𝑛′ tan 𝑟
𝑛 tan 𝑐 + tan 𝑎 = 𝑛′ tan 𝑐 − tan 𝑏 𝑛 ℎ
𝑅+ℎ
𝑝 = 𝑛′ ℎ 𝑅−ℎ
𝑞 𝑛
𝑅+𝑛 𝑝= 𝑛′
𝑅 −𝑛′
𝑞 𝑛′
𝑞 +𝑛 𝑝= 𝑛′
𝑅 −𝑛 𝑅
𝑛 𝑝+𝑛′
𝑞 =𝑛′ − 𝑛 𝑅 7. Pembiasan pada permukaan Spheris Cekung
VB kecil sekali sehingga titik B dianggap berimpit dengan V. Maka
∆𝑃𝐶𝐴 ; 𝑐 = 𝑎 + 𝑖, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑖 = 𝑐 − 𝑎
∆𝑃′𝐶𝐴 ; 𝑐 = 𝑏 + 𝑟 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 = 𝑐 − 𝑏 Untuk sudut-sudut yang kecil berlaku :
𝑖 = tan 𝑖 = sin 𝑖 𝑐 = tan 𝑐 = sin 𝑐 𝑟 = tan 𝑟 = sin 𝑟 Jadi
tan 𝑖 = tan 𝑐 − tan 𝑎 tan 𝑟 = tan 𝑐 − tan 𝑏
Dari Hukum Snellius diperoleh 𝑛 sin 𝑖 = 𝑛′sin 𝑟 maka dapat diperoleh pendekatan 𝑛 sin 𝑖 = 𝑛′sin 𝑟
𝑛 tan 𝑖 = 𝑛′ tan 𝑟
𝑛 tan 𝑐 − tan 𝑎 = 𝑛′ tan 𝑐 − tan 𝑏 𝑛 ℎ
𝑅−ℎ
𝑝 = 𝑛′ ℎ 𝑅−ℎ
𝑞 𝑛
𝑅−𝑛 𝑝= 𝑛′
𝑅 −𝑛′
𝑞 𝑛′
𝑞 −𝑛 𝑝= 𝑛′
𝑅 −𝑛 𝑅
𝑛 𝑝−𝑛′
𝑞 =𝑛′ − 𝑛
−𝑅
Bayangan maya (-q) dan jari-jari bernilai negatif (–R). Maka 𝑛
𝑝+𝑛′
𝑞 =𝑛′ − 𝑛 𝑅 8. Titik fokus
Setiap permukaan bias mempunyai dua macam titik api (titik fokus).
1. Titik api benda
Titik api benda diperoleh jika bayangan berada di tak hingga (q = ∞) maka benda akan berada pada titik api benda ( p = f1 )
𝑛 𝑝+𝑛′
∞ =𝑛′ − 𝑛 𝑅 𝑛
𝑓1 = 𝑛′ − 𝑛 𝑅 𝑓1 = 𝑛𝑅
𝑛′− 𝑛 2. Titik api bayangan
Titik api bayangan diperoleh jika benda berada di tak hingga (p = ∞) maka benda akan berada pada titik api bayangan ( q = f2 )
𝑛
∞+𝑛′
𝑞 = 𝑛′ − 𝑛 𝑅 𝑛′
𝑓2 = 𝑛′ − 𝑛 𝑅 𝑓2 = 𝑛′𝑅
𝑛′− 𝑛 Perjanjian tanda
1. semua digambar dengan cahaya yang berjalan dari kiri ke kanan.
2. jarak benda positif jika berada di kiri verteks dan jarak benda negatif jika di sebelah kanan verteks.
3. jarak bayangan positif jika berada di kanan verteks dan jarak bayangan negatif bila berada di kiri verteks.
4. bila jarak fokus semua positif maka disebut sebagai sistem konvergen dan jika jarak fokus semua negatif disebut sebagai sistem divergen
5. semua permukaan konveks/cembung dilihat dari kiri mempunyai jari-jari positif, dan semua permukaan konkaf/cekung dari kiri mempunyai jari-jari negatif.
Contoh 1
Sebuah permukaan cekung dengan jari-jari 4 cm memisahkan dua medium yang mempunyai indeks bias n = 1 dan n’ = 1,5. Sebuah benda diletakkan pada jarak 10 cm dari verteks.
Hitunglah a. jarak fokus benda, b. jarak fokus bayangan, c. jarak bayangan Jawab :
Diketahui :
R= - 4 cm, p = 10 cm, n = 1 dan n’ = 1,5 a. jarak fokus benda
𝑓1 = 1 . −4
1,5′− 1= −8 𝑐𝑚 b. jarak fokus bayangan
𝑓2 = 1,5 . −4
1,5 − 1 = −12 𝑐𝑚 c. jarak bayangan
1 10+1,5
𝑞 =1,5 − 1
−8 = −6,666 𝑐𝑚 Contoh 2
Sebuah permukaan cembung dengan jari-jari 6 cm memisahkan dua medium yang
mempunyai indeks bias n = 1 dan n’ = 1,5. Sebuah benda diletakkan pada jarak 8 cm dari verteks. Hitunglah a. jarak fokus benda, b. jarak fokus bayangan, c. jarak bayangan Jawab :
Diketahui :
R= 6 cm, p = 8 cm, n = 1 dan n’ = 1,5 a. jarak fokus benda
𝑓1 = 1 . 6
1,5′− 1 = 12 𝑐𝑚
b. jarak fokus bayangan
𝑓2 = 1,5 . 6
1,5 − 1= 18 𝑐𝑚 c. jarak bayangan
1 8+1,5
𝑞 =1,5 − 1 6
9. pembentukan bayangan pada pembiasan permukaan spheris Pembentukan bayangan mengikuti ketentuan berikut ini :
a. sinar sejajar sumbu utama akan dibiaskan melalui titik fokus bayangan b. sinar melalui fokus benda akan dibiaskan sejajar sumbu utama
c. sinar yang melalui pusat kelengkungan akan dibiaskan lurus....
10. Lensa tipis
Lensa adalah medium transparan yang dibatasi oleh dua permukaan bias paling sedikit satu diantaranya lengkung sehingga terjadi dua kali pembiasan sebelum akhirnya keluar dari lensa.
Penyederhanaan
1. medium di kedua sisi lensa sama yaitu udara n = 1.
2. indeks bias lensa = n’
3. tebal lensa <<<<< r (lensa tipis)
Bayangan yang dibuat oleh permukaan 1 menjadi benda untuk permukaan kedua. Permukaan akhir akan membuat bayangan akhir.
Diasumsikan kita tidak mengetahui apa jenis lensa pada permukaan 1 dan permukaan 2 sehingga jari-jari lensa dianggap positif. Tetapi pada akhirnya nanti kita harus melihat permukaan 1 dan 2 untuk bisa memecahkan soal yang berkaitan dengan lensa tipis ini.
Penurunan rumus pembuat lensa (lens maker equation) Pada permukaan 1
1 𝑝1+ 1
𝑞1 =𝑛′ − 1
𝑟1 𝑎𝑡𝑎𝑢 1
𝑝1 =𝑛′ − 1 𝑟1 − 1
𝑞1 Pada permukaan 2
1 𝑝2+ 1
𝑞2 =1 − 𝑛′
𝑟2 𝑎𝑡𝑎𝑢 1
𝑞2 =1 − 𝑛′
𝑟2 − 1 𝑝2
Bayangan pada permukaan 1 adalah benda untuk permukaan 2. Bayangan permukaan 1 ini berada di daerah sebelah kanan permukaan 1 tetapi berada di sebelah kanan juga dari permukaan 2 (benda permukaan 2 bernilai negatif) atau dapat ditulis :
𝑞1 = −𝑝2
−𝑞1 = 𝑝2 Jika kita jumlahkan maka diperoleh :
1 𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1 𝑟1 − 1
𝑞1 + 𝑛′ − 1 𝑟2 − 1
𝑝2 1
𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1 𝑟1 − 1
−𝑝2 + 1 − 𝑛′
𝑟2 − 1 𝑝2 1
𝑝1 + 1
𝑞2 =𝑛′ − 1
𝑟1 +1 − 𝑛′
𝑟2 1
𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1
𝑟1 +− 𝑛′ − 1 𝑟2 1
𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2
Persamaan terakhir inilah yang kita sebut sebagai persamaan pembuat lensa.
1 𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 Atau
1
𝑓= 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 11. Fokus lensa tipis
Titik fokus benda (fokus 1) diperoleh jika 𝑞2 = ∞ maka diperoleh 𝑝1 = 𝑓 Titik fokus benda (fokus 2) diperoleh jika 𝑝1 = ∞ maka diperoleh 𝑞2 = 𝑓′
Dari persamaan pembuat lensa untuk fokus 1 : 1
𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 1
𝑓+ 1
∞= 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 1
𝑓= 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 Dari persamaan pembuat lensa untuk fokus 2 :
1 𝑝1+ 1
𝑞2 = 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 1
∞+ 1
𝑓′= 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 1
𝑓′= 𝑛′ − 1 1 𝑟1− 1
𝑟2 Dari dua persamaan diatas maka diperoleh bahwa :
𝑓 = 𝑓′
Jarak fokus benda dan jarak fokus bayangan untuk lensa tipis sama jika lensa berada di udara.
Bila
f > 0 disebut lensa positif atau lensa konvergen (lensa konveks) : mengumpulkan sinar f < 0 disebut lensa negatif atau lensa divergen (lensa konkaf) : menyebarkan sinar lensa positif adalah lensa yang lebih tebal bagian tengahnya daripada sampingnya lensa negatif adalah lensa yang lebih tipis bagian tengahnya daripada sampingnya
